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2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题08 最短路径及最值问题
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这是一份2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题08 最短路径及最值问题，共105页。
【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题8最短路径及最值问题
经典例题
【例1】如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，．
（1）如图①，，，．求证：；
（2）如图②，，当周长最小时，求的度数；
（3）如图③，若四边形为正方形，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度．
【例2】如图，等边的边长为6，点，分别是边，的中点，连接．
（1）如图①，求点到线段的最短距离；
（2）点，分别是，上的动点，连接、．
①如图②，当的长度取得最小值时，求的长度；
②如图③，点在上，若，连接，求的最小值．
【例3】如图，在中，，，，是的外接圆，是延长线上一点，且，连接，点是射线上的动点
（1）求证：是的切线；
（2）的长度为多少时，的度数最大，最大度数是多少？请说明理由；
（3）点运动的过程中，的值能否达到最小，若能，求出这个最小值；若不能，请说明理由．
【例4】在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；
（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；
(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
【例5】已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD＝16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向AB、AD作垂线段，垂足分别为E、F．
（1）如图1，求证：△PBE∽△PDE；
（2）连接PC，当PE+PF+PC取最小值时，求线段BP的长；
（3）如图2，对角线BD、AC交于点O，作以PO为半径，点P为圆心（PO＞0）的⊙P，试求
①⊙P与线段BC有一个公共点，线段BP长度的取值范围；
②⊙P与线段BC有两个公共点时，线段BP长度的取值范围．
【例6】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+233x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y=-33x+3．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；
（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
培优训练
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，l上有两点A、B，且点A坐标为（－14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示P、Q的坐标：P（ _________ ），Q（ _________ ）；
（2）在P、Q运动过程中，取线段PQ的中点D，当OBD为直角三角形时，求出t的值及相应的点D的坐标；
（3）取满足（2）中条件最右侧的D点，若坐标系中存在另一点E（，－4），请问x轴上是否存在一点F，使FD－FE的值最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
2．如图，已知正方形ABCD的边长为4、点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG、顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP＝1，则AE＝ ；
（2）①点O与△APE的位置关系是 ，并说明理由；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，线段AE的大小也在改变，当AP＝ ，AE达到最大值，最大值是 ．
3．以BC为斜边在它的同侧作Rt△DBC和Rt△ABC，其中∠A＝∠D＝90°，AB＝AC，AC、BD交于点P．
（1）如图1，BP平分∠ABC，求证：BC＝AB+AP；
（2）如图2，过点A作AE⊥BP，分别交BP、BC于点E、点F，连接AD，过A作AG⊥AD，交BD于点G，连接CG，交AF于点H，
①求证：△ABG≌△ADC；
②求证：GH＝CH；
（3）如图3，点M为边AB的中点，点Q是边BC上一动点，连接MQ，将线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK，连接PK、CK，当∠DBC＝15°，AP＝2时，请直接写出PK+CK的最小值．
4．在平面直角坐标系中，如图所示，，．点P从点O出发在线段上以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点B出发在线段上以每秒2个单位的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，停止运动,连接．
（1）如图1，连接交于点D，则点D的坐标为________；
（2）如图2，过A作于点H，求的最小值；
（3）如图3，在上取一点M，使得，那么点M的纵坐标是否存在最大值，若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2分别与x、y轴交于A、C两点，点B（1，0）在x轴上．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点C关于原点的对称点为C′，问在AB的垂直平分线上是否存在一点G，使得△GBC′的周长最小？若存在，求出点G的坐标和最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）设点P是直线BC上异于点B、C的一个动点，过点P作PQ∥x轴交直线AC于点Q，过点Q作QM⊥x轴于点M，再过点P作PN⊥x轴于点N，得到矩形PQMN，在点P的运动过程中，当矩形PQMN为正方形时，求该正方形的边长．
6．（问题提出）
（1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________．
（2）如图2，在中，，，求的最小值．
（问题解决）
（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积．
7．问题发现：
（1）正方形ABCD和正方形AEFG如图①放置，AB＝4，AE＝2.5，则＝___________．
问题探究：
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在矩形的内部，∠BPC＝135°，求AP长的最小值．
问题拓展：
（3）如图③，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝45°，则对角线BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
8．在平行四边形ABCD中，已知∠A＝45°，AD⊥BD，点E为线段BC上的一点，连接DE，以线段DE为直角边构造等腰RtDEF，EF交线段AB于点G，连接AF、DG．
（1）如图1，若AB＝12，BE＝5，则DE的长为多少？
（2）如图2，若点H，K分别为线段BG，DE的中点，连接HK，求证：AG＝2HK；
（3）如图3，在（2）的条件下，若BE＝2，BG＝2，以点G为圆心，AG为半径作⊙G，点M为⊙G上一点，连接MK，取MK的中点P，连接AP，请直接写出线段AP的取值范围．
9．问题提出
（1）在图1中作出点关于直线的对称点
问题探究
（2）如图2，在中，，，为的中点，为线段上一点，求的最小值.
问题解决
（3）如图3，四边形为小区绿化区，，，，，，是以为圆心，为半径的圆弧.现在规划在，边和边上分别取一点，，，使得为这一区域小路，求小路长度的最小值.
10．如图①，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处．
（1）求点、的坐标；
（2）如图②，若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作于点，设的长为，的面积为，请求出关于的关系式；
（3）如图③，在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？若存在，请求出四边形周长的最小值及此时点、的坐标；若不存在，请说明理由
11．已知在中，，，，将绕点顺时针旋转60°，得到，点在上，连接．
（1）如图①，求线段的长；
（2）如图②，连接，作，垂足为，求的长度；
（3）如图③，点是线段的中点，点是线段上的动点（不与点重合），求周长的最小值．
12．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，连接，点是抛物线在第四象限上一点，连接，，求面积的最大值；
（3）如图②，点为抛物线的顶点，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接．将抛物线沿轴向右平移个单位，点，的对应点分别为、，连接、，当四边形的周长取最小值时，求的值．
13．将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处，展开如图（1）．
【操作观察】（1）作DF⊥AC，且DF＝3，AB＝8，则S△ABD＝ 12 ；
【理解运用】如图（2）若∠BAC＝60°，AC＝8，F是AC的中点，连接EF交AD于点M，点P是AD上的动点，连接PF和PC，试说明：PF+PC≥43；
【拓展提高】请根据前面的解题经验，解决下面问题：如图（3），在平面直角坐标系中，A点的坐标为（1，3），B点的坐标为（3，﹣2），点P是x轴上的动点，连接AP、BP，求AP﹣BP的最大值，并写出P点的坐标．
14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=13x2+233x-3与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，连接BC．过点A作BC的平行线交抛物线于点D．
（1）求△ABC的面积；
（2）已知点M是抛物线的顶点，在直线AD上有一动点E，x轴上有一动点F，当ME+BE最小时，求|CF﹣EF|的最大值及此时点F的坐标；
（3）如图2，在y轴正半轴上取点Q，使得CB＝CQ，点P是x轴上一动点，连接PC，将△CPQ沿PC折叠至△CPQ′．连接BQ，BQ′，QQ′，当△BQQ′为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：
①连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2交点为P；
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来．
（1）画出曲线L，观察、猜想它是我们学过的哪种曲线，请求出曲线的解析式；
（2）连接AP，当点M不与原点重合时，设l1与y轴交于点N，连接MN，证明：四边形APMN是菱形；
（3）若点Q（﹣2，5），点R是曲线上一动点，连接QR，AR，当QR+AR的值最小时，求点R的坐标及最小值．
16．如图，直线y＝kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y＝﹣x2+2x+1与y轴交于点C．
（1）求直线y＝kx+b的函数解析式；
（2）若点P（x，y）是抛物线y＝﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y＝﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．
17．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-34x+94与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线y＝ax2+bx+94（a≠0）过A，B两点，与x轴交于另一点C（﹣1，0），抛物线的顶点为D
（1）求出A，B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（3）在直线AB上方的抛物线上有一动点E，求出点E到直线AB的距离的最大值；
（4）如图2，直线AB与抛物线的对称轴相交于点F，点P在坐标轴上，且点P到直线BD，DF的距离相等，请直接写出点P的坐标．
18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，过点B作BC的垂线，交对称轴于点E．
（1）求证：点E与点D关于x轴对称；
（2）点P为第四象限内的抛物线上的一动点，当△PAE的面积最大时，在对称轴上找一点M，在y轴上找一点N，使得OM+MN+NP最小，求此时点M的坐标及OM+MN+NP的最小值；
（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D′，点A的对应点A′，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，将△FBC沿BC翻折，使点F落在点F′处，在平面内找一点G，若以F′、G、D′、A′为顶点的四边形为菱形，求平移的距离．
19．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-14x2+32x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的对称轴及△ABC的周长；
（2）点D是线段AC的中点，过点D作BC的平行线，分别与x轴、抛物线交于点E、F，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，连接PD交线段BC于点G，当四边形PGEF面积最大时，点Q从点P出发沿适当的路径运动到x轴上的点M处，再沿射线DF方向运动5个单位到点N处，最后回到直线BC上的点H处停止，当点Q的运动路径最短时，求点Q的最短运动路径长及点H的坐标；
（3）如图2，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A、C的对应点分别为点A1、C1，且点A1落在线段AC上，再将△A1OC1沿y轴平移得△A2O1C2，其中直线O1C2与x轴交于点K，点T是抛物线对称轴上的动点，连接KT、O1T，△O1KT能否成为以O1K为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点T的坐标；若不能，请说明理由．
20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-13x2+233x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；
（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．
21．如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小，做法是：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
（1）如图2，在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法是：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 3 ；
（2）如图3，已知⊙O的直径CD为2，AC的度数为60°，点B是AC的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为 2 ；
（3）如图4，点P是四边形ABCD内一点，BP＝m，∠ABC＝α，分别在边AB、BC上作出点M、N，使△PMN的周长最小，求出这个最小值（用含m、α的代数式表示）．
22．（1）画图探究：
如图1，若点A、B在直线m同侧，在直线m上求作一点P，使AP+BP的值最小，保留作图痕迹，不写作法；
（2）实践运用：
如图2，在等边△ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，点P是高AD上一个动点，求BP+PE的最小值
（3）拓展延伸：
如图3，四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，并求此时∠MAN的度数．
23．【观察发现】（1）如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．作法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P．
（2）如图2，在等边三角形ABC中，AB＝4，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．
作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 23 ．
【实践运用】
如图3，菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，若点P是BD上的动点，则MP+PN的最小值是 5 ．
【拓展延伸】
（1）如图4，正方形ABCD的边长为5，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 522 ；
（2）如图5，在四边形ABCD的对角线BD上找一点P，使∠APB＝∠CPB．保留画图痕迹，并简要写出画法．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知线段a，P为线段a上任意一点，已知图形M，Q为图形M上任意一点，当P，Q两点间的距离最小时，将此时PQ的长度称为图形M与线段a的近点距；当P，Q两点间的距离最大时，将此时PQ的长度称为图形M与线段a的远点距．
根据阅读材料解决下列问题：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，﹣2），正方形ABCD的对称中心为原点O．
（1）线段AB与线段CD的近点距是 4 ，远点距是 42 ．
（2）如图2，直线y＝﹣x+6与x轴，y轴分别交于点E，F，则线段EF和正方形ABCD的近点距是 2 ，远点距是 217 ；
（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴，y轴分别交于点R，S，线段RS与正方形ABCD的近距点是22，则b的值是 ±8 ；
（4）在平面直角坐标系xOy中，有一个矩形GHMN，若此矩形至少有一个顶点在以O为圆心1为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内，将正方形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与矩形GHMN的近点距的最小值是 1 ，远点距的最大值是 22+1 ．
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-32x2+92x+6与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，且点A的横坐标为4，点D和点B关于抛物线的对称轴对称．
（1）求线段AC的长；
（2）如图1，在线段OA上有一动点E，过点E作OA的垂线交直线CD于点N，交抛物线于点P，当线段PN取得最大值时，如图2，将此时的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0＜a＜90°），连接AB、E′A、E′B，求E′A+16E′B的最小值．
（3）如图3，抛物线y=-32x2+92x+6沿x轴正方向平移得到新的抛物线y′，y′经原点O，y′与x轴的另一个交点为F，设点Q是抛物线钱y′上任意一点，点M为原抛物线对称轴上任意一点，能否存在点Q，使得△MQF是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题8最短路径及最值问题
经典例题
【例1】如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，．
（1）如图①，，，．求证：；
（2）如图②，，当周长最小时，求的度数；
（3）如图③，若四边形为正方形，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）延长到点G,使，连接，首先证明，则有，，然后利用角度之间的关系得出，进而可证明，则，则结论可证；
（2）分别作点A关于和的对称点，，连接，交于点，交于点，根据轴对称的性质有，，当点、、、在同一条直线上时，即为周长的最小值，然后利用求解即可；
（3）旋转至的位置，首先证明，则有，最后利用求解即可．
【解析】
（1）证明：如解图①，延长到点，使，连接，
在和中，
．
，，
，，
．
，
在和中，
．
，；
（2）解：如解图，分别作点A关于和的对称点，，连接，交于点，交于点．
由对称的性质可得，，
此时的周长为．
当点、、、在同一条直线上时，即为周长的最小值．
，
．
，，
；
（3）解：如解图，旋转至的位置，
，
，．
在和中，
．
．
．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【例2】如图，等边的边长为6，点，分别是边，的中点，连接．
（1）如图①，求点到线段的最短距离；
（2）点，分别是，上的动点，连接、．
①如图②，当的长度取得最小值时，求的长度；
②如图③，点在上，若，连接，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①当的长度取得最小值时，；②的最小值为．
【分析】
（1）本题过点D向BE作垂线，继而根据等边三角形性质以及中点性质求解BD，最后利用30°直角三角形边长比例关系求解DH．
（2）①本题通过作点D关于BE的对称点，从而确定点P、N的位置，继而根据对称性质以及等边三角形性质判定△为等边三角形，最后根据三线合一以及三角函数求解BP．
②本题分别作点D、Q关于BE、BC的对称点，从而将不同的三线段相加问题转化为同一条直线上线段相加问题，继而利用等边三角形以及对称性质求解，度数，最后利用勾股定理求解本题．
【解析】
（1）过点作于点，如下图图①所示，即为所求．
∵是等边三角形，点，分别是边，的中点，
∴，．
在中，
∵，，
∴．
（2）①作点关于的对称点，过点作于点，交于点，如下图图②所示：
点，关于对称，
．
，
，此时的值最小．
垂直平分，
．
，
是等边三角形．
．
在中，，
．
当的长度取得最小值时，．
②作关于的对称点，连接，作关于的对称点，连接，分别交，于点P、N，如下图图③所示：
点，关于对称，
，=3．
点，关于对称，
，=1
此时．
当点、、、四点共线时，取得最小值，最小值为的长度．
∵等边△ABC，
∴根据轴对称的定义可知，
∴．
在中，．
的最小值为．
【点睛】
本题考查等边三角形与动点的综合问题，难度主要在于辅助线的构造，核心思想是将不在同一条直线上的各线段通过对称性，利用线段等量替换将问题转化到同一条直线，线段和最值另一典型题型为将军饮马，可对比练习．
【例3】如图，在中，，，，是的外接圆，是延长线上一点，且，连接，点是射线上的动点
（1）求证：是的切线；
（2）的长度为多少时，的度数最大，最大度数是多少？请说明理由；
（3）点运动的过程中，的值能否达到最小，若能，求出这个最小值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）当时，的度数达到最大为90°；理由见解析；（3）能； 的最小值为．
【分析】
（1）本题首先通过外角性质求解∠AOB度数，继而确定等边△AOB，随即利用边的长度证明BD=BA以求得∠D度数，最后求得∠DAO度数结合半径判定切线．
（2）本题根据点P分别在DA上，与A重合，在DA延长线上三种情况分类讨论，与A重合时利用三角函数知识求解AC，继而根据等腰性质求解DP；其他两种情况需要利用三角形外角性质并结合同弧所对的圆周角相等进行判断．
（3）本题作点C关于DA的对称点，进而确定点P位置，继而利用对称性质判定等边△，继而求解、，最后利用勾股定理求解本题．
【解析】
（1）连接，如下图所示：
，
．
，
是等边三角形．
，
．
又，
．
．
，
，
为的半径，
是的切线．
（2）根据点P不同位置，本题分三种情况讨论，如下图所示：
①当点运动到处，即点P与点A重合时，
由第一问可知∠D=∠ACB=30°，故AD=AC=DP，且∠BAC=∠BPC=90°
∵BC=4，
∴；
②当点在的延长线上时，连接，交于点，连接，
因为， 则；
③当点在线段上时，同②方法得，．
综上，当时，的度数最大，最大度数为90°；
（3）能．
作点关于射线的对称点，连接，，交于点，如下图所示：
则，
当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的长度，
过点作于点，连接．
由第一问可知，故结合对称性质有，
∴为等边三角形．
为的中点．
∵，，
，．
在中，根据勾股定理得：
．
的最小值为．
【点睛】
本题考查圆与动点的综合问题，切线判定掌握两条原则，即是半径、是直角；涉及动点问题常需要分类讨论，解题时首先选取特殊情况求解，借此观察一般情况下动点运动规律；线段和最值问题通常利用对称性质做辅助线解答，可与将军饮马模型进行对比练习．
【例4】在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；
（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；
(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
【答案】（1）①补图见解析；②；（2）
【分析】
（1）①根据要求画出图形即可；
②首先证明∠ECF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图2中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．根据两点之间线段最短可得DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，推出AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长；
【解析】
（1）①如图△DCF即为所求；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，
∴AC＝＝AB＝4，
∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，
∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，
∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，
设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，
∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．
即y＝2（x−2）2＋8，
∵2＞0，
∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，
当x＝4时，y最大值＝16，
∴8≤EF2≤16．
（2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．
由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，
∴AE＝EG，
∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，
∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．
在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，
∴FH＝AF＝，AH＝＝，
在Rt△DFH中，DF＝＝，
∴BE＋AE＋ED的最小值为．
【点睛】
本题考查作图−旋转变换，正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用旋转法添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
【例5】已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD＝16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向AB、AD作垂线段，垂足分别为E、F．
（1）如图1，求证：△PBE∽△PDE；
（2）连接PC，当PE+PF+PC取最小值时，求线段BP的长；
（3）如图2，对角线BD、AC交于点O，作以PO为半径，点P为圆心（PO＞0）的⊙P，试求
①⊙P与线段BC有一个公共点，线段BP长度的取值范围；
②⊙P与线段BC有两个公共点时，线段BP长度的取值范围．
【分析】（1）根据菱形性质得出∠ABD＝∠ADB，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）连接AC交BD于O，延长FP交BC于M，求出FM长，得出CP取最小值时PE+PF+CP的值最小，得出P和O重合，求出即可；
（3））①过P作PG⊥BC于G，设PB＝x，当P在线段BO上时，PO＝8﹣x，PG=35x，当OP＝PB时，⊙P经过P点，8﹣x＝x，求出x的值，即可得出答案；②根据①的结果即可得出答案．
【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴∠BEP＝∠DFP＝90°，
∴△PBE∽△PDF；
（2）如图1，连接AC交BD于O，延长FP交BC于M，
则FM⊥BC，
