北师大版九年级上册1 反比例函数习题

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第8讲 反比例函数的综合运用


知识点1反比例函数实际应用
1.分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又符合实际。
2.函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数
3.概括整合
（1）简单的反比例函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
【典例】
1.某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这一函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）

【解析】解：（1）设，
由题意知，
所以k=96，
故；
（2）当v=1m3时，；
（3）当p=140kPa时，．
所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．
3.某公司生产一种成本为20元/件的新产品，在2017年1月1日投放市场，前3个月只在本地销售，同时每月投入500万元开拓外地市场，3个月后，外地市场开拓成功进行正常销售．
（1）只在本地销售时，该产品的销售价格不低于20元/件，且不能超过80元/件，销售价格x（元/件）与月销售量y（万件）满足函数关系式y=，前3个月每件产品的定价多少元时，每月可获得最大利润？最大利润为多少？（不考虑每月对开拓外地市场的投入）
（2）3个月后正常销售，该种产品销售价格统一为（80﹣m）元/件，公司每月可销售（10+0.2m）万件．从第4个月开始，每月可获得的最大利润是多少万元？
（3）若该产品的销售情况一年内不发生变化（含只在本地销售的3个月），请从该年的最大总利润的角度分析，开拓外地市场能使公司增加多少利润？
【解析】解：（1）∵每件产品的利润为（x﹣20）元，销售量y=（万件），
∴每月利润=×（x﹣20）=200﹣，
∵20≤x≤80，
又∵每月利润随着x的增大而减小，
∴当x=80时，
y取到最大值，即每月利润最大，
把x=80代入得：每月利润=150万元
即最大利润为150万元；
答：前3个月每件产品的定价80元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少150万元，
（2）∵每件产品的利润为（80﹣m﹣20）元，即（60﹣m）元，销售量为（10+0.2m）万件，
∴每月利润=（60﹣m）×（10+0.2m），
整理后得：每月利润=﹣0.2m2+2m+600=﹣0.2（m﹣5）2+605，
∵每件产品的利润（60﹣m）≥0，
∴m≤60，
把m=5代入每月利润=﹣0.2（m﹣5）2+605得：每月利润为605万元，
即每月可获得的最大利润是605万元，
答：从第4个月开始，每月可获得的最大利润是605万元；
（3）前三个月本地销售的利润为150×3=450万元，
后九个月正常销售的利润为605×9=5445万元，
开拓开外地市场增加的利润为450+5445﹣3×500=4395万元，
答：从该年的最大总利润的角度分析，开拓外地市场能使公司增加4395万元利润．
【方法总结】
应用反比例函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
（1）有图象的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
（2）注意自变量的取值范围。
【随堂练习】
1．（2019春•西陵区期中）某沼泽地能承受的压强为，一位同学的体重为，为了让他不陷入沼泽地，他与沼泽地的接触面积至少为　　平方米．
A．0.01 B．3 C．0.1 D．0.03
【解答】解：此同学对沼泽地的压力，
他对沼泽地的压强：，
，
故选：．
2．（2019•淮安）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长和宽之间函数关系的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意矩形面积（定值），
是的反比例函数，．
故选：．
3．（2019•诸城市一模）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该　　

A．不小于 B．小于 C．不大于 D．小于
【解答】解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为，
图象过点

即，在第一象限内，随的增大而减小，
当时，．
故选：．
4．（2018秋•双峰县期末）小明乘车从蔡和森纪念馆到富厚堂，行车的速度和行车时间之间的函数图象是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：设从蔡和森纪念馆到富厚堂的距离为，
则，
故选：．
5．（2018秋•朝阳区期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应控制在　　

A． B． C． D．
【解答】解：设反比例函数关系式为：，
把代入得：，
反比例函数关系式为：，
当时，则，
，
故选：．
6．（2019•兴庆区校级二模）在大棚中栽培新品种的蘑菇，在的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚栽培，如图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭．大棚内温度
随时间（时变化的函数图象，其中段是函数图象的一部分．若该蘑菇适宜生长的温度不低于，则这天该种蘑菇适宜生长的时间为　　

A．18小时 B．17.5小时 C．12小时 D．10小时
【解答】解：把代入中得：
；
设一次函数的解析式为：
把、代入中，
得：，
解得，
的解析式为：
当时，，，
，
解得：，
，
故选：．
二．填空题（共2小题）
7．（2019春•诸暨市期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间（分钟）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为．研究表明当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，至少需要经过　50　分钟后，学生才能回到教室．

