吉林省洮南市第一中学2021-2022学年高三上学期第二次月考理科数学【试卷+答案】

这是一份吉林省洮南市第一中学2021-2022学年高三上学期第二次月考理科数学【试卷+答案】，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


吉林省洮南市第一中学2021-2022学年高三上学期理数第二次月考试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1.已知集合 A={x|log2x<1} ，集合 B={y|y=2-x} ，则 A∪B= （    ）
A. (0,+∞)                                B. [0,2)                                C. (0,2)                                D. [0,+∞)
2.若复数 z 满足 (1-i)z=3+i （其中 i 是虚数单位），则 z 的虚部是（    ）
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
3.若变量 满足约束条件 {x+y≥0x-y≥03x+y-4≤0, 则 的最大值是(    )
A. 0                                           B. 2                                           C. 5                                           D. 6
4.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： C=Wlog2(1+SN) .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 C 取决于信道带宽 W ，信道内信号的平均功率 S ，信道内部的高斯噪声功率 N 的大小，其中 SN 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽 W ，而将信噪比 SN 从1000提升至4000，则 C 大约增加了（    ）附： lg2≈0.3010
A. 10%                                    B. 20%                                    C. 50%                                    D. 100%
5.如图，在正四面体 P-ABC 中， D 为 AB 的中点，则异面直线 AC 与 PD 所成角的余弦值为（    ）

A. 14                                       B. 24                                       C. 36                                        D. 12
6.已知 ΔABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a,b,c ，满足 a=bcosC ，则 ΔABC 的形状一定是（    ）
A. 等腰直角三角形                    B. 等边三角形                    C. 等腰三角形                    D. 直角三角形
7.若命题“ ∃x0∈R ， x02+2mx0+m+2<0 ”为假命题，则m的取值范围是（     ）
A. -1≤m≤2               B. -12
8.已知函数f(x)＝{ex-a,x≤02x-a,x>0(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(    )
A. (0，1]                              B. [1，+∞)                              C. (0，1)                              D. (－∞，1]
9.ΔABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c .已知 b=2 ， A=π6 ，若该三角形有两个解，则 a 的取值范围是（    ）
A. (3,2)                               B. (1,+∞)                               C. (2,+∞)                               D. (1,2)
10.设m ， n为两个不同的直线， α ， β 为两个不同的平面，则下列说法中不正确的是（    ）
A. 若 m//n ， n⊥β ， m⊂α ，则 α⊥β
B. 当m与 α 平行时，若m与n不平行，则n与 α 不平行
C. 若 α⊥β ，点 P∈α ，点 P∈a ， a⊥β ，则 a⊂α
D. 若 m⊂β ， α//β ，则 m//α
11.某三棱锥的三视图如图，是三个边长为2的正方形，则该三棱锥的外接球的体积为（    ）

A. 823π                                    B. 13π3                                    C. 43π                                    D. 6π
12.已知奇函数 f(x) 的定义域为 (-π2,0)∪(0,π2) ，其导函数是 f'(x) ．当 x∈(0,π2) 时， f'(x)sinx-f(x)cosx<0 ，则关于 x 的不等式 f(x)<2f(π6)sinx 的解集为（    ）
A. (-π2,-π6)∪(0,π6)      B. (-π2,π6)∪(π6,π2)      C. (-π6,0)∪(0,π6)      D. (-π6,0)∪(π6,π2)
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知 sin(π6+α)=23 ，则 cos(π3-α)=      .
14.若 m>0 ， n>0 ，且函数 f(x)=8x3-mx2-2nx+3 在 x=1 处有极值，则 mn 的最大值等于      .
15.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4) .若 λ 为实数，且满足 (a+λb)//c ，则 λ=      .
16.已知函数 f(x)=ex ，过点 (1,0) 作曲线 y=f(x) 的切线l ， 则直线l与曲线 y=f(x) 及y轴围成的图形的面积为      .
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.在 ΔABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 cosA=13 ．
（1）.求 cos(B+C) ；
（2）.若 a=2 ， SΔABC=2 ，求 b 的值．
18.已知函数 f(x)=a⋅2x+12x-1 为奇函数.
（1）.求 a 的值；
（2）.求函数 f(x) 的值域.
19.已知 a=(1,cosx) ， b=(sinx,3) .
（1）.若 a⊥b ，求 sin2x+cos2x 的值；
（2）.设 f(x)=a→⋅b→ ，将函数 y=f(x) 的图象向右平移 π6 个单位长度得到曲线C ， 保持C上各点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的 12 倍得到 g(x) 的图象，且关于x的方程 g(x)-m=0 在 [0,π2] 上有解，求m的取值范围.
20.设函数 f(x)=x2-(a+2)x+alnx(a∈R) .
（1）.若 x=3 是 f(x) 的极值点，求 f(x) 的单调区间；
（2）.若 f(x)≥1 恒成立，求 a 的取值范围.
21.如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PA⊥ 平面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形， PA=AD=2 ， E,F 分别为 PD,PC 的中点．

