数学八年级上册17.3 勾股定理教学ppt课件

教学目标

1.理解并掌握勾股定理的逆定理.

2.体会勾股定理逆定理的探究和证明过程.

3.能够运用勾股定理的逆定理解决实际问题.

教学重难点

重点：理解并掌握勾股定理的逆定理.

难点：能够运用勾股定理的逆定理解决实际问题.

教学过程

旧知回顾

1.回顾勾股定理：

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么.

2.回顾三角形的判定方法：

（1）SAS；

（2）AAS或ASA；

（3）SSS.

导入新课                           

生活故事引入“勾股定理的逆定理”：——古埃及人画直角.

古埃及人用如图的方法画直角：

把一根长绳上打13个等距的结,然后以3

个结间距，4个结间距，5个结间距的长度

为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一

个角便是直角.

我们不得不佩服古代人的聪明，现代的你

知道其中的道理吗？

本节课我们就来解决这个问题.

探究新知                         

一、勾股定理逆定理的探究

 已知：如图（1）所示,在△ABC中,AB＝c,BC＝a,CA＝b,且a2+b2＝c2.

求证：∠C＝90°.

教师引导学生分析：由边的关系很难证明∠C＝90°,就是要构建一个与△ABC全等的直角三角形,作△A′B′C′,使∠C′＝90°,B′C′＝a,C′A′＝b,证∠C＝∠C′＝90°.

证明：如图(2)所示,作△A′B′C′,使∠C′＝90°,B′C′＝a,C′A′＝b,由勾股定理,可得A′B′2＝a2+b2.

∵ a2+b2＝c2,

∴ A′B′2＝c2,即A′B′＝c.

在△ABC和△A′B′C′中,

∵ BC＝B′C′＝a,AC＝A′C′＝b,AB＝A′B′＝c,

∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS),

∴ ∠C＝∠C′＝90°(全等三角形的对应角相等).

展示学生的证明过程,全班点评、交流.

教师强调：刚才我们证明的结论是真命题.即如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2＝c2,那么这个三角形是直角三角形,这是勾股定理的逆定理.

想一想：勾股定理和其逆定理有什么区别?两者应用的条件分别是什么?

小组讨论区别,选派代表发言.

勾股定理与其逆定理的关系：勾股定理是已知直角三角形,得到三边长的关系,它是直角三角形的重要性质之一；而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直角三角形,这是直角三角形的判定,也是判断两直线是否垂直的方法之一.二者的条件和结论刚好相反.

点睛： 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.

这样我们就能解决问题情境中的问题了：围成的三角形的三边长分别为3,4,5,满足下面的关系“32+42＝52”,那么围成的三角形是直角三角形.

同时,我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理.直至科技发达的今天——人类已跨入21世纪,建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”.

二、例题讲解

 例1   判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形?

   (1) a＝15，b＝8，c＝17；    (2) a＝13，b＝14，c＝15.

教师引导，学生分析：先找每组数据中的最长边，验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方.

 解： (1)最长边为17，

∴ 以15, 8, 17为边长的三角形是直角三角形.

 (2)最长边为15，

∴ 以13, 14, 15为边长的三角形不是直角三角形.

例2  如图，是一个机器零件的示意图，∠ACD＝90°是这种零件合格的一项指标，现测得AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°.根据这些条件，能否知道∠ACD＝90°？ 

小组合作探索,互相交换意见,选一名代表板演过程,其余学生在练习本上完成解题过程.

解：在△ABC中,

∵ ∠ABC＝90°,

∴ AC2＝AB2+BC2(勾股定理).

∵ AB＝4,BC＝3,

∴ AC2＝32+42＝52,∴ AC＝5.

在△ACD中,

∵ AC＝5,CD＝12,AD＝13,

∴ AC2+CD2＝52+122＝169,AD2＝132＝169.

∴ AC2+CD2＝AD2,

∴ ∠ACD＝90°(勾股定理的逆定理).

∴ 根据这些条件,能知道∠ACD＝90°.

练一练：1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且  ，则(　　)

 A.∠A为直角  　　　　B.∠B为直角

 C.∠C为直角  　　　　D.△ABC不是直角三角形

学生分析：，即，∴ ∠A为直角，故选A.

2.将一个直角三角形的三边扩大3倍，得到的三角形是(    )

A.直角三角形          B.锐角三角形

C.钝角三角形          D.不能确定

学生分析：直角三角形的各边扩大3倍后仍满足勾股定理，所以直角三角形的三边扩大3倍后仍然是直角三角形.故选A.

3.如图，在△ABC中，AB＝17，BC＝16，BC边上的中线AD＝15，试说明：AB＝AC.

解：∵BC＝16，AD是BC边上的中线，

∴.

∵在△ABD中，，

∴ △ABD是直角三角形，即∠ADB＝90°．

∴ △ADC是直角三角形.

在Rt△ADC中，，

∴ AB＝AC.

三、勾股数

下面这几组数都满足吗？

 (1)a＝3,b＝4,c＝5； 

 (2)a＝5,b＝12,c＝13；

 (3)a＝7,b＝24,c＝25；

 (4)a＝9,b＝40,c＝41；   

(5)a＝11,b＝60,c＝61.

学生动手计算：可知这几组数据都满足.

定义：能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数.

以下这些数都是常见的勾股数：

3，4，5；6，8，10；5，12，13；8，15，17.

课堂练习

1.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是(       )

A.1,2,3          B.2,3,4          C.4,5,3         D.1,2,3

2.在△ABC中，AB＝12 cm，AC＝9 cm，BC＝15 cm,则S△ABC等于(       )

A.54 cm2         B.108 cm2         C.180 cm2         D.90 cm2

3.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.

4.一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示,这个零件符合要求吗?

图1                            图2

参考答案

1.C　2.A

3.解：由题意可知△ABE，△DEF， △FCB均为直角三角形.

由勾股定理，知

∴ △BEF是直角三角形.

共4个直角三角形.

4.解：在△ABD中，       

，

所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角.

在△BCD中，，

所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.

因此，这个零件符合要求.

课堂小结

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2＝c2,那么这个三角形是直角三角形.它是判断一个三角形是不是直角三角形的重要方法.

2.勾股定理与其逆定理的联系与区别

联系：①两者都与三角形三边关系a2+b2＝c2有关；②两者都与直角三角形有关.

区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形三边的数量关系,即a2+b2＝c2；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2＝c2”为条件,进而得到这个三角形是直角三角形,是判断一个三角形是不是直角三角形的有效方法.

布置作业

完成教材157页习题A组、B组.

板书设计

17.3 勾股定理

第3课时  勾股定理的逆定理

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