人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形课时作业

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第6讲 等腰三角形

知识点1 等腰三角形的相关概念---分类讨论求边角的值
1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.
2.直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
【典例】
1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求此三角形的底角.
【解析】解：①如下图，当高在三角形内部时，，
∴∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，

②如下图，当高在三角形外部时，，
则∠BAD=30°，
∴∠BAC=150°，
∴∠ABC=∠ACB=15°，
所以此三角形的底角等于75°或15°．

【方法总结】
本题考查了等腰三角形的性质，以及含特殊角的直角三角形，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系（三角形内部，三角形的外部，三角形的边上），解题时注意需要分类讨论．

2.如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，求这个等腰三角形的腰长.
【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，
当底边长为x﹣12时，
根据题意，得2x+x﹣12=27，
解得x=13，
∴腰长为13，
此时底边长为13-12=1，
满足三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
当底边长为x+12时，
根据题意，得2x+x+12=27，
解得x=5，
此时底边长为5+12=17，
因为5+5＜17，所以构不成三角形，
故这个等腰三角形的腰的长为13.
【方法总结】
已知等腰三角形的周长和两边之差来求等腰三角形的底或腰时，我们需要分类讨论，分为两种情况：一种是“腰-底=某个值”，第二种是“底-腰=某个值”，可将底或腰设为未知数，再根据等腰三角形的周长列出方程，求出三边以后根据三角形的三边关系进行验证，选择合理的数值.
【随堂练习】
1．（2017秋•洛阳期末）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为_____．
【解答】解：在△ABC中，设∠A=x，∠B=x+30°，分情况讨论：
当∠A=∠C为底角时，2x+（x+30°）=180°，解得x=50°，顶角∠B=80°；
当∠B=∠C为底角时，2（x+30）+x=180°，解得x=40°，顶角∠A=40°．
故这个等腰三角形的顶角的度数为80°或40°．
故答案为：80°或40°．
　
2．（2017秋•襄州区期末）在等腰△ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则该等腰三角形的底边长为______．
【解答】解：根据题意，
①当15是腰长与腰长一半时，AC+AC=15，解得AC=10，
所以底边长=12﹣×10=7；
②当12是腰长与腰长一半时，AC+AC=12，解得AC=8，
所以底边长=15﹣×8=11．
所以底边长等于7或11．
故答案为：7或11．
　
3．（2017秋•枣阳市期末）一个等腰三角形的周长为20，一条边的长为6，则其两腰之和为______．
【解答】解：①底边长为6，则腰长为：（20﹣6）÷2=7，所以另两边的长为7，7，能构成三角形，7+7=14；
②腰长为6，则底边长为：20﹣6×2=8，能构成三角形，6+6=12．
故答案为：12或14
　
4．（2017秋•诸暨市期末）已知等腰三角形的周长为8，其中一边长为2，则该等腰三角形的腰长为_____．
【解答】解：①2是腰长时，底边为：8﹣2×2=4，
三角形的三边长分别为2、2、4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形，
②2是底边长时，腰长为：×（8﹣2）=3，
三角形的三边长分别3、3、2，
能组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的腰长是3．
故答案为：3．
　
5．（2018春•李沧区期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则其顶角度数为_______°．
【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+48°=138°；
②如图1，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣48°=42°．
故答案为：42或138．

　
6．（2018春•邗江区期中）已知等腰三角形的一条边等于4，另一条边等于9，那么这个三角形的第三边是_____．
【解答】解：当4为底时，其它两边都为9，4、9、9可以构成三角形；
当4为腰时，其它两边为4和9，因为4+4=8＜9，所以不能构成三角形．
故答案为：9．
　
知识点2 等腰三角形的性质---边角关系
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”），
即在△ABC，AB=AC，可得∠B=∠C.
【典例】
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的大小.

【解析】解：设∠ACE=，∠ECD=，∠DCB=，
∵BC=BE，
∴∠CED=∠ECB=，
∵AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD=，
在△CDB中，∠B= ，
在△ACE中，∠A=，

在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，即=90°，
∴2=90°，
解得=45°．
于是∠DCE=45°．
【方法总结】
本题考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是建立起各角之间的关系，结合图形列出方程进行解答．
2.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40，24，求AB的长.