∵菱形ABCD，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵PM⊥BC，PE⊥AB，
∴PE＝PM，
∴PE+PF＝PM+PF＝FM，
在直角三角形AOB中，BO=12BD＝8，
∴AO=AB2-BO2=102-82=6，
∴AC＝2AO＝12，
∵S菱形ABCD=12AC•BD＝BC•FM，
∴FM=485，
因此，要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值，
所以当CP⊥BD时，即P和O重合时，PC最小，此时BP＝BO=12BD＝8．
（3）①过P作PG⊥BC于G，设PB＝x，当P在线段BO上时，PO＝8﹣x，PG=35x，
如图2、当PO＝PG时，⊙P与直线BC相切，8﹣x=35x，x＝5；
如图3、当OP＝PB时，⊙P经过B点，8﹣x＝x，x＝4，
即当0＜x≤4或x＝5时，⊙P与线段BC有一个公共点，
∴⊙P与线段BC有一个公共点，线段BP长度的取值范围是0＜BP≤4或BP＝5时；
②由①知：当4＜x＜5时，⊙P与线段BC有两个公共点，
当P在线段OD上时，PO＝x﹣8，PG=35x，
当PO＝PG时，⊙P与直线BC相切，x﹣8=35x，
x＝20＞BD，
即此时⊙P不可能与直线BC相切，更不可能相交，
综合所述，4＜BP＜5时，⊙P与直线BC有两个公共点，
即⊙P与线段BC有两个公共点时，线段BP长度的取值范围是4＜BP＜5．
【例6】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+233x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y=-33x+3．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；
（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）y=-33x+3，过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），则c=3，将点B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）分∠PCM＝90°、∠CPM＝90°两种情况，分别求解即可；
（3）作点E关于P′B′的对称点E′，将点E′沿P′B′方向平移2个单位得到点E″，连接E、E″交P′B′所在的直线于点B′，点B′沿P′B′方向平移2个单位得到点P′，则点P′、B′为所求，即可求解．
【解析】（1）y=-33x+3，过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），
则c=3，
将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a=-33，
故抛物线的表达式为：y=-33x2+233x+3；
（2）①当∠PCM＝90°时，
由点A、B、C的坐标知，△ABC为直角三角形，故AC⊥BC，
当△PCM为直角三角形时，点P与点A重合，
∴点P（﹣1，0）；
②当∠CPM＝90°时，
则点C、P关于函数对称轴对称，
此时点P（2，3），
故点P的坐标为（﹣1，0）或（2，3）；
（3）存在，理由：点P（2，3），
设图象沿BC方向向左平移3m个单位，则向上平移3m个单位，
则平移后点B′、P′的坐标分别为：（3﹣3m，3m）、（2﹣3m，3m+3），点E（1，0），
分别过点A、E作直线BC的平行线n、m，
过点B′作直线m的对称点B″，则EB′＝EB″，
当B″、E、P′三点共线时，EB'+EP'＝EB″+EP′＝B″P′最小；
点E是AB的中点，则直线m与直线n、直线m与直线BC等距离，则点B″在直线n上，
直线BC的倾斜角为30°，则直线B′B″的倾斜角为60°，
则设直线B′B″的表达式为：y=3x+b，
将点B′的坐标代入上式并解得：
直线B′B″表达式为：y=3x+（43m﹣33）…①，
设过点A的直线n的表达式为：y=-33x+b′，将点A的坐标代入上式并解得：
直线n的表达式为：y=-33（x+1）…②，
联立①②并解得：x＝2﹣3m，故点B″（2﹣3m，3m-3），而P′（2﹣3m，3m+3），
故EB'+EP'的最小值B″P′＝23．
培优训练
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，l上有两点A、B，且点A坐标为（－14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示P、Q的坐标：P（ _________ ），Q（ _________ ）；
（2）在P、Q运动过程中，取线段PQ的中点D，当OBD为直角三角形时，求出t的值及相应的点D的坐标；
（3）取满足（2）中条件最右侧的D点，若坐标系中存在另一点E（，－4），请问x轴上是否存在一点F，使FD－FE的值最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）－14＋2t，8；－6＋6t，8；（2）当OBD为直角三角形时，，点D的坐标为（0，8）或者，点D的坐标为（，8）；（3）x轴上存在一点F，使FD－FE的值最大，最大值为
【分析】
（1）根据点A坐标为（ －14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位可得点B的坐标，进而可得点P、Q的坐标；
（2）先表示出中点D的坐标，再根据OBD为直角三角形画出相应图形逐个求解即可；
（3）作点E关于x轴的对称点E1，连接DE1并延长，交x轴于点F，连接EF，先利用两点之间线段最短证明FD－FE＝取得最大值，最大值为线段DE1的长，再利用两点间的距离公式计算即可求得答案．
【解析】
解：（1）∵点A坐标为（ －14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，
∴点B的坐标为（－6，8），
∵动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒，
∴点P、Q的坐标分别为P（ －14＋2t，8），Q（－6＋6t，8），
故答案为：－14＋2t，8；－6＋6t，8；
（2）由（1）可得：点P、Q的坐标分别为P（ －14＋2t，8），Q（－6＋6t，8），
∴线段PQ的中点D的坐标为（，8），
即D（，8），
∵点D在直线l上，
∴∠OBD不可能是直角
∴如图，当∠BDO＝90°时，点D位于点D1处，此时点D的坐标为（0，8），
则，
解得：；
当∠BOD＝90°时，点D位于点D2处，
则，
∵点O（0，0），B（－6，8），D（，8），
∴，
解得：，
∴，
此时点D的坐标为（，8），
综上所述：当OBD为直角三角形时，，点D的坐标为（0，8）或者，点D的坐标为（，8）；
（3）如图，作点E关于x轴的对称点E1，连接DE1并延长，交x轴于点F，连接EF，
∵点E与点E1关于x轴对称，点F在x轴上，
∴FE＝FE1，
∴当点F、D、E1在同一直线上时，则FD－FE＝FD－FE1＝DE1，
当点F、D、E1不在同一直线上时，则FD－FE＝FD－FE1＜DE1，
∴当点F、D、E1在同一直线上时，FD－FE＝取得最大值，最大值为线段DE1的长，
∵点E与点E1关于x轴对称，点E（，－4），
∴点E1（，4），
又∵点D的坐标为（，8），
∴
，
∴x轴上存在一点F，使FD－FE的值最大，最大值为．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系与直角三角形以及轴对称的性质，理清题意并能熟练运用勾股定理是解决本题的关键．
2．如图，已知正方形ABCD的边长为4、点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG、顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP＝1，则AE＝ ；
（2）①点O与△APE的位置关系是 ，并说明理由；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，线段AE的大小也在改变，当AP＝ ，AE达到最大值，最大值是 ．
【答案】（1）；（2）①点O在△APE的外接圆上，见解析；②；（3）2，1
【解析】
解：（1）∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠EPG＝90°，PF⊥EG，AB＝BC＝4，∠OEP＝45°，
∴∠AEP+∠APE＝90°，∠BPC+∠APE＝90°，
∴∠AEP＝∠BPC，
∴△APE∽△BCP，
∴，即，
解得：AE；
故答案为：；
（2）①点O在△APE的外接圆上，理由是：
证明：如图1，
取PE的中点Q，连接AQ，OQ，
∵∠POE＝90°，
∴OQPE，
∵△APE是直角三角形，
∴点Q是Rt△APE外接圆的圆心，
∴AQPE，
∴OQ＝AQ＝EQ＝PQ，
∴O在以Q为圆心，以OQ为半径的圆上，
即点O在△APE的外接圆上；（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上），
故答案为：点O在△APE的外接圆上；
②连接OA、AC，如图2所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，
∴AC4，
∵A、P、O、E四点共圆，
∴∠OAP＝∠OEP＝45°，
∴点O在AC上，
当P运动到点B时，O为AC的中点，OAAC＝2，
即点O经过的路径长为2；
（3）设AP＝x，则BP＝4﹣x，
由（1）得：△APE∽△BCP，
∴，
∴，
∴AE（x﹣2）2+1，
∴x＝2时，AE的最大值为1，
即当AP＝2时，AE的最大值为1．
故答案为：2，1．
3．以BC为斜边在它的同侧作Rt△DBC和Rt△ABC，其中∠A＝∠D＝90°，AB＝AC，AC、BD交于点P．
（1）如图1，BP平分∠ABC，求证：BC＝AB+AP；
（2）如图2，过点A作AE⊥BP，分别交BP、BC于点E、点F，连接AD，过A作AG⊥AD，交BD于点G，连接CG，交AF于点H，
①求证：△ABG≌△ADC；
②求证：GH＝CH；
（3）如图3，点M为边AB的中点，点Q是边BC上一动点，连接MQ，将线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK，连接PK、CK，当∠DBC＝15°，AP＝2时，请直接写出PK+CK的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析；（3）PK+CK的最小值为4．
【分析】
（1）过点P作PT⊥BC于点T，根据等腰直角三角形和角平分线的性质可得AP=PT=TC，证明Rt△ABP≌Rt△TBP（HL），可得AB=TB，由BC=TB+TC，等量代换即可得出结论；
（2）①根据同角的余角相等得∠BAG=∠CAD，根据等角的余角相等得∠PBA=∠PCD，利用“ASA”即可得△ABG≌△ACD（ASA）；
②过点C作CR⊥AF交AF延长线于点R，首先证明△ABE≌△CAR（AAS），由全等三角形的性质得AE=CR，再由△ABG≌△ACD（ASA），得AG=AD，根据等腰直角三角形的性质得AE=GE=DE，等量代换得CR=GE，然后证明△EHG≌△RHC（AAS），即可得出结论；
（3）过点A作AO⊥BC于点O，连接OM，BK，先证△MBQ≌△MOK（SAS），得∠MBQ=∠MOK=45°，可得点K在OA所在的直线上移动，则PK+CK=PK+BK≥BP，可得出当且仅当B，K，P三点共线时PK+CK取得最小值，然后根据含30°直角三角形的性质即可求解．
【解析】
（1）证明：过点P作PT⊥BC于点T，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵PT⊥BC，
∴∠PTC＝90°，∠TPC＝∠TCP＝45°，
∴TP＝TC，
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PT⊥BC，
∴PA＝PT，
∴TC＝PA，
在Rt△ABP和Rt△TBP中，
，
∴Rt△ABP≌Rt△TBP（HL），
∴AB＝TB，
∵BC＝TB+TC，
∴BC＝AB+AP；
（2）①证明：∵AG⊥AD，
∴∠GAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC﹣∠GAC＝∠GAD﹣∠GAC，
∴∠BAG＝∠CAD，
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴∠PBA+∠APB＝∠PCD+∠DPC＝90°，
∵∠APB＝∠DPC，
∴∠ABG＝∠ACD，
在△ABG和△ACD中，
，
∴△ABG≌△ACD（ASA）；
②证明：过点C作CR⊥AF交AF延长线于点R，
∵AF⊥BP，CR⊥AF，
∴∠AEB＝∠CRA＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，
∵∠BAE+∠CAR＝90°，
∴∠ABE＝∠CAR，
在△ABE和△CAR中，
，
∴△ABE≌△CAR（AAS），
∴AE＝CR，
∵△ABG≌△ACD（ASA），
∴AG＝AD，
∵AE⊥DG，
∴AE＝GE＝DE，
∴CR＝GE，
在△EHG和△RHC中，
，
∴△EHG≌△RHC（AAS），
∴GH＝CH；
（3）解：过点A作AO⊥BC于点O，连接OM，BK，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AO⊥BC，
∴AO＝BO＝CO，
∵点M是AB的中点，
∴OM＝BM＝AM，OM⊥AB，
∴∠OAM＝∠OBM＝45°，
∴∠OMB＝90°，
∵线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK，
∴MQ＝MK，∠QMK＝90°，
∴∠OMB＝∠QMK，
∴∠OMB﹣∠OMQ＝∠QMK﹣∠OMQ，
∴∠BMQ＝∠OMK，
在△MBQ和△MOK中，
，
∴△MBQ≌△MOK（SAS），
∴∠MBQ＝∠MOK＝45°，
∴点K在OA所在的直线上移动，
∵OA垂直平分BC，
∴CK＝BK，
∴PK+CK＝PK+BK≥BP，
∴当且仅当B，K，P三点共线时PK+CK取得最小值，
∵∠ABC＝45°，∠DBC＝15°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠DBC＝30°，
在Rt△BAP中，∠BAP＝90°，∠ABP＝30°，AP＝2，
∴BP＝2AP＝4，
∴PK+CK的最小值为4．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
4．在平面直角坐标系中，如图所示，，．点P从点O出发在线段上以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点B出发在线段上以每秒2个单位的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，停止运动,连接．
（1）如图1，连接交于点D，则点D的坐标为________；
（2）如图2，过A作于点H，求的最小值；
（3）如图3，在上取一点M，使得，那么点M的纵坐标是否存在最大值，若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在点M纵坐标的最大值，此时OP=1
【分析】
（1）有P，Q的运动速度，设时间为t，表示出Q，P的坐标，再求出直线PQ的解析式，直线OB的解析式，联立即可求出点D的坐标；
（2）连接OB与PQ交于点D，由（1）得，连接DA，取DA的中点M，以M为圆心，以DM的长为半径作圆，连接OM，先说明点H在上运动，再由图形得出，三点共线时，OH取得最小值，用勾股定理，即可得出答案；
（3）连接OB，交PQ于点D，以AD为斜边，作等腰直角，以点N为圆心，以2为半径作，说明点M在上，连接MN，过点M作 于点T，连接AN交于于点，可得出即，再求出直线的解析式，求出与x轴的交点即为OP的长．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，
∵，
∴，
∴点C的坐标为，
∵点P从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，点Q从点B出发以每秒2个单位的速度向点C运动，
∴设时间为m，则，
∴，
设直线PQ的解析式为，
代入解得，
设直线OB的解析式为，
代入点B的坐标，求得，
联立 ，
解得，
故点D的坐标为 ，
故答案为；
（2）连接OB与PQ交于点D，由（1）得，点D（3,2），
连接DA，取DA的中点M，以M为圆心，以DM的长为半径作圆，
∵点D（3,2），点，
∴点M的坐标为，，
∴，
∵，
∴点H在上运动，
连接HM，
由图可知，
，
当三点共线时，取得最小值，
即，
故OH的最小值为；
（3）存在，理由如下，
连接OB，交PQ于点D，以AD为斜边，作等腰直角，以点N为圆心，以2为半径作，则在圆上，与轴相切，
∵，
∴点M在上，
∵与轴相切，在上，
∴
连接MN，过点M作 于点T，连接AN交于于点，
∴
∴
∴，
连接交x轴于点,交于BC与点，
设直线的解析式为,
代入点，，
解得直线的解析式为，
∴当时，,
∴存在点M纵坐标的最大值，此时OP=1．
【点睛】
本题考查菱形的性质，一次函数问题，构造三角形求线段最小值，圆的知识，三角形三边关系，坐标与图形，解题关键是熟练掌握相关知识点，能够构造圆进行求解．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2分别与x、y轴交于A、C两点，点B（1，0）在x轴上．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点C关于原点的对称点为C′，问在AB的垂直平分线上是否存在一点G，使得△GBC′的周长最小？若存在，求出点G的坐标和最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）设点P是直线BC上异于点B、C的一个动点，过点P作PQ∥x轴交直线AC于点Q，过点Q作QM⊥x轴于点M，再过点P作PN⊥x轴于点N，得到矩形PQMN，在点P的运动过程中，当矩形PQMN为正方形时，求该正方形的边长．
【答案】（1）；（2）存在，，；（3）或
【分析】
（1）由可求得，，，结合，即可求得直线BC的解析式；
（2）由可知当、、三点共线时，的周长取得最小值，分别在和利用勾股定理计算相关线段即可得到周长最小值的数值，此时点横坐标为，通过计算得到直线表达式，代入求解即可．
（3）设正方形的变成为,则用表示出、、、四点坐标，由，分两种情况，列式计算即可．
【解析】
解：（1）∵分别与x、y轴交于A、C两点，
∴令，得 ，即，
令，得，即，
设直线BC的解析式为：，
将,,代入中，
得：，
解得：.
∴直线BC的解析式为：，
（2）存在，理由如下：
据题意，作图如下：
∵点与点关于原点对称，且,
∴,
∵, 为定长，
∴当取得最小值时，的周长取得最小值，
即当、、三点共线时，取得最小值．作图如下：
设线段所在的直线函数表达式为：，
将点，代入，
得：，
解得：．
∴线段所在的直线函数表达式为：，
∵点G为线段AB垂直平分线上的点，
∴点G的横坐标为：，
∴点G的纵坐标为：，
∴．
又∵点G为线段AB垂直平分线上，
∴，
∴，
在中，,，
，
∵，
∴，
在中，，
，
∵，
∴，
∴．
（3）①当点在线段BC之间时，存在正方形PQMN，如下图：
设正方形的边长为，
∵点在直线上，点在直线上，
∴点，点，
∴点,点，
∵，
即，
解得：．
②当点在直线BC的左下方时，存在正方形PQMN，如下图：
同理可得：，，
此时：，
解得：，
综上所述，正方形PQMN的边长为或．
【点睛】
本题考查一次函数综合，一次函数解析式求法，勾股定理等，灵活应用知识点解题是关键．
6．（问题提出）
（1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________．
（2）如图2，在中，，，求的最小值．
（问题解决）
（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积．
【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）．
【分析】
（1）由旋转得BN=BM，∠MBN=60°，可判断出△BMN是等边三角形即可；
（2）设AB=a，则AC=10-a，进而根据勾股定理得出即可得出结论；
（3）先判断出点A'，E'，E，C在同一条线上，设BF=x，进而依次得出AB=2x，BC=6-2x，CF=6-x，再利用勾股定理得出，得出x=是A'C最小，进而求出A'F，BC，利用平行四边形面积公式计算即可．
【解析】
（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下;
由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°
∴△BMN为等边三角形
故答案为：等边三角形；
（2）解：设AB=a，
∵AB+AC=10，
∴AC=10-AB=，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
，
∵，
∴，即，
∴，
即BC的最小值为；
（3）解：如图3，
将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'，
∴△ABE≌△A'BE'，
∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°，
∴△EBE'为等边三角形，
∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，
∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE，
要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C，
过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F，
在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°，
设BF=x，则A'B=2x，
根据勾股定理得，A'F=，
∵AB=A'B，
∴AB=2x，
∵AB+BC=6，
∴BC=6-AB=6-2x，
∴CF=BF+BC=6-x，
在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，
，
∴当x=，即AB=2x=3时，最小，
此时，BC=6-3=3，A'F=，
∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，用代数式表示线段，利用配方法确定极值问题，判断出AB=BC时，AE+BE+CE最小是解本题的关键．
7．问题发现：
（1）正方形ABCD和正方形AEFG如图①放置，AB＝4，AE＝2.5，则＝___________．
问题探究：
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在矩形的内部，∠BPC＝135°，求AP长的最小值．
问题拓展：
（3）如图③，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝45°，则对角线BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）AP的最小值为；（3）存在，BD的最大值为6+6
【分析】
（1）连接AC、AF、DG、CF，证△ADG∽△ACF，根据线段比例关系可求；
（2）以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，以O为圆心BO为半径画圆，则P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上，连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，根据给出数据求值即可；
（3）以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，根据△DAB∽△CAE，得出BD=CE，以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，根据C点的轨迹求出CE最大值，即求出BD最大值．
【解析】
解：（1）如图①，连接AC、AF、DG、CF，
在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB=4，AE=2.5，
∴AC=AB，AF=AE，AG=AE=2.5，AD=AB=4，
∴，
又∵∠DAG=∠DAC-∠GAC=45°-∠GAC，∠CAF=∠GAF-∠GAC=45°-∠GAC，
∴∠DAG=∠CAF，
∴△DGA∽△CFA，
∴，
故答案为；
（2）如图②，以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，
以O为圆心BO为半径画圆，则∠BPC作为圆周角刚好是135°，
∴P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上，
连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，
作OE垂直AB延长线于点E，
∵△BOC为等腰直角三角形，BC=4，
∴OB=OC=BC=×4=2，∠OBC=45°，
∴∠OBE=90°-∠OBC=90°-45°=45°，
又∵OE⊥AE，
∴△BEO为等腰直角三角形，
∴BE=OE=OB=×2=2，
又∵AB=3，
∴AE=AB+BE=3+2=5，
∴，
∵OP=OB=2，
∴AP=AO-OP=-2，
即AP的最小值为-2；
（3）存在，如图3，以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，
则∠EAB=45°，，
∵AC=AD，∠ACD=90°，
∴DAC=45°，，
∴，∠DAB=∠CAE=45°，
∴△DAB∽△CAE，
∴，
∴BD=CE，
∴当CE最大时，BD取最大值，
以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，
∵∠AOB=90°，∠ACB=45°，
∴点C在优弧AB上，
由图知当C在OE延长线C'位置时C'E有最大值，
此时C'E=OE+OC'，
∵AB=6，△AOB和△AEB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴四边形AOBE为正方形，
∴OE=AB=6，OC'=OA=AB=3，
∴CE的最大值为6+3，
∵BD=CE，
∴BD的最大值为×（6+3）=6+6．
【点睛】
本题主要考查了图形的变换，三角形相似，等腰直角三角形，正方形，圆周角，圆心角等知识点，熟练掌握并灵活运用这些知识点是解题的关键．
8．在平行四边形ABCD中，已知∠A＝45°，AD⊥BD，点E为线段BC上的一点，连接DE，以线段DE为直角边构造等腰RtDEF，EF交线段AB于点G，连接AF、DG．
（1）如图1，若AB＝12，BE＝5，则DE的长为多少？
（2）如图2，若点H，K分别为线段BG，DE的中点，连接HK，求证：AG＝2HK；
（3）如图3，在（2）的条件下，若BE＝2，BG＝2，以点G为圆心，AG为半径作⊙G，点M为⊙G上一点，连接MK，取MK的中点P，连接AP，请直接写出线段AP的取值范围．
【答案】（1）DE＝13；（2）见解析；（3）﹣2≤AP≤+2
【分析】
（1）借助三角形全等，求线段的长度．
（2）借助模型“对边平行+中点”构造全等三角形．将AG转化为GM；
（3）主动点M在圆上运动，从动点P也在圆上运动，利用中位线找到P的运动轨迹．
【解析】
解：（1）∵∠A＝45°，且AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
又∵,
∴BD＝12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DBE＝∠ADB＝90°，
在Rt△BED中，BD＝12，BE＝5，∠DBE＝90°，
∴DE＝ ＝＝13；
（2）如图2，
连接GK，BK，延长BK 交AD于M，连接GM，
∵AD∥BC，
∴∠EBK＝∠DMK，∠KEB＝∠MDK，
又DK＝KE，
∴△BEK≌△MDK（AAS），
∴DK＝KE，
又∵BH＝GH，
∴KH∥GM，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EDF＝∠ADB＝90°，DE＝DF，∠DFE＝∠DEF＝45°，
∴∠EDB+∠BDF＝∠FDA+∠BDF，
∴∠EDB＝∠FDA，
∵∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴DB＝DA，
∴△ADF≌△BDE（SAS），
∴∠DAF＝∠DBE＝90°，AF＝BE
∵∠DAG＝∠DFG＝45°，
∴A、F、G、D四点共圆，
∴∠DGE＝∠DAF＝90°，
在Rt△DGE中，K是DE的中点，
∴GK＝DE，
在Rt△DKE 中，
同理可得：KB＝DE，
∴GK＝KB，
又∵BH＝GH，
∴KH⊥BG，
∵KH∥MG，
∴MG⊥AB，
∴∠AGM＝90°，
∵∠BAD＝45°，
∴∠AMG＝∠BAD＝45°，
∴AG＝GM，
∴KH＝GM＝AG．
（3）作EN⊥AB于N，
在Rt△BEN中，∠EBN＝180°﹣∠ABC＝45°，BE＝2，
∴EN＝BN＝，
在Rt△GEN中，GN＝GB+BN＝3，EN＝，
∴GE＝2，
∴DE＝GE＝2，
在Rt△DBE中，BE＝2，DE＝2，
∴BD＝6，
∴AB＝BD＝6，
∴AG＝AB﹣BG＝4
连接MG，取GK的中点I，作IQ⊥AB于Q，
∵P是MK的中点，
∴PI＝＝2，
∴点P在以I为圆心，半径为2的⊙I上运动
由（2）知：KH＝AG＝2，
∵IQ是△KGH的中位线，
∴IQ＝KH＝，
在Rt△AIQ 中，AQ＝AG+GQ＝4+＝，IQ＝KH=，
∴AI＝，
∴AI﹣PI≤AP≤AI+PI，
∴﹣2≤AP≤+2．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形与直角三角形、圆的有关概念及性质、三角形的全等和圆的综合运用，解题关键是确定P点的轨迹并且要灵活运用转化思想、推理能力、模型思想和创新意识．
9．问题提出
（1）在图1中作出点关于直线的对称点
问题探究
（2）如图2，在中，，，为的中点，为线段上一点，求的最小值.
