2022-2023学年广东省广州市第十三中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省广州市第十三中学高二上学期期末数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市第十三中学高二上学期期末数学试题 一、单选题1．与向量平行，且经过点的直线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用点斜式求得直线方程.【详解】依题意可知，所求直线的斜率为，所以所求直线方程为，即.故选：A2．已知等边三角形的一个顶点在椭圆E上，另两个顶点位于E的两个焦点处，则E的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件求得的关系式，从而求得椭圆的离心率.【详解】依题意可知，所以.故选：B3．如图，在平行六面体中，（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量．【详解】连接，可得，又，所以．故选：B.4．已知，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】比较大小，可先与常见的常数进行比较，然后根据函数的单调性进行比较大小【详解】则有：故有：故选：D5．如图，在三棱柱中，E，F分别是BC，的中点，，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可.【详解】，故选：D．6．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】就直线与平行或过的中点可求直线的方程.【详解】若过的直线与平行，因为，故直线的方程为：即.若过的直线过的中点，因为的中点为，此时，故直线的方程为：即.故选：D.7．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为A． B．C． D．【答案】B【分析】对选项逐一分析排除，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.对于B选项，双曲线的渐近线为，且过点，符合题意.对于C选项，双曲线的渐近线为，但不过点，不符合题意.对于D选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线标准方程的求法，属于基础题.8．P为椭圆上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由椭圆的，，所以，可得动点Q的轨迹为以为圆心，为半径的圆，即可求得动点Q的轨迹方程.【详解】由可得：，因为，，所以，所以动点Q的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故动点Q的轨迹方程为.故选：B.【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程. 二、多选题9．已知函数的图象关于直线对称，则（    ）A．函数为偶函数B．函数在上单调递增C．若，则的最小值为D．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象【答案】BC【分析】根据函数的图象关于直线对称，由求得函数的解析式，再逐项判断.【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，即，又因为，则，所以，A.函数为奇函数，故错误；B. 因为，则，又 在上递增，所以函数在上单调递增，故正确；C. 因为，则 分别为函数的最大值和最小值，则的最小值为，故正确；D.将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，故错误；故选：BC10．下列说法正确的是（    ）A．设是两个空间向量，则一定共面B．设是三个空间向量，则一定不共面C．设是两个空间向量，则D．设是三个空间向量，则【答案】AC【分析】直接利用空间向量的定义、数量积的定义，空间向量的应用逐一判断A、B、C、D的结论即可．【详解】对于A：因为是两个空间向量，则一定共面，故A正确； 对于B：因为是三个空间向量，则可能共面也可能不共面，故B错误；对于C：因为是两个空间向量，则，故C正确；对于D：因为是三个空间向量，则与向量共线，与向量共线，则D错误．故选：AC．11．已知双曲线C：，则（    ）A．双曲线C与圆有3个公共点B．双曲线C的离心率与椭圆的离心率的乘积为1C．双曲线C与双曲线有相同的渐近线D．双曲线C的一个焦点与抛物线的焦点相同【答案】BCD【分析】由圆锥曲线的几何性质直接可得.【详解】解：作图可知A不正确；由已知得双曲线C中，，，，所以双曲线C的焦点为，顶点为，渐近线方程为，离心率为，易知选项BCD正确． 故选：BCD12．已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的切线、，切点为、，则下列结论正确的是（    ）A．四边形面积的最小值为B．四边形面积的最大值为C．当最大时，D．当最大时，直线的方程为【答案】AD【分析】分析可知当时，四边形面积最小，且最大，利用三角形的面积公式可判断AB选项，分析出四边形为正方形，利用正方形的几何性质可判断CD选项.【详解】如下图所示：由圆的几何性质可得，，由切线长定理可得，又因为，，所以，，所以，，因为，当时，取最小值，且，所以，四边形的面积的最小值为，A对；因为无最大值，即无最大值，故四边形面积无最大值，B错；因为为锐角，，且，故当最小时，最大，此时最大，此时，C错；由上可知，当最大时，且，故四边形为正方形，且有，则的方程为，联立，可得，即点，由正方形的几何性质可知，直线过线段的中点，此时直线的方程为，D对.故选：AD. 三、填空题13．命题“，”的否定为__________．【答案】【详解】根据全称命题的否定是特称命题可知，原命题的否定为“”14．设向量，，，则实数________.【答案】【解析】利用向量数量积坐标计算公式直接求解.