2022-2023学年广东省广州市秀全中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省广州市秀全中学高二上学期期末数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市秀全中学高二上学期期末数学试题 一、单选题1．直线的倾斜角为A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线方程求出斜率，利用倾斜角的正切值为斜率，可得结果．【详解】设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．直线化为y＝，斜率k=tanθ=-，∴θ=150°，故选D．【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．2．在数列中，若，，则（    ）A．16 B．32 C．64 D．128【答案】C【分析】根据题意，为等比数列，用基本量求解即可.【详解】因为，故是首项为2，公比为2的等比数列，故.故选：C3．在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（    ）A．12 B．32 C．36 D．37【答案】C【分析】直接按照等差数列项数的性质求解即可.【详解】数列的前6项之和为.故选：C.4．圆与圆的位置关系为（    ）A．外离 B．内切 C．相交 D．外切【答案】D【分析】根据题意，求出两圆的圆心距，再结合圆与圆位置关系的判断方法，即可求解.【详解】因为圆的圆心为，圆的圆心为，所以两圆的圆心距为．因为圆的半径为，圆的半径为，所以圆心距等于两圆的半径和，故两圆外切．故选：D.5．已知，，则在上的投影向量为（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.【详解】解：因为，，所以，所以，所以在上的投影向量为故选：C6．△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由周长得AB+AC＝6，从而知A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，再根据已知条件可求得轨迹方程．注意范围．【详解】解：∵△ABC的两顶点B（﹣1，0），C（1，0），周长为8，∴BC＝2，AB+AC＝6，∵6＞2，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2a＝6，c＝1，b＝2，所以椭圆的标准方程是.故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查求轨迹方程，解题方法是定义法，根据恬条件确定轨迹是椭圆，由已知确定焦距和实轴长，由此易得方程，解题还要注意隐藏条件，因此要去掉直线上的两点．否则出错．7．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著.该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”.若改为 “求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（    ）盏.A．192 B．128 C．3 D．1【答案】A【分析】根据题意，转化为等比数列，利用通项公式和求和公式进行求解.【详解】设这个塔顶层有盏灯，则问题等价于一个首项为，公比为2的等比数列的前7项和为381，所以，解得，所以这个塔的最底层有盏灯.故选：A.8．过双曲线的左焦点作x轴的垂线交曲线C于点P，为右焦点，若，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题知是等腰直角三角形，，又根据通径的结论知，结合可列出关于的二次齐次式，即可求解离心率.【详解】由题知是等腰直角三角形，且，，又，，即，，，即，解得，，.故选：D. 二、多选题9．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】ABD【分析】逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项.【详解】对于A，因为，故，，共面；对于B，因为，故，，共面；对于D，因为，故，，共面；对于C，若，，共面，则存在实数，使得：，，故共面，这与构成空间的一个基底矛盾，故选：ABD10．已知曲线C的方程为（，且，），则下列结论正确的是（    ）A．当时，曲线C为圆 B．若曲线C为椭圆，且焦距为，则C．当或时，曲线C为双曲线 D．当曲线C为双曲线时，焦距等于4【答案】AC【分析】写出当时的曲线方程，即可判断A;分情况求出当曲线表示椭圆时k的值，可判断B；当或时，判断的正负，即可判断C; 当曲线C为双曲线时,确定k的范围，求得焦距，可判断D.【详解】当时,方程为，即，表示圆，故A正确；若曲线C为椭圆，且焦距为，则当焦点在x轴上， 且 ，解得 ；当焦点在y轴上， 且 ，解得 ,故此时或，故B错误；当时， ，曲线表示的是焦点位于y轴上的双曲线；当时， ，曲线表示的是焦点位于x轴上的双曲线；故C正确；当曲线C为双曲线时， ，即或，当时，，焦距 ，当时，，焦距 ，故D错误，故选：AC11．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（    ）A．直线与直线垂直B．直线与平面平行C．平面截正方体所得的截面面积为D．点与点到平面的距离相等【答案】BC【分析】(1)利用空间向量的坐标运算确定直线与直线的位置关系；(2)根据面面平行来证明线面平行；(3)先根据四点共面确定截面，进而算截面面积；(4)利用等体积法思想证明求解.【详解】对于选项A，以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，.从而，，从而，所以直线与直线不垂直，选项错误；对于选项，取的中点为，连接，，则易知，又平面，平面，故平面，又，平面，平面，所以平面，又，，平面，故平面平面，又平面，从而平面，选项正确；对于选项C，连接，，如图所示，∵正方体中，∴，，，四点共面，∴四边形为平面截正方体所得的截面四边形，且截面四边形为梯形，又由勾股定理可得，，，∴梯形为等腰梯形，高为，∴，选项C正确；对于选项D，由于，，而，，∴，即，点到平面的距离为点到平面的距离的2倍，选项错误.故选:BC.12．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由题可得，利用累加法可得，由递推公式即可判断A，计算前5项的和可判断B，由即可判断C，利用裂项相消求和法可判断D.