问题解决
（3）如图3，四边形为小区绿化区，，，，，，是以为圆心，为半径的圆弧.现在规划在，边和边上分别取一点，，，使得为这一区域小路，求小路长度的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）根据对称性即可作图；
（2）作点关于的对称点，连接交于点，此时值最小，连接，根据图形的特点及等边三角形的性质即可求解；
（3）因为为定值，所以即求的最小值，连接，，分别以，所在的直线为对称轴作点的对称点，，连接，此时的值最小，即为长，根据图形的特点、等边三角形的性质与勾股定理即可求解．
【解析】
解：（1）如图1所示，点即为所求.
（2）如图2，作点关于的对称点，连接交于点，此时值最小，连接.
∵，
∴.
∵垂直平分，
∴为等边三角形.
∵点为中点，
∴，
∴.
（3）要求的最小值，因为为定值，
所以即求的最小值.
如图，连接，，分别以，所在的直线为对称轴作点的对称点，，连接，此时的值最小，即为长.
∵，
∴，
∴为等边三角形，即.
∵，
∴，
∴的最小值为.
当，，三点共线时值最小，
由题知，，，
∴，
∴．
【点睛】
此题主要考查轴对称的应用，解题的关键是熟知对称性、等边三角形的性质及勾股定理的运用．
10．如图①，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处．
（1）求点、的坐标；
（2）如图②，若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作于点，设的长为，的面积为，请求出关于的关系式；
（3）如图③，在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？若存在，请求出四边形周长的最小值及此时点、的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）点的坐标是，点坐标为；（2）；（3）存在， 在轴、轴上分别存在点、，使得四边形的周长最小，最小值为．
【分析】
（1）求出CF和AE的长度即可写出点的坐标；
（2）用x表示出PD长度，结合三角函数进一步表示DH，PH的长度，运用三角形面积公式即可求解；
（3）作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小，求出E′和F′的坐标直接求线段长度即可．
【解析】
解：（1）∵点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，2），
∴OA=3，OC=2，
根据矩形OABC知AB=OC=2，BC=OA=3，
由折叠知DA=DF=OC=2，
∴OD=OA-DA=1，
∴点F坐标为（1，2），
∵点E是AB的中点，
∴EA=1，
∴点E的坐标是（3，1）；
（2）如图2
∵将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，
∴BF=AB=2，
∴OD=CF=3-2=1，
若设OP的长为x，
则，PD=x-1，
在Rt△ABD中，AB=2，AD=2，
∴∠ADB=45°，
在Rt△PDH中，PH=DH=DP×=（x-1），
∴S=×DH×PH=×（x-1）×（x-1）=（1＜x＜3）；
（3）如图3
作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小，
可求，点F（1，2）关于y轴的对称点F′（-1，2），点E（3，1）关于x轴的对称点E′（3，-1），
用两点法可求直线E′F′的解析式为：y=-，
当x=0时，y=，当y=0时，x=，
∴N（0，），M（，0），
此时，四边形MNFE的周长=E′F′+EF=；
∴在x轴、y轴上分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小，最小为5+．
【点睛】
本题是四边形的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式以及利用轴对称求最短路线和勾股定理等知识，掌握根据对称转化为两点之间的距离的问题是解题的关键．
11．已知在中，，，，将绕点顺时针旋转60°，得到，点在上，连接．
（1）如图①，求线段的长；
（2）如图②，连接，作，垂足为，求的长度；
（3）如图③，点是线段的中点，点是线段上的动点（不与点重合），求周长的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）周长的最小值为．
【分析】
（1）根据旋转的性质以及旋转角度，可以得出是等边三角形，所以．
（2）由三角函数以及勾股定理，可以得出OA、AB、BC以及AC的长度，算出的面积，根据等面积法，求出OP的长度即可．
（3）连接，，连接交于点，证明，所以得到，，垂直平分，即点关于直线的对称点为点，所以当取最小值时，周长最小，即当点、、三点共线时，的周长取得最小值，为的值，求出结果即可．
【解析】
解：（1）由旋转性质可知：，
是等边三角形
．
（2），
，
是等边三角形
，
，．
（3）如解图，连接，，连接交于点．
为等边三角形，点为的中点
，即
在中，，
，
在和中
，
垂直平分，即点关于直线的对称点为点
的周长为，为定值
当取最小值时，周长最小
即当点、、三点共线时，的周长取得最小值，为
点是的中点，
周长的最小值为．
【点睛】
本题主要考查了三角形旋转，勾股定理，以及最短路径的作图，能够熟悉旋转的性质、熟练等面积法的运用和最短路径的作图是解决本题的关键．
12．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，连接，点是抛物线在第四象限上一点，连接，，求面积的最大值；
（3）如图②，点为抛物线的顶点，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接．将抛物线沿轴向右平移个单位，点，的对应点分别为、，连接、，当四边形的周长取最小值时，求的值．
【答案】（1）；（2）当时，取得最大值，最大值为；（3）．
【分析】
（1）根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先利用抛物线的解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，设，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的表达式，最后利用二次函数的性质求最值即可；
（3）先求出顶点D的坐标，再根据点坐标、对称性分别求出点E的坐标、DE、AB的长，然后根据平行四边形的判定与性质、轴对称的性质得出，又根据两点之间线段最短得出当、、三点共线时，取最小值，从而得出此时四边形的周长最小，最后利用待定系数法求出直线的解析式，从而得出点的坐标，据此即可得出答案．
【解析】
（1）将，代入抛物线解析式，得，
解得，
故抛物线的解析式为；
（2）如解图①，过点作轴的垂线，交于点，
抛物线的解析式为，
令，则，
解得，，
，
设直线的解析式为，
将点，代入得，解得，
则直线的解析式为，
设，则，，且，
，
在范围内，当时，取得最大值，最大值为；
（3）抛物线的解析式为，
，
点和点关于抛物线的对称轴对称，
，
，
，，
，
由平移的性质得：，
如解图②，将点向右平移4个单位得到点，作点关于轴的对称点，连接，
由轴对称的性质得：，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形的周长为，且为定值，
当的值最小，即的值最小时，四边形的周长最小，
由两点之间线段最短得：当、、三点共线时，取最小值，
，
，即，
，
设直线的解析式为，
将，代入得，解得，
则直线的解析式为，
当时，，解得，
则．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，较难的是题（3），利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定周长取得最小值时点的位置是解题关键．
13．将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处，展开如图（1）．
【操作观察】（1）作DF⊥AC，且DF＝3，AB＝8，则S△ABD＝ 12 ；
【理解运用】如图（2）若∠BAC＝60°，AC＝8，F是AC的中点，连接EF交AD于点M，点P是AD上的动点，连接PF和PC，试说明：PF+PC≥43；
【拓展提高】请根据前面的解题经验，解决下面问题：如图（3），在平面直角坐标系中，A点的坐标为（1，3），B点的坐标为（3，﹣2），点P是x轴上的动点，连接AP、BP，求AP﹣BP的最大值，并写出P点的坐标．
【分析】【操作观察】根据折叠的特性可知折痕AD为∠BAC的角平分线，由此可得出点D到AB和点D到AC的距离相等，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
【理解运用】连接CM、PE、CE，根据三角形两边之和大于第三边得出当点P与点M重合时，PF+PC值最小，再根据折叠的性质得出AE＝AC，结合∠BAC＝60°即可得出△AEC为等边三角形，根据等边三角形的性质求出EF的长度即可证出结论；
【拓展提高】作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′、PB′，延长AB′交x轴于点P′，根据三角形内两边之差小于第三边找出当点P和P′点重合时，AP﹣BP的值最大，再由点B的坐标可得出点B′的坐标，结合点A、B′的坐标即可求出直线AB′的解析式，令其y＝0求出x即可找出点P′的坐标，由此即可得出结论．
【解析】【操作观察】解：∵将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∴点D到AB和点D到AC的距离相等．
∴S△ABD=12AB•DF=12×8×3＝12．
故答案为：12．
【理解运用】证明：连接CM、PE、CE，如图1所示．
∵将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处，
∴AD为∠BAC的角平分线，AE＝AC，
∴PE＝PC，ME＝MC，
在△PEF中，EF＝ME+MF≤PE+PF＝PC+PF，
∴PC+PF≥EF．
∵AE＝AC，∠BAC＝60°，
∴△AEC为等边三角形，
又∵AC＝8，点F是AC的中点，
∴EF＝AC•sin∠BAC＝43，
∴PF+PC≥43．
【拓展提高】解：作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′、PB′，延长AB′交x轴于点P′，如图2所示．
∵点B和B′关于x轴对称，
∴PB＝PB′，P′B′＝P′B，
∵在△APB′中，AB′＞AP﹣PB′，
∴AP′﹣B′P′＝AP′﹣BP′＝AB′＞AP﹣PB′＝AP﹣PB，
∴当点P与点P′重合时，AP﹣BP最大．
设直线AB′的解析式为y＝kx+b，
∵点B（3，﹣2），
∴点B′（3，2），AB′=(1-3)2+(3-2)2=5．
将点A（1，3）、B′（3，2）代入y＝kx+b中，
得：3=k+b2=3k+b，解得：k=-12b=72，
∴直线AB′的解析式为y=-12x+72．
令y=-12x+72中y＝0，则-12x+72=0，
解得：x＝7，
∴点P′（7，0）．
故AP﹣BP的最大值为5，此时P点的坐标为（7，0）．
14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=13x2+233x-3与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，连接BC．过点A作BC的平行线交抛物线于点D．
（1）求△ABC的面积；
（2）已知点M是抛物线的顶点，在直线AD上有一动点E，x轴上有一动点F，当ME+BE最小时，求|CF﹣EF|的最大值及此时点F的坐标；
（3）如图2，在y轴正半轴上取点Q，使得CB＝CQ，点P是x轴上一动点，连接PC，将△CPQ沿PC折叠至△CPQ′．连接BQ，BQ′，QQ′，当△BQQ′为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）分别将x＝0和y＝0代入解析式即可求出A，B，C三点的坐标，即可求出△ABC的面积；
（2）先证△ABC是直角三角形，再作点B关于直线AD的对称点B'，连接MB'，交AD于E，则此时ME+BE有最小值，作点E关于x轴的对称点E'，连接CE'并延长CE'交x轴于F，则此时|CF﹣EF|有最大值，为CE'的长度，根据点的坐标求出CE'的长度，此时点F与点B重合，即知点F坐标；
（3）分三种情况通过等边三角形，直角三角形的性质及勾股定理求出点P的坐标．
【解析】（1）在抛物线y=13x2+233x-3中，
当y＝0时，x1＝﹣33，x2=3，
∴A（3，0），B（﹣33，0），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
连接AC，
∴S△ABC=12AB•OC＝63；
（2）在△ABC中，
AC=AO2+CO2=23，
BC=OB2+OC2=6，
AB＝43，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴tan∠ABC=ACBC=33，
∴∠ABC＝30°，
如图1，作点B关于直线AD的对称点B'，连接MB'，交AD于E，则此时ME+BE有最小值，
且∠CBB'＝90°，∠ABB'＝60°，
连接AB'，则AB＝AB'，
∴△ABB'为等边三角形，
∴BB'＝AB'，
∴点B'在AB的垂直平分线上，
又∵M为抛物线顶点，
∴点M，B'同为抛物线对称轴上的点，
∵抛物线对称轴为x=-b2a=-3，
∴xE=-3，
将C（0，﹣3），B（﹣33，0）代入一次函数解析式，
得b=-3-33k+b=0，
解得k=-33，b＝﹣3，
∴yBC=-33x﹣3，
∵BC∥AD，
∴设yAD=-33x+b，
将A（3，0）代入，
得b＝1，
∴yAD=-33x+1，
当xE=-3时，yE＝2，
∴E（-3，2），
作点E关于x轴的对称点E'（-3，﹣2），
连接CE'并延长CE'交x轴于F，则此时|CF﹣EF|有最大值，为CE'的长度，
CE'=(3)2+12=2，
理由如下：
在x轴上F外任取一点F'，连接F'E'，CF'，
在△CE'F'中，都有|CF'﹣EE'|＜CE'，
∴当CE'F在一条直线上时，|CF﹣EF|有最大值，
将C（0，﹣3）E'（-3，﹣2）代入一次函数解析式，
得b=-3-3k+b=-2，
解得k=-33，b＝﹣3，
∴yCE'=-33x﹣3，
∴直线CE'与直线CB重合，
∴点F与点B重合，
∴点F的坐标为（﹣33，0），
∴|CF﹣EF|的最大值为2此时点F的坐标为（﹣33，0）；
（3）①如图2﹣1，当Q'B＝Q'Q时，
由（1）知∠ABC＝30°，
∴∠BCO＝60°，
∵CB＝CQ，
∴△CBQ为等边三角形，
∴CQ＝BC＝6，
又∵BQ'＝QQ'，
∴∠BCQ'＝∠QCQ’＝30°，∠CBQ'＝∠CQ'B＝∠CQ'Q＝∠CQQ'＝75°，
∴∠Q'CP＝∠QCP＝∠PQ'C＝∠PQC＝15°，
∴∠Q'PQ＝60°，
∴△QQ'P是等边三角形，△BQ'P是等腰直角三角形，
设PQ＝a，
则QQ'＝Q'P＝Q'B＝a，
∴BP=2a，
在Rt△QPO中，QP2＝OP2+OQ2，
∴a2＝（33-2a）2+32，
解得a1＝36+32（舍去），a2＝36-32，
∴BP=2a＝63-6，
∴OP＝6﹣33，
∴P（33-6，0）；
②如图2﹣2，当BQ＝BQ'时，点P与点B重合，
∴P（﹣33，0）；
③如图2﹣3，当QB＝QQ'时，点P与点A重合，
∴P（3，0）．
综上所述，当△BQQ′为等腰三角形时，点P的坐标为（33-6，0），（﹣33，0）或（3，0）．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：
①连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2交点为P；
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来．
（1）画出曲线L，观察、猜想它是我们学过的哪种曲线，请求出曲线的解析式；
（2）连接AP，当点M不与原点重合时，设l1与y轴交于点N，连接MN，证明：四边形APMN是菱形；
（3）若点Q（﹣2，5），点R是曲线上一动点，连接QR，AR，当QR+AR的值最小时，求点R的坐标及最小值．
【分析】（1）根据题意，多取几个M点画出图形即可；设P（x，y），根据PA＝PM，列出等式整理即可解决问题；
（2）由题意PA＝PM，NA＝NM，只要证明只要证明△PAM≌△NMA，可得PA＝NM＝PM＝AN；
（3）如图2中，作RM⊥x轴于M．由题意RA＝PM，可得RQ+RA＝RQ+RM，推出当Q、R、M共线时，如图QR′+R′M′的值最小，由此即可解决问题；
【解析】（1）如图1中所示：曲线L是抛物线；
设P（x，y），∵PA＝PM，
∴PA2＝PM2，
∴x2+（y﹣2）2＝y2，
整理得：y=14x2+1，
∴抛物线的解析式为y=14x2+1．
（2）∵PA＝PM，NM＝NA，
∴∠PAM＝∠PMA，∠NAM＝∠NMA，
∵AN∥PM，
∴∠NAM＝∠PMA，
∴∠NAM＝∠NMA＝∠PMA＝∠PAM，
∴△PAM≌△NMA，
∴PA＝NM＝PM＝AN，
∴四边形APMN是菱形．
（3）如图2中，作RM⊥x轴于M．
由题意RA＝PM，
∴RQ+RA＝RQ+RM，
∴当Q、R、M共线时，如图QR′+R′M′的值最小，
∵Q（﹣2，5），
∴R′（﹣2，2），QR+RA的最小值为5．
16．如图，直线y＝kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y＝﹣x2+2x+1与y轴交于点C．
（1）求直线y＝kx+b的函数解析式；
（2）若点P（x，y）是抛物线y＝﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y＝﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．
【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；
（2）过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，则可证明△PHQ∽△BAO，设H（m，34m+3），利用相似三角形的性质可得到d与x的函数关系式，再利用二次函数的性质可求得d取得最小值时的P点的坐标；
（3）设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，则可知当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，由C点坐标可确定出C′点的坐标，利用（2）中所求函数关系式可求得d的值，即可求得CE+EF的最小值．
【解析】（1）由题意可得-4k+b=0b=3，解得k=34b=3，
∴直线解析式为y=34x+3；
（2）如图1，过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，
则∠AHQ＝∠ABO，且∠AHP＝90°，
∴∠PHQ+∠AHQ＝∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠PHQ＝∠BAO，且∠AOB＝∠PQH＝90°，
∴△PQH∽△BOA，
∴PQOB=HQOA=PHAB，
设H（m，34m+3），则PQ＝x﹣m，HQ=34m+3﹣（﹣x2+2x+1），
∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，AB＝5，且PH＝d，
∴x-m3=34m+3-(-x2+2x+1)4=d5，
整理消去m可得d=45x2﹣x+85=45（x-58）2+10380，
∴d与x的函数关系式为d=45（x-58）2+10380，
∵45＞0，
∴当x=58时，d有最小值，此时y＝﹣（58）2+2×58+1=11964，
∴当d取得最小值时P点坐标为（58，11964）；
（3）如图2，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，
∴CE+EF＝C′E+EF，
∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，
∵C（0，1），
∴C′（2，1），
由（2）可知当x＝2时，d=45×（2-58）2+10380=145，
即CE+EF的最小值为145．
17．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-34x+94与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线y＝ax2+bx+94（a≠0）过A，B两点，与x轴交于另一点C（﹣1，0），抛物线的顶点为D
（1）求出A，B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（3）在直线AB上方的抛物线上有一动点E，求出点E到直线AB的距离的最大值；
（4）如图2，直线AB与抛物线的对称轴相交于点F，点P在坐标轴上，且点P到直线BD，DF的距离相等，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）令x＝0，则y=94，令y＝0，则x＝3，即可求解；
（2）将点A、C的坐标代入二次函数表达式得：9a+3b+94=0a-b+c=0，解得：a=-34b=32，即可求解；
（3）E到直线AB的距离＝EF＝EHcos∠FEH＝EHcos∠BAC，即可求解；
（4）分当点P在∠BDF平分线上、外角平分线上两种情况，分别求解即可．
【解析】（1）令x＝0，则y=94，令y＝0，则x＝3，
即点A、B的坐标分别为（3，0）、（0，94）；
（2）将点A、C的坐标代入二次函数表达式得：9a+3b+94=0a-b+c=0，解得：a=-34b=32，
抛物线的表达式为：y=-34x2+32x+94，
顶点D的坐标为（1，3）；
（3）过点E作EH∥y轴交AB于点H，过点E作EF⊥AB，
则∠FEH＝∠BAC，
E到直线AB的距离＝EF＝EHcos∠FEH＝EHcos∠BAC＝（-34x2+32x+94+34x-94）×45=-35x2+95x，
当x=32时，EF有最大值为2720；
（4）①当点P在∠BDF平分线上时，则角平分线与y轴P1、x轴的交点P2为所求，
过点P1作⊥DM交于点M，作P1N⊥BD交于点N，作BL⊥DM交于点M，则：P1M＝P1N＝1，
将点B、D坐标代入一次函数表达式并解得，函数表达式为：y=34x+94，
则点H坐标（﹣3，0），tan∠DBL=DLBL=3-941=34，则tan∠P1BN=43，
BP1=P1Nsin∠PBN=54，
故点P1（0，1）；
则直线DP1的表达式为：y＝2x+1，令y＝0，则x=-12，
即点P2（-12，0）；
②当点P在当点P在∠BDF的外交平分线上时，
此时点P所在的直线与直线P1P2所在的直线垂直，
同理可得点P的坐标为（0，72）或（7，0）；
故：点P的坐标为（0，1）或（-12，0）或（0，72）或（7，0）．
18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，过点B作BC的垂线，交对称轴于点E．
（1）求证：点E与点D关于x轴对称；
（2）点P为第四象限内的抛物线上的一动点，当△PAE的面积最大时，在对称轴上找一点M，在y轴上找一点N，使得OM+MN+NP最小，求此时点M的坐标及OM+MN+NP的最小值；
（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D′，点A的对应点A′，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，将△FBC沿BC翻折，使点F落在点F′处，在平面内找一点G，若以F′、G、D′、A′为顶点的四边形为菱形，求平移的距离．
【分析】（1）首先求出A、B、D的坐标，再根据△EFB∽△BOC，可得EFOB=BFOC，即EF32=223，推出EF＝4，求出点E的坐标即可解决问题；
（2）过点P作PQ∥y轴，交直线AE于点Q．构建二次函数，利用二次函数的性质求出点P的坐标，作点O关于对称轴的对称点O′（22，0），作点P关于Y轴的对称点P′（﹣22，﹣3），连接O′P′，分别交对称轴、y轴于点M、N，此时M、N即为所求；
（3）由题意F′（723，-83），A（-2+2t，﹣2t），D（2，﹣4），设平移距离为6t，则A′（-2+2t，﹣2t），D′（2+2t，﹣4﹣2t），可得A′F2＝6t2﹣24t+2649，D′F′2＝6t2+489，A′D′2＝24，分三种情形列出方程即可解决问题；
【解析】（1）证明：如图1中，令y＝0，得到12x2-2x﹣3＝0，解得x=-2或32，
∴A（-2，0），B（32，0），
令x＝0，可得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵y=12x2-2x﹣3=12（x-2）2﹣4，
∴顶点D（2，﹣4），设对称轴与x轴交于F，则BF＝22，
∵△EFB∽△BOC，
∴EFOB=BFOC，
∴EF32=223，
∴EF＝4，
∴E（2，4），
∴E、D关于x轴对称．
（2）过点P作PQ∥y轴，交直线AE于点Q．
∵yAE=2x+2，
∴设P（a，12a2-2a﹣3），Q（a，2a+2），（0＜a＜32），
∴PQ＝（2a+2）﹣（12a2-2a﹣3）=-12a2+22a+5，
∴S△PAE=12•PQ•|xE﹣xA|=12•（-12a2+22a+5）•22=-22a2+4a+52，
∴当a=-42×(-22)=22时，S△PAE最大，此时P（22，﹣3），
作点O关于对称轴的对称点O′（22，0），作点P关于Y轴的对称点P′（﹣22，﹣3），连接O′P′，分别交对称轴、y轴于点M、N，此时M、N即为所求．
∴yP′O′=328x-32，当x=2时，y=-34，
∴M（2，-34），
∴OM+MN+NP的最小值O′P′=(22+22)2+32=41．
（3）∵F′（723，-83），A（-2+2t，﹣2t），D（2，﹣4），
设平移距离为6t，则A′（-2+2t，﹣2t），D′（2+2t，﹣4﹣2t），
A′F2＝6t2﹣24t+2649，D′F′2＝6t2+489，A′D′2＝24，
①当A′F2＝D′F′2时，6t2﹣24t+2649=6t2+489，解得t＝1．
②当A′F′2＝A′D′2时，6t2﹣24t+2649=24，解得t=6±273．
③当D′F′2＝A′D′2时，24＝6t2+489，解得t=273或-273（舍弃），
∴平移的距离6t=6，66±2423，2423．
19．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-14x2+32x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的对称轴及△ABC的周长；
（2）点D是线段AC的中点，过点D作BC的平行线，分别与x轴、抛物线交于点E、F，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，连接PD交线段BC于点G，当四边形PGEF面积最大时，点Q从点P出发沿适当的路径运动到x轴上的点M处，再沿射线DF方向运动5个单位到点N处，最后回到直线BC上的点H处停止，当点Q的运动路径最短时，求点Q的最短运动路径长及点H的坐标；
（3）如图2，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A、C的对应点分别为点A1、C1，且点A1落在线段AC上，再将△A1OC1沿y轴平移得△A2O1C2，其中直线O1C2与x轴交于点K，点T是抛物线对称轴上的动点，连接KT、O1T，△O1KT能否成为以O1K为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点T的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理即可求得△ABC的周长；
（2）待定系数法求直线BC的解析式和直线DF解析式，联立方程组求得直线DF与抛物线交点F坐标，利用相似三角形性质求△PDF的高PS和△GDE的高GZ，再设P的横坐标为m，根据S四边形PGEF＝S△PDF﹣S△DEG将S四边形PGEF表示成关于m的二次函数，由二次函数最大值可求得点P坐标，作P关于x轴对称点P′，过P′作P′V⊥BC于V交x轴于M，过M作MN∥DF，且MN=5，点N在M右侧，过N作NH⊥BC于H，连接PM，此时，点Q的最短运动路径长＝PM+MN+NH，
（3）分四种情形：①当O1K＝KT时，且O1在x轴下方，②当O1K＝O1T时，且O1在x轴下方，③当O1K＝KT时，且O1在x轴上方，④当O1K＝O1T时，且O1在x轴上方，逐个进行计算即可．
【解析】（1）抛物线的对称轴x=-322×(-14)=3，在抛物线y=-14x2+32x+4中，令x＝0，得y＝4，∴C（0，4），
令y＝0，得-14x2+32x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8，∴A（﹣2，0），B（8，0），AB＝8﹣（﹣2）＝10，
∴AC=OA2+OC2=22+42=25，BC=OB2+OC2=82+42=45，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+25+45=10+65．
（2）设BC解析式为y＝kx+b，将B（8，0），C（0，4）分别代入得8k+b=0b=4，解得k=-12b=4，
∴直线BC的解析式为y=-12x+4，
∵D为AC中点，∴D（﹣1，2），
∴CD=12AC=12OA2+OC2=1222+42=5
∵tan∠ACO=24=12，tan∠CBO=OCOB=48=12