（1）.求证： CD⊥ 平面 PAD ；
（2）.求直线AF与底面 ABCD 所成角的正弦值；
（3）.求平面 AEF 与底面 ABCD 所成的较小角的余弦值．
22.已知函数f(x)=elnx-ax(a∈R)
（1）.讨论f(x)的单调性；
（2）.当a=e时，证明  xf(x)-ex+2ex≤0.

答案解析部分

吉林省洮南市第一中学2021-2022学年高三上学期理数第二次月考试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1.已知集合 A={x|log2x<1} ，集合 B={y|y=2-x} ，则 A∪B= （    ）
A. (0,+∞)                                B. [0,2)                                C. (0,2)                                D. [0,+∞)
【答案】 D
【考点】并集及其运算，函数的值域，指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意得A={x|0 故答案为：D
【分析】根据对数不等式的解法，结合函数的值域以及并集运算求解即可.
2.若复数 z 满足 (1-i)z=3+i （其中 i 是虚数单位），则 z 的虚部是（    ）
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
【答案】 B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意知 z=3+i1-i=(3+i)(1+i)(1-i)(1+i)=2+4i2=1+2i ，
虚部为2.
故答案为：B.

【分析】由已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，可得答案。
3.若变量 满足约束条件 {x+y≥0x-y≥03x+y-4≤0, 则 的最大值是(    )
A. 0                                           B. 2                                           C. 5                                           D. 6
【答案】 C
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由题意作出其平面区域，

令z=3x+2y，化为y=-32x+z2 ， z2相当于直线y=-32x+z2的纵截距，
由图可知，由y=x3x+y-4=0 ， 解得，x=1，y=1，
即当x=1，y=1时，3x+2y的最大值是3+2=5.
故选：C
【分析】根据线性规划直接求解即可.
4.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： C=Wlog2(1+SN) .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 C 取决于信道带宽 W ，信道内信号的平均功率 S ，信道内部的高斯噪声功率 N 的大小，其中 SN 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽 W ，而将信噪比 SN 从1000提升至4000，则 C 大约增加了（    ）附： lg2≈0.3010
A. 10%                                    B. 20%                                    C. 50%                                    D. 100%
【答案】 B
【考点】对数的运算性质
【解析】【解答】当 SN=1000 时， C=Wlog21000 ，当 SN=4000 时， C=Wlog24000 ，
因为 log24000log21000=lg4000lg1000=3+2lg23≈3.60203≈1.2
所以将信噪比 SN 从1000提升至4000，则 C 大约增加了20%，
故答案为：B.