【解答】解：设药物燃烧后与之间的解析式，把点代入得，解得，
关于的函数式为：；
当时，由；得，所以50分钟后学生才可进入教室；
故答案为：50．
8．（2019•滨州模拟）小刚同学家里要用的空调，已知家里保险丝通过的最大电流是，额定电压为，那么他家最多还可以有　24　只的灯泡与空调同时使用．
【解答】解：通过空调的电流为，
设：需要个的灯泡，
则：，解得：，
故：答案为24．

知识点2反比例函数与一次函数
1.求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点。
2.如果图中直接给出交点坐标，比较函数大小, 根据图象，确定大小关系，要注意分支讨论。
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x与反比例函数y=（k≠0）在第二象限内的图象相交于点A（m，1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线y=﹣x向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B，与y轴交于点C，且△ABO的面积为，求直线BC的解析式．

【解析】解：（1）∵直线y=﹣x过点A（m，1），
∴﹣m=1，解得m=﹣2，
∴A（﹣2，1）．
∵反比例函数y=（k≠0）的图象过点A（﹣2，1），
∴k=﹣2×1=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣；
（2）设直线BC的解析式为y=﹣x+b，
∵三角形ACO与三角形ABO面积相等，且△ABO的面积为，
∴△ACO的面积=OC•2=，
∴OC=，
∴b=，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+．
2.如图，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C
（1）求k的值及C点坐标；
（2）直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，且与y轴交于点B'，与双曲线y=交于D、E两点，求△CDE的面积．

【答案】
【解析】解：（1）令﹣2x+4=，则2x2﹣4x+k=0，
∵直线y=﹣2x+4与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C，
∴△=16﹣8k=0，
解得k=2，
∴2x2﹣4x+2=0，
解得x=1，
∴y=2，
即C（1，2）；
（2）∵直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，
∴A（2，0），B'（0，﹣4），
∴直线l为y=2x﹣4，
令=2x﹣4，则x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=3，x2=﹣1，
∴E（﹣1，﹣6），D（3，2），
又∵C（1，2），
∴CD=3﹣1=2，
∴△CDE的面积=×2×（6+2）=8．

【方法总结】
一次函数，反比例两函数比大小：
此类问题首先要先找到交点，如果交点为2 个X1 ,X2且X1＜0＜X2 那么把这个图像分为了4份，分别为Ⅰ:X＜X1，Ⅱ:X1 ＜X＜0，Ⅲ:0＜X＜X2，Ⅳ:X＞X2，树形结合，自变量相同，谁高谁大。（考虑反比例函数时一定要分支考虑，分为0左边，0右边，所以两个交点把图像分为了4部分）
【随堂练习】
1．（2019•衡阳）如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是　　

A． B． C．或 D．或
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数为常数且的图象上方时，的取值范围是：或，
不等式的解集是或
故选：．
2．（2019•洪泽区一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，点在轴负半轴上，，的面积为6．则的值为　　

A．3 B． C． D．6
【解答】解：设，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
故选：．
3．（2019•新宾县模拟）如图，若反比例函数的图象与直线相交于点，，结合图象求不等式的解集　　

A． B． C．或 D．或
【解答】解：由图象可知，直线在反比例函数的图象上方时，或，
不等式的解集为：，或．
故选：．
4．（2019春•姜堰区期中）一次函数的图象与反比例函数图象的交点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第一、三象限
【解答】解：联立方程组，
解得，，，
一次函数的图象与反比例函数图象的交点为和，
和分别位于第三象限和第一象限，
故选：．
5．（2019•路桥区一模）已知正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，若点的坐标是，则点的坐标是　　
A． B． C． D．
【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，
，两点关于原点对称，
点的坐标是，
点的坐标是．
故选：．
6．（2018秋•丹江口市期末）如图，直线与双曲线交于点，将直线向右平移3个单位后，与双曲线交于点，与轴交于点，若点到轴的距离是点到轴的距离的2倍，那么的值为　　