【详解】因为，所以，解得.故答案为：.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．15．若一个圆锥的侧面是半径为6的半圆围成，则这个圆锥的表面积为________.【答案】【分析】求出底面半径，代入公式即可.【详解】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，所以圆锥的母线长为，设圆锥的底面半径为，则，所以，所以圆锥的表面积为.故答案为：.16．一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.【答案】【分析】设动圆的圆心为，半径为R，根据动圆与圆外切，与圆内切，得到，两式相加得到，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为，半径为R，因为动圆与圆外切，与圆内切，所以，所以，所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，所以，所以动圆圆心的轨迹方程为，故答案为：【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 四、解答题17．已知圆D经过点A（-1，0），B（3，0），C（1，2）.(1)求圆D的标准方程；(2)若直线l：与圆D交于M、N两点，求线段MN的长度.【答案】(1)(2) 【分析】（1）设圆D的标准方程，利用待定系数法即可得出答案；（2）利用圆的弦长公式即可得出答案.【详解】（1）解：设圆D的标准方程，由题意可得，解得，所以圆D的标准方程为；（2）解：由（1）可知圆心，半径，所以圆心D（1，0）到直线l：的距离，所以.18．已知抛物线上的点M（5，m）到焦点F的距离为6.(1)求抛物线C的方程；(2)过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程.（2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k，即可得直线l方程．【详解】（1）由题设，抛物线准线方程为，∴抛物线定义知：可得，故（2）由题设，直线l的斜率存在且不为0，设联立方程，得，整理得，则.又P是线段AB的中点，∴，即故l19．如图，平面平面，，，，.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)过点分别作、的平行线，交点为、，利用平行关系和线段长度关系证明四边形为平行四边形，从而有，再利用线面平行的判定定理证明平面；(2)利用面面垂直的性质得到平面，从而，又由，得.【详解】(1) 证明：过点作的平行线，交于点，连接.过点作的平行线交于点，连接.则四边形为平行四边形，有平行且等于.因为，所以.因为，所以，故，所以，又，所以四边形为平行四边形，有平行且等于，所以平行且等于，四边形为平行四边形，有.又平面，平面，所以平面.(2)证明：因为，，所以.因为平面与平面垂直，且交线为，又平面，所以平面，又平面，所以.又由(1)知，所以.20．已知椭圆与椭圆具有共同的焦点，，点P在椭圆上，，______．在下面三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并作答．①椭圆过点；②椭圆的短轴长为10；③椭圆的离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)求的面积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）设椭圆C的方程为（），，由题意可得.选①：可得即可求解椭圆方程；选②：可得即可求解椭圆方程；选③：可得即可求解椭圆方程；（2）根据椭圆的定义，结合勾股定理可得，再求解面积即可.【详解】（1）设椭圆C的方程为（），，则椭圆与椭圆具有共同的焦点，则．选①，由已知可得，则，所以椭圆的方程为．选②，由已知可得，则，所以椭圆的方程为．选②，由已知可得，则，所以，椭圆的方程为．（2）由椭圆的定义知，①又因为，所以，②由①②可得，解得，因此．21．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，．(1)求证：平面ACF；(2)在线段PB上是否存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的正弦值为？若存在，求出线段PH的长度；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，的长为或，理由见解析. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.（2）设，求出，根据与平面所成角的正弦值列方程，由此求得，进而求得的长.【详解】（1）依题意，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，则，故可设，由于，所以平面.（2）存在，理由如下：设，，，，依题意与平面所成角的正弦值为，即，，解得或.，即的长为或，使与平面所成角的正弦值为.22．已知点，圆，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点P.(1)求动点P的轨迹的方程；(2)过点的动直线l交曲线C于A、B两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，T(0，1)﹒ 【分析】(1)根据椭圆的定义，结合即可求P的轨迹方程；(2)假设存在T(0，t)，设AB方程为，联立直线方程和椭圆方程，代入＝0即可求出定点T.【详解】（1）由题可知，，则，由椭圆定义知P的轨迹是以F1、为焦点，且长轴长为的椭圆，∴，∴，∴P的轨迹方程为C：；（2）假设存在T(0，t)满足题意，易得AB的斜率一定存在，否则不会存在T满足题意，设直线AB的方程为，联立，化为，易知恒成立，∴(*)由题可知，将(*)代入可得：即∴，解，∴在y轴上存在定点T(0，1)，使以AB为直径的圆恒过这个点T.