∴tan∠ACO＝tan∠CBO
∴∠ACO＝∠CBO，∵∠CBO+∠BCO＝90°
∴∠ACO+∠BCO＝90°，即∠BCA＝90°
∵DF∥BC，设DF解析式为y=-12x+n，将D（﹣1，2）代入得-12×(-1)+n=2，解得：n=32，
∴直线DF解析式为y=-12x+32，令y＝0，则x＝3，∴E（3，0）
解方程组y=-12x+32y=-14x2+32x+4得x1=4-26y1=26-12，x2=4+26y2=-26+12；∴F（4+26，-26+12），
设P（m，-14m2+32m+4），过D作DW⊥x轴于点W，过F作FR⊥x轴于点R，过P作PL⊥x轴交BC于点L，PT⊥BC于T交DF于S，过G作GZ⊥DF于Z，则L（m，-12m+4），PL=-14m2+2m，
∵DF∥BC，
∵PL⊥x轴，PT⊥BC
∴∠PLT＝∠BCO，∠PTL＝∠BOC＝90°
∴△BCO∽△PLT
∴PTPL=OBBC，即PT-14m2+2m=845
∴PT=-510m2+455m，
∵DF∥BC，GZ⊥DF，PT⊥BC
∴GZ＝TS＝CD=5
∴PS＝PT+TS=-510m2+455m+5，
∴S四边形PGEF＝S△PDF﹣S△DEG=12×55+1302（-510m2+455m+5）=-5+268（m﹣4）2+65+13264，
∴当m＝4时，S四边形PGEF的最大值=65+13264，此时，P（4，6），
作P关于x轴对称点P′（4，﹣6），过P′作P′K⊥BC于K交x轴于M，过M作MN∥DF，且MN=5，点N在M右侧，过N作NH⊥BC于H，连接PM，
此时，点Q的最短运动路径长＝PM+MN+NH＝P′K+MN，
易求得直线PK解析式为：y＝2x﹣14，令y＝0，得x＝7，∴M（7，0），∴PM=(4-7)2+(6-0)2=35，NH＝MK=55
∴点Q的最短运动路径长＝35+55+5=2155，
联立方程组y=2x-14y=-12x+4，解得：x=365y=25，∴V（365，25），
∵VH＝MN=5，由平移规律可知：H（465，-35）；
（3）△O1KT能成为以O1K为直角边的等腰直角三角形．
①当O1K＝KT时，且O1在x轴下方，设抛物线对称轴交x轴于点U，则U（3，0）
∵△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，且点A1落在线段AC上，设T（3，t）
∴OA1＝OA＝2，易求得：A1（-65，85），C1 （165，125），∴tan∠C1OB=34，
∵O1C2∥OC1，
∴∠OO1C2＝∠C1OB，
∵∠O1KT＝90°，∴∠O1KO+∠TKB＝∠OO1C2+∠O1KO＝90°
∴∠TKB＝∠OO1C2，∴tan∠TKB=UTKU=tan∠C1OB=34，
∴KU=-43t，
∵O1K＝KT
∴△O1KO≌△KTU（AAS）
∴OK＝UT＝﹣t，∵OK+KU＝3
∴﹣t-43t=3，解得：t=-97
∴T1（3，-97），
②当O1K＝O1T时，且O1在x轴下方，如图3，作TU⊥y轴于U，
∵∠KOU＝∠TUO＝∠TO1K＝90°，
∴∠OO1K+∠O1KO＝∠OO1K+∠TO1U＝90°
∴∠O1KO＝∠TO1U
∵O1K＝O1T
∴△O1KO≌△TO1U（AAS）
∴OO1＝TU＝3
∵OO1OK=34，即：3OK=34，∴O1U＝OK＝4
∴OU＝7
∴T2（3，7），
③当O1K＝KT时，且O1在x轴上方，方法同①，此时，点T不存在；
④当O1K＝O1T时，且O1在x轴上方，方法同②，可求得T3（3，﹣1）；
综上所述，使△O1KT成为以O1K为直角边的等腰直角三角形的点T的坐标为：T1（3，-97），T2（3，7），T3（3，﹣1）；
20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-13x2+233x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；
（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形；
（2）先求出S△PCD最大时，点P（332，154），然后判断出所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长，计算即可；
（3）△A′C1E′是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可．
【解析】（1）△ABC为直角三角形，
当y＝0时，即-13x2+233x+3＝0，
∴x1=-3，x2＝33
∴A（-3，0），B（33，0），
∴OA=3，OB＝33，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
根据勾股定理得，AC2＝OB2+OC2＝12，BC2＝OB2+OC2＝36，
∴AC2+BC2＝48，
∵AB2＝[33-（-3）]2＝48，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
（2）如图1，
∵B（33，0），C（0，3），
∴直线BC解析式为y=-33x+3，
过点P作PG∥y轴，
设P（a，-13a2+233a+3），
∴G（a，-33a+3），
∴PG=-13a2+3a，
设点D的横坐标为xD，G点的横坐标为xG，
S△PCD=12×（xG﹣xD）×PG=-36（a-332）2+938，
∵0＜a＜33，
∴当a=332时，S△PCD最大，此时点P（332，154），
如图，∵抛物线的对称轴为x=3，
∴MN=3，
∴将点P向左平移MN（3个单位）至P′，连接AP'，交y轴于点N，过点N作MN⊥抛物线对称轴于点M，
连接PM，点Q沿P→M→N→A运动，M所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长，
∵P（332，154），
∴P'（32，154），点A（-3，0），
∴直线AP'的解析式为y=536x+52，
当x＝0时，y=52，
∴N（0，52），
∴AN=372，M（3，52），
∵P（332，154），
∴PM=374，
∴点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN=374+3+372=3+3374，
（3）在Rt△AOC中，
∵tan∠OAC=OCOA=3，
∴∠OAC＝60°，
∵OA＝OA1，
∴△OAA1为等边三角形，
∴∠AOA1＝60°，
∴∠BOC1＝30°，
∵OC1＝OC＝3，
∴C1（332，32），
∵点A（-3，0），E（3，4），
∴AE＝27，
∴A′E′＝AE＝27，
∵直线AE的解析式为y=233x+2，
设点E′（a，233a+2），
∴点E移动（a-3）单位到点E'，
∴点A也移动（a-3）单位到点A'，
∴A′（a﹣23，23a3-2）
∴C1E′2＝（a-332）2+（23a3+2-32）2=73a2-733a+7，
C1A′2＝（a﹣23-332）2+（23a3-2-32）2=73a2-3533a+49，
①若C1A′＝C1E′，则C1A′2＝C1E′2
即：73a2-733a+7=73a2-3533a+49，
∴a=332，
∴E′（332，5），
②若A′C1＝A′E′，
∴A′C12＝A′E′2
即：73a2-3533a+49＝28，
∴a1=53+392，a2=53-392，
∴E′（53+392，7+13），或（53-392，7-13），
③若E′A′＝E′C1，
∴E′A′2＝E′C12
即：73a2-733a+7＝28，
∴a1=3+392，a2=3-392（由于点E'在射线AE上，所以舍），
∴E′（3+392，3+13），
即，符合条件的点E′（332，5），（53+392，7+13），或（53-392，7-13），（3+392，3+13）．
21．如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小，做法是：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
（1）如图2，在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法是：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 3 ；
（2）如图3，已知⊙O的直径CD为2，AC的度数为60°，点B是AC的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为 2 ；
（3）如图4，点P是四边形ABCD内一点，BP＝m，∠ABC＝α，分别在边AB、BC上作出点M、N，使△PMN的周长最小，求出这个最小值（用含m、α的代数式表示）．
【分析】（1）如图2，只需利用等边三角形的性质及勾股定理就可求出CE的长．
（2）过点B作直径CD的对称点B′，由圆的对称性可知：点B′必在⊙O上．连接AB′，与CD的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．连接PB、OA、OB′，如图3，根据条件可求出AB'的度数为90°，从而得到∠AOB′的度数也为90°，然后运用勾股定理求出AB′的长，就可解决问题．
（3）分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、N，连接PM、PN，如图4，则线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值．连接BE、BF，过B作BH⊥EF于H．由对称性可得：BE＝BF＝BP＝m，∠EBF＝2∠ABC＝2α．根据等腰三角形的性质可得：∠EBH=12∠EBF=α，EH＝FH．然后在Rt△BEH中运用三角函数就可求出EH，进而求出EF，就可解决问题．
【解析】（1）如图2，
∵△ABC是等边三角形，点E为AB中点，AB＝2，
∴AC＝AB＝2，AE=12AB＝1，CE⊥AB．
∴CE=AC2-AE2=3．
故答案为：3．
（2）过点B作直径CD的对称点B′，由圆的对称性可知：点B′必在⊙O上．
连接AB′，与CD的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
连接PB、OA、OB′，如图3，
∵点B与点B′关于CD的对称，
∴CB'=CB．
∵点B是AC的中点，AC的度数为60°，
∴BC的度数为30°．
∴CB'的度数为30°．
∴AB'的度数为90°．
∴∠AOB′＝90°．
∵OA＝OB′=12CD=12×2＝1，
∴AB′=2．
故答案为：2．
（3）分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、N，连接PM、PN，如图4，
则线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值．
连接BE、BF，过B作BH⊥EF于H．
∵点E与点P关于AB对称，点F与点P关于BC对称，
∴∠EBA＝∠PBA，∠FBC＝∠PBC，BE＝BF＝BP＝m．
∴∠EBF＝2∠ABC＝2α．
∵BE＝BF，BH⊥EF，
∴∠EBH=12∠EBF=α，EH＝FH．
在Rt△BEH中，
∵sinα=EHEB，
∴EH＝BE•sinα＝m•sinα．
∴EF＝2m•sinα．
∴△PMN周长的最小值为2m•sinα．
22．（1）画图探究：
如图1，若点A、B在直线m同侧，在直线m上求作一点P，使AP+BP的值最小，保留作图痕迹，不写作法；
（2）实践运用：
如图2，在等边△ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，点P是高AD上一个动点，求BP+PE的最小值
（3）拓展延伸：
如图3，四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，并求此时∠MAN的度数．
【分析】（1）作出A点关于m的对称点A′，连接A′B即可得出P点位置；
（2）连接CE，交AD于点P，此时BP+PE最小，再利用等边三角形的性质得出即可；
（3）分别作出点A关于CD，BC的对称点E，F，连接EF分别交CD、BC于点M、N此时△AMN周长最小；再利用三角形内角和定理得出即可．
【解析】（1）如图1所示：P点即为所求；
（2）如图2，连接EC，交AD于点P，
此时BP+PE最小，
∵等边△ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，
∴CE⊥AB，
∴BE＝1，BC＝2，
∴EC=3，
∴BP+PE的最小值为：3；
（3）如图3：
分别作出点A关于CD，BC的对称点E，F，连接EF分别交CD、BC于点M、N此时△AMN周长最小；
∵∠BAD＝125°，∴∠E+∠F＝55°，∴∠DAM+∠EAB＝∠E+∠F＝55°，
∴∠MAN＝125°﹣55°＝70°．
23．【观察发现】（1）如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．作法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P．
（2）如图2，在等边三角形ABC中，AB＝4，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．
作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 23 ．
【实践运用】
如图3，菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，若点P是BD上的动点，则MP+PN的最小值是 5 ．
【拓展延伸】
（1）如图4，正方形ABCD的边长为5，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 522 ；
（2）如图5，在四边形ABCD的对角线BD上找一点P，使∠APB＝∠CPB．保留画图痕迹，并简要写出画法．
【分析】【观察发现】（2）根据勾股定理求出CE的长度即为所求；
【实践运用】作点N关于BD的对称点N′，连接MN′交BD于点P，求出MN′的长度即为所求；
【拓展延伸】（1）作点D关于AE的对称点D′，过点D′作D′P⊥AD，交AE于点Q，求出D′P的长度即可；
（2）作点C关于BD的对称点C′，连接AC′并延长交于BD于点P，则点P即为所求；
【解析】
【观察发现】（2）如图
在等边三角形ABC中，AB＝4，点E是AB的中点，
∴∠BEC＝90°，BE＝2，BC＝4，
由勾股定理可求：CE=BC2-BE2=23，
∴BP+PE的最小值为23；
【实践运用】如图3，
作点N关于BD的对称点N′，连接MN′交BD于点P，此时MP+PN的最小，MP+PN＝MN′，
∵菱形ABCD中，M、N分别是边BC、CD的中点，
∴由菱形的轴对称性可知，点N′为AD的中点，
易证MN′＝AB，
∵菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8，
∴∠APB＝90°，AP＝3，BP＝4，
由勾股定理可求，AB=32+42=5，
∴MN′＝AB＝5，
∴MP+PN的最小值是5；
【拓展延伸】（1）如图4，
作点P关于AE的对称点P′，
∵AE是∠DAC的平分线，
∴点P′在AD上，
过点D作DD′⊥AC于D′，
∵DQ+QP＝DQ+QP′≤DD′，
∵DD′＝AD•sin45°=522，
∴DQ+QP≤525，
∴DQ+PQ的最小值是522；
（2）如图5，
作点C关于BD的对称点C′，连接AC′并延长交于BD于点P，则点P即为所求．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知线段a，P为线段a上任意一点，已知图形M，Q为图形M上任意一点，当P，Q两点间的距离最小时，将此时PQ的长度称为图形M与线段a的近点距；当P，Q两点间的距离最大时，将此时PQ的长度称为图形M与线段a的远点距．
根据阅读材料解决下列问题：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，﹣2），正方形ABCD的对称中心为原点O．
（1）线段AB与线段CD的近点距是 4 ，远点距是 42 ．
（2）如图2，直线y＝﹣x+6与x轴，y轴分别交于点E，F，则线段EF和正方形ABCD的近点距是 2 ，远点距是 217 ；
（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴，y轴分别交于点R，S，线段RS与正方形ABCD的近距点是22，则b的值是 ±8 ；
（4）在平面直角坐标系xOy中，有一个矩形GHMN，若此矩形至少有一个顶点在以O为圆心1为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内，将正方形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与矩形GHMN的近点距的最小值是 1 ，远点距的最大值是 22+1 ．
【分析】（1）线段AB与线段CD的近点距是正方形的边长，远点距是正方形的对角线．
（2）如图2中，连接AC，延长AC交EF于M．解直角三角形求出AM，AE，AF，CM即可解决问题、
（3）如图3中，设直线BD交直线y＝x+b于M，N．由题意当DM＝BN＝22时，线段RS与正方形ABCD的近距点是22，作MP⊥OR于P，由△OPM是等腰直角三角形，OM＝42，求出点M的坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（4）如图4中，作正方形ABCD的外接圆与内切圆．利用图象法解决问题即可．
【解析】（1）线段AB与线段CD的近点距是正方形的边长＝4，远点距是正方形的对角线＝42．
故答案为4，42．
（2）如图2中，连接AC，延长AC交EF于M．
∵OM平分∠EOF，OE＝OF＝6，
∴OM⊥EF，EF=2OE＝62，
∴ME＝MF，
∴OM=12EF＝32，
∵OC＝OA＝22，
∴AM＝52，CM=2，
∵AE＝AF=82+22=217＞AM，
∴AE或AF的长是远点距，
∴线段EF和正方形ABCD的近点距是2，远点距是217．
故答案为2，217．
（3）如图3中，设直线BD交直线y＝x+b于M，N．
由题意当DM＝BN＝22时，线段RS与正方形ABCD的近距点是22，
作MP⊥OR于P，∵△OPM是等腰直角三角形，OM＝42，
∴PM＝OP＝4，
∴M（﹣4，4），同法可得N（4，﹣4），
把M（﹣4，4），代入y＝x+b得到b＝8，
把N′（4，﹣4），代入y＝x+b得到b＝﹣8，
故答案为±8．
（4）如图4中，作正方形ABCD的外接圆与内切圆．
观察图象可知将正方形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与矩形GHMN的近点距的最小值是1，远点距的最大值是22+1，
故答案为1，22+1．
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-32x2+92x+6与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，且点A的横坐标为4，点D和点B关于抛物线的对称轴对称．
（1）求线段AC的长；
（2）如图1，在线段OA上有一动点E，过点E作OA的垂线交直线CD于点N，交抛物线于点P，当线段PN取得最大值时，如图2，将此时的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0＜a＜90°），连接AB、E′A、E′B，求E′A+16E′B的最小值．
（3）如图3，抛物线y=-32x2+92x+6沿x轴正方向平移得到新的抛物线y′，y′经原点O，y′与x轴的另一个交点为F，设点Q是抛物线钱y′上任意一点，点M为原抛物线对称轴上任意一点，能否存在点Q，使得△MQF是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题可解得A，C的坐标，从而求得线段AC的长度，
（2）设E（t，0）用t表示出点P，N的坐标，列出线段PN的关系式，取得最大值时，可得t的值，旋转后可得E′（cosα，sinα），表示出E′A+16E′B的关系式，即可求出其最小值；
（3）假设三角形存在，设M（32，m）Q（q，-32q2+152），由等腰直角三角形可得MQ⊥QF，即直线MQ和直线QF的斜率相乘为﹣1，且MQ＝QF，从而列出方程组，方程组有解即假设成立．
【解析】（1）有题可得A（4，0），C（﹣1，0），
∴AC＝5
（2）设E（t，0），0＜t＜4，
∵点D和点B关于抛物线的对称轴对称，∴B（0，6），D（3，6）
∴直线CD的解析式为y=32x+32
∴N（t，32t+32），P（t，-32t2+92t+6）
∴PN=-32t2+3t+92，即当t＝1时，PN取得最大值，∴E（1，0）
在y轴上取一点Q，使得OQOE'=16，
∴△E′OB～△QOE′，
∴QE'BE'=16
∴当Q（0，16）时，E′A+16E′B的最小值．
E′A+16E′B＝AE′+QE≥AQ
A（4，0），Q（0，16），AQ=42+(16)2=5776
E′A+16E′B的最小值为5776．
（3）新的抛物线y′经原点O，即C（﹣1，0）向右平移后经过原点
∴平移了一个单位
∴新抛物线y′=-32x2+152，∴F（5，0）
设M（32，m），Q（q，-32q2+152），32＜q＜5
设存在这样的等腰直角三角形，则MQ⊥QF，∴斜率相乘为﹣1
即-32q2+152q-mq-32×-32q2+152qq-5=-1，整理后得-3q2+15q-2m=2(2q-3)3q
又∵MQ＝FQ∴(-32q2+152q-m)2+(q-32)2=(-32q2+152q)2+(q-5)2
整理后，将上式代入得（2q﹣3）2＝[3q（5﹣q）]2
若2q﹣3＝3q（5﹣q），即3q2﹣13q﹣3＝0，△＝13×13+4×9＝205＞0，方程有解，q=13±2056
又∵32＜q＜5，∴q=13+2056
若2q﹣3＝3q（q﹣5），即3q2＝17q+3＝0，△＝17×17﹣4×3×3＝253＞0，方程有解，q=17±2536
又∵32＜q＜5，∴q=17±2536，不合题意，舍去
综上所述q=13+2056，即存在这样的q值，
假设成立，存在这样的等腰直角三角形，且Q的横坐标为13+2056．
【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题8最短路径及最值问题
经典例题
【例1】如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，．
（1）如图①，，，．求证：；
（2）如图②，，当周长最小时，求的度数；
（3）如图③，若四边形为正方形，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度．
【例2】如图，等边的边长为6，点，分别是边，的中点，连接．
（1）如图①，求点到线段的最短距离；
（2）点，分别是，上的动点，连接、．
①如图②，当的长度取得最小值时，求的长度；
②如图③，点在上，若，连接，求的最小值．
【例3】如图，在中，，，，是的外接圆，是延长线上一点，且，连接，点是射线上的动点
（1）求证：是的切线；
（2）的长度为多少时，的度数最大，最大度数是多少？请说明理由；
（3）点运动的过程中，的值能否达到最小，若能，求出这个最小值；若不能，请说明理由．
【例4】在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；
（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；
(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
【例5】已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD＝16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向AB、AD作垂线段，垂足分别为E、F．
（1）如图1，求证：△PBE∽△PDE；
（2）连接PC，当PE+PF+PC取最小值时，求线段BP的长；
（3）如图2，对角线BD、AC交于点O，作以PO为半径，点P为圆心（PO＞0）的⊙P，试求
①⊙P与线段BC有一个公共点，线段BP长度的取值范围；
②⊙P与线段BC有两个公共点时，线段BP长度的取值范围．
【例6】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+233x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y=-33x+3．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；
（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
培优训练
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，l上有两点A、B，且点A坐标为（－14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示P、Q的坐标：P（ _________ ），Q（ _________ ）；
（2）在P、Q运动过程中，取线段PQ的中点D，当OBD为直角三角形时，求出t的值及相应的点D的坐标；
（3）取满足（2）中条件最右侧的D点，若坐标系中存在另一点E（，－4），请问x轴上是否存在一点F，使FD－FE的值最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
2．如图，已知正方形ABCD的边长为4、点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG、顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP＝1，则AE＝ ；
（2）①点O与△APE的位置关系是 ，并说明理由；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，线段AE的大小也在改变，当AP＝ ，AE达到最大值，最大值是 ．
3．以BC为斜边在它的同侧作Rt△DBC和Rt△ABC，其中∠A＝∠D＝90°，AB＝AC，AC、BD交于点P．
（1）如图1，BP平分∠ABC，求证：BC＝AB+AP；
（2）如图2，过点A作AE⊥BP，分别交BP、BC于点E、点F，连接AD，过A作AG⊥AD，交BD于点G，连接CG，交AF于点H，
①求证：△ABG≌△ADC；
②求证：GH＝CH；
（3）如图3，点M为边AB的中点，点Q是边BC上一动点，连接MQ，将线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK，连接PK、CK，当∠DBC＝15°，AP＝2时，请直接写出PK+CK的最小值．
4．在平面直角坐标系中，如图所示，，．点P从点O出发在线段上以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点B出发在线段上以每秒2个单位的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，停止运动,连接．
（1）如图1，连接交于点D，则点D的坐标为________；
（2）如图2，过A作于点H，求的最小值；
（3）如图3，在上取一点M，使得，那么点M的纵坐标是否存在最大值，若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2分别与x、y轴交于A、C两点，点B（1，0）在x轴上．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点C关于原点的对称点为C′，问在AB的垂直平分线上是否存在一点G，使得△GBC′的周长最小？若存在，求出点G的坐标和最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）设点P是直线BC上异于点B、C的一个动点，过点P作PQ∥x轴交直线AC于点Q，过点Q作QM⊥x轴于点M，再过点P作PN⊥x轴于点N，得到矩形PQMN，在点P的运动过程中，当矩形PQMN为正方形时，求该正方形的边长．
6．（问题提出）
（1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________．
（2）如图2，在中，，，求的最小值．
（问题解决）
（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积．
7．问题发现：
（1）正方形ABCD和正方形AEFG如图①放置，AB＝4，AE＝2.5，则＝___________．
问题探究：
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在矩形的内部，∠BPC＝135°，求AP长的最小值．
问题拓展：
（3）如图③，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝45°，则对角线BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
8．在平行四边形ABCD中，已知∠A＝45°，AD⊥BD，点E为线段BC上的一点，连接DE，以线段DE为直角边构造等腰RtDEF，EF交线段AB于点G，连接AF、DG．
（1）如图1，若AB＝12，BE＝5，则DE的长为多少？
（2）如图2，若点H，K分别为线段BG，DE的中点，连接HK，求证：AG＝2HK；
（3）如图3，在（2）的条件下，若BE＝2，BG＝2，以点G为圆心，AG为半径作⊙G，点M为⊙G上一点，连接MK，取MK的中点P，连接AP，请直接写出线段AP的取值范围．
9．问题提出
（1）在图1中作出点关于直线的对称点
问题探究
（2）如图2，在中，，，为的中点，为线段上一点，求的最小值.
