2021-2022学年吉林省白城市镇赉县第一中学校高二下学期第一次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年吉林省白城市镇赉县第一中学校高二下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用切点和斜率求得切线方程.

【详解】由，有．

曲线在点处的切线方程为，整理为．

故选：A

2．一物体的运动方程是，则在这段时间内的平均速度是（    ）

A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2

【答案】B

【分析】由函数平均变化率的定义即可求得答案.

【详解】由题意，．

故选：B.

3．已知函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据基本初等函数求导公式，可得答案.

【详解】由题意，，

故选：A.

4．已知函数的导函数为，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求导，代入即可求解.

【详解】∵，∴，∴，解得：.

故选：C.

5．某班年元旦晚会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数有（    ）

A．种

B．种

C．种

D．种

【答案】D

【分析】先插入第一个节目，再插入第二个节目，再按照分步乘法计数原理计算.

【详解】将第一个新节目插入个节目排成的节目单中有种插入方法，

再将第二个新节目插入到刚排好的个节目排成的节目单中有种插入方法，

利用分步乘法计数原理，共有插入方法：（种）.

故选：D.

6．将封信投入个邮筒，不同的投法共有（    ）

A．种

B．种

C．种

D．种

【答案】D

【分析】每封信均有种不同的投法，再按照分步乘法计数原理计算.

【详解】每封信均有种不同的投法，∴依次把封信投完，共有种投法.

故选：D.

7．曲线在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（    ）

A． B．－ C． D．1

【答案】A

【分析】先利用导数的几何意义求出曲线在点(0，2)处的切线，然后再求出切线与直线y＝0和y＝x的交点坐标，从而可求出三角形的面积

【详解】∵y′＝(－2x)′e－2x＝－2e－2x，

∴k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2，

∴切线方程为y－2＝－2(x－0)，即y＝－2x＋2.

如图，由得交点坐标为(，)，

y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为(1，0)，

∴所求面积为S＝×1×＝.

故选：A

8．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，通过导函数研究其单调性，利用单调性解不等式.

【详解】构造函数，则，因为，所以恒成立，故单调递减，变形为，又，所以，所以，解得：，故答案为：.

故选：A

二、多选题

9．如图是函数y=f（x）的导数的图象，则下列判断正确的是（    ）

A．在（-3，1）内f（x）是增函数 B．在x=1时f（x）取得极大值

C．在（4，5）内f（x）是增函数 D．在x=2时f（x）取得极大值

【答案】CD

【分析】根据图形，利用单调性和极值的几何特征逐一判断即可.

【详解】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，在（﹣3，）上，， f（x）为减函数，A错误；

对于B，在（，2）上，，f（x）为增函数，

x＝1不是f（x）的极大值点，B错误；

对于C，在（4，5）上，，f（x）为增函数，C正确；

对于D，在（，2）上，，f（x）为增函数，

在（2，4）上，，f（x）为减函数，

则在x＝2时f（x）取得极大值，D正确；

故选：CD．

10．若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（    ）

A． B． C．0 D．3

【答案】AB

【分析】将问题转化为导函数有两个零点问题，由判别式可解.

【详解】当时，，显然不满足题意；

当时，，因为恰好有三个单调区间，所以有两个零点，即，解得，综上，的取值范围为.

故选：AB

11．已知函数，则（    ）

A．的极值点为 B．的极大值为

C．的最大值为 D．只有1个零点

【答案】BCD

【分析】利用导函数可得，进而可求函数的极值，可判断ABC，利用对数函数的性质可判断D.

【详解】∵函数，

∴，

由，得，由，得，

∴函数在上单调递增，在上单调递减，

∴是函数的极大值点，函数在上取得极大值，，且为函数的最大值，故Ａ错误，BC正确；

又因为，且当时，，当时，，故D正确.

故选：BCD.

12．关于函数f（x）＝＋ln x，则下列结论正确的是（　　）

A．x＝2是f（x）的极小值点

B．函数y＝f（x）－x有且只有1个零点

C．对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）＝f（x2），则x1＋x2＞4

D．存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立

【答案】ABC

【分析】利用导函数求解极值点，判断出A选项；利用导函数得到g（x）在（0，＋∞）上单调递减，又g（1）＝1＞0，g（2）＝ln 2－1＜0，有零点存在性定理判断B选项；构造差函数解决极值点偏移问题；D选项，问题转化为存在正实数k，使得恒成立，构造函数，利用二次求导得到其单调性，最终求得答案.

【详解】对于函数f（x）＝＋ln x，其定义域为（0，＋∞），由于，令可得x＝2，当0＜x＜2时，，当x＞2时，，可知x＝2是f（x）的极小值点，选项A正确；

设g（x）＝f（x）－x，则，可知g（x）在（0，＋∞）上单调递减，又g（1）＝1＞0，g（2）＝ln 2－1＜0，所以方程g（x）＝0有且仅有一个根，即函数y＝f（x）－x有且只有1个零点，选项B正确；

由x＝2是f（x）的极小值点，可知若f（x1）＝f（x2）时，x2＞2＞x1＞0，易知4－x1＞2，则f（4－x1）－f（x2）＝f（4－x1）－f（x1）＝，令，则t＞1，，则f（4－x1）－f（x2）＝＝F（t）（t＞1），，则F（t）在（1，＋∞）上单调递减，F（t）＜F（1）＝0，故f（4－x1）－f（x2）＜0，又f（x）在（2，＋∞）上单调递增，则4－x1＜x2，故x1＋x2＞4，选项C正确；

令f（x）＞kx得:，即.设，x∈（0，＋∞），

则，设H（x）＝x－xln x－4，x∈（0，＋∞），则，

因为，当0＜x＜1时，，当x＞1时，，

所以函数H（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以H（x）max＝H（1）＝1－0－4＝－3＜0，

则＜0恒成立，所以函数h（x）在（0，＋∞）上单调递减，

所以不可能存在正实数k，使得恒成立.故选D不正确.