A．6 B．4 C．3 D．2
【解答】解：直线向右平移3个单位后所得直线解析式为，即，
设，，则，，
把，代入得，即，
把，代入得，则，
所以，解得（舍去），，
所以．
故选：．
7．（2018秋•榆林期末）已知函数与的图象的交点坐标是，则的值为　　
A． B． C． D．6
【解答】解：函数与的图象的交点坐标是，
将，代入反比例解析式得：，即，
代入一次函数解析式得：，即，
，
故选：．
8．（2019•滦南县一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，其中，当的函数值大于的函数值时，的取值范围　　

A． B．
C．或 D．或
【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，其中，
点坐标为
当或
故选：．

知识点3反比例函数与几何综合应用
反比例函数的基本性质在几何中的应用，适当设双曲线上的点的坐标，用坐标转化题中的几何条件及几何结论，利用双曲线上的点的代数、几何性质，建立方程进行求解及利用坐标系解决不规则三角形面积计算问题。注意勾股定理、完全平方式、整体代入、图形变换等结合及点坐标的应用。
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B在x轴正半轴上，顶点D在反比例函数的第一象限的图象上，CA的延长线与y轴负半轴交于点E．若△ABE的面积为1.5，则k的值为　　．

【答案】3
【解析】解：设正方形ABCD的边长为a，A（x，0），则D（x，a），
∵点D在反比例函数y=的图象上，
∴k=xa，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=45°，
∴∠OAE=∠CAB=45°，
∴△OAE是等腰直角三角形， ∴E（0，﹣x），
∴S△ABE=AB•OE=ax=1.5，
∴ax=3，即k=3．
故答案为：3．
2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1=（x＞0）的图象与y2=（x＞0）的图象关于x轴对称，Rt△AOB的顶点A，B分别在y1=（x＞0）和y2=（x＞0）的图象上．若OB=AB，点B的纵坐标为﹣2，则点A的坐标为　 　．

【答案】（3+，﹣1+）
【解析】解：如图，

作正方形ABOC，过点C作CD⊥y轴于D，过点E作BE⊥y轴于E，
∴∠ODC=∠BEO=90°，OB=OC，∠COD+∠BOE=90°，
∵∠COD+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠BOE，
∴△COD≌△OBE，
∴CD=OE=2，OD=BE，S△COD=S△OBE，
∵反比例函数y1=（x＞0）的图象与y2=（x＞0）的图象关于x轴对称，
∴k1+k2=0，
∴点C在双曲线y1=上，
设B（m，﹣2）（m＞0），
∴C（2，m），
∴k1=2m
连接BC交OA于H，
则CH=BH，OH=AH，
∴H（，），
∴A（m+2，m﹣2），
∴k1=（m+2）（m﹣2）
∴（m+2）（m﹣2）=2m，
∴m=1+或m=1﹣（舍），
∴m+2=3+，m﹣2=﹣1+，
∴A（3+，﹣1+），
故答案为：（3+，﹣1+）．
3.如图，反比例函数y=（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B。
（1）求k的值与B点的坐标；
（2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有D点的坐标．

【解析】解：（1）把点A（3，4）代入y=（x＞0），得
k=xy=3×4=12，
故该反比例函数解析式为：y=．
∵点C（6，0），BC⊥x轴，
∴把x=6代入反比例函数y=，得
y==6．
则B（6，2）．
综上所述，k的值是12，B点的坐标是（6，2）．
（2）①如图，当四边形ABCD为平行四边形时，AD∥BC且AD=BC
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴点D的横坐标为3，yA﹣yD=yB﹣yC即4﹣yD=2﹣0，故yD=2．
所以D（3，2）．
②如图，当四边形ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′=CB
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴点D的横坐标为3，yD′﹣yA=yB﹣yC即yD﹣4=2﹣0，故yD′=6．
所以D′（3，6）．
③如图，当四边形ACD″B为平行四边形时，AC=BD″且AC=BD″．
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴xD″﹣xB=xC﹣xA即xD″﹣6=6﹣3，故xD″=9．
yD″﹣yB=yC﹣yA即yD″﹣2=0﹣4，故yD″=﹣2．
所以D″（9，﹣2）．
综上所述，符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．

4.如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=与y=（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．