问题解决
（3）如图3，四边形为小区绿化区，，，，，，是以为圆心，为半径的圆弧.现在规划在，边和边上分别取一点，，，使得为这一区域小路，求小路长度的最小值.
10．如图①，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处．
（1）求点、的坐标；
（2）如图②，若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作于点，设的长为，的面积为，请求出关于的关系式；
（3）如图③，在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？若存在，请求出四边形周长的最小值及此时点、的坐标；若不存在，请说明理由
11．已知在中，，，，将绕点顺时针旋转60°，得到，点在上，连接．
（1）如图①，求线段的长；
（2）如图②，连接，作，垂足为，求的长度；
（3）如图③，点是线段的中点，点是线段上的动点（不与点重合），求周长的最小值．
12．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，连接，点是抛物线在第四象限上一点，连接，，求面积的最大值；
（3）如图②，点为抛物线的顶点，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接．将抛物线沿轴向右平移个单位，点，的对应点分别为、，连接、，当四边形的周长取最小值时，求的值．
13．将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处，展开如图（1）．
【操作观察】（1）作DF⊥AC，且DF＝3，AB＝8，则S△ABD＝ 12 ；
【理解运用】如图（2）若∠BAC＝60°，AC＝8，F是AC的中点，连接EF交AD于点M，点P是AD上的动点，连接PF和PC，试说明：PF+PC≥43；
【拓展提高】请根据前面的解题经验，解决下面问题：如图（3），在平面直角坐标系中，A点的坐标为（1，3），B点的坐标为（3，﹣2），点P是x轴上的动点，连接AP、BP，求AP﹣BP的最大值，并写出P点的坐标．
14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=13x2+233x-3与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，连接BC．过点A作BC的平行线交抛物线于点D．
（1）求△ABC的面积；
（2）已知点M是抛物线的顶点，在直线AD上有一动点E，x轴上有一动点F，当ME+BE最小时，求|CF﹣EF|的最大值及此时点F的坐标；
（3）如图2，在y轴正半轴上取点Q，使得CB＝CQ，点P是x轴上一动点，连接PC，将△CPQ沿PC折叠至△CPQ′．连接BQ，BQ′，QQ′，当△BQQ′为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：
①连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2交点为P；
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来．
（1）画出曲线L，观察、猜想它是我们学过的哪种曲线，请求出曲线的解析式；
（2）连接AP，当点M不与原点重合时，设l1与y轴交于点N，连接MN，证明：四边形APMN是菱形；
（3）若点Q（﹣2，5），点R是曲线上一动点，连接QR，AR，当QR+AR的值最小时，求点R的坐标及最小值．
16．如图，直线y＝kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y＝﹣x2+2x+1与y轴交于点C．
（1）求直线y＝kx+b的函数解析式；
（2）若点P（x，y）是抛物线y＝﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y＝﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．
17．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-34x+94与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线y＝ax2+bx+94（a≠0）过A，B两点，与x轴交于另一点C（﹣1，0），抛物线的顶点为D
（1）求出A，B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（3）在直线AB上方的抛物线上有一动点E，求出点E到直线AB的距离的最大值；
（4）如图2，直线AB与抛物线的对称轴相交于点F，点P在坐标轴上，且点P到直线BD，DF的距离相等，请直接写出点P的坐标．
18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，过点B作BC的垂线，交对称轴于点E．
（1）求证：点E与点D关于x轴对称；
（2）点P为第四象限内的抛物线上的一动点，当△PAE的面积最大时，在对称轴上找一点M，在y轴上找一点N，使得OM+MN+NP最小，求此时点M的坐标及OM+MN+NP的最小值；
（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D′，点A的对应点A′，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，将△FBC沿BC翻折，使点F落在点F′处，在平面内找一点G，若以F′、G、D′、A′为顶点的四边形为菱形，求平移的距离．
19．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-14x2+32x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的对称轴及△ABC的周长；
（2）点D是线段AC的中点，过点D作BC的平行线，分别与x轴、抛物线交于点E、F，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，连接PD交线段BC于点G，当四边形PGEF面积最大时，点Q从点P出发沿适当的路径运动到x轴上的点M处，再沿射线DF方向运动5个单位到点N处，最后回到直线BC上的点H处停止，当点Q的运动路径最短时，求点Q的最短运动路径长及点H的坐标；
（3）如图2，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A、C的对应点分别为点A1、C1，且点A1落在线段AC上，再将△A1OC1沿y轴平移得△A2O1C2，其中直线O1C2与x轴交于点K，点T是抛物线对称轴上的动点，连接KT、O1T，△O1KT能否成为以O1K为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点T的坐标；若不能，请说明理由．
20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-13x2+233x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；
（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．
21．如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小，做法是：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
（1）如图2，在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法是：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 3 ；
（2）如图3，已知⊙O的直径CD为2，AC的度数为60°，点B是AC的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为 2 ；
（3）如图4，点P是四边形ABCD内一点，BP＝m，∠ABC＝α，分别在边AB、BC上作出点M、N，使△PMN的周长最小，求出这个最小值（用含m、α的代数式表示）．
22．（1）画图探究：
如图1，若点A、B在直线m同侧，在直线m上求作一点P，使AP+BP的值最小，保留作图痕迹，不写作法；
（2）实践运用：
如图2，在等边△ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，点P是高AD上一个动点，求BP+PE的最小值
（3）拓展延伸：
如图3，四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，并求此时∠MAN的度数．
23．【观察发现】（1）如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．作法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P．
（2）如图2，在等边三角形ABC中，AB＝4，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．
作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 23 ．
【实践运用】
如图3，菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，若点P是BD上的动点，则MP+PN的最小值是 5 ．
【拓展延伸】
（1）如图4，正方形ABCD的边长为5，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 522 ；
（2）如图5，在四边形ABCD的对角线BD上找一点P，使∠APB＝∠CPB．保留画图痕迹，并简要写出画法．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知线段a，P为线段a上任意一点，已知图形M，Q为图形M上任意一点，当P，Q两点间的距离最小时，将此时PQ的长度称为图形M与线段a的近点距；当P，Q两点间的距离最大时，将此时PQ的长度称为图形M与线段a的远点距．
根据阅读材料解决下列问题：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，﹣2），正方形ABCD的对称中心为原点O．
（1）线段AB与线段CD的近点距是 4 ，远点距是 42 ．
（2）如图2，直线y＝﹣x+6与x轴，y轴分别交于点E，F，则线段EF和正方形ABCD的近点距是 2 ，远点距是 217 ；
（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴，y轴分别交于点R，S，线段RS与正方形ABCD的近距点是22，则b的值是 ±8 ；
（4）在平面直角坐标系xOy中，有一个矩形GHMN，若此矩形至少有一个顶点在以O为圆心1为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内，将正方形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与矩形GHMN的近点距的最小值是 1 ，远点距的最大值是 22+1 ．
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-32x2+92x+6与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，且点A的横坐标为4，点D和点B关于抛物线的对称轴对称．
（1）求线段AC的长；
（2）如图1，在线段OA上有一动点E，过点E作OA的垂线交直线CD于点N，交抛物线于点P，当线段PN取得最大值时，如图2，将此时的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0＜a＜90°），连接AB、E′A、E′B，求E′A+16E′B的最小值．
（3）如图3，抛物线y=-32x2+92x+6沿x轴正方向平移得到新的抛物线y′，y′经原点O，y′与x轴的另一个交点为F，设点Q是抛物线钱y′上任意一点，点M为原抛物线对称轴上任意一点，能否存在点Q，使得△MQF是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题8最短路径及最值问题
经典例题
【例1】如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，．
（1）如图①，，，．求证：；
（2）如图②，，当周长最小时，求的度数；
（3）如图③，若四边形为正方形，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）延长到点G,使，连接，首先证明，则有，，然后利用角度之间的关系得出，进而可证明，则，则结论可证；
（2）分别作点A关于和的对称点，，连接，交于点，交于点，根据轴对称的性质有，，当点、、、在同一条直线上时，即为周长的最小值，然后利用求解即可；
（3）旋转至的位置，首先证明，则有，最后利用求解即可．
【解析】
（1）证明：如解图①，延长到点，使，连接，
在和中，
．
，，
，，
．
，
在和中，
．
，；
（2）解：如解图，分别作点A关于和的对称点，，连接，交于点，交于点．
由对称的性质可得，，
此时的周长为．
当点、、、在同一条直线上时，即为周长的最小值．
，
．
，，
；
（3）解：如解图，旋转至的位置，
，
，．
在和中，
．
．
．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【例2】如图，等边的边长为6，点，分别是边，的中点，连接．
（1）如图①，求点到线段的最短距离；
（2）点，分别是，上的动点，连接、．
①如图②，当的长度取得最小值时，求的长度；
②如图③，点在上，若，连接，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①当的长度取得最小值时，；②的最小值为．
【分析】
（1）本题过点D向BE作垂线，继而根据等边三角形性质以及中点性质求解BD，最后利用30°直角三角形边长比例关系求解DH．
（2）①本题通过作点D关于BE的对称点，从而确定点P、N的位置，继而根据对称性质以及等边三角形性质判定△为等边三角形，最后根据三线合一以及三角函数求解BP．
②本题分别作点D、Q关于BE、BC的对称点，从而将不同的三线段相加问题转化为同一条直线上线段相加问题，继而利用等边三角形以及对称性质求解，度数，最后利用勾股定理求解本题．
【解析】
（1）过点作于点，如下图图①所示，即为所求．
∵是等边三角形，点，分别是边，的中点，
∴，．
在中，
∵，，
∴．
（2）①作点关于的对称点，过点作于点，交于点，如下图图②所示：
点，关于对称，
．
，
，此时的值最小．
垂直平分，
．
，
是等边三角形．
．
在中，，
．
当的长度取得最小值时，．
②作关于的对称点，连接，作关于的对称点，连接，分别交，于点P、N，如下图图③所示：
点，关于对称，
，=3．
点，关于对称，
，=1
此时．
当点、、、四点共线时，取得最小值，最小值为的长度．
∵等边△ABC，
∴根据轴对称的定义可知，
∴．
在中，．
的最小值为．
【点睛】
本题考查等边三角形与动点的综合问题，难度主要在于辅助线的构造，核心思想是将不在同一条直线上的各线段通过对称性，利用线段等量替换将问题转化到同一条直线，线段和最值另一典型题型为将军饮马，可对比练习．
【例3】如图，在中，，，，是的外接圆，是延长线上一点，且，连接，点是射线上的动点
（1）求证：是的切线；
（2）的长度为多少时，的度数最大，最大度数是多少？请说明理由；
（3）点运动的过程中，的值能否达到最小，若能，求出这个最小值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）当时，的度数达到最大为90°；理由见解析；（3）能； 的最小值为．
【分析】
（1）本题首先通过外角性质求解∠AOB度数，继而确定等边△AOB，随即利用边的长度证明BD=BA以求得∠D度数，最后求得∠DAO度数结合半径判定切线．
（2）本题根据点P分别在DA上，与A重合，在DA延长线上三种情况分类讨论，与A重合时利用三角函数知识求解AC，继而根据等腰性质求解DP；其他两种情况需要利用三角形外角性质并结合同弧所对的圆周角相等进行判断．
（3）本题作点C关于DA的对称点，进而确定点P位置，继而利用对称性质判定等边△，继而求解、，最后利用勾股定理求解本题．
【解析】
（1）连接，如下图所示：
，
．
，
是等边三角形．
，
．
又，
．
．
，
，
为的半径，
是的切线．
（2）根据点P不同位置，本题分三种情况讨论，如下图所示：
①当点运动到处，即点P与点A重合时，
由第一问可知∠D=∠ACB=30°，故AD=AC=DP，且∠BAC=∠BPC=90°
∵BC=4，
∴；
②当点在的延长线上时，连接，交于点，连接，
因为， 则；
③当点在线段上时，同②方法得，．
综上，当时，的度数最大，最大度数为90°；
（3）能．
作点关于射线的对称点，连接，，交于点，如下图所示：
则，
当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的长度，
过点作于点，连接．
由第一问可知，故结合对称性质有，
∴为等边三角形．
为的中点．
∵，，
，．
在中，根据勾股定理得：
．
的最小值为．
【点睛】
本题考查圆与动点的综合问题，切线判定掌握两条原则，即是半径、是直角；涉及动点问题常需要分类讨论，解题时首先选取特殊情况求解，借此观察一般情况下动点运动规律；线段和最值问题通常利用对称性质做辅助线解答，可与将军饮马模型进行对比练习．
【例4】在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；
（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；
(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
【答案】（1）①补图见解析；②；（2）
【分析】
（1）①根据要求画出图形即可；
②首先证明∠ECF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图2中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．根据两点之间线段最短可得DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，推出AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长；
【解析】
（1）①如图△DCF即为所求；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，
∴AC＝＝AB＝4，
∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，
∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，
∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，
设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，
∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．
即y＝2（x−2）2＋8，
∵2＞0，
∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，
当x＝4时，y最大值＝16，
∴8≤EF2≤16．
（2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．
由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，
∴AE＝EG，
∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，
∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．
在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，
∴FH＝AF＝，AH＝＝，
在Rt△DFH中，DF＝＝，
∴BE＋AE＋ED的最小值为．
【点睛】
本题考查作图−旋转变换，正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用旋转法添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
【例5】已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD＝16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向AB、AD作垂线段，垂足分别为E、F．
（1）如图1，求证：△PBE∽△PDE；
（2）连接PC，当PE+PF+PC取最小值时，求线段BP的长；
（3）如图2，对角线BD、AC交于点O，作以PO为半径，点P为圆心（PO＞0）的⊙P，试求
①⊙P与线段BC有一个公共点，线段BP长度的取值范围；
②⊙P与线段BC有两个公共点时，线段BP长度的取值范围．
【分析】（1）根据菱形性质得出∠ABD＝∠ADB，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）连接AC交BD于O，延长FP交BC于M，求出FM长，得出CP取最小值时PE+PF+CP的值最小，得出P和O重合，求出即可；
（3））①过P作PG⊥BC于G，设PB＝x，当P在线段BO上时，PO＝8﹣x，PG=35x，当OP＝PB时，⊙P经过P点，8﹣x＝x，求出x的值，即可得出答案；②根据①的结果即可得出答案．
【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴∠BEP＝∠DFP＝90°，
∴△PBE∽△PDF；
（2）如图1，连接AC交BD于O，延长FP交BC于M，
则FM⊥BC，
∵菱形ABCD，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵PM⊥BC，PE⊥AB，
∴PE＝PM，
∴PE+PF＝PM+PF＝FM，
在直角三角形AOB中，BO=12BD＝8，
∴AO=AB2-BO2=102-82=6，
∴AC＝2AO＝12，
∵S菱形ABCD=12AC•BD＝BC•FM，
∴FM=485，
因此，要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值，
所以当CP⊥BD时，即P和O重合时，PC最小，此时BP＝BO=12BD＝8．
（3）①过P作PG⊥BC于G，设PB＝x，当P在线段BO上时，PO＝8﹣x，PG=35x，
如图2、当PO＝PG时，⊙P与直线BC相切，8﹣x=35x，x＝5；
如图3、当OP＝PB时，⊙P经过B点，8﹣x＝x，x＝4，
即当0＜x≤4或x＝5时，⊙P与线段BC有一个公共点，
∴⊙P与线段BC有一个公共点，线段BP长度的取值范围是0＜BP≤4或BP＝5时；
②由①知：当4＜x＜5时，⊙P与线段BC有两个公共点，
当P在线段OD上时，PO＝x﹣8，PG=35x，
当PO＝PG时，⊙P与直线BC相切，x﹣8=35x，
x＝20＞BD，
即此时⊙P不可能与直线BC相切，更不可能相交，
综合所述，4＜BP＜5时，⊙P与直线BC有两个公共点，
即⊙P与线段BC有两个公共点时，线段BP长度的取值范围是4＜BP＜5．
【例6】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+233x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y=-33x+3．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；
（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）y=-33x+3，过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），则c=3，将点B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）分∠PCM＝90°、∠CPM＝90°两种情况，分别求解即可；
（3）作点E关于P′B′的对称点E′，将点E′沿P′B′方向平移2个单位得到点E″，连接E、E″交P′B′所在的直线于点B′，点B′沿P′B′方向平移2个单位得到点P′，则点P′、B′为所求，即可求解．
【解析】（1）y=-33x+3，过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），
则c=3，
将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a=-33，
故抛物线的表达式为：y=-33x2+233x+3；
（2）①当∠PCM＝90°时，
由点A、B、C的坐标知，△ABC为直角三角形，故AC⊥BC，
当△PCM为直角三角形时，点P与点A重合，
∴点P（﹣1，0）；
②当∠CPM＝90°时，
则点C、P关于函数对称轴对称，
此时点P（2，3），
故点P的坐标为（﹣1，0）或（2，3）；
（3）存在，理由：点P（2，3），
设图象沿BC方向向左平移3m个单位，则向上平移3m个单位，
则平移后点B′、P′的坐标分别为：（3﹣3m，3m）、（2﹣3m，3m+3），点E（1，0），
分别过点A、E作直线BC的平行线n、m，
过点B′作直线m的对称点B″，则EB′＝EB″，
当B″、E、P′三点共线时，EB'+EP'＝EB″+EP′＝B″P′最小；
点E是AB的中点，则直线m与直线n、直线m与直线BC等距离，则点B″在直线n上，
直线BC的倾斜角为30°，则直线B′B″的倾斜角为60°，
则设直线B′B″的表达式为：y=3x+b，
将点B′的坐标代入上式并解得：
直线B′B″表达式为：y=3x+（43m﹣33）…①，
设过点A的直线n的表达式为：y=-33x+b′，将点A的坐标代入上式并解得：
直线n的表达式为：y=-33（x+1）…②，