【分析】根据题意找出关系式再由对数的运算性质计算出结果即可。
5.如图，在正四面体 P-ABC 中， D 为 AB 的中点，则异面直线 AC 与 PD 所成角的余弦值为（    ）

A. 14                                       B. 24                                       C. 36                                        D. 12
【答案】 C
【考点】异面直线及其所成的角，余弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图，取BC的中点E，连结PE、DE，

则由题意知DE//AC，
则∠PDE为 面直线 AC 与 PD 所成角，
设正四面体P-ABC的棱长为2，则PD=PE=3，DE=12AC=1,
则由余弦定理得cos∠PDE=PD2+DE2-PE22PD·DE=32+12-322×3×1=36.
故答案为：C
【分析】根据异面直线所成角的定义，运用几何法，结合余弦定理求解即可.
6.已知 ΔABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a,b,c ，满足 a=bcosC ，则 ΔABC 的形状一定是（    ）
A. 等腰直角三角形                    B. 等边三角形                    C. 等腰三角形                    D. 直角三角形
【答案】 D
【考点】余弦定理的应用，三角形的形状判断
【解析】【解答】解：∵ a=bcosC 
则由余弦定理得a=b·a2+b2-c22ab ，
化简得2a2=a2+b2-c2 ，
即a2+c2=b2 ，
所以 ΔABC 是直角三角形，
故答案为：D
【分析】根据余弦定理求解即可.
7.若命题“ ∃x0∈R ， x02+2mx0+m+2<0 ”为假命题，则m的取值范围是（     ）
A. -1≤m≤2               B. -12
【答案】 A
【考点】全称量词命题，存在量词命题，一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：∵ 命题“ ∃x0∈R  ，  x02+2mx0+m+2<0 ”为假命题，
∴命题“ ∀x∈R  ，  x2+2mx+m+2≥0 ”为真命题，
∴∆=(2m)2-4·1·(m+2)≤0,
解得-1≤m≤2
故答案为：A
【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的真假关系，结合一元二次不等式的解法求解即可.
8.已知函数f(x)＝{ex-a,x≤02x-a,x>0(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(    )
A. (0，1]                              B. [1，+∞)                              C. (0，1)                              D. (－∞，1]
【答案】 A
【考点】函数单调性的判断与证明，函数单调性的性质，函数的零点
【解析】【解答】解：当 x≤0时，f(x)单调递增，∴f(x)≤f(0)=1-a;
当 x>0时，f(x)单调递增，且f(x)>-a，
∵f(x)在R上有两个零点，
∴1-a≥0-a<0 ， 解得 0 故答案为：A
【分析】根据函数的单调性，以及函数的零点的概念求解即可.
9.ΔABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c .已知 b=2 ， A=π6 ，若该三角形有两个解，则 a 的取值范围是（    ）
A. (3,2)                               B. (1,+∞)                               C. (2,+∞)                               D. (1,2)
【答案】 D
【考点】解三角形
【解析】【解答】解：∵ 三角形有两个解，
∴bsinA ∴2×sinπ6 即1 故答案为：D
【分析】根据三角形有两个解得bsinA 10.设m ， n为两个不同的直线， α ， β 为两个不同的平面，则下列说法中不正确的是（    ）
A. 若 m//n ， n⊥β ， m⊂α ，则 α⊥β
B. 当m与 α 平行时，若m与n不平行，则n与 α 不平行
C. 若 α⊥β ，点 P∈α ，点 P∈a ， a⊥β ，则 a⊂α
D. 若 m⊂β ， α//β ，则 m//α
【答案】 B
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面平行的性质，平面与平面垂直的判定，平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A，由m//n，n⊥β，可得m⊥β，又 m⊂α  ， 则 α⊥β ， 故A正确;
对于B，过m、n作平面β，使得α//β，则β内的任一条直线都与α平行，故B错误;
对于C，若a⊥β，点P∈α，点P∈a，a⊥β，由面面垂直的性质定理可得 a⊂α ，故C正确;
对于D，若 m⊂β  ，  α//β ， 由面面平行的性质定理可得 m//α ，故D正确.
故答案为：B.
【分析】根据平面与平面垂直的判定定理可判断A，根据直线与平面的位置关系可判断B，根据平面与平面垂直的性质定理可判断C，根据平面与平面平行的性质定理可判断D.
11.某三棱锥的三视图如图，是三个边长为2的正方形，则该三棱锥的外接球的体积为（    ）