【解析】解：（1）①如图1，∵m=4，
∴反比例函数为y=，
当x=4时，y=1，
∴B（4，1），
当y=2时，
∴2=，
∴x=2，
∴A（2，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+3；
②四边形ABCD是菱形，
理由如下：如图2，由①知，B（4，1），
∵BD∥y轴，
∴D（4，5），
∵点P是线段BD的中点，
∴P（4，3），
当y=3时，由y=得，x=，
由y=得，x=，
∴PA=4﹣=，PC=﹣4=，
∴PA=PC，
∵PB=PD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）四边形ABCD能是正方形，
理由：当四边形ABCD是正方形，记AC，BD的交点为P，
∴PA=PB=PC=PD，（设为t，t≠0），
当x=4时，y==，
∴B（4，），
∴A（4﹣t，+t），C（4+t，+t），
∴（4﹣t）（+t）=m，
∴t=4﹣，
∴C（8﹣，4），
∴（8﹣）×4=n，
∴m+n=32，
∵点D的纵坐标为+2t=+2（4﹣）=8﹣，
∴D（4，8﹣），
∴4（8﹣）=n，
∴m+n=32．


【方法总结】
反比例函数与几何的综合主要与全等，勾股、相似及反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识结合；熟练掌握这些知识点是解决问题的关键．
求出多解时要注意看象限，判断是否需要舍值。
【随堂练习】
1．（2019春•瑞安市期末）如图，在中，，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．
（1）若，求的值；
（2）若，求点的坐标．

【解答】解：（1）过作，轴，垂足为、，
，，
，
在中，，
，，
代入得：，
答：的值为12．
（2），
，
设，则，，
点、在反比例函数的图象上，
，
解得：，

答：点的坐标为

2．（2019•大庆二模）如图，正比例函数与反比例函数交于点，轴于点，平移直线使其经过点，得到直线，与轴交于点，与交于点．
（1）求正比例函数及反比例函数的解析式；
（2）求点的坐标；
（3）求的面积．

【解答】解：（1）将点分别代入、得、，
解得，，
正比例函数及反比例函数的解析式分别为、；
（2）由平移得到，所以设，
轴，，将其代入得，
，
由题意得：解得：，（舍去），
点坐标为，；
（3）连接，过点作轴，垂足为，则，
把代入得，，

直线，
．
答：的面积为．

3．（2019春•卧龙区期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点．
（1）　　，　　；
（2）根据函数图象可知，当时，的取值范围是　　；
（3）过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线与线段交于点，当时，求直线的解析式．

【解答】解：（1）把代入得，解得，
一次函数解析式为；
把代入得，
反比例函数解析式为，
故答案为：，16；
（2）当时即直线在反比例函数图象的上方时对应的的取值范围，
或；
故答案为：或；

（3）把代入得，解得，
点的坐标是，而点的坐标是，
，．
，
，
，
，
，
点的坐标为．
设直线的解析式为，把代入得，解得，
直线的解析式为．
4．（2019•泗水县二模）如图，反比例函数过点，直线与轴交于点，过点作轴的垂线交反比例函数图象于点．
（1）求的值与点的坐标；
（2）在平面内有点，使得以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，试直接写出符合条件的所有点的坐标．

【解答】解：（1）把代入得：，
当时，，
点，
答：的值为12，点的坐标为．
（2），、，，
①过作的平行线，在这条平行线上截取，，
此时，，
②过点作的平行线与过作的平行线相交于，
过点作，垂足为，过作，垂足为，
是平行四边形，
，，
△
，，
的横坐标为，

答：符合条件的所有点的坐标为，，．

5．（2019春•侯马市期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，与反比例函数的图象交于，，连接，．
（1）求的值；
（2）求的面积．
（3）根据图象直接写出时，的取值范围．
（4）点是反比例函数上一点，是否存在点，使点、、为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把代入得：，
即一次函数的表达式为，
把，代入得：，，
解得，，
即，，
把的坐标代入得：，
解得：；

（2）由可知：，
的面积为；

（3）由图象可知：时，的取值范围是或；

（4）当在第一象限，根据题意，
直线，
设直线的解析式为，
代入得，
解得，
直线为，
解得，，
；
当在第三象限，根据题意，
直线，
设直线的解析式为，
代入得，
解得，
直线为，
解得或，
，
综上，点的坐标为或．
6．（2018秋•万州区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数，、为常数）的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，，，点的纵坐标为．
（1）求一次函数的解析式；
（2）连接、，求的面积．

【解答】解：（1）轴于，，，
，
把代入反比例函数，可得
，
，
令，则，
，
把，代入一次函数，可得
，解得，
一次函数的解析式为；
（2），令，则，
，
，
又，，
的面积．