联立①②并解得：x＝2﹣3m，故点B″（2﹣3m，3m-3），而P′（2﹣3m，3m+3），
故EB'+EP'的最小值B″P′＝23．
培优训练
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，l上有两点A、B，且点A坐标为（－14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示P、Q的坐标：P（ _________ ），Q（ _________ ）；
（2）在P、Q运动过程中，取线段PQ的中点D，当OBD为直角三角形时，求出t的值及相应的点D的坐标；
（3）取满足（2）中条件最右侧的D点，若坐标系中存在另一点E（，－4），请问x轴上是否存在一点F，使FD－FE的值最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）－14＋2t，8；－6＋6t，8；（2）当OBD为直角三角形时，，点D的坐标为（0，8）或者，点D的坐标为（，8）；（3）x轴上存在一点F，使FD－FE的值最大，最大值为
【分析】
（1）根据点A坐标为（ －14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位可得点B的坐标，进而可得点P、Q的坐标；
（2）先表示出中点D的坐标，再根据OBD为直角三角形画出相应图形逐个求解即可；
（3）作点E关于x轴的对称点E1，连接DE1并延长，交x轴于点F，连接EF，先利用两点之间线段最短证明FD－FE＝取得最大值，最大值为线段DE1的长，再利用两点间的距离公式计算即可求得答案．
【解析】
解：（1）∵点A坐标为（ －14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，
∴点B的坐标为（－6，8），
∵动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒，
∴点P、Q的坐标分别为P（ －14＋2t，8），Q（－6＋6t，8），
故答案为：－14＋2t，8；－6＋6t，8；
（2）由（1）可得：点P、Q的坐标分别为P（ －14＋2t，8），Q（－6＋6t，8），
∴线段PQ的中点D的坐标为（，8），
即D（，8），
∵点D在直线l上，
∴∠OBD不可能是直角
∴如图，当∠BDO＝90°时，点D位于点D1处，此时点D的坐标为（0，8），
则，
解得：；
当∠BOD＝90°时，点D位于点D2处，
则，
∵点O（0，0），B（－6，8），D（，8），
∴，
解得：，
∴，
此时点D的坐标为（，8），
综上所述：当OBD为直角三角形时，，点D的坐标为（0，8）或者，点D的坐标为（，8）；
（3）如图，作点E关于x轴的对称点E1，连接DE1并延长，交x轴于点F，连接EF，
∵点E与点E1关于x轴对称，点F在x轴上，
∴FE＝FE1，
∴当点F、D、E1在同一直线上时，则FD－FE＝FD－FE1＝DE1，
当点F、D、E1不在同一直线上时，则FD－FE＝FD－FE1＜DE1，
∴当点F、D、E1在同一直线上时，FD－FE＝取得最大值，最大值为线段DE1的长，
∵点E与点E1关于x轴对称，点E（，－4），
∴点E1（，4），
又∵点D的坐标为（，8），
∴
，
∴x轴上存在一点F，使FD－FE的值最大，最大值为．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系与直角三角形以及轴对称的性质，理清题意并能熟练运用勾股定理是解决本题的关键．
2．如图，已知正方形ABCD的边长为4、点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG、顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP＝1，则AE＝ ；
（2）①点O与△APE的位置关系是 ，并说明理由；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，线段AE的大小也在改变，当AP＝ ，AE达到最大值，最大值是 ．
【答案】（1）；（2）①点O在△APE的外接圆上，见解析；②；（3）2，1
【解析】
解：（1）∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠EPG＝90°，PF⊥EG，AB＝BC＝4，∠OEP＝45°，
∴∠AEP+∠APE＝90°，∠BPC+∠APE＝90°，
∴∠AEP＝∠BPC，
∴△APE∽△BCP，
∴，即，
解得：AE；
故答案为：；
（2）①点O在△APE的外接圆上，理由是：
证明：如图1，
取PE的中点Q，连接AQ，OQ，
∵∠POE＝90°，
∴OQPE，
∵△APE是直角三角形，
∴点Q是Rt△APE外接圆的圆心，
∴AQPE，
∴OQ＝AQ＝EQ＝PQ，
∴O在以Q为圆心，以OQ为半径的圆上，
即点O在△APE的外接圆上；（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上），
故答案为：点O在△APE的外接圆上；
②连接OA、AC，如图2所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，
∴AC4，
∵A、P、O、E四点共圆，
∴∠OAP＝∠OEP＝45°，
∴点O在AC上，
当P运动到点B时，O为AC的中点，OAAC＝2，
即点O经过的路径长为2；
（3）设AP＝x，则BP＝4﹣x，
由（1）得：△APE∽△BCP，
∴，
∴，
∴AE（x﹣2）2+1，
∴x＝2时，AE的最大值为1，
即当AP＝2时，AE的最大值为1．
故答案为：2，1．
3．以BC为斜边在它的同侧作Rt△DBC和Rt△ABC，其中∠A＝∠D＝90°，AB＝AC，AC、BD交于点P．
（1）如图1，BP平分∠ABC，求证：BC＝AB+AP；
（2）如图2，过点A作AE⊥BP，分别交BP、BC于点E、点F，连接AD，过A作AG⊥AD，交BD于点G，连接CG，交AF于点H，
①求证：△ABG≌△ADC；
②求证：GH＝CH；
（3）如图3，点M为边AB的中点，点Q是边BC上一动点，连接MQ，将线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK，连接PK、CK，当∠DBC＝15°，AP＝2时，请直接写出PK+CK的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析；（3）PK+CK的最小值为4．
【分析】
（1）过点P作PT⊥BC于点T，根据等腰直角三角形和角平分线的性质可得AP=PT=TC，证明Rt△ABP≌Rt△TBP（HL），可得AB=TB，由BC=TB+TC，等量代换即可得出结论；
（2）①根据同角的余角相等得∠BAG=∠CAD，根据等角的余角相等得∠PBA=∠PCD，利用“ASA”即可得△ABG≌△ACD（ASA）；
②过点C作CR⊥AF交AF延长线于点R，首先证明△ABE≌△CAR（AAS），由全等三角形的性质得AE=CR，再由△ABG≌△ACD（ASA），得AG=AD，根据等腰直角三角形的性质得AE=GE=DE，等量代换得CR=GE，然后证明△EHG≌△RHC（AAS），即可得出结论；
（3）过点A作AO⊥BC于点O，连接OM，BK，先证△MBQ≌△MOK（SAS），得∠MBQ=∠MOK=45°，可得点K在OA所在的直线上移动，则PK+CK=PK+BK≥BP，可得出当且仅当B，K，P三点共线时PK+CK取得最小值，然后根据含30°直角三角形的性质即可求解．
【解析】
（1）证明：过点P作PT⊥BC于点T，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵PT⊥BC，
∴∠PTC＝90°，∠TPC＝∠TCP＝45°，
∴TP＝TC，
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PT⊥BC，
∴PA＝PT，
∴TC＝PA，
在Rt△ABP和Rt△TBP中，
，
∴Rt△ABP≌Rt△TBP（HL），
∴AB＝TB，
∵BC＝TB+TC，
∴BC＝AB+AP；
（2）①证明：∵AG⊥AD，
∴∠GAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC﹣∠GAC＝∠GAD﹣∠GAC，
∴∠BAG＝∠CAD，
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴∠PBA+∠APB＝∠PCD+∠DPC＝90°，
∵∠APB＝∠DPC，
∴∠ABG＝∠ACD，
在△ABG和△ACD中，
，
∴△ABG≌△ACD（ASA）；
②证明：过点C作CR⊥AF交AF延长线于点R，
∵AF⊥BP，CR⊥AF，
∴∠AEB＝∠CRA＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，
∵∠BAE+∠CAR＝90°，
∴∠ABE＝∠CAR，
在△ABE和△CAR中，
，
∴△ABE≌△CAR（AAS），
∴AE＝CR，
∵△ABG≌△ACD（ASA），
∴AG＝AD，
∵AE⊥DG，
∴AE＝GE＝DE，
∴CR＝GE，
在△EHG和△RHC中，
，
∴△EHG≌△RHC（AAS），
∴GH＝CH；
（3）解：过点A作AO⊥BC于点O，连接OM，BK，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AO⊥BC，
∴AO＝BO＝CO，
∵点M是AB的中点，
∴OM＝BM＝AM，OM⊥AB，
∴∠OAM＝∠OBM＝45°，
∴∠OMB＝90°，
∵线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK，
∴MQ＝MK，∠QMK＝90°，
∴∠OMB＝∠QMK，
∴∠OMB﹣∠OMQ＝∠QMK﹣∠OMQ，
∴∠BMQ＝∠OMK，
在△MBQ和△MOK中，
，
∴△MBQ≌△MOK（SAS），
∴∠MBQ＝∠MOK＝45°，
∴点K在OA所在的直线上移动，
∵OA垂直平分BC，
∴CK＝BK，
∴PK+CK＝PK+BK≥BP，
∴当且仅当B，K，P三点共线时PK+CK取得最小值，
∵∠ABC＝45°，∠DBC＝15°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠DBC＝30°，
在Rt△BAP中，∠BAP＝90°，∠ABP＝30°，AP＝2，
∴BP＝2AP＝4，
∴PK+CK的最小值为4．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
4．在平面直角坐标系中，如图所示，，．点P从点O出发在线段上以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点B出发在线段上以每秒2个单位的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，停止运动,连接．
（1）如图1，连接交于点D，则点D的坐标为________；
（2）如图2，过A作于点H，求的最小值；
（3）如图3，在上取一点M，使得，那么点M的纵坐标是否存在最大值，若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在点M纵坐标的最大值，此时OP=1
【分析】
（1）有P，Q的运动速度，设时间为t，表示出Q，P的坐标，再求出直线PQ的解析式，直线OB的解析式，联立即可求出点D的坐标；
（2）连接OB与PQ交于点D，由（1）得，连接DA，取DA的中点M，以M为圆心，以DM的长为半径作圆，连接OM，先说明点H在上运动，再由图形得出，三点共线时，OH取得最小值，用勾股定理，即可得出答案；
（3）连接OB，交PQ于点D，以AD为斜边，作等腰直角，以点N为圆心，以2为半径作，说明点M在上，连接MN，过点M作 于点T，连接AN交于于点，可得出即，再求出直线的解析式，求出与x轴的交点即为OP的长．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，
∵，
∴，
∴点C的坐标为，
∵点P从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，点Q从点B出发以每秒2个单位的速度向点C运动，
∴设时间为m，则，
∴，
设直线PQ的解析式为，
代入解得，
设直线OB的解析式为，
代入点B的坐标，求得，
联立 ，
解得，
故点D的坐标为 ，
故答案为；
（2）连接OB与PQ交于点D，由（1）得，点D（3,2），
连接DA，取DA的中点M，以M为圆心，以DM的长为半径作圆，
∵点D（3,2），点，
∴点M的坐标为，，
∴，
∵，
∴点H在上运动，
连接HM，
由图可知，
，
当三点共线时，取得最小值，
即，
故OH的最小值为；
（3）存在，理由如下，
连接OB，交PQ于点D，以AD为斜边，作等腰直角，以点N为圆心，以2为半径作，则在圆上，与轴相切，
∵，
∴点M在上，
∵与轴相切，在上，
∴
连接MN，过点M作 于点T，连接AN交于于点，
∴
∴
∴，
连接交x轴于点,交于BC与点，
设直线的解析式为,
代入点，，
解得直线的解析式为，
∴当时，,
∴存在点M纵坐标的最大值，此时OP=1．
【点睛】
本题考查菱形的性质，一次函数问题，构造三角形求线段最小值，圆的知识，三角形三边关系，坐标与图形，解题关键是熟练掌握相关知识点，能够构造圆进行求解．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2分别与x、y轴交于A、C两点，点B（1，0）在x轴上．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点C关于原点的对称点为C′，问在AB的垂直平分线上是否存在一点G，使得△GBC′的周长最小？若存在，求出点G的坐标和最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）设点P是直线BC上异于点B、C的一个动点，过点P作PQ∥x轴交直线AC于点Q，过点Q作QM⊥x轴于点M，再过点P作PN⊥x轴于点N，得到矩形PQMN，在点P的运动过程中，当矩形PQMN为正方形时，求该正方形的边长．
【答案】（1）；（2）存在，，；（3）或
【分析】
（1）由可求得，，，结合，即可求得直线BC的解析式；
（2）由可知当、、三点共线时，的周长取得最小值，分别在和利用勾股定理计算相关线段即可得到周长最小值的数值，此时点横坐标为，通过计算得到直线表达式，代入求解即可．
（3）设正方形的变成为,则用表示出、、、四点坐标，由，分两种情况，列式计算即可．
【解析】
解：（1）∵分别与x、y轴交于A、C两点，
∴令，得 ，即，
令，得，即，
设直线BC的解析式为：，
将,,代入中，
得：，
解得：.
∴直线BC的解析式为：，
（2）存在，理由如下：
据题意，作图如下：
∵点与点关于原点对称，且,
∴,
∵, 为定长，
∴当取得最小值时，的周长取得最小值，
即当、、三点共线时，取得最小值．作图如下：
设线段所在的直线函数表达式为：，
将点，代入，
得：，
解得：．
∴线段所在的直线函数表达式为：，
∵点G为线段AB垂直平分线上的点，
∴点G的横坐标为：，
∴点G的纵坐标为：，
∴．
又∵点G为线段AB垂直平分线上，
∴，
∴，
在中，,，
，
∵，
∴，
在中，，
，
∵，
∴，
∴．
（3）①当点在线段BC之间时，存在正方形PQMN，如下图：
设正方形的边长为，
∵点在直线上，点在直线上，
∴点，点，
∴点,点，
∵，
即，
解得：．
②当点在直线BC的左下方时，存在正方形PQMN，如下图：
同理可得：，，
此时：，
解得：，
综上所述，正方形PQMN的边长为或．
【点睛】
本题考查一次函数综合，一次函数解析式求法，勾股定理等，灵活应用知识点解题是关键．
6．（问题提出）
（1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________．
（2）如图2，在中，，，求的最小值．
（问题解决）
（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积．
【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）．
【分析】
（1）由旋转得BN=BM，∠MBN=60°，可判断出△BMN是等边三角形即可；
（2）设AB=a，则AC=10-a，进而根据勾股定理得出即可得出结论；
（3）先判断出点A'，E'，E，C在同一条线上，设BF=x，进而依次得出AB=2x，BC=6-2x，CF=6-x，再利用勾股定理得出，得出x=是A'C最小，进而求出A'F，BC，利用平行四边形面积公式计算即可．
【解析】
（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下;
由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°
∴△BMN为等边三角形
故答案为：等边三角形；
（2）解：设AB=a，
∵AB+AC=10，
∴AC=10-AB=，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
，
∵，
∴，即，
∴，
即BC的最小值为；
（3）解：如图3，
将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'，
∴△ABE≌△A'BE'，
∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°，
∴△EBE'为等边三角形，
∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，
∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE，
要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C，
过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F，
在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°，
设BF=x，则A'B=2x，
根据勾股定理得，A'F=，
∵AB=A'B，
∴AB=2x，
∵AB+BC=6，
∴BC=6-AB=6-2x，
∴CF=BF+BC=6-x，
在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，
，
∴当x=，即AB=2x=3时，最小，
此时，BC=6-3=3，A'F=，
∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，用代数式表示线段，利用配方法确定极值问题，判断出AB=BC时，AE+BE+CE最小是解本题的关键．
7．问题发现：
（1）正方形ABCD和正方形AEFG如图①放置，AB＝4，AE＝2.5，则＝___________．
问题探究：
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在矩形的内部，∠BPC＝135°，求AP长的最小值．
问题拓展：
（3）如图③，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝45°，则对角线BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）AP的最小值为；（3）存在，BD的最大值为6+6
【分析】
（1）连接AC、AF、DG、CF，证△ADG∽△ACF，根据线段比例关系可求；
（2）以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，以O为圆心BO为半径画圆，则P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上，连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，根据给出数据求值即可；
（3）以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，根据△DAB∽△CAE，得出BD=CE，以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，根据C点的轨迹求出CE最大值，即求出BD最大值．
【解析】
解：（1）如图①，连接AC、AF、DG、CF，
在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB=4，AE=2.5，
∴AC=AB，AF=AE，AG=AE=2.5，AD=AB=4，
∴，
又∵∠DAG=∠DAC-∠GAC=45°-∠GAC，∠CAF=∠GAF-∠GAC=45°-∠GAC，
∴∠DAG=∠CAF，
∴△DGA∽△CFA，
∴，
故答案为；
（2）如图②，以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，
以O为圆心BO为半径画圆，则∠BPC作为圆周角刚好是135°，
∴P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上，
连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，
作OE垂直AB延长线于点E，
∵△BOC为等腰直角三角形，BC=4，
∴OB=OC=BC=×4=2，∠OBC=45°，
∴∠OBE=90°-∠OBC=90°-45°=45°，
又∵OE⊥AE，
∴△BEO为等腰直角三角形，
∴BE=OE=OB=×2=2，
又∵AB=3，
∴AE=AB+BE=3+2=5，
∴，
∵OP=OB=2，
∴AP=AO-OP=-2，
即AP的最小值为-2；
（3）存在，如图3，以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，
则∠EAB=45°，，
∵AC=AD，∠ACD=90°，
∴DAC=45°，，
∴，∠DAB=∠CAE=45°，
∴△DAB∽△CAE，
∴，
∴BD=CE，
∴当CE最大时，BD取最大值，
以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，
∵∠AOB=90°，∠ACB=45°，
∴点C在优弧AB上，
由图知当C在OE延长线C'位置时C'E有最大值，
此时C'E=OE+OC'，
∵AB=6，△AOB和△AEB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴四边形AOBE为正方形，
∴OE=AB=6，OC'=OA=AB=3，
∴CE的最大值为6+3，
∵BD=CE，
∴BD的最大值为×（6+3）=6+6．
【点睛】
本题主要考查了图形的变换，三角形相似，等腰直角三角形，正方形，圆周角，圆心角等知识点，熟练掌握并灵活运用这些知识点是解题的关键．
8．在平行四边形ABCD中，已知∠A＝45°，AD⊥BD，点E为线段BC上的一点，连接DE，以线段DE为直角边构造等腰RtDEF，EF交线段AB于点G，连接AF、DG．
（1）如图1，若AB＝12，BE＝5，则DE的长为多少？
（2）如图2，若点H，K分别为线段BG，DE的中点，连接HK，求证：AG＝2HK；
（3）如图3，在（2）的条件下，若BE＝2，BG＝2，以点G为圆心，AG为半径作⊙G，点M为⊙G上一点，连接MK，取MK的中点P，连接AP，请直接写出线段AP的取值范围．
【答案】（1）DE＝13；（2）见解析；（3）﹣2≤AP≤+2
【分析】
（1）借助三角形全等，求线段的长度．
（2）借助模型“对边平行+中点”构造全等三角形．将AG转化为GM；
（3）主动点M在圆上运动，从动点P也在圆上运动，利用中位线找到P的运动轨迹．
【解析】
解：（1）∵∠A＝45°，且AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
又∵,
∴BD＝12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DBE＝∠ADB＝90°，
在Rt△BED中，BD＝12，BE＝5，∠DBE＝90°，
∴DE＝ ＝＝13；
（2）如图2，
连接GK，BK，延长BK 交AD于M，连接GM，
∵AD∥BC，
∴∠EBK＝∠DMK，∠KEB＝∠MDK，
又DK＝KE，
∴△BEK≌△MDK（AAS），
∴DK＝KE，
又∵BH＝GH，
∴KH∥GM，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EDF＝∠ADB＝90°，DE＝DF，∠DFE＝∠DEF＝45°，
∴∠EDB+∠BDF＝∠FDA+∠BDF，
∴∠EDB＝∠FDA，
∵∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴DB＝DA，
∴△ADF≌△BDE（SAS），
∴∠DAF＝∠DBE＝90°，AF＝BE
∵∠DAG＝∠DFG＝45°，
∴A、F、G、D四点共圆，
∴∠DGE＝∠DAF＝90°，
在Rt△DGE中，K是DE的中点，
∴GK＝DE，
在Rt△DKE 中，
同理可得：KB＝DE，
∴GK＝KB，
又∵BH＝GH，
∴KH⊥BG，
∵KH∥MG，
∴MG⊥AB，
∴∠AGM＝90°，
∵∠BAD＝45°，
∴∠AMG＝∠BAD＝45°，
∴AG＝GM，
∴KH＝GM＝AG．
（3）作EN⊥AB于N，
在Rt△BEN中，∠EBN＝180°﹣∠ABC＝45°，BE＝2，
∴EN＝BN＝，
在Rt△GEN中，GN＝GB+BN＝3，EN＝，
∴GE＝2，
∴DE＝GE＝2，
在Rt△DBE中，BE＝2，DE＝2，
∴BD＝6，
∴AB＝BD＝6，
∴AG＝AB﹣BG＝4
连接MG，取GK的中点I，作IQ⊥AB于Q，
∵P是MK的中点，
∴PI＝＝2，
∴点P在以I为圆心，半径为2的⊙I上运动
由（2）知：KH＝AG＝2，
∵IQ是△KGH的中位线，
∴IQ＝KH＝，
在Rt△AIQ 中，AQ＝AG+GQ＝4+＝，IQ＝KH=，
∴AI＝，
∴AI﹣PI≤AP≤AI+PI，
∴﹣2≤AP≤+2．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形与直角三角形、圆的有关概念及性质、三角形的全等和圆的综合运用，解题关键是确定P点的轨迹并且要灵活运用转化思想、推理能力、模型思想和创新意识．
9．问题提出
（1）在图1中作出点关于直线的对称点
问题探究
（2）如图2，在中，，，为的中点，为线段上一点，求的最小值.
