黑龙江省大庆实验中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题

这是一份黑龙江省大庆实验中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题，共22页。试卷主要包含了单项选择题，不定项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.
1. 在曲线的图象上取一点及邻近一点，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均变化率，代入计算．
【详解】
故选：A
2. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可.
【详解】当时，方程变为，其倾斜角为，
当时，由直线方程可得斜率，
且，
，即，
又，，
由上知，倾斜角的范围是．
故选：C．
3. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等差数列的性质求解.
详解】由题意得.
故选：B
4. 已知双曲线的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，由题有，据此可得，即可得双曲线的渐近线方程.
【详解】设，由题有，则，
故双曲线渐近线方程为，即.
故选：B
5. 函数过点的切线方程为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】设切点，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过代入求参数m，即可得切线方程.
【详解】由题设，若切点为，则，
所以切线方程为，又切线过，
则，可得或，
当时，切线为；当时，切线为，整理得.
故选：C
6. 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为两点，以线段为直径的圆C过点，则圆C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出抛物线焦点坐标、准线方程，设出直线AB的方程，与抛物线方程联立求出圆心的纵坐标，再结合圆过的点求解作答.
【详解】抛物线的焦点，准线：，设，令弦AB的中点为E，
而圆心C是线段的中点，又，即有，，
显然直线AB不垂直于y轴，设直线，由消去x得：，
则，，点E的纵坐标为，
于是得圆C的半径，圆心，而圆C过点，
则有，即，解得，
因此圆C的圆心，半径，圆C的方程为.
故选：B
7. 若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式在上恒成立，问题转化为图象恒在上方，分类讨论参数，结合函数图象、导数，即可求在何范围时图象符合要求.
【详解】对，不等式恒成立，知：不等式恒成立，
问题可转化为：曲线恒处于直线的上方，
当时，直线与曲线恒有交点，不满足条件.
当时，直线与曲线没有交点且曲线恒处于直线的上方，满足条件.
当时，当直线与曲线相切时，设切点为，切线方程为，切线过点，代入方程得，此时切线斜率为，
由图可知，，即，曲线恒处于直线的上方，
综上，.
故选：C
【点睛】本题考查不等式恒成立，并将问题转化为函数图象的位置关系，利用导数研究函数求参数范围.
8. 已知，设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将化为，和b比较，确定变量，构造函数，利用其导数判断其单调性，即可比较大小，再比较，即可得答案.
【详解】由于，
故设函数 ，
当时，，即在上单调递增，
由于，
故，即，
又，故，
故选：D
【点睛】关键点睛：比较的大小时，要注意根据两数的结构特征，确定变量，从而构造函数，这是比较大小关键的一步，然后利用导数判断函数的单调性，即可求解.
二、不定项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 关于函数，则下面四个命题中正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减B. 函数在上单调递增
C. 函数没有最小值D. 函数的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】求出函数的定义域，求出函数导数，判断函数的单调性，作出其大致图像，一一判断每个选项，即可确定答案.
【详解】由，定义域为，且，则，
当和时，，
故函数在上单调递减，故A错误；
当时，，故函数在上单调递增，故B正确；
当时，，当时，，
作出其大致图像如图：
由图像可知函数没有最小值，故C正确，D错误，
故选：BC
10. 定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】令，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性逐一判断即可.
【详解】令，
则，
因为恒成立，
所以恒成立，
所以在上递减，
所以，
即，
所以，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
故D错误.
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是解决本题的关键.
11. 已知，令，则取到的值可以有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】可以看作点直线上的点到椭圆上的点的距离，从而求出直线上的点到椭圆的最短距离，从而可判断各项的对错.
【详解】由，得点为直线上的点，
由得点为曲线上的点,
则可以看作点到点的距离，
由得，
所以点为椭圆且在轴上方的点，
如图，设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为
联立，消得，
则，解得（舍去）
则，
所以直线与直线的距离，
所以,
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：BCD
12. 对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的数目.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（1，3与4互质），则（ ）
A. B. 如果为偶数，则数列单调递增
C. 数列的前6项和等于63D. 数列前项和为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据欧拉函数的定义，即可求解AC,根据反例即可排除BD.
【详解】对于A,13与1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12均互质，所以，故A正确，
对于B,当时，6与1，5互质，所以，故B错误，
对于C,由于2为质数，所以小于等于的正整数中,所有的偶数的个数为个，所以剩下的均与互质，故，所以前6项和等于，故C正确，
对于D，当时，5与1，2，3，4均互质，所以，而，，显然不成立，故D错误，（与不互质的数有，共有个，所以与不互质的数有，因此，则前项和为，故错误）
故选：AC
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每空5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13. 圆与圆的公共弦所在直线方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】判断两圆相交，将两圆方程相减即可求得答案.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则，则两圆相交，
故将两圆方程相减可得：，即，
即圆与圆的公共弦所在直线方程为，
故答案为：
14. 已知，数列的前项和的通项公式为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先化简为，再利用裂项相消法可求解.
【详解】因为，
所以
.
故答案为：.
15. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：
已知数列满足（为正整数），
当时，试确定使得至少需要________步雹程；若，则所有可能的取值集合为________.
【答案】 ①. 13 ②.
【解析】
【分析】第一空，根据运算法则，写出每一个步骤，即可得答案；第二空，根据运算法则一步步逆推，分类求解，可得答案.