【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∴△ABC的周长﹣△EBC的周长
=（AB+AC+BC）-（AC+BC）
=AB，
∴AB=40﹣24=16．
【方法总结】
本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线上的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出相等的线段，把三角形的周长表示出来，再利用相等的线段进行转化求解.
【随堂练习】
1．（2017春•成华区期末）如图△ABC中，AB=AC，点E、D、F分别是边AB、BC、AC边上的点，且BE=CD，CF=BD．若∠EDF=50°，则∠A的度数为_____．

【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDE与△CEF中
，
∴△BDE≌△CFE．
∴∠BDE=∠CFD，
∵∠EDF=50°，
∴∠BDE+∠CDF=∠CDF+∠CFD=130°，
∴∠C=50°
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=50°，
∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，
故答案为：80°．

　
2．（2017秋•浦东新区校级期末）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE，求∠EDC的度数．

【解答】解：设∠EDC=x，∠B=∠C=y，
∠AED=∠EDC+∠C=x+y，
又因为AD=AE，
所以∠ADE=∠AED=x+y，
则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，
又因为∠ADC=∠B+∠BAD，
所以2x+y=y+30，
解得x=15．
所以∠EDC的度数是15°．
　
知识点3 等腰三角形的性质---三线合一
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，

①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,
上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.
即①②，③；②①，③；③①，②.
【典例】
1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．
求证：BE⊥AC．

【解析】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD+∠C=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，
∴∠CBE+∠C=90°，
∴∠BEC=90°，
即BE⊥AC．
【方法总结】
本题主要是利用等腰三角形的三线合一，根据三线合一的性质可知，等腰三角形底边上的中线也是底边的高线.
注：等腰三角形常作的辅助线是，过顶角的顶点向底边作垂线，再利用三线合一得到一些相等的关系式，当题目中给出等腰三角形底边上的中点时，常常将等腰三角形的顶角顶点和它直接相连.
【随堂练习】
1．（2019•雁塔区校级模拟）如图，在中，，平分，为上一点，且．若，则为　　

A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
，
平分，
，
，
，
，
故选：．
2．（2019春•雅安期末）在中，，的中垂线交，于点，，的周长是8，，则的周长是　　

A．10 B．11 C．12 D．13
【解答】解：，，
，
的中垂线交，于点，，
，
的周长是8，
，
，
，
，
，
的周长为，
故选：．
3．（2019春•历下区期末）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是　　
A．或或 B．或
C．或 D．
【解答】解：设另一个角是，表示出一个角是，
①是顶角，是底角时，，
解得，
所以，顶角是；
②是底角，是顶角时，，
解得，
所以，顶角是；
③与都是底角时，，
解得，
所以，顶角是；
综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或．
故选：．
4．（2019•山西）如图，在中，，，直线，顶点在直线上，直线交于点，交与点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
【解答】解：，且，
，
在中，，
，
，
，
，
故选：．
5．（2019•丰南区二模）已知：如图，在中，，，．以点为圆心，为半径画弧，交于点，则线段的长为　　

A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
，
以点为圆心，为半径画弧，交于点，
，
，
，
，
，
；
故选：．
6．（2019•台湾）如图，中，．若、分别为、的外角，则下列角度关系何者正确　　

A． B． C． D．
【解答】解：，
，
、分别为、的外角，
，
，
故选：．
7．（2019•河北区二模）规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作，若，则该等腰三角形的顶角为　　
A． B． C． D．
【解答】解：
中，，
，
等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作，若，
，
即，
，
故选：．
8．（2019春•永寿县期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，，且，则的度数是　　

A． B． C． D．
【解答】解：垂直平分线段，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．

知识点4 等腰三角形的判定与性质
1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.
2.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
3. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
【典例】
1.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有_______ 个．

【答案】9
【解析】解：①以AB作为等腰三角形的底边，则符合条件的C一定在线段AB的垂直平分线上，且处于格点上，图中红线上的点，共5个；
②以AB作为等腰三角形的一个腰，
当点A是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在紫色线上，共有2个，
当点B是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在蓝色线上，共有2个，
综合①②可知，符合条件的点C共有9个.


故答案是：9.
【方法总结】
本题考查的等腰三角形的判定，利用的是数形结合思想，当已知两个格点找寻第三个格点时，需要分类讨论，将这条边作为底和作为腰时可以构建的等腰三角形的个数之和，即为所求的点的个数.
2.如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=_____________s时，△POQ是等腰三角形．

【答案】或10
【解析】解：当PO=QO时，△POQ是等腰三角形；
如图1所示：当P点在O的左侧时，

∵PO=AO﹣AP=10﹣2t，OQ=1t
∴当PO=QO时，
10﹣2t=t
解得t=；
即当t=时，△POQ是等腰三角形；
如图2所示：当P点在O的右侧，△POQ是等腰三角形 ，
∵∠BOC=60° ，
∴△POQ是等边三角形，
∴ PO=QO=PQ


∵PO=AP﹣AO=2t﹣10，OQ=1t；
∴2t﹣10=t；
解得t=10；
故答案为：或10．
【方法总结】
本题主要考查了等腰三角形的性质，由等腰三角形的两个腰相等得出方程是解决问题的关键，注意本题分类讨论时，由于∠POQ=60°，可得出△POQ是等边三角形，再根据PO=QO进行求解．
3.如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE=CE．
（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．