问题解决
（3）如图3，四边形为小区绿化区，，，，，，是以为圆心，为半径的圆弧.现在规划在，边和边上分别取一点，，，使得为这一区域小路，求小路长度的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）根据对称性即可作图；
（2）作点关于的对称点，连接交于点，此时值最小，连接，根据图形的特点及等边三角形的性质即可求解；
（3）因为为定值，所以即求的最小值，连接，，分别以，所在的直线为对称轴作点的对称点，，连接，此时的值最小，即为长，根据图形的特点、等边三角形的性质与勾股定理即可求解．
【解析】
解：（1）如图1所示，点即为所求.
（2）如图2，作点关于的对称点，连接交于点，此时值最小，连接.
∵，
∴.
∵垂直平分，
∴为等边三角形.
∵点为中点，
∴，
∴.
（3）要求的最小值，因为为定值，
所以即求的最小值.
如图，连接，，分别以，所在的直线为对称轴作点的对称点，，连接，此时的值最小，即为长.
∵，
∴，
∴为等边三角形，即.
∵，
∴，
∴的最小值为.
当，，三点共线时值最小，
由题知，，，
∴，
∴．
【点睛】
此题主要考查轴对称的应用，解题的关键是熟知对称性、等边三角形的性质及勾股定理的运用．
10．如图①，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处．
（1）求点、的坐标；
（2）如图②，若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作于点，设的长为，的面积为，请求出关于的关系式；
（3）如图③，在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？若存在，请求出四边形周长的最小值及此时点、的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）点的坐标是，点坐标为；（2）；（3）存在， 在轴、轴上分别存在点、，使得四边形的周长最小，最小值为．
【分析】
（1）求出CF和AE的长度即可写出点的坐标；
（2）用x表示出PD长度，结合三角函数进一步表示DH，PH的长度，运用三角形面积公式即可求解；
（3）作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小，求出E′和F′的坐标直接求线段长度即可．
【解析】
解：（1）∵点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，2），
∴OA=3，OC=2，
根据矩形OABC知AB=OC=2，BC=OA=3，
由折叠知DA=DF=OC=2，
∴OD=OA-DA=1，
∴点F坐标为（1，2），
∵点E是AB的中点，
∴EA=1，
∴点E的坐标是（3，1）；
（2）如图2
∵将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，
∴BF=AB=2，
∴OD=CF=3-2=1，
若设OP的长为x，
则，PD=x-1，
在Rt△ABD中，AB=2，AD=2，
∴∠ADB=45°，
在Rt△PDH中，PH=DH=DP×=（x-1），
∴S=×DH×PH=×（x-1）×（x-1）=（1＜x＜3）；
（3）如图3
作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小，
可求，点F（1，2）关于y轴的对称点F′（-1，2），点E（3，1）关于x轴的对称点E′（3，-1），
用两点法可求直线E′F′的解析式为：y=-，
当x=0时，y=，当y=0时，x=，
∴N（0，），M（，0），
此时，四边形MNFE的周长=E′F′+EF=；
∴在x轴、y轴上分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小，最小为5+．
【点睛】
本题是四边形的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式以及利用轴对称求最短路线和勾股定理等知识，掌握根据对称转化为两点之间的距离的问题是解题的关键．
11．已知在中，，，，将绕点顺时针旋转60°，得到，点在上，连接．
（1）如图①，求线段的长；
（2）如图②，连接，作，垂足为，求的长度；
（3）如图③，点是线段的中点，点是线段上的动点（不与点重合），求周长的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）周长的最小值为．
【分析】
（1）根据旋转的性质以及旋转角度，可以得出是等边三角形，所以．
（2）由三角函数以及勾股定理，可以得出OA、AB、BC以及AC的长度，算出的面积，根据等面积法，求出OP的长度即可．
（3）连接，，连接交于点，证明，所以得到，，垂直平分，即点关于直线的对称点为点，所以当取最小值时，周长最小，即当点、、三点共线时，的周长取得最小值，为的值，求出结果即可．
【解析】
解：（1）由旋转性质可知：，
是等边三角形
．
（2），
，
是等边三角形
，
，．
（3）如解图，连接，，连接交于点．
为等边三角形，点为的中点
，即
在中，，
，
在和中
，
垂直平分，即点关于直线的对称点为点
的周长为，为定值
当取最小值时，周长最小
即当点、、三点共线时，的周长取得最小值，为
点是的中点，
周长的最小值为．
【点睛】
本题主要考查了三角形旋转，勾股定理，以及最短路径的作图，能够熟悉旋转的性质、熟练等面积法的运用和最短路径的作图是解决本题的关键．
12．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，连接，点是抛物线在第四象限上一点，连接，，求面积的最大值；
（3）如图②，点为抛物线的顶点，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接．将抛物线沿轴向右平移个单位，点，的对应点分别为、，连接、，当四边形的周长取最小值时，求的值．
【答案】（1）；（2）当时，取得最大值，最大值为；（3）．
【分析】
（1）根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先利用抛物线的解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，设，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的表达式，最后利用二次函数的性质求最值即可；
（3）先求出顶点D的坐标，再根据点坐标、对称性分别求出点E的坐标、DE、AB的长，然后根据平行四边形的判定与性质、轴对称的性质得出，又根据两点之间线段最短得出当、、三点共线时，取最小值，从而得出此时四边形的周长最小，最后利用待定系数法求出直线的解析式，从而得出点的坐标，据此即可得出答案．
【解析】
（1）将，代入抛物线解析式，得，
解得，
故抛物线的解析式为；
（2）如解图①，过点作轴的垂线，交于点，
抛物线的解析式为，
令，则，
解得，，
，
设直线的解析式为，
将点，代入得，解得，
则直线的解析式为，
设，则，，且，
，
在范围内，当时，取得最大值，最大值为；
（3）抛物线的解析式为，
，
点和点关于抛物线的对称轴对称，
，
，
，，
，
由平移的性质得：，
如解图②，将点向右平移4个单位得到点，作点关于轴的对称点，连接，
由轴对称的性质得：，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形的周长为，且为定值，
当的值最小，即的值最小时，四边形的周长最小，
由两点之间线段最短得：当、、三点共线时，取最小值，
，
，即，
，
设直线的解析式为，
将，代入得，解得，
则直线的解析式为，
当时，，解得，
则．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，较难的是题（3），利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定周长取得最小值时点的位置是解题关键．
13．将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处，展开如图（1）．
【操作观察】（1）作DF⊥AC，且DF＝3，AB＝8，则S△ABD＝ 12 ；
【理解运用】如图（2）若∠BAC＝60°，AC＝8，F是AC的中点，连接EF交AD于点M，点P是AD上的动点，连接PF和PC，试说明：PF+PC≥43；
【拓展提高】请根据前面的解题经验，解决下面问题：如图（3），在平面直角坐标系中，A点的坐标为（1，3），B点的坐标为（3，﹣2），点P是x轴上的动点，连接AP、BP，求AP﹣BP的最大值，并写出P点的坐标．
【分析】【操作观察】根据折叠的特性可知折痕AD为∠BAC的角平分线，由此可得出点D到AB和点D到AC的距离相等，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
【理解运用】连接CM、PE、CE，根据三角形两边之和大于第三边得出当点P与点M重合时，PF+PC值最小，再根据折叠的性质得出AE＝AC，结合∠BAC＝60°即可得出△AEC为等边三角形，根据等边三角形的性质求出EF的长度即可证出结论；
【拓展提高】作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′、PB′，延长AB′交x轴于点P′，根据三角形内两边之差小于第三边找出当点P和P′点重合时，AP﹣BP的值最大，再由点B的坐标可得出点B′的坐标，结合点A、B′的坐标即可求出直线AB′的解析式，令其y＝0求出x即可找出点P′的坐标，由此即可得出结论．
【解析】【操作观察】解：∵将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∴点D到AB和点D到AC的距离相等．
∴S△ABD=12AB•DF=12×8×3＝12．
故答案为：12．
【理解运用】证明：连接CM、PE、CE，如图1所示．
∵将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处，
∴AD为∠BAC的角平分线，AE＝AC，
∴PE＝PC，ME＝MC，
在△PEF中，EF＝ME+MF≤PE+PF＝PC+PF，
∴PC+PF≥EF．
∵AE＝AC，∠BAC＝60°，
∴△AEC为等边三角形，
又∵AC＝8，点F是AC的中点，
∴EF＝AC•sin∠BAC＝43，
∴PF+PC≥43．
【拓展提高】解：作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′、PB′，延长AB′交x轴于点P′，如图2所示．
∵点B和B′关于x轴对称，
∴PB＝PB′，P′B′＝P′B，
∵在△APB′中，AB′＞AP﹣PB′，
∴AP′﹣B′P′＝AP′﹣BP′＝AB′＞AP﹣PB′＝AP﹣PB，
∴当点P与点P′重合时，AP﹣BP最大．
设直线AB′的解析式为y＝kx+b，
∵点B（3，﹣2），
∴点B′（3，2），AB′=(1-3)2+(3-2)2=5．
将点A（1，3）、B′（3，2）代入y＝kx+b中，
得：3=k+b2=3k+b，解得：k=-12b=72，
∴直线AB′的解析式为y=-12x+72．
令y=-12x+72中y＝0，则-12x+72=0，
解得：x＝7，
∴点P′（7，0）．
故AP﹣BP的最大值为5，此时P点的坐标为（7，0）．
14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=13x2+233x-3与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，连接BC．过点A作BC的平行线交抛物线于点D．
（1）求△ABC的面积；
（2）已知点M是抛物线的顶点，在直线AD上有一动点E，x轴上有一动点F，当ME+BE最小时，求|CF﹣EF|的最大值及此时点F的坐标；
（3）如图2，在y轴正半轴上取点Q，使得CB＝CQ，点P是x轴上一动点，连接PC，将△CPQ沿PC折叠至△CPQ′．连接BQ，BQ′，QQ′，当△BQQ′为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）分别将x＝0和y＝0代入解析式即可求出A，B，C三点的坐标，即可求出△ABC的面积；
（2）先证△ABC是直角三角形，再作点B关于直线AD的对称点B'，连接MB'，交AD于E，则此时ME+BE有最小值，作点E关于x轴的对称点E'，连接CE'并延长CE'交x轴于F，则此时|CF﹣EF|有最大值，为CE'的长度，根据点的坐标求出CE'的长度，此时点F与点B重合，即知点F坐标；
（3）分三种情况通过等边三角形，直角三角形的性质及勾股定理求出点P的坐标．
【解析】（1）在抛物线y=13x2+233x-3中，
当y＝0时，x1＝﹣33，x2=3，
∴A（3，0），B（﹣33，0），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
连接AC，
∴S△ABC=12AB•OC＝63；
（2）在△ABC中，
AC=AO2+CO2=23，
BC=OB2+OC2=6，
AB＝43，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴tan∠ABC=ACBC=33，
∴∠ABC＝30°，
如图1，作点B关于直线AD的对称点B'，连接MB'，交AD于E，则此时ME+BE有最小值，
且∠CBB'＝90°，∠ABB'＝60°，
连接AB'，则AB＝AB'，
∴△ABB'为等边三角形，
∴BB'＝AB'，
∴点B'在AB的垂直平分线上，
又∵M为抛物线顶点，
∴点M，B'同为抛物线对称轴上的点，
∵抛物线对称轴为x=-b2a=-3，
∴xE=-3，
将C（0，﹣3），B（﹣33，0）代入一次函数解析式，
得b=-3-33k+b=0，
解得k=-33，b＝﹣3，
∴yBC=-33x﹣3，
∵BC∥AD，
∴设yAD=-33x+b，
将A（3，0）代入，
得b＝1，
∴yAD=-33x+1，
当xE=-3时，yE＝2，
∴E（-3，2），
作点E关于x轴的对称点E'（-3，﹣2），
连接CE'并延长CE'交x轴于F，则此时|CF﹣EF|有最大值，为CE'的长度，
CE'=(3)2+12=2，
理由如下：
在x轴上F外任取一点F'，连接F'E'，CF'，
在△CE'F'中，都有|CF'﹣EE'|＜CE'，
∴当CE'F在一条直线上时，|CF﹣EF|有最大值，
将C（0，﹣3）E'（-3，﹣2）代入一次函数解析式，
得b=-3-3k+b=-2，
解得k=-33，b＝﹣3，
∴yCE'=-33x﹣3，
∴直线CE'与直线CB重合，
∴点F与点B重合，
∴点F的坐标为（﹣33，0），
∴|CF﹣EF|的最大值为2此时点F的坐标为（﹣33，0）；
（3）①如图2﹣1，当Q'B＝Q'Q时，
由（1）知∠ABC＝30°，
∴∠BCO＝60°，
∵CB＝CQ，
∴△CBQ为等边三角形，
∴CQ＝BC＝6，
又∵BQ'＝QQ'，
∴∠BCQ'＝∠QCQ’＝30°，∠CBQ'＝∠CQ'B＝∠CQ'Q＝∠CQQ'＝75°，
∴∠Q'CP＝∠QCP＝∠PQ'C＝∠PQC＝15°，
∴∠Q'PQ＝60°，
∴△QQ'P是等边三角形，△BQ'P是等腰直角三角形，
设PQ＝a，
则QQ'＝Q'P＝Q'B＝a，
∴BP=2a，
在Rt△QPO中，QP2＝OP2+OQ2，
∴a2＝（33-2a）2+32，
解得a1＝36+32（舍去），a2＝36-32，
∴BP=2a＝63-6，
∴OP＝6﹣33，
∴P（33-6，0）；
②如图2﹣2，当BQ＝BQ'时，点P与点B重合，
∴P（﹣33，0）；
③如图2﹣3，当QB＝QQ'时，点P与点A重合，
∴P（3，0）．
综上所述，当△BQQ′为等腰三角形时，点P的坐标为（33-6，0），（﹣33，0）或（3，0）．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：
①连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2交点为P；
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来．
（1）画出曲线L，观察、猜想它是我们学过的哪种曲线，请求出曲线的解析式；
（2）连接AP，当点M不与原点重合时，设l1与y轴交于点N，连接MN，证明：四边形APMN是菱形；
（3）若点Q（﹣2，5），点R是曲线上一动点，连接QR，AR，当QR+AR的值最小时，求点R的坐标及最小值．
【分析】（1）根据题意，多取几个M点画出图形即可；设P（x，y），根据PA＝PM，列出等式整理即可解决问题；
（2）由题意PA＝PM，NA＝NM，只要证明只要证明△PAM≌△NMA，可得PA＝NM＝PM＝AN；
（3）如图2中，作RM⊥x轴于M．由题意RA＝PM，可得RQ+RA＝RQ+RM，推出当Q、R、M共线时，如图QR′+R′M′的值最小，由此即可解决问题；
【解析】（1）如图1中所示：曲线L是抛物线；
设P（x，y），∵PA＝PM，
∴PA2＝PM2，
∴x2+（y﹣2）2＝y2，
整理得：y=14x2+1，
∴抛物线的解析式为y=14x2+1．
（2）∵PA＝PM，NM＝NA，
∴∠PAM＝∠PMA，∠NAM＝∠NMA，
∵AN∥PM，
∴∠NAM＝∠PMA，
∴∠NAM＝∠NMA＝∠PMA＝∠PAM，
∴△PAM≌△NMA，
∴PA＝NM＝PM＝AN，
∴四边形APMN是菱形．
（3）如图2中，作RM⊥x轴于M．
由题意RA＝PM，
∴RQ+RA＝RQ+RM，
∴当Q、R、M共线时，如图QR′+R′M′的值最小，
∵Q（﹣2，5），
∴R′（﹣2，2），QR+RA的最小值为5．
16．如图，直线y＝kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y＝﹣x2+2x+1与y轴交于点C．
（1）求直线y＝kx+b的函数解析式；
（2）若点P（x，y）是抛物线y＝﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y＝﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．
【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；
（2）过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，则可证明△PHQ∽△BAO，设H（m，34m+3），利用相似三角形的性质可得到d与x的函数关系式，再利用二次函数的性质可求得d取得最小值时的P点的坐标；
（3）设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，则可知当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，由C点坐标可确定出C′点的坐标，利用（2）中所求函数关系式可求得d的值，即可求得CE+EF的最小值．
【解析】（1）由题意可得-4k+b=0b=3，解得k=34b=3，
∴直线解析式为y=34x+3；
（2）如图1，过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，
则∠AHQ＝∠ABO，且∠AHP＝90°，
∴∠PHQ+∠AHQ＝∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠PHQ＝∠BAO，且∠AOB＝∠PQH＝90°，
∴△PQH∽△BOA，
∴PQOB=HQOA=PHAB，
设H（m，34m+3），则PQ＝x﹣m，HQ=34m+3﹣（﹣x2+2x+1），
∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，AB＝5，且PH＝d，
∴x-m3=34m+3-(-x2+2x+1)4=d5，
整理消去m可得d=45x2﹣x+85=45（x-58）2+10380，
∴d与x的函数关系式为d=45（x-58）2+10380，
∵45＞0，
∴当x=58时，d有最小值，此时y＝﹣（58）2+2×58+1=11964，
∴当d取得最小值时P点坐标为（58，11964）；
（3）如图2，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，
∴CE+EF＝C′E+EF，
∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，
∵C（0，1），
∴C′（2，1），
由（2）可知当x＝2时，d=45×（2-58）2+10380=145，
即CE+EF的最小值为145．
17．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-34x+94与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线y＝ax2+bx+94（a≠0）过A，B两点，与x轴交于另一点C（﹣1，0），抛物线的顶点为D
（1）求出A，B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（3）在直线AB上方的抛物线上有一动点E，求出点E到直线AB的距离的最大值；
（4）如图2，直线AB与抛物线的对称轴相交于点F，点P在坐标轴上，且点P到直线BD，DF的距离相等，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）令x＝0，则y=94，令y＝0，则x＝3，即可求解；
（2）将点A、C的坐标代入二次函数表达式得：9a+3b+94=0a-b+c=0，解得：a=-34b=32，即可求解；
（3）E到直线AB的距离＝EF＝EHcos∠FEH＝EHcos∠BAC，即可求解；
（4）分当点P在∠BDF平分线上、外角平分线上两种情况，分别求解即可．
【解析】（1）令x＝0，则y=94，令y＝0，则x＝3，
即点A、B的坐标分别为（3，0）、（0，94）；
（2）将点A、C的坐标代入二次函数表达式得：9a+3b+94=0a-b+c=0，解得：a=-34b=32，
抛物线的表达式为：y=-34x2+32x+94，
顶点D的坐标为（1，3）；
（3）过点E作EH∥y轴交AB于点H，过点E作EF⊥AB，
则∠FEH＝∠BAC，
E到直线AB的距离＝EF＝EHcos∠FEH＝EHcos∠BAC＝（-34x2+32x+94+34x-94）×45=-35x2+95x，
当x=32时，EF有最大值为2720；
（4）①当点P在∠BDF平分线上时，则角平分线与y轴P1、x轴的交点P2为所求，
过点P1作⊥DM交于点M，作P1N⊥BD交于点N，作BL⊥DM交于点M，则：P1M＝P1N＝1，
将点B、D坐标代入一次函数表达式并解得，函数表达式为：y=34x+94，
则点H坐标（﹣3，0），tan∠DBL=DLBL=3-941=34，则tan∠P1BN=43，
BP1=P1Nsin∠PBN=54，
故点P1（0，1）；
则直线DP1的表达式为：y＝2x+1，令y＝0，则x=-12，
即点P2（-12，0）；
②当点P在当点P在∠BDF的外交平分线上时，
此时点P所在的直线与直线P1P2所在的直线垂直，
同理可得点P的坐标为（0，72）或（7，0）；
故：点P的坐标为（0，1）或（-12，0）或（0，72）或（7，0）．
18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，过点B作BC的垂线，交对称轴于点E．
（1）求证：点E与点D关于x轴对称；
（2）点P为第四象限内的抛物线上的一动点，当△PAE的面积最大时，在对称轴上找一点M，在y轴上找一点N，使得OM+MN+NP最小，求此时点M的坐标及OM+MN+NP的最小值；
（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D′，点A的对应点A′，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，将△FBC沿BC翻折，使点F落在点F′处，在平面内找一点G，若以F′、G、D′、A′为顶点的四边形为菱形，求平移的距离．
【分析】（1）首先求出A、B、D的坐标，再根据△EFB∽△BOC，可得EFOB=BFOC，即EF32=223，推出EF＝4，求出点E的坐标即可解决问题；
（2）过点P作PQ∥y轴，交直线AE于点Q．构建二次函数，利用二次函数的性质求出点P的坐标，作点O关于对称轴的对称点O′（22，0），作点P关于Y轴的对称点P′（﹣22，﹣3），连接O′P′，分别交对称轴、y轴于点M、N，此时M、N即为所求；
（3）由题意F′（723，-83），A（-2+2t，﹣2t），D（2，﹣4），设平移距离为6t，则A′（-2+2t，﹣2t），D′（2+2t，﹣4﹣2t），可得A′F2＝6t2﹣24t+2649，D′F′2＝6t2+489，A′D′2＝24，分三种情形列出方程即可解决问题；
【解析】（1）证明：如图1中，令y＝0，得到12x2-2x﹣3＝0，解得x=-2或32，
∴A（-2，0），B（32，0），
令x＝0，可得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵y=12x2-2x﹣3=12（x-2）2﹣4，
∴顶点D（2，﹣4），设对称轴与x轴交于F，则BF＝22，
∵△EFB∽△BOC，
∴EFOB=BFOC，
∴EF32=223，
∴EF＝4，
∴E（2，4），
∴E、D关于x轴对称．
（2）过点P作PQ∥y轴，交直线AE于点Q．
∵yAE=2x+2，
∴设P（a，12a2-2a﹣3），Q（a，2a+2），（0＜a＜32），
∴PQ＝（2a+2）﹣（12a2-2a﹣3）=-12a2+22a+5，
∴S△PAE=12•PQ•|xE﹣xA|=12•（-12a2+22a+5）•22=-22a2+4a+52，
∴当a=-42×(-22)=22时，S△PAE最大，此时P（22，﹣3），
作点O关于对称轴的对称点O′（22，0），作点P关于Y轴的对称点P′（﹣22，﹣3），连接O′P′，分别交对称轴、y轴于点M、N，此时M、N即为所求．
∴yP′O′=328x-32，当x=2时，y=-34，
∴M（2，-34），
∴OM+MN+NP的最小值O′P′=(22+22)2+32=41．
