吉林省四平市第一高级中学2021-2022学年高二上学期第三次月考数学试题及答案

这是一份吉林省四平市第一高级中学2021-2022学年高二上学期第三次月考数学试题及答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（ ）
A．B．
C．D．
2．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，则（ ）
A．B．3C．4D．
4．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
6．已知方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
8．直线与双曲线没有交点，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上一点，，直线与轴交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．已知抛物线为坐标原点，点为抛物线上的一点，且点在轴的上方，若线段的垂直平分线过点，则直线的斜率为（ ）
A．1B．2C．D．
12．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，的周长为10，则双曲线C的焦距为（ ）
A．3B．C．D．
二、填空题
13．椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则抛物线的标准方程为__________.
14．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为__________.
15．已知双曲线的左､右焦点分别为，，点A在双曲线C上，，直线与双曲线C交于另一点B，，则双曲线C的离心率为___________.
三、双空题
16．已知抛物线的准线为，点为抛物线上的一个动点，则点到准线和直线的距离之和的最小值为__________，此时点的坐标为__________.
四、解答题
17．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点坐标为，且经过点；
(2)焦点在坐标轴上，经过点.
18．已知抛物线C：的焦点为F，P为抛物线C上一动点，点Q为线段PF的中点．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)求点Q的轨迹与双曲线的交点坐标．
19．已知椭圆：，直线与椭圆相交于，两点，点为线段的中点.
(1)求直线的方程；
(2)若为坐标原点，求的面积.
20．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，且.
(1)求的值；
(2)若以线段为直径的圆与直线相切，求直线的方程.
21．已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过定点的动直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于（点在点的左边）两点，证明：线段与线段的长度始终相等.
22．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：，椭圆：，点P为椭圆的上顶点，点A，C为椭圆上关于原点对称的两个动点.斜率为的直线PA与椭圆交于另一点B，斜率为的直线PC与椭圆交于另一点D
(1)求的值；
(2)求的值.
参考答案：
1．C
【分析】根据点和椭圆位置关系的判断方法，分别把点的坐标代入椭圆方程的左侧部分，计算其数值大于的点即为答案.
【详解】由椭圆方程为，
因为，所以点在椭圆内部，A错误；
因为，所以点在椭圆内部，B错误；
因为，所以点在椭圆外部，C正确；
因为，所以点在椭圆内部，D错误.
故选：C.
2．A
【分析】先把抛物线化成标准方程，求出，即可得到准线方程.
【详解】抛物线的标准方程为：，令，得，于是该抛物线的准线为：.
故选：A
3．D
【分析】由方程得出的坐标，再由距离公式求解即可
【详解】因为椭圆的左顶点为A，上顶点为B，
所以，，
所以．
故选：D
4．A
【分析】根据“虚轴长是实轴长的3倍”列方程，化简求得的自豪.
【详解】由题意有，解得．
故选：A
5．B
【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，
设点P的坐标为，，
根据抛物线的定义有，故的最小值为．
故选：B
6．B
【分析】由椭圆的简单几何性质即可求解.
【详解】解：因为方程表示一个焦点在轴上的椭圆，
所以有，解得，
所以实数的取值范围为，
故选：B.
7．D
【分析】根据给定的方程求出离心率，的表达式，再计算判断作答.
【详解】因椭圆的离心率为，则有，
因双曲线的离心率为，则有，所以.
故选：D
8．C
【解析】把直线方程代入双曲线方程，方程无解即得．
【详解】由得，此方程无实数解，则，解得或．又，所以．
故选：C．
9．A
【解析】转化条件为该双曲线的一条渐近线的倾斜角为，进而可得，由离心率公式即可得解.
【详解】由题意，(为坐标原点)，
所以该双曲线的一条渐近线的倾斜角为，
所以，即，
所以离心率.
故选：A.
10．B
【解析】由题可得，代入点P的横坐标可得，则有，解得，即可由此求出离心率.
【详解】设的坐标为，由，可得，
代入点P的横坐标，有，可得，
则有，得，
则椭圆C的离心率为.
故选：B.
11．A
【分析】设出点的坐标，写出的线段所在直线的解析式，进而求出线段垂直平分线所在直线的解析式，通过线段的垂直平分线过点，得到点的横坐标与的关系，即可求出直线的斜率.
【详解】解：由题意设，则，线段的中点为
∴线段的垂直平分线为：
∵线段的垂直平分线过点
∴
解得：
∴直线的斜率为：
故选：A.
12．C
【分析】由双曲线的定义和三角形的周长解得m的值，再由余弦定理列式可得结果.
【详解】设，，，
由双曲线的定义知：，
∴，a=m，
∴有，解得，
∵在和中，，
∴由余弦定理得，解得，可得双曲线的焦距为．
故选：C.