7．（2019春•长春期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在函数．的图象上，点的坐标为．
（1）求的值．
（2）将点沿轴正方向平移得到点，当点在函数的图象上时，求的长．

【解答】解：（1）延长交轴于，
点的坐标为，
，，
在中，由勾股定理得：，
四边形是菱形，
，，
点的坐标是，
代入得：；

（2）反比例函数的解析式是，
，将点沿轴正方向平移得到点，
点的纵坐标是3，
把代入得：，
．
8．（2019春•宽城区期末）如图，在平面直角坐标系中正比例函数与函数的图象相交点，轴于点．平移直线，使其经过点，得到直线求直线所对应的函数表达式．

【解答】解：函数的图象过点，
代入得：，
即，
轴于点，
，
把代入得：，
解得：，
即，
平移直线，使其经过点，
设直线所对应的函数表达式是，
把代入得：，
解得：，
所以直线所对应的函数表达式是．
9．（2019春•沙坪坝区校级期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数中，当时，，当时，．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象；
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．

【解答】解：（1）在函数中，当时，；当时，，
，得，
这个函数的表达式是；
（2），
，
函数过点和点；函数过点和点；
该函数的图象如图所示：

（3）由函数图象可得，
不等式的解集是．
10．（2019春•赣榆区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点（点在点左侧）已知点的纵坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点上方的双曲线上有一点．如果的面积为30，直线的函数表达式．

【解答】解：（1）直线经过点，且点的纵坐标是2，
令，则，
即，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为；
（2）作轴于，交于，
直线和双曲线是中心对称图象，，
，
设，
把代入得，
，，
，
，
整理得：，
解得或（舍去），
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为．

综合运用: 反比例函数的综合运用
1.如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y=（x＞0）的图象经过OB的中点E，且与边BC交于点【选项D】
（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；
（2）求三角形DOE的面积；
（3）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线解析式．

【解析】解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），E是矩形ABCD的对称中心，
∴点E的坐标为（2，1），
∵代入反比例函数解析式得=1，解得k=2，
∴反比例函数解析式为y=，
∵点D在边BC上，
∴点D的纵坐标为2，
∴y=2时，=2，
解得x=1，
∴点D的坐标为（1，2）；
（2）∵D的坐标为（1，2），B（4，2），
∴BD=3，OC=2．
∵点E是OB的中点，
∴S△DOE=S△OBD=××3×2=；
（3）如图，设直线与x轴的交点为F，
矩形OABC的面积=4×2=8，
∵矩形OABC的面积分成3：5的两部分，
∴梯形OFDC的面积为×8=3，
或×8=5，
∵点D的坐标为（1，2），
∴若（1+OF）×2=3，
解得OF=2，
此时点F的坐标为（2，0），
若（1+OF）×2=5，
解得OF=4，
此时点F的坐标为（4，0），与点A重合，
当D（1，2），F（2，0）时，，
解得，
此时，直线解析式为y=﹣2x+4，
当D（1，2），F（4，0）时，，
解得．
此时，直线解析式为y=﹣x+，
综上所述，直线的解析式为y=﹣2x+4或y=﹣x+．

2.如图，一次函数y1=k1x+b（k1≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，与反比例函数y2=的图象相交于点C（﹣4，﹣2），D（2，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当x为何值时，y1＞0；
（3）当x为何值时，y1＜y2，请直接写出x的取值范围．

【解析】解：（1）∵一次函数y1=k1x+b的图象经过点C（﹣4，﹣2），D（2，4），
∴，
解得．
∴一次函数的表达式为y1=x+2．
∵反比例函数的图象经过点D（2，4），
∴．
∴k2=8．
∴反比例函数的表达式为．
（2）由y1＞0，得x+2＞0．
∴x＞﹣2．
∴当x＞﹣2时，y1＞0．
（3）x＜﹣4或0＜x＜2．
3.实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x表示；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）表示（如图所示）．
（1）求k的值．
（2）假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，求有多长时间其酒精含量不低于72毫克/百毫升？（用分钟表示）

【解析】解：（1）当x=1.5时，y=﹣200x2+400x=﹣200×2.25+400×1.5=150，
∴k=1.5×150=225；
（2）当y=72时，x=3.125小时=175.5分钟，
所以175.5分钟内其酒精含量不低于72毫克/百毫升．