【详解】当时，则按运算法则得到：
，
即使得需要13步雷程．
若，则或，
当 时，则或，
若，则或；
若，则，若，则；
当时，或，
若时，则，若时，则；
当时，则或，
若，则或；
若，则，
故所有可能的取值集合为，
故答案为：13；
16. 已知分别为双曲线的左、右顶点，是双曲线上关于轴对称的不同两点，设直线的斜率分别为，若点A到直线的距离为，则该双曲线的离心率为________.
【答案】##
【解析】
【分析】确定坐标，设点，表示出的表达式，结合化简可得即，根据点A到直线的距离为，列式计算，求得t的值，即可求得答案.
【详解】由题意可得双曲线中，，故，
设点,则,则，则，
所以，，
故即，即，即，
由于点A到直线的距离为，故，
解得，
故双曲线离心率为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于设点，从而表示出，结合化简可得，从而可得即，这是关键的环节，然后再结合题意求解即可.
四、解答题：本大题共6小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分，共70分.把答案填在答题卡的相应位置.
17. 过点可以作两条直线与圆相切，切点分别为
（1）求实数的取值范围.
（2）当时，存在直线吗？若存在求出直线方程，若不存在说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据点在圆外和圆方程的条件即可求解；
（2）易知四点共圆且以为直径，求其方程，利用两圆方程相减即可得到相交弦所在直线方程，从而求解.
【小问1详解】
由题意可知，点在圆外，即，解得.
又因为圆，即，
所以，即或，
综上，实数的取值范围是.
【小问2详解】
当时，，
即，所以圆心，
因为与圆相切，所以四点共圆且以为直径.
设过四点的圆上一点，
则，即，即
所以过过四点的圆的方程为，
两圆方程相减得，
于是直线的方程为.
18. 设抛物线的准线为，过抛物线上的动点作，为垂足.设点的坐标为，则有最小值.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知，过抛物线焦点的直线（直线斜率不为0）与抛物线交于两点，记直线的，斜率分别为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合抛物线定义确定最小值，即可求得p的值，可得答案.
（2）设出直线方程并联立抛物线方程，可得根与系数的关系，进而将化简，即可求得答案.
【小问1详解】
设抛物线焦点为，则，则有，
即三点共线时取得最小值，
而有最小值，故，
得，则抛物线的方程为
【小问2详解】
由题意可知，直线的斜率一定存在，设为k，则其方程为，
设，
由，得，，
，，
，，
，
所以的值为.
【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心.
19. 设为数列的前项和，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用与的关系式即可求出；
（2）结合的奇偶，利用分组求和法、裂项相消法求和.
小问1详解】
由，①，得：
当时，，解得.
当时，②，
①-②得：，
即
所以，所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列.
所以.
【小问2详解】
,
设数列的前项和为，
；
设数列的前项和为，
.
所以数列的前项和
利用分组，列项和并项求和即可获得.
20. 已知等差数列的前项和为，首项为，.数列是等比数列，公比小于0，且，，数列的前项和为，
（1）记点，证明：在直线上；
（2）对任意奇数恒成立，对任意偶数恒成立，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求得等常数列的通项公式，即可求得等比数列的通项公式，继而求得的表达式，即可证明结论；
（2）结合（1）可判断当为奇数和偶数时的单调性，从而求得的最值，即可得答案.
【小问1详解】
证明：设等差数列的公差为d，
则由首项为，可得，则，
故，
由，，得，，
故，，
则，即，
则点在直线上；
【小问2详解】
由（1）可知，
当为奇数时，在奇数集上单调递减，；
当为偶数时，在偶数集上单调递增，，
所以.
21. 已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）是否存在正整数，使得恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）1 （2）存在,最小正整数
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，构造函数，利用导数说明其单调性，结合设，判断其取值情况，即可求得答案.
（2）求出函数的导数，根据其表达式，讨论时，说明不合题意，当时，将问题转化为函数的最值问题，即可求得答案.
【小问1详解】
当时，，
，
令，则，
当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
故，仅当时取等号，
故对于，此时，
令，则，
即在在上单调递增，
，，故，使得，
函数的最小值为.
【小问2详解】
由题意的定义域为，
，
当时，，函数在上单调递增，函数无最大值，不合题意；
当时，时，，时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得最大值，且，
要使恒成立，即，
所以，即，
令，，
所以在上单调递增，
，，
所以存在最小正整数，使得，即使得恒成立.
【点睛】方法点睛：（1）第一问中要能根据的表达式的结构特征进行变形为，从而构造函数，利用导数判断单调性，解决问题；
（2）第二问中，根据函数不等式恒成立问题，求出函数导数，分类讨论参数范围，进而转化为函数最值问题解决.
22. 已知离心率为的椭圆过点，点分别为椭圆的左、右焦点，过点与轴垂直的直线交椭圆第一象限于点.直线平行于（为原点），且与椭圆交于两点，与直线交于点（介于两点之间）.
（1）当面积最大时，求的方程；
（2）求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点联立方程即可解，进而可得椭圆方程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，进而由弦长公式求解弦长，利用面积公式表达面积，结合基本不等式即可求解最值，
（2）根据比例关系可将问题转化成斜率之和为0，代入斜率公式即可化简求解.
【小问1详解】
由题意可知，解得
所求椭圆的方程为.
当时，，所以
由于，设的方程为，设，，
由，消去整理得，
由韦达定理可得：，
则
又点到的距离，
所以.
当且仅当，即时，等号成立.
又介于两点之间，
所以，故.
故直线的方程为：.
【小问2详解】
要证结论成立，只须证明，
由角平分线性质即证：直线为的平分线，
转化成证明：.
由于
因此结论成立.
【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用