13．
【分析】由已知，先将椭圆方程化为标准形式，然后读取其焦点坐标，然后再根据给出的抛物线方程，写出其焦点坐标，列出等量关系，即可求解方程.
【详解】由已知，椭圆，可化为：，
所以其焦点坐标为和，
抛物线，其焦点坐标为，
因为椭圆的焦点与抛物线的焦点重合，所以，
所以抛物线的标准方程为：.
故答案为：.
14．
【分析】由垂直得一条渐近线的斜率，从而结合双曲线标准方程求得值．
【详解】一条渐近线与直线垂直，则该渐近线的斜率为，
双曲线的标准方程为，，，
，．
故答案为：．
15．
【分析】根据题目条件设点A和B的坐标，带入双曲线方程即可.
【详解】由于 ，不妨设点A的坐标为，
点B的坐标为，有，解得，
又由，，有，
解得，，
将点B的坐标代入双曲线方程，有，
， 解得，
双曲线C的离心率为 =；
故答案为： .
16．
【分析】根据抛物线的定义把点到的距离转化到点到焦点的距离，就是求点到直线的距离，从而能求出直线，与抛物线联立可求点的坐标.
【详解】设过点分别向和作垂线，垂足分别为，
因为抛物线的焦点，由抛物线的定义得：，
所以只需要求最小即可.
当且仅当三点共线时最小，且最小值为点到直线的距离，即.
此时直线与垂直，所以，所以直线为：
直线与抛物线联立得，即，且
所以，故点
答案为：
17．(1)；
(2).
【分析】（1）利用双曲线定义求出双曲线的实轴长即可计算作答.
（2）设出双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.
【详解】（1）因双曲线的焦点坐标为，且经过点，令双曲线实半轴长为a，
则有
，解得，双曲线半焦距，虚半轴长b有，
所以所求双曲线的标准方程为.
（2）依题意，设双曲线的方程为：，
于是得，解得：，
所以所求双曲线的标准方程为.
18．(1)
(2)，．
【分析】（1）利用中点坐标公式与直接代入法即可求得点Q的轨迹方程；
（2）联立两曲线方程，解之即可得解.
【详解】（1）设点Q的坐标为，
因为抛物线C：，所以点F的坐标为，
又点Q为线段PF的中点，所以点P的坐标，
将点P的坐标代入抛物线C的方程，得，整理为，
故点Q的轨迹方程为；
（2）联立方，解得，
故点Q的轨迹与双曲线的交点坐标为，．
19．(1)
(2)
【分析】（1）由题意，直线的斜率存在，设出直线的方程，然后联立椭圆方程，利用韦达定理即可求出斜率，从而即可得答案；
（2）根据弦长公式求出弦的长，由点到直线的距离公式求出高，然后由三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）解：由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，，
由得，
因为点为线段的中点，所以，解得，
直线的方程为，即；
（2）解：由（1）知，，
所以，
到直线的距离，
所以.
20．(1)2
(2)或.
【分析】（1）设点的坐标分别为，直线的方程为，联立抛物线方程得，已知，利用数量积的坐标运算和韦达定理，即可求出的值；
（2）利用韦达定理求出弦长，已知以线段为直径的圆与直线相切，求出半径列得方程求解即可算出参数m的值，进而得到直线方程.
【详解】（1）设点的坐标分别为，
由点的坐标为，设直线的方程为，
联立方程，消去后整理得，
所以，，.
又由，解得.
所以的值为2.
（2）由，
可得线段中点的坐标为，
.
若以线段为直径的圆与直线相切，
有，解得.
所以直线的方程为，即或.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程.
（2）设出直线的方程，并分别与双曲线的渐近线方程、双曲线方程联立，利用中点坐标公式判断出线段和共中点，从而证得线段与线段的长度始终相等.
【详解】（1）由双曲线可得渐近线方程为，
由渐近线方程的斜率为，有，可得.
将点代入双曲线的方程，有.
联立方程，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）设点的坐标分别为，
线段的中点的坐标为，线段的中点的坐标为.
依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，，
联立方程，得；联立方程，得.
所以可得.
联立方程，消去后整理得，
由解得，且，
由于直线与双曲线左右两支分别相交，所以.
所以，可得，所以，
所以线段和共中点，故有.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22．(1)-3
(2)
【分析】(1)设点的坐标为，则点的坐标为，且，
根据两点斜率公式求，由此可得的值；(2)分别联立直线与椭圆方程，求点的横坐标和点的横坐标，由此可求，同理可求，再求的值.
【详解】（1）设点的坐标为，可得点的坐标为，
由点在椭圆上有，可得，
点的坐标为，由，，
有，
故的值为-3；
（2）直线的方程为，
联立方程y=k1x+3,x2+y23=1,消去可得，解得或，点A的横坐标为.
联立方程消去可得，解得或，点的横坐标为，
有；
同理，
可得，
故的值为.