2023年中考数学三轮冲刺 解答题冲刺练习九（含答案）

2023年中考数学三轮冲刺 解答题冲刺练习九

1.解不等式组：.

2.为了解家长对“学生在校带手机”现象的看法，某校“九年级兴趣小组”随机调查了该校学生家长若干名，并对调查结果进行整理，绘制如下不完整的统计图.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次接受调查的家长总人数为__________人.

（2）在扇形统计图中，求“很赞同”所对应的扇形圆心角的度数；

（3）若在这次接受调查的家长中，随机抽出一名家长，恰好抽到“无所谓”的家长概率是多少？

3.A，B两地相距18 km，甲工程队要在A，B两地间铺设一条送天然气管道，乙工程队要在A，B两地间铺设一条输油管道.已知乙工程队的工作效率是甲队的1.5倍，甲队提前3 周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两队每周各铺设多少千米管道？

4.如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A(m，﹣2)．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；

(3)若双曲线上点C(2，n)沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．

5.在正方形ABCD中，点E在CD边上，AE的垂直平分线分别交AD、CB于F、G两点，垂足为点H．

(1)如图1，求证：AE＝FG；

(2)如图2，若AB＝9，DE＝3，求HG的长．

6.如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米(结果保留根号)？

7.如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E.

（1）求证：直线EF是⊙O的切线；

（2）求cos∠E的值.

8.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且A，B两点的坐标分别是A(﹣2，0)，B(8，0)．点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作直线l⊥x轴，交直线AC于点G，交直线BC于点H．

(1)求抛物线的函数表达式及点C的坐标．

(2)如果点D是抛物线的顶点，点P在点C和点D之间运动时，试判断在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△NGH是等腰直角三角形，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)试探究在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

0.答案

1.解：﹣1≤x＜3.

2.解：（1）这次接受调查的家长总人数为200人，故答案为：200；

（2）∵ “无所谓”的人数为40人，

“很赞同”的人数为20人，

则“很赞同”所对应的扇形圆心角的度数为36°；

（3）∵在所抽取的200人中，表示“无所谓”的人数为40，

恰好抽到“无所谓”的家长概率是0.2.

3.解：设甲工程队每周铺设管道x km，则乙工程队每周铺设管道1.5x km，

根据题意，得﹣＝3，

解得x＝2，

经检验：x＝2是原方程的解，

则乙工程队每周铺设管道1.5×2＝3(km)，

答：甲工程队每周铺设管道2千米，乙工程队每周铺设管道3千米.

4.解：(1)设反比例函数的解析式为y=(k＞0)，

∵A(m，﹣2)在y=2x上，∴﹣2=2m，∴m=﹣1，∴A(﹣1，﹣2)，

又∵点A在y=上，∴k=2，

∴反比例函数的解析式为y=；

(2)观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1；

(3)四边形OABC是菱形．

证明：∵A(﹣1，﹣2)，∴OA=，由题意知：CB∥OA且CB=，

∴CB=OA，∴四边形OABC是平行四边形，

∵C(2，n)在y=上，∴n=1，∴C(2，1)，

OC=，∴OC=OA，

∴四边形OABC是菱形．

5.证明：(1)过D点作DN∥FG交BC于点N，交AE于点M

在正方形ABCD中，

AD∥BC，AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°，

则四边形FGND是平行四边形，

∴DN＝FG，

∵FG垂直平分AE，

∴∠FHA＝90°

∵DN∥FG，

∴∠DMA＝∠FHA＝90°，

∴∠NDE＋∠AED＝90°，

又∵∠DAE＋∠AED＝90°，

∴∠NDE＝∠DAE，

在△DNC和△AED中，

，

∴△DNC≌△AED(ASA)，

∴DN＝AE，

∴AE＝FG；

(2)解：在正方形ABCD中，∠D＝90°，AD＝9，DE＝3

在Rt△ADE中，AE＝3，tan∠DAE＝＝，

∴在Rt△AHF中，tan∠FAH＝＝，

点H为AE中点，AH＝HE＝AE＝，

∴FH＝AH＝，

∴HG＝FG﹣FH＝3﹣＝．

如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．

(1)求证：△AHF为等腰直角三角形．

(2)若AB＝3，EC＝5，求EM的长．

证明：(1)∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形

∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90°

∵AD∥BC，AH∥DG

∴四边形AHGD是平行四边形

∴AH＝DG，AD＝HG＝CD

∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG

∴△DCG≌△HGF(SAS)

∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD

∴AH＝HF，

∵∠HGD＋∠DGF＝90°

∴∠HFG＋∠DGF＝90°

∴DG⊥HF，且AH∥DG

∴AH⊥HF，且AH＝HF

∴△AHF为等腰直角三角形．

(2)∵AB＝3，EC＝5，

∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝5

∵AD∥EF

∴＝，且DE＝2

∴EM＝.

6.解：如图，延长OC，AB交于点P.

∵∠ABC=120°，

∴∠PBC=60°，

∵∠OCB=∠A=90°，

∴∠P=30°，

∵AD=20米，

∴OA=AD=10米，

∵BC=2米，

∴在Rt△CPB中，PC=BC•tan60°=2米，PB=2BC=4米，

∵∠P=∠P，∠PCB=∠A=90°，

∴△PCB∽△PAO，

∴，

∴PA===10米，

∴AB=PA﹣PB=(10﹣4)米.

答：路灯的灯柱AB高应该设计为(10﹣4)米.

7.解：（1）证明：连结OD、CD，∵BC是直径，∴CD⊥AB，

∵AC=BC，∴D是AB的中点，又O为CB的中点，∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；

（2）连结BG，∵BC为直径，∴∠BGC=90°，

在Rt△BCD中，CD=8，∵AB·CD=2S△ABC=AC·BG，∴BG=9.6

在Rt△BCG中，CG=2.8，∵BG⊥AC，DF⊥AC，∴BG∥EF，

∴∠E=∠CBG，∴cos∠E=cos∠CBG=0.96.

8.解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(﹣2，0)，B(8，0)，

∴，解得：，

∴y＝x2﹣x﹣2，

当x＝0时，y＝﹣2，∴C(0，﹣2)；

(2)存在．理由如下：

∵y＝x2﹣x﹣2＝(x﹣3)2﹣，

∴抛物线顶点D(3，﹣)，

设直线AC的解析式为y＝kx＋d，

则，解得：，

∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣2，

设直线BC的解析式为y＝k′x＋d′，

则，解得：，

∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，

∵点P在点C和点D之间抛物线上运动，

∴P(m，m2﹣m﹣2)，且0≤m≤3，

∴G(m，﹣m﹣2)，H(m，m﹣2)，

∴GH＝m﹣2﹣(﹣m﹣2)＝m，

∵点N在对称轴上，∴N(3，n)，

如图1，①当∠GHN＝90°，GH＝HN时，△NGH是等腰直角三角形，

∴，解得：，

∴N(3，﹣)；

②当∠HGN＝90°，GH＝GN时，△NGH是等腰直角三角形，

∴，解得：，

∴N(3，﹣)；

③当∠GNH＝90°，GN＝HN时，△NGH是等腰直角三角形，

∴，解得：，

∴N(3，﹣)；

综上所述，点N的坐标为(3，﹣)或(3，﹣)或(3，﹣)；

(3)存在点Q，使以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，

设P(m，m2﹣m﹣2)，Q(3，t)，又B(8，0)，C(0，﹣2)，

①当BP为平行四边形的对角线时，如图2，

由中点公式可得：＝，

解得：m＝﹣5，

∵当m＝﹣5时，m2﹣m﹣2＝×(﹣5)2﹣×(﹣5)﹣2＝，

∴P(﹣5，)；

②当CP为平行四边形的对角线时，

由中点公式可得：＝，解得：m＝11，

当m＝11时，m2﹣m﹣2＝×112﹣×11﹣2＝，

∴P(11，)；

③当QP为平行四边形的对角线时，

由中点公式可得：＝，解得：m＝5，

当m＝5时，m2﹣m﹣2＝×52﹣×5﹣2＝﹣，

∴P(5，﹣)；

综上所述，当点P的坐标为(﹣5，)或(11，)或(5，﹣)时，以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形．