（3）∵F′（723，-83），A（-2+2t，﹣2t），D（2，﹣4），
设平移距离为6t，则A′（-2+2t，﹣2t），D′（2+2t，﹣4﹣2t），
A′F2＝6t2﹣24t+2649，D′F′2＝6t2+489，A′D′2＝24，
①当A′F2＝D′F′2时，6t2﹣24t+2649=6t2+489，解得t＝1．
②当A′F′2＝A′D′2时，6t2﹣24t+2649=24，解得t=6±273．
③当D′F′2＝A′D′2时，24＝6t2+489，解得t=273或-273（舍弃），
∴平移的距离6t=6，66±2423，2423．
19．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-14x2+32x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的对称轴及△ABC的周长；
（2）点D是线段AC的中点，过点D作BC的平行线，分别与x轴、抛物线交于点E、F，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，连接PD交线段BC于点G，当四边形PGEF面积最大时，点Q从点P出发沿适当的路径运动到x轴上的点M处，再沿射线DF方向运动5个单位到点N处，最后回到直线BC上的点H处停止，当点Q的运动路径最短时，求点Q的最短运动路径长及点H的坐标；
（3）如图2，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A、C的对应点分别为点A1、C1，且点A1落在线段AC上，再将△A1OC1沿y轴平移得△A2O1C2，其中直线O1C2与x轴交于点K，点T是抛物线对称轴上的动点，连接KT、O1T，△O1KT能否成为以O1K为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点T的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理即可求得△ABC的周长；
（2）待定系数法求直线BC的解析式和直线DF解析式，联立方程组求得直线DF与抛物线交点F坐标，利用相似三角形性质求△PDF的高PS和△GDE的高GZ，再设P的横坐标为m，根据S四边形PGEF＝S△PDF﹣S△DEG将S四边形PGEF表示成关于m的二次函数，由二次函数最大值可求得点P坐标，作P关于x轴对称点P′，过P′作P′V⊥BC于V交x轴于M，过M作MN∥DF，且MN=5，点N在M右侧，过N作NH⊥BC于H，连接PM，此时，点Q的最短运动路径长＝PM+MN+NH，
（3）分四种情形：①当O1K＝KT时，且O1在x轴下方，②当O1K＝O1T时，且O1在x轴下方，③当O1K＝KT时，且O1在x轴上方，④当O1K＝O1T时，且O1在x轴上方，逐个进行计算即可．
【解析】（1）抛物线的对称轴x=-322×(-14)=3，在抛物线y=-14x2+32x+4中，令x＝0，得y＝4，∴C（0，4），
令y＝0，得-14x2+32x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8，∴A（﹣2，0），B（8，0），AB＝8﹣（﹣2）＝10，
∴AC=OA2+OC2=22+42=25，BC=OB2+OC2=82+42=45，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+25+45=10+65．
（2）设BC解析式为y＝kx+b，将B（8，0），C（0，4）分别代入得8k+b=0b=4，解得k=-12b=4，
∴直线BC的解析式为y=-12x+4，
∵D为AC中点，∴D（﹣1，2），
∴CD=12AC=12OA2+OC2=1222+42=5
∵tan∠ACO=24=12，tan∠CBO=OCOB=48=12
∴tan∠ACO＝tan∠CBO
∴∠ACO＝∠CBO，∵∠CBO+∠BCO＝90°
∴∠ACO+∠BCO＝90°，即∠BCA＝90°
∵DF∥BC，设DF解析式为y=-12x+n，将D（﹣1，2）代入得-12×(-1)+n=2，解得：n=32，
∴直线DF解析式为y=-12x+32，令y＝0，则x＝3，∴E（3，0）
解方程组y=-12x+32y=-14x2+32x+4得x1=4-26y1=26-12，x2=4+26y2=-26+12；∴F（4+26，-26+12），
设P（m，-14m2+32m+4），过D作DW⊥x轴于点W，过F作FR⊥x轴于点R，过P作PL⊥x轴交BC于点L，PT⊥BC于T交DF于S，过G作GZ⊥DF于Z，则L（m，-12m+4），PL=-14m2+2m，
∵DF∥BC，
∵PL⊥x轴，PT⊥BC
∴∠PLT＝∠BCO，∠PTL＝∠BOC＝90°
∴△BCO∽△PLT
∴PTPL=OBBC，即PT-14m2+2m=845
∴PT=-510m2+455m，
∵DF∥BC，GZ⊥DF，PT⊥BC
∴GZ＝TS＝CD=5
∴PS＝PT+TS=-510m2+455m+5，
∴S四边形PGEF＝S△PDF﹣S△DEG=12×55+1302（-510m2+455m+5）=-5+268（m﹣4）2+65+13264，
∴当m＝4时，S四边形PGEF的最大值=65+13264，此时，P（4，6），
作P关于x轴对称点P′（4，﹣6），过P′作P′K⊥BC于K交x轴于M，过M作MN∥DF，且MN=5，点N在M右侧，过N作NH⊥BC于H，连接PM，
此时，点Q的最短运动路径长＝PM+MN+NH＝P′K+MN，
易求得直线PK解析式为：y＝2x﹣14，令y＝0，得x＝7，∴M（7，0），∴PM=(4-7)2+(6-0)2=35，NH＝MK=55
∴点Q的最短运动路径长＝35+55+5=2155，
联立方程组y=2x-14y=-12x+4，解得：x=365y=25，∴V（365，25），
∵VH＝MN=5，由平移规律可知：H（465，-35）；
（3）△O1KT能成为以O1K为直角边的等腰直角三角形．
①当O1K＝KT时，且O1在x轴下方，设抛物线对称轴交x轴于点U，则U（3，0）
∵△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，且点A1落在线段AC上，设T（3，t）
∴OA1＝OA＝2，易求得：A1（-65，85），C1 （165，125），∴tan∠C1OB=34，
∵O1C2∥OC1，
∴∠OO1C2＝∠C1OB，
∵∠O1KT＝90°，∴∠O1KO+∠TKB＝∠OO1C2+∠O1KO＝90°
∴∠TKB＝∠OO1C2，∴tan∠TKB=UTKU=tan∠C1OB=34，
∴KU=-43t，
∵O1K＝KT
∴△O1KO≌△KTU（AAS）
∴OK＝UT＝﹣t，∵OK+KU＝3
∴﹣t-43t=3，解得：t=-97
∴T1（3，-97），
②当O1K＝O1T时，且O1在x轴下方，如图3，作TU⊥y轴于U，
∵∠KOU＝∠TUO＝∠TO1K＝90°，
∴∠OO1K+∠O1KO＝∠OO1K+∠TO1U＝90°
∴∠O1KO＝∠TO1U
∵O1K＝O1T
∴△O1KO≌△TO1U（AAS）
∴OO1＝TU＝3
∵OO1OK=34，即：3OK=34，∴O1U＝OK＝4
∴OU＝7
∴T2（3，7），
③当O1K＝KT时，且O1在x轴上方，方法同①，此时，点T不存在；
④当O1K＝O1T时，且O1在x轴上方，方法同②，可求得T3（3，﹣1）；
综上所述，使△O1KT成为以O1K为直角边的等腰直角三角形的点T的坐标为：T1（3，-97），T2（3，7），T3（3，﹣1）；
20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-13x2+233x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；
（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形；
（2）先求出S△PCD最大时，点P（332，154），然后判断出所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长，计算即可；
（3）△A′C1E′是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可．
【解析】（1）△ABC为直角三角形，
当y＝0时，即-13x2+233x+3＝0，
∴x1=-3，x2＝33
∴A（-3，0），B（33，0），
∴OA=3，OB＝33，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
根据勾股定理得，AC2＝OB2+OC2＝12，BC2＝OB2+OC2＝36，
∴AC2+BC2＝48，
∵AB2＝[33-（-3）]2＝48，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
（2）如图1，
∵B（33，0），C（0，3），
∴直线BC解析式为y=-33x+3，
过点P作PG∥y轴，
设P（a，-13a2+233a+3），
∴G（a，-33a+3），
∴PG=-13a2+3a，
设点D的横坐标为xD，G点的横坐标为xG，
S△PCD=12×（xG﹣xD）×PG=-36（a-332）2+938，
∵0＜a＜33，
∴当a=332时，S△PCD最大，此时点P（332，154），
如图，∵抛物线的对称轴为x=3，
∴MN=3，
∴将点P向左平移MN（3个单位）至P′，连接AP'，交y轴于点N，过点N作MN⊥抛物线对称轴于点M，
连接PM，点Q沿P→M→N→A运动，M所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长，
∵P（332，154），
∴P'（32，154），点A（-3，0），
∴直线AP'的解析式为y=536x+52，
当x＝0时，y=52，
∴N（0，52），
∴AN=372，M（3，52），
∵P（332，154），
∴PM=374，
∴点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN=374+3+372=3+3374，
（3）在Rt△AOC中，
∵tan∠OAC=OCOA=3，
∴∠OAC＝60°，
∵OA＝OA1，
∴△OAA1为等边三角形，
∴∠AOA1＝60°，
∴∠BOC1＝30°，
∵OC1＝OC＝3，
∴C1（332，32），
∵点A（-3，0），E（3，4），
∴AE＝27，
∴A′E′＝AE＝27，
∵直线AE的解析式为y=233x+2，
设点E′（a，233a+2），
∴点E移动（a-3）单位到点E'，
∴点A也移动（a-3）单位到点A'，
∴A′（a﹣23，23a3-2）
∴C1E′2＝（a-332）2+（23a3+2-32）2=73a2-733a+7，
C1A′2＝（a﹣23-332）2+（23a3-2-32）2=73a2-3533a+49，
①若C1A′＝C1E′，则C1A′2＝C1E′2
即：73a2-733a+7=73a2-3533a+49，
∴a=332，
∴E′（332，5），
②若A′C1＝A′E′，
∴A′C12＝A′E′2
即：73a2-3533a+49＝28，
∴a1=53+392，a2=53-392，
∴E′（53+392，7+13），或（53-392，7-13），
③若E′A′＝E′C1，
∴E′A′2＝E′C12
即：73a2-733a+7＝28，
∴a1=3+392，a2=3-392（由于点E'在射线AE上，所以舍），
∴E′（3+392，3+13），
即，符合条件的点E′（332，5），（53+392，7+13），或（53-392，7-13），（3+392，3+13）．
21．如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小，做法是：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
（1）如图2，在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法是：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 3 ；
（2）如图3，已知⊙O的直径CD为2，AC的度数为60°，点B是AC的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为 2 ；
（3）如图4，点P是四边形ABCD内一点，BP＝m，∠ABC＝α，分别在边AB、BC上作出点M、N，使△PMN的周长最小，求出这个最小值（用含m、α的代数式表示）．
【分析】（1）如图2，只需利用等边三角形的性质及勾股定理就可求出CE的长．
（2）过点B作直径CD的对称点B′，由圆的对称性可知：点B′必在⊙O上．连接AB′，与CD的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．连接PB、OA、OB′，如图3，根据条件可求出AB'的度数为90°，从而得到∠AOB′的度数也为90°，然后运用勾股定理求出AB′的长，就可解决问题．
（3）分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、N，连接PM、PN，如图4，则线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值．连接BE、BF，过B作BH⊥EF于H．由对称性可得：BE＝BF＝BP＝m，∠EBF＝2∠ABC＝2α．根据等腰三角形的性质可得：∠EBH=12∠EBF=α，EH＝FH．然后在Rt△BEH中运用三角函数就可求出EH，进而求出EF，就可解决问题．
【解析】（1）如图2，
∵△ABC是等边三角形，点E为AB中点，AB＝2，
∴AC＝AB＝2，AE=12AB＝1，CE⊥AB．
∴CE=AC2-AE2=3．
故答案为：3．
（2）过点B作直径CD的对称点B′，由圆的对称性可知：点B′必在⊙O上．
连接AB′，与CD的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
连接PB、OA、OB′，如图3，
∵点B与点B′关于CD的对称，
∴CB'=CB．
∵点B是AC的中点，AC的度数为60°，
∴BC的度数为30°．
∴CB'的度数为30°．
∴AB'的度数为90°．
∴∠AOB′＝90°．
∵OA＝OB′=12CD=12×2＝1，
∴AB′=2．
故答案为：2．
（3）分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、N，连接PM、PN，如图4，
则线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值．
连接BE、BF，过B作BH⊥EF于H．
∵点E与点P关于AB对称，点F与点P关于BC对称，
∴∠EBA＝∠PBA，∠FBC＝∠PBC，BE＝BF＝BP＝m．
∴∠EBF＝2∠ABC＝2α．
∵BE＝BF，BH⊥EF，
∴∠EBH=12∠EBF=α，EH＝FH．
在Rt△BEH中，
∵sinα=EHEB，
∴EH＝BE•sinα＝m•sinα．
∴EF＝2m•sinα．
∴△PMN周长的最小值为2m•sinα．
22．（1）画图探究：
如图1，若点A、B在直线m同侧，在直线m上求作一点P，使AP+BP的值最小，保留作图痕迹，不写作法；
（2）实践运用：
如图2，在等边△ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，点P是高AD上一个动点，求BP+PE的最小值
（3）拓展延伸：
如图3，四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，并求此时∠MAN的度数．
【分析】（1）作出A点关于m的对称点A′，连接A′B即可得出P点位置；
（2）连接CE，交AD于点P，此时BP+PE最小，再利用等边三角形的性质得出即可；
（3）分别作出点A关于CD，BC的对称点E，F，连接EF分别交CD、BC于点M、N此时△AMN周长最小；再利用三角形内角和定理得出即可．
【解析】（1）如图1所示：P点即为所求；
（2）如图2，连接EC，交AD于点P，
此时BP+PE最小，
∵等边△ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，
∴CE⊥AB，
∴BE＝1，BC＝2，
∴EC=3，
∴BP+PE的最小值为：3；
（3）如图3：
分别作出点A关于CD，BC的对称点E，F，连接EF分别交CD、BC于点M、N此时△AMN周长最小；
∵∠BAD＝125°，∴∠E+∠F＝55°，∴∠DAM+∠EAB＝∠E+∠F＝55°，
∴∠MAN＝125°﹣55°＝70°．
23．【观察发现】（1）如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．作法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P．
（2）如图2，在等边三角形ABC中，AB＝4，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．
作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 23 ．
【实践运用】
如图3，菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，若点P是BD上的动点，则MP+PN的最小值是 5 ．
【拓展延伸】
（1）如图4，正方形ABCD的边长为5，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 522 ；
（2）如图5，在四边形ABCD的对角线BD上找一点P，使∠APB＝∠CPB．保留画图痕迹，并简要写出画法．
【分析】【观察发现】（2）根据勾股定理求出CE的长度即为所求；
【实践运用】作点N关于BD的对称点N′，连接MN′交BD于点P，求出MN′的长度即为所求；
【拓展延伸】（1）作点D关于AE的对称点D′，过点D′作D′P⊥AD，交AE于点Q，求出D′P的长度即可；
（2）作点C关于BD的对称点C′，连接AC′并延长交于BD于点P，则点P即为所求；
【解析】
【观察发现】（2）如图
在等边三角形ABC中，AB＝4，点E是AB的中点，
∴∠BEC＝90°，BE＝2，BC＝4，
由勾股定理可求：CE=BC2-BE2=23，
∴BP+PE的最小值为23；
【实践运用】如图3，
作点N关于BD的对称点N′，连接MN′交BD于点P，此时MP+PN的最小，MP+PN＝MN′，
∵菱形ABCD中，M、N分别是边BC、CD的中点，
∴由菱形的轴对称性可知，点N′为AD的中点，
易证MN′＝AB，
∵菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8，
∴∠APB＝90°，AP＝3，BP＝4，
由勾股定理可求，AB=32+42=5，
∴MN′＝AB＝5，
∴MP+PN的最小值是5；
【拓展延伸】（1）如图4，
作点P关于AE的对称点P′，
∵AE是∠DAC的平分线，
∴点P′在AD上，
过点D作DD′⊥AC于D′，
∵DQ+QP＝DQ+QP′≤DD′，
∵DD′＝AD•sin45°=522，
∴DQ+QP≤525，
∴DQ+PQ的最小值是522；
（2）如图5，
作点C关于BD的对称点C′，连接AC′并延长交于BD于点P，则点P即为所求．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知线段a，P为线段a上任意一点，已知图形M，Q为图形M上任意一点，当P，Q两点间的距离最小时，将此时PQ的长度称为图形M与线段a的近点距；当P，Q两点间的距离最大时，将此时PQ的长度称为图形M与线段a的远点距．
根据阅读材料解决下列问题：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，﹣2），正方形ABCD的对称中心为原点O．
（1）线段AB与线段CD的近点距是 4 ，远点距是 42 ．
（2）如图2，直线y＝﹣x+6与x轴，y轴分别交于点E，F，则线段EF和正方形ABCD的近点距是 2 ，远点距是 217 ；
（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴，y轴分别交于点R，S，线段RS与正方形ABCD的近距点是22，则b的值是 ±8 ；
（4）在平面直角坐标系xOy中，有一个矩形GHMN，若此矩形至少有一个顶点在以O为圆心1为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内，将正方形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与矩形GHMN的近点距的最小值是 1 ，远点距的最大值是 22+1 ．
【分析】（1）线段AB与线段CD的近点距是正方形的边长，远点距是正方形的对角线．
（2）如图2中，连接AC，延长AC交EF于M．解直角三角形求出AM，AE，AF，CM即可解决问题、
（3）如图3中，设直线BD交直线y＝x+b于M，N．由题意当DM＝BN＝22时，线段RS与正方形ABCD的近距点是22，作MP⊥OR于P，由△OPM是等腰直角三角形，OM＝42，求出点M的坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（4）如图4中，作正方形ABCD的外接圆与内切圆．利用图象法解决问题即可．
【解析】（1）线段AB与线段CD的近点距是正方形的边长＝4，远点距是正方形的对角线＝42．
故答案为4，42．
（2）如图2中，连接AC，延长AC交EF于M．
∵OM平分∠EOF，OE＝OF＝6，
∴OM⊥EF，EF=2OE＝62，
∴ME＝MF，
∴OM=12EF＝32，
∵OC＝OA＝22，
∴AM＝52，CM=2，
∵AE＝AF=82+22=217＞AM，
∴AE或AF的长是远点距，
∴线段EF和正方形ABCD的近点距是2，远点距是217．
故答案为2，217．
（3）如图3中，设直线BD交直线y＝x+b于M，N．
由题意当DM＝BN＝22时，线段RS与正方形ABCD的近距点是22，
作MP⊥OR于P，∵△OPM是等腰直角三角形，OM＝42，
∴PM＝OP＝4，
∴M（﹣4，4），同法可得N（4，﹣4），
把M（﹣4，4），代入y＝x+b得到b＝8，
把N′（4，﹣4），代入y＝x+b得到b＝﹣8，
故答案为±8．
（4）如图4中，作正方形ABCD的外接圆与内切圆．
观察图象可知将正方形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与矩形GHMN的近点距的最小值是1，远点距的最大值是22+1，
故答案为1，22+1．
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-32x2+92x+6与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，且点A的横坐标为4，点D和点B关于抛物线的对称轴对称．
（1）求线段AC的长；
（2）如图1，在线段OA上有一动点E，过点E作OA的垂线交直线CD于点N，交抛物线于点P，当线段PN取得最大值时，如图2，将此时的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0＜a＜90°），连接AB、E′A、E′B，求E′A+16E′B的最小值．
（3）如图3，抛物线y=-32x2+92x+6沿x轴正方向平移得到新的抛物线y′，y′经原点O，y′与x轴的另一个交点为F，设点Q是抛物线钱y′上任意一点，点M为原抛物线对称轴上任意一点，能否存在点Q，使得△MQF是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题可解得A，C的坐标，从而求得线段AC的长度，
（2）设E（t，0）用t表示出点P，N的坐标，列出线段PN的关系式，取得最大值时，可得t的值，旋转后可得E′（cosα，sinα），表示出E′A+16E′B的关系式，即可求出其最小值；
（3）假设三角形存在，设M（32，m）Q（q，-32q2+152），由等腰直角三角形可得MQ⊥QF，即直线MQ和直线QF的斜率相乘为﹣1，且MQ＝QF，从而列出方程组，方程组有解即假设成立．
【解析】（1）有题可得A（4，0），C（﹣1，0），
∴AC＝5
（2）设E（t，0），0＜t＜4，
∵点D和点B关于抛物线的对称轴对称，∴B（0，6），D（3，6）
∴直线CD的解析式为y=32x+32
∴N（t，32t+32），P（t，-32t2+92t+6）
∴PN=-32t2+3t+92，即当t＝1时，PN取得最大值，∴E（1，0）
在y轴上取一点Q，使得OQOE'=16，
∴△E′OB～△QOE′，
∴QE'BE'=16
∴当Q（0，16）时，E′A+16E′B的最小值．
E′A+16E′B＝AE′+QE≥AQ
A（4，0），Q（0，16），AQ=42+(16)2=5776
E′A+16E′B的最小值为5776．
（3）新的抛物线y′经原点O，即C（﹣1，0）向右平移后经过原点
∴平移了一个单位
∴新抛物线y′=-32x2+152，∴F（5，0）
设M（32，m），Q（q，-32q2+152），32＜q＜5
设存在这样的等腰直角三角形，则MQ⊥QF，∴斜率相乘为﹣1
即-32q2+152q-mq-32×-32q2+152qq-5=-1，整理后得-3q2+15q-2m=2(2q-3)3q
又∵MQ＝FQ∴(-32q2+152q-m)2+(q-32)2=(-32q2+152q)2+(q-5)2
整理后，将上式代入得（2q﹣3）2＝[3q（5﹣q）]2
若2q﹣3＝3q（5﹣q），即3q2﹣13q﹣3＝0，△＝13×13+4×9＝205＞0，方程有解，q=13±2056
又∵32＜q＜5，∴q=13+2056
若2q﹣3＝3q（q﹣5），即3q2＝17q+3＝0，△＝17×17﹣4×3×3＝253＞0，方程有解，q=17±2536
又∵32＜q＜5，∴q=17±2536，不合题意，舍去
综上所述q=13+2056，即存在这样的q值，
假设成立，存在这样的等腰直角三角形，且Q的横坐标为13+2056．
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