A. 823π                                    B. 13π3                                    C. 43π                                    D. 6π
【答案】 C
【考点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：如图，

该几何体为正四面体A-BCD，棱长为22 ，
把正四面体放置在棱长为2的正方体中，
可知正方体的外接球即为该三棱锥的外接球，
又外接球的半径R=1222 +22 +22 =3 ，
则该三棱锥的外接球的体积为V=43πR3=43π.
故答案为：C
【分析】根据三视图还原几何体，结合正四面体的结构特征以及球的体积公式求解即可.
12.已知奇函数 f(x) 的定义域为 (-π2,0)∪(0,π2) ，其导函数是 f'(x) ．当 x∈(0,π2) 时， f'(x)sinx-f(x)cosx<0 ，则关于 x 的不等式 f(x)<2f(π6)sinx 的解集为（    ）
A. (-π2,-π6)∪(0,π6)      B. (-π2,π6)∪(π6,π2)      C. (-π6,0)∪(0,π6)      D. (-π6,0)∪(π6,π2)
【答案】 D
【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设gx=fxsinx ， 则g'x=f'xsinx-fxcosxsin2x ，
∵ 当 x∈(0,π2) 时， f'(x)sinx-f(x)cosx<0  ，
∴g'(x)<0
∴g(x)在(0,π2)上单调递减，
∵f(x)是定义在 (-π2,0)∪(0,π2) 的奇函数 ，
则g-x=f-xsin-x=fxsinx=gx ，
则g(x)是定义在 (-π2,0)∪(0,π2) 的偶函数 ，
∴g(x)在 (-π2,0)上单调递增，
①当x∈(0,π2) 时，sinx>0，
则f(x)<2f(π6)sinx可转化为 f(x)sinx ②当x∈(-π2,0) 时，sinx<0，
则f(x)<2f(π6)sinx可转化为 f(x)sinx>f(π6)π6 ， 即gx>gπ6 ， 则-π6 综上可得x∈ (-π6,0)∪(π6,π2)
故答案为：D
【分析】通过构造函数g(x)，再利用导数g'(x)研究函数g(x)的单调性，将 f(x)<2f(π6)sinx 等价转化为gx与gπ6的大小关系即可求解.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知 sin(π6+α)=23 ，则 cos(π3-α)=      .
【答案】23
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解： cos(π3-α)=cosπ2-π6+α=sinπ6+α=23
故答案为： 23
【分析】根据 诱导公式求解即可.
14.若 m>0 ， n>0 ，且函数 f(x)=8x3-mx2-2nx+3 在 x=1 处有极值，则 mn 的最大值等于      .
【答案】 36
【考点】利用导数研究函数的极值，基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：f'(x)=24x2-2mx-2n，
因为x = 1是极值点，故f'(1)=24-2m-2n=0，
所以m+n=12，又m，n >0，
所以mn≤m+n22=36 ， 当且仅当m=n=6 时取等号，
故mn的最大值为36.
故答案为：36
【分析】根据函数的极值，结合基本不等式的性质求解即可.
15.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4) .若 λ 为实数，且满足 (a+λb)//c ，则 λ=      .
【答案】12
【考点】平面向量的坐标运算，平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：∵ a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4) 
∴ a→+λb→=1,2+λ1,0=1+λ，2
又∵ (a+λb)//c 
∴4×(1+λ)-3×2=0
解得λ= 12 ,
故答案为： 12
【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示，结合两向量平行的坐标表示求解即可.
16.已知函数 f(x)=ex ，过点 (1,0) 作曲线 y=f(x) 的切线l ， 则直线l与曲线 y=f(x) 及y轴围成的图形的面积为      .
【答案】e2-1
【考点】导数的几何意义，定积分在求面积中的应用，直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：由f(x)=ex ， 得f'(x)=ex ， 设切点为(x0,ex0)，则f'(x0)=ex0 ，
则曲线y=f(x)在切点处的切线方程为y-ex0=ex0(x-x0)，
把(1，0)代入，可得x0=2，
则切线方程为:y-e2=e2x-2e2 ， 即y=e2x-e2
则直线与曲线y=f(x)及y轴围成的图形的面积为:
02ex-e2x-e2dx=ex-12e2x2-e2x|02=e2-1.
故答案为:e2-1.
【分析】根据导数的几何意义与直线的点斜式方程，结合定积分的计算公式求解即可.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.在 ΔABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 cosA=13 ．
（1）.求 cos(B+C) ；
（2）.若 a=2 ， SΔABC=2 ，求 b 的值．
【答案】 （1）解： ∵A+B+C=π ， ∴cos(B+C)=cos(π-A)=-cosA=-13
（2）解： ∴sinA>0 ， ∴sinA=1-cos2A=223 ；
∵S△ABC=12bcsinA=23bc=2 ， ∴bc=3 ；
由余弦定理得： a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-83bc=(b+c)2-8=4 ，
解得： b+c=23 ，
由 {b+c=23bc=3 得： b=c=3 ， ∴b=3 .
【考点】同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据诱导公式，结合三角形内角和性质求解即可；
（2）根据同角三角函数间的基本关系，与三角形面积公式，结合余弦定理，运用方程思想求解即可.
 