【详解】因为，，，……，，以上个式子累加可得，，时也满足上式，故，所以，故B正确；由递推关系可知，故A正确；当，，故C正确；因为，所以，故D错误.故选：ABC. 三、填空题13．为和的等差中项，则_____________.【答案】【分析】利用等差中项的定义可求得结果.【详解】由等差中项的定义可得.故答案为：.14．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设．则______________．【答案】【分析】利用空间向量的运算法则，将表示成，两边平方利用向量数量积即可求得.【详解】由题意可知，又，所以，易知，所以因为底面是正方形，所以，即又，所以，即，所以故答案为：15．已知点F是抛物线的焦点，点，点P为抛物线上的任意一点，则的最小值为_________.【答案】3【分析】根据抛物线的定义可求最小值.【详解】如图，过作抛物线准线的垂线，垂足为，连接，则，当且仅当共线时等号成立，故的最小值为3，故答案为：3.16．设椭圆的左、右焦点分别为，则下列说法中正确的有_____________（填序号，漏填或错填都没有分）（1）离心率（2）过点的直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为（3）若P是椭圆C上的一点，则面积的最大值为1（4）若P是椭圆C上的一点，且，则面积为【答案】（2）（3）（4）【分析】对于（1），由椭圆方程求出a、b、c的值，求得椭圆离心率即可判断；对于（2），求出的周长即可判断；对于（3），由三角形面积公式求出面积的最大值即可判断；对于（4），方法1：直接应用椭圆中焦点三角形的面积公式：，（其中b为椭圆的短半轴长，为）；方法2：由椭圆定义、余弦定理以及三角形面积公式可得的面积即可判断.【详解】对于（1），由题意知，，，∴，∴，故（1）错误；对于（2），，故（2）正确；对于（3），，当点P在短轴端点时取最大值，故（3）正确；对于（4），方法1：；方法2：∵，∴在中，由余弦定理得：解得：，∴，故（4）正确.故答案为：（2）（3）（4）. 四、解答题17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中.问题：等差数列的公差为，满足，________?(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和得到最小值时的值.【答案】(1)选择条件见解析，(2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由，得到，选①，联立求解；选②，联立求解；选③，联立求解；（2）由（1）知，令求解.【详解】（1）解：设等差数列的公差为，得，选①，得，故，∴.选②，得，得，故，∴.选③，，得，故，∴；（2）由（1）知，，，∴数列是递增等差数列.由，得，∴时，，时，，∴时，得到最小值.18．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC上的动点，且.(1)求证：；(2)当时，求点A到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)如图，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出和，再证明即可；(2)利用空间向量的数量积求出平面的法向量，结合求点到面距离的向量法即可得出结果.【详解】（1）证明：如图，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，故，所以；（2）当时，，，，，则，，，设是平面的法向量，则由，解得，取，得，设点A到平面的距离为，则，所以点A到平面的距离为.19．已知圆C过两点，，且圆心C在直线上．(1)求圆C的方程；(2)过点作圆C的切线，求切线方程．【答案】(1)．（或标准形式）(2)或 【分析】（1）根据题意，求出的中垂线方程，与直线联立，可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案；（2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案．【详解】（1）解：根据题意，因为圆过两点，，设的中点为，则，因为，所以的中垂线方程为，即又因为圆心在直线上，联立，解得，所以圆心，半径，故圆的方程为，（2）解：当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为即（*）由圆心C到切线的距离，可得将代入（*），得切线方程为综上，所求切线方程为或20．已知数列的前项和为，，.(1)证明：数列是等比数列；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）中令和结合求得，然后中利用得数列的递推关系得数列为等比数列；（2）由（1）求得再得出，利用裂项相消法求得和．【详解】（1）因为，所以，因为，所以，，即，，解得，，当时，，与联立，得，所以.又因为，所以是以1为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）得，所以，，所以，所以.21．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上.(1)求证：平面；(2)若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）由条件可得，，然后算出的长度可得矩形是正方形，然后可得，即可证明；（2）、、两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.【详解】（1）因为底面，、底面，所以，，所以，，所以矩形是正方形，所以，因为，所以平面（2）由（1）知、、两两垂直，建系如图，，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，，，，，1，，，2，，设平面的法向量为，则，，即所以可取，0，， 所以直线与平面所成的角的正弦值为．22．如图，是过抛物线焦点F的弦，M是的中点，是抛物线的准线，为垂足，点N坐标为.(1)求抛物线的方程；(2)求的面积（O为坐标系原点）.【答案】(1).(2). 【分析】（1）由已知得准线方程为：，由此可求得抛物线的方程；（2）设，代入抛物线的方程作差得，再由M是的中点，求得，由此求得直线的方程，与抛物线的方程联立可求得弦长AB，由三角形的面积公式可求得答案.【详解】（1）解：点在准线上，所以准线方程为：，则，解得，所以抛物线的方程为：；（2）解：设，由在抛物线上，所以，则，又，所以点M纵坐标为是的中点，所以，所以，即，又知焦点F坐标为，则直线的方程为：，联立抛物线的方程，得，解得或，所以，所以.