故选：ABC.

【点睛】极值点偏移问题的一般处理方法是构造差函数，利用函数单调性及极值，最值求得结果.

三、填空题

13．已知是的极值点，则______．

【答案】1

【分析】利用导数与极值点的关系即得.

【详解】由题可得，由于是的极值点，

则，

故，经检验适合题意．

故答案为：1.

14．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是________．

【答案】

【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，则，即可得到不等式，解得即可；

【详解】解：因为，所以在上恒成立，即，解得，故实数的取值范围是．

故答案为：

15．若，则______.

【答案】4

【分析】根据题意和组合数的运算性质直接计算即可.

【详解】由题意知，

因为，

所以或，

解得(舍去)或.

故答案为：4

16．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】设由题可知，当时，可得适合题意，当时，可求函数的最小值即得，当时不合题意，即得.

【详解】设，由题可知，

∴，

当时，，适合题意，所以，

当时，令，则，

此时时，，单调递减，，，单调递增，

∴，又，

∴，

∴，即，

解得，

当时，时，，，故的值有正有负，不合题意；

综上，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，设由题可知，当时，利用导数可求函数的最小值，结合，可得，进而通过解，即得.

四、解答题

17．设点P是曲线上的任意一点，k是该曲线在点P处的切线的斜率．

(1)求k的取值范围；

(2)求当k取最大值时，该曲线在点P处的切线方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求导数再求最值即可求解答案；

（2）由（1）确定切点，从而也确定的斜率就可以求切线.

【详解】（1）设，因为，

所以，所以k的取值范围为．

（2）由（1）知，此时，即，所以此时曲线在点P处的切线方程为．

18．有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩.

（1）共有多少种不同的选法？

（2）如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？

（3）如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法.

【答案】（1）20；（2）12；（3）16

【分析】（1）根据6选3组和方式计算即可；

（2）先从物理和化学选1门，再从剩下4门中选2门，分步相乘即可；

（3）分为物理和化学恰有1门被选和物理和化学都被选两种情况求解.

【详解】（1）从6门成绩中选3门成绩共有种不同的选法；

（2）如果物理和化学恰有1门被选，则共有种不同的选法；

（3）如果物理和化学至少有1门被选，则共有种不同的选法.

19．已知函数，求函数的单调区间和极值点.

【答案】函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，函数的极大值点为，极小值点为.

【分析】由题可得，然后根据导数与函数单调性及极值的关系，列表即得.

【详解】因为，

所以，

令，可得或，

当变化时，的变化情况如下表，

所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，

函数的极大值点为，极小值点为.

20．某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的销量 (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为元/千克时，每日可售出该商品千克.

（1）求实数的值；

（2）若该商品的成本为元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值.

【答案】（1）（2）当销售价格为元/千克时，商场每日销售该商品所获的利润最大.最大值42

【分析】（1）由题意，当时，，代入函数式，运算即得解；

（2）先表示商场每日销售该商品所获得的利润为，求导研究单调性，即可得最大值

【详解】（1）∵时，，

由函数式，得，∴.

（2）由（1）知该商品每日的销售量，

∴商场每日销售该商品所获得的利润为

，，

，

令，得，

当时，，函数在上递增;

当时，，函数在上递减;

∴当时，函数取得最大值.

所以当销售价格为元/千克时，商场每日销售该商品所获的利润最大.

【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生实际应用，综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题

21．已知函数，.求在区间上的最小值.

【答案】详见解析.

【分析】由题可得，然后分类讨论利用导函数与函数单调性的关系结合条件即得.

【详解】因为函数，，

所以，

当时，，，函数在区间上单调递增，

所以在区间上的最小值为；

当时，令得：或，令得：，

所以在上单调递增，在上单调递减，

当，即时，在区间上单调递减，

所以在区间上的最小值为；

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

所以在区间上的最小值为；

综上，当时， 在区间上的最小值为；

当时，在区间上的最小值为；

当时，在区间上的最小值为.

22．已知函数．

(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的极小值；

(2)若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用求得，然后结合的单调性求得的极小值.

（2）将不等式转化为，通过构造函数法，结合导数来求得的取值范围.

【详解】（1）因为的定义域为，

所以．

由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－2，

得，解得a＝1．

此时．

当和时，；

当时，．

所以函数f(x)在和上单调递增，在上单调递减，

所以当x＝1时，函数f(x)取得极小值．

（2）由a＝1得．

因为对于任意，当时，恒成立，

所以对于任意，当时，恒成立，

所以函数在上单调递减．

令，，

所以在[1，2]上恒成立，

则在[1，2]上恒成立．

设，

则．

当时，，所以函数F(x)在上单调递减，

所以，

所以，故实数m的取值范围为．

【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑采用分离常数法，分离常数后，通过构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围.