【解析】证明：（1）∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD=∠ECD．
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD，
∴∠EDC=∠ECD，
∴DE=CE．
（2）解：∵∠ECD=∠EDC=35°，
∴∠ACB=2∠ECD=70°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．

【方法总结】
本题主要考查的是 “平行+角分线” 模型，在之后学习菱形证明题时也会用到，需记牢.
模型如下：如图所示，①∠1=∠2；②AC∥BD;③AB=AC（△ABC是等腰三角形）

上述条件任意两个成立则第三个也成立.
即①②③；①③②；②③①.
【随堂练习】
1．（2019春•宝安区期末）如图，在中，的平分线交于点，，过点作交于点，若的周长为16，则边的长为　　

A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：平分，
，
，
，
，
，
的周长为16，
，
，
，
故选：．
2．（2019春•巴南区期中）如图，点在线段上，点在的延长线上，，平分，平分，若，则下列结论中不正确的是　　

A． B． C． D．平分
【解答】解：，
，，，
平分，平分，
，，
，
，，
，
，
平分，正确；
，
，正确；
，正确；
，故正确；
故选：．
3．（2019春•即墨区期末）如图，，、分别是的角平分线，，，下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有　　个

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：．
，
，

、分别是的角平分线，


故④正确．
，


故①正确．
，
，
，

，
故③正确．
故选：．
4．（2019•三亚模拟）如图，在中，，，点是上一点，，，则与的周长的和为　　

A．34 B．32 C．22 D．20
【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
又，
，
，
，
，
与的周长的和的周长，
故选：．
5．（2019•许昌一模）如图，在中，，点在上，，若，则的度数为　　

A． B．75 C． D．
【解答】解：，
，
，
，
．
故选：．
6．（2019春•临渭区校级月考）如图，在中，平分，点在的延长线上，平分，且交于，若，则等于　　

A．75 B．100 C．120 D．125
【解答】解：平分，平分，
，，即，
为直角三角形，
又，平分，平分，
，，
，，
由勾股定理可知．
故选：．
7．（2019春•通川区期末）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为　　

A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：为的平分线，为的平分线，
，，
，
，，
，，
，，
，
，，
周长为，
故选：．
8．（2019春•洪山区期末）如图，已知平分，于，，，那么的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：平分





．
故选：．
9．（2018秋•梁子湖区期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论．
①②③点到各边的距离相等 ④设，，则，正确的结论有　　个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故②正确；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故①正确；
过点作于，作于，连接，

在中，和的平分线相交于点，
，
；故④正确；
在中，和的平分线相交于点，
点到各边的距离相等，故③正确．
故选：．

综合运用
1. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有________个.

【答案】2
【解析】解：如上图：分情况讨论．

①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．
因为S△ABC=1.5，
所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．
故答案为：2．
2.如图，C是△ABE的BE边上一点，F在AE上，D是BC的中点，且AB=AC=CE，下列结论：
①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1=∠2；④AB+BD=DE
其中正确的结论有_________．

【答案】①④
【解析】解：①∵D是BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，故①正确；
②∵虽然AC=CE，F在AE上，但F点不一定是AE的中点，
∴无法证明CF⊥AE，故②错误；
③由②可知，CF不一定垂直于AE，则无法证明∠1=∠2，故③错误；
④∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵AB=CE，
∴AB+BD=CE+DC=DE，故④正确．
故其中正确的结论有①④．
故答案为：①④．
3.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE=AF，求证：DE=DF．

【解析】证明：连接AD，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠EAD=∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED△AFD（SAS），
∴DE=DF．


4.如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．
（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；
（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．

【解析】解：（1）∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED=90°，
∵∠D=20°，
∴∠CAD=90°-∠D =90°-20°=70°，
∵AD∥BC，
∴∠C=∠CAD=70°，
∵∠BAC=70°，
∴∠BAC=∠C，∠B=180°-∠BAC- ∠C =40°，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形.
（2）∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，
∴BD⊥AC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴DB是∠ABC的平分线．
5.已知等腰三角形△ABC，AB=AC，一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．

【解析】解：如图，在△ABC中，AB=AC，且AD=BD．设AB=AC=x，BC=y，

（1）当AC+AD=15，BD+BC=12时，
根据题意得，，，
解得x=10，y=7．
（2）当AC+AD=12，BC+BD=15时，
根据题意得，，，
解得x=8，y=11，
故得这个三角形的三边长分别为10，10，7或8，8，11．
6.如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=16，求△ODE的周长.

【解析】解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠DBO，
又OD∥AB，
∴∠ABO=∠DOB，
∴∠DBO=∠DOB，
∴OD=BD，
同理OE=CE，
∵BC=16，
则△ODE的周长为： OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=16．