18.已知函数 f(x)=a⋅2x+12x-1 为奇函数.
（1）.求 a 的值；
（2）.求函数 f(x) 的值域.
【答案】 （1）解： ∵ 函数 f(x)=a⋅2x+12x-1 为奇函数，则 f(-x)=a⋅2-x+12-x-1=a2x+112x-1=2x+a1-2x ，
因为 f(-x)+f(x)=0 ，即 a⋅2x+12x-1-2x+a2x-1=0 ，
∴(a-1)(2x-1)=0 对任意的 x≠0 恒成立，故 a=1

（2）解： f(x)=2x+12x-1=2x-1+22x-1=1+22x-1 ，设 y=1+22x-1 ，可得 2x=y+1y-1 ，
由 2x=y+1y-1>0 ，解得 y<-1 或 y>1 .
因此，函数 f(x) 的值域为 (-∞,-1)∪(1,+∞)
【考点】函数的值域，函数奇偶性的性质，指数函数的定义、解析式、定义域和值域
【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）根据指数函数的性质，结合函数的值域求解即可.
19.已知 a=(1,cosx) ， b=(sinx,3) .
（1）.若 a⊥b ，求 sin2x+cos2x 的值；
（2）.设 f(x)=a→⋅b→ ，将函数 y=f(x) 的图象向右平移 π6 个单位长度得到曲线C ， 保持C上各点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的 12 倍得到 g(x) 的图象，且关于x的方程 g(x)-m=0 在 [0,π2] 上有解，求m的取值范围.
【答案】 （1）解：∵ a⊥b ，∴ a⋅b=0 ，即 sinx+3cosx=0 ， ∴tanx=-3
∴ sin2x+cos2x=2sinxcosx+cos2xsin2x+cos2x=2tanx+1tan2x+1=-23+14

（2）解： f(x)=a⋅b=sinx+3cosx=2sin(x+π3) ，
利用图像的变换可知 g(x)=2sin(2x+π6) ，
关于 x 的方程 g(x)-m=0 在 [0,π2] 上有解，即 m=2sin(2x+π6) 在 [0,π2] 上有解.
由于 x∈[0,π2] ， 2x+π6∈[π6,7π6] ，∴ 2sin(2x+π6)∈[-1,2] ，
故 m 的取值范围为 [-1,2] .
【考点】正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，同角三角函数基本关系的运用，正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，结合同角三角函数间的基本关系求解即可；
（2）根据向量数量积的坐标表示，结合三角函数图象的变换求得 g(x)=2sin(2x+π6)  ， 再根据方程的解的几何意义，运用数形结合思想，结合正弦函数的值域求解即可.
20.设函数 f(x)=x2-(a+2)x+alnx(a∈R) .
（1）.若 x=3 是 f(x) 的极值点，求 f(x) 的单调区间；
（2）.若 f(x)≥1 恒成立，求 a 的取值范围.
【答案】 （1）解： f'(x)=2x-(a+2)+ax=(2x-a)(x-1)x(x>0) ，
f'(3)=4-2a3=0,a=6 ，经检验符合条件
f'(x)=2(x-3)(x-1)x ，
令 f'(x)>0 ，有 03 ，令 f'(x)<0 ，有 1 所以 f(x) 的单调递增区间是 (0,1),(3,+∞) ，单调递减区间是 (1,3) .

