北师大版七年级下册2 幂的乘方与积的乘方习题

第1讲  幂的运算

知识点1 同底数幂的乘法

1．同底数幂的乘法

（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

（m，n是正整数）

（2）推广：（m，n，p都是正整数）

在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如与，与，与等；②可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．

（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．

【典例】

例1（2020秋•洮北区期末）如果10m＝12，10n＝3，那么10m+n＝______．

【方法总结】

本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答本题的关键．

例2（2020秋•南岗区校级月考）若a4•a2m﹣1＝a9，则m＝______．

【方法总结】

此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

【随堂练习】

1．（2020秋•长春期末）若a•2•23＝28，则a等于（　　）

A．4 B．8 C．16 D．32

2．（2020秋•湖里区校级期中）若3m+1＝243，则3m+2的值为（　　）

A．243 B．245 C．729 D．2187

3．（2020春•城关区校级月考）已知ax＝3，ay＝9，则ax+y＝（　　）

A．12 B．27 C．3 D．6

知识点2 幂的乘方与与积的乘方

1．幂的乘方

（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．

（am）n=amn（m，n是正整数）

注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．

2．积的乘方

（1）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

（ab）n=an•bn（n是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．

【典例】

例1（2020秋•鞍山期末）（）2020•（1.5）2021＝______．

【方法总结】

本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

例2 （2020秋•原州区期末）若xm＝3，xn＝2，则x2m+3n＝______.

【方法总结】

此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算等知识，正确把握相关定义是解题关键．

例3 （2020秋•官渡区校级月考）当3m+2n＝8时，求8m×4n的值．

【方法总结】

本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，能正确根据知识点进行计算是解此题的关键，注意：（am）n＝amn，am•an＝am+n．

【随堂练习】

1．（2020秋•连山区期末）计算：﹣32021×（）2020＝______．

2．（2020秋•雁江区期末）若3a•3b＝27，（3a）b＝3，则a2+b2＝______．

3．（2020秋•同安区期中）计算：（2x2）3﹣x4•x2．

知识点3 同底数幂的除法

1．同底数幂的除法

同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．

am÷an=a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）

①底数a≠0，因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；

③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．

2．零指数幂

零指数幂：a0=1（a≠0）

由am÷am=1，am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）

注意：00无意义．

3．负整数指数幂

负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数）

注意：①a≠0；

②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误．

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．

用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 

【典例】

例1（2020秋•乌海期末）如果10x＝7，10y＝21，那么102x﹣y＝______．

【方法总结】

本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

例2（2020秋•西宁期末）计算（a3）2÷a7＝______．

【方法总结】

本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

例3（2020秋•南岗区期末）计算（﹣3）0﹣2﹣3的结果是（　　）

A． B． C．6 D．7

【方法总结】

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

例4（2020秋•覃塘区期中）下列运算正确的是（　　）

A． B． C． D．（﹣2）﹣3＝6

【方法总结】

此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．

例5（2020秋•中山市期末）在人体血液中，红细胞的直径为0.00077cm，数0.00077用科学记数法表示为（　　）

A．7.7×10﹣4 B．0.77×10﹣5 C．7.7×10﹣5 D．77×10﹣3

【方法总结】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

例6（2020春•沙坪坝区校级月考）24÷（）﹣2×22．

【方法总结】

此题主要考查了负整数指数幂的性质以及有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•长葛市期末）2019新型冠状病毒（2019﹣nCoV），2020年1月12日被世命名，科学家借助比光学显微镜更加厉害的电子显微镜发现新型冠状病毒的大小约为0.000000125米．则数据0.000000125用科学记数法表示正确的是（　　）

A．1.25×107 B．1.25×10﹣7 C．1.25×108 D．1.25×10﹣8

2．（2020秋•甘井子区期末）世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼”，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为0.00519秒．数据0.00519用科学记数法可以表示为（　　）

A．5.19×10﹣3 B．5.19×10﹣4 C．5.19×10﹣5 D．5.19×10﹣6

3．（2020秋•浦东新区期末）若am＝6，an＝4，则a2m﹣n＝______．

4．（2020秋•路北区期末）若xa＝4，xb＝3，xc＝8，则x2a+b﹣c的值为______．

5．（2020春•江宁区月考）在，，中，最大的数是（　　）

A． B． C． D．无法确定

6．（2020春•江宁区月考）已知，下列结论正确的是（　　）

A．﹣2n+4m＝2 B．﹣n﹣3＝﹣2n C．n+2m＝3 D．2m＝3n

     综合运用

1．（2020秋•路南区期中）若2m•2n＝32，则m+n的值为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

2．（2020春•兴化市期中）计算：．

3．（2020春•太仓市期中）已知a6＝2b＝84，且a＜0，求|a﹣b|的值．

4．（2020•硚口区模拟）计算：a2a4﹣a8÷a2+（3a3）2．

5．（2020•武昌区模拟）计算：（﹣2x2）2+x3•x﹣x5÷x

6．（2020春•龙泉驿区期中）（1）已知am＝2，an＝3．求am+n的值；

（2）已知n为正整数，且x2n＝7．求7（x3n）2﹣3（x2）2n的值．

7．（2020春•潍坊期中）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．

（1）计算下列各对数的值：log24＝______；log216＝______；log264＝______．

（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；

（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

（4）根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义说明上述结论．