（2）解：由题意 f(x)≥1⇔f(x)min≥1
当 a≤0 时，令 f'(x)>0 ，有 x>1 ，令 f'(x)<0 ，有 0 所以 f(x) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1,+∞) 上单调递增，
所以 f(x)min=f(1)=-a-1
∴-a-1≥1 ，即 a≤-2
当 a>0 时， f(1)=-a-1<0 不成立.
综上， a≤-2 .
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值，导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性与极值求解即可；
（2）根据化归思想，将不等式恒成立问题等价转化为求函数f(x)的最值问题，再结合分类讨论思想，利用导数研究函数的单调性与最值求解即可.
21.如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PA⊥ 平面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形， PA=AD=2 ， E,F 分别为 PD,PC 的中点．

（1）.求证： CD⊥ 平面 PAD ；
（2）.求直线AF与底面 ABCD 所成角的正弦值；
（3）.求平面 AEF 与底面 ABCD 所成的较小角的余弦值．
【答案】 （1）因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面 ABCD，则CD⊥PA,
又底面ABCD为正方形，则CD⊥AD，
因为AD∩PA=A，又AD、PA⊂平面PAD，
故CD⊥平面PAD；
（2）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，


则A(0,0,0)，E(0,1,1)，F(1,1,1)，所以AF→ =(1，1，1) ，

又平面ABCD的一个法向量为m→=(0，0，1) ，
设直线AF与底面 ABCD 所成角为α，
则sinα=cos=AF→·m→AF→·m→=13×1=33
所以 直线AF与底面 ABCD 所成角的正弦值为 33 ；
（3）由（2）知AE→=(0，1，1)，AF→ =(1，1，1) ，
设平面AEF的法向量为n→=(x，y，z) ，
则n→·AE→=0n→·AF→=0, 即 y+z=0x+y+z=0  ，
令y=1，则z=-1，故n→=(0，1，-1) ，
又平面ABCD的一个法向量为m→=(0，0，1) ，
则cos=n→·m→n→·m→=11+1×1=22
所以平面AEF与底面ABCD所成角的余弦值为  22 .
【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理求解即可；
（2）利用向量法直接求解即可；
（3）利用向量法直接求解即可.
22.已知函数f(x)=elnx-ax(a∈R)
（1）.讨论f(x)的单调性；
（2）.当a=e时，证明  xf(x)-ex+2ex≤0.
【答案】 （1）解：f′(x)＝ ex －a(x＞0)．
①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②若a>0，则当00，当x>ea 时，f′(x)<0，
故f(x)在(0， ea )上单调递增，在( ea ，＋∞)上单调递减．

（2）证明：因为x＞0，所以只需证f(x)≤ exx －2e，当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－e.
记g(x)＝ exx －2e(x＞0)，
则g′(x)＝ (x-1)exx2 ，
所以当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
所以g(x)min＝g(1)＝－e.
综上，当x＞0时，f(x)≤g(x)，
即f(x)≤ exx －2e，
即xf(x)－ex＋2ex≤0.
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）运用分类讨论思想，利用导数研究函数的单调性求解即可；
（2）根据化归思想，将原不等式恒成立问题等价转化为求f(x)max≤g(x)min ， 先根据f(x)的单调性易得f(x)max＝f(1)＝-e ，再利用导数g'(x)研究函数g(x)的单调性与最值，并求得g(x)min＝g(1)＝-e，从而即可求解.