北师大版初二数学上册（秋季班）讲义 第1讲 勾股定理 --尖子班

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第15讲 勾股定理

知识点1 勾股定理的图形计算问题
勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.
a2+b2=c2
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，

则c2=a2+b2，c=；
a2 =c2-b2，a=；
b2=c2-a2，b=.
【典例】
例1（2020秋•九龙县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若CD＝1.5，BD＝2.5．
（1）∠2＝∠B，求AC的长．
（2）∠1＝∠2，求AC的长．

【解答】解：（1）∵∠2＝∠B，
∴AD＝BD＝2.5，
∵∠C＝90°，CD＝1.5，
∴AC=AD2-CD2=2．52-1．52=2，
（2）过点D作DE⊥AB于点E，

∵∠1＝∠2，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝1.5，AC＝AE，
在Rt△DEB中，BE=BD2-DE2=2．52-1．52=2，
在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣BC2，
即AC2＝（AE+EB）2﹣（CD+DB）2，
可得：AC2＝（AC+2）2﹣（1.5+2.5）2，
解得：AC＝3．
【方法总结】
本题考查勾股定理，根据等腰三角形的性质和角平分线的性质以及勾股定理解答．
例2 （2020秋•成华区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝13cm，AB＝15cm，BC＝14cm，求BC边上的高AD．

【解答】解：设BD＝xcm，则CD＝（14﹣x）cm，
依题意有152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得x＝9，
在Rt△ADB中，AD=AB2-BD2=152-92=12（cm）．
故BC边上的高AD为12cm．
【方法总结】
考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，本题关键是求出BD的长．
例3（2020秋•双流区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60．
（1）求BC的长．
（2）求斜边AB边上的高．

【解答】解：（1）∵在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，
∴AB⋅DE2=60，
即AB×122=60，
解得，AB＝10，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，
∴BC=AB2-AC2=102-82=6；
（2）作CF⊥AB于点F，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，AC⋅CB2=AB⋅CF2，
∴8×62=10×CF2，
解得，CF＝4.8，
即斜边AB边上的高是4.8．

【方法总结】
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
例4（2020秋•溧阳市期中）匀股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：
已知：如图，四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于点E，且△ABE≌△BCD．求证：AB2＝BE2+AE2．

【解答】解：连接AC，
∵△ABE≌△BCD，
∴AB＝BC，AE＝BD，BE＝CD，∠BAE＝∠CBD，
∵∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC=12BD•AE+12BD•CD=12AE•AE+12BD•BE=12AE2+12BD•BE，
又∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC=12AB•BC+12CD•DE=12AB•AB+12BE•DE=12AB2+12BE•DE，
∴12AE2+12BD•BE=12AB2+12BE•DE，
∴AB2＝AE2+BD•BE﹣BE•DE，
∴AB2＝AE2+（BD﹣DE）•BE，即AB2＝BE2+AE2．

【方法总结】
本题考查了勾股定理的证明，解题时，利用了全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质．
【随堂练习】
1．（2020秋•山阳区校级期中）某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．

【解答】解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则CD＝14﹣x，
由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，
∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得：x＝9，
∴AD＝12，
∴S△ABC=12BC•AD=12×14×12＝84．
2．（2020秋•宁化县期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5．求：△ABC的周长．

【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，
∴AB=162+122=20，AC=122+52=13，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AB+AC+BD+DC＝20+13+16+5＝54，即△ABC的周长是54．
3．（2020春•青白江区期末）如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上．BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．
（1）在探究长方形ACDF的面积S时，我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，△ABE组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S．
请根据以上材料，填空：
方法一：S＝　ab+b2　．
方法二，S＝S△ABC+S△BDE+SAEF+S△ABE＝ab+12b2-12a2+12c2．
（2）由于（1）中的两种方法表示的都是长方形ACDP的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．
（3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值．

【解答】解：（1）S＝b（a+b）＝ab+b2．
故答案为S＝ab+b2；
（2）由题意得：ab+b2=ab+12b2-12a2+12c2，
∴2ab+2b2＝2ab+b2﹣a2+c2，
∴a2+b2＝c2；
（3）∵a2+b2＝c2，且c＝10，a＝6，
∴62+b2＝102，
∴b＝8，
∴S＝ab+b2＝6×8+64＝112．
答：S的值为112．
4．（2020春•包河区校级期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4×12ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．

【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为12(a+b)(a+b)=12a2+ab+12b2，
也可以表示为12ab+12ab+12c2，∴12ab+12ab+12c2=12a2+ab+12b2，
即a2+b2＝c2；
（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；
在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
解得x=94；
（3）如图，

由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．
知识点2 勾股定理的应用
解勾股定理实际问题的一般步骤：
①仔细审题，读懂题意；
②找出或构造出与问题有关的直角三角形；
③在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程；
④求解所列算式或方程，直接或间接得到答案；
⑤作答.
解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.
【典例】
例1 （2020秋•宽城区期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？

【解答】解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，
BC2＝2.25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，
解这个方程，得x＝1.25，
1.25﹣1.2＝0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
【方法总结】
此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
例2 （2020春•荔湾区月考）一架梯子AB长2.5m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙0.7m．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了0.4m．那么梯子底部在水平方向滑动了0.4m吗？为什么？

【解答】解：（1）∵AB＝2.5米，BC＝0.7米，
∴AC=AB2-BC2=2．52-0．72=2.4（米）．
答：这个梯子的顶端距地面有2.4米；

（2）在Rt△A′CB′中，
∵A′C＝AC﹣0.4＝24﹣0.4＝2（米），A′B′＝2.5米，
∴CB′=A'B'2-CA'2=2．52-22=1.5（米），
∴BB′＝CB′﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8（米）．
答：梯子底部在水平方向滑动了0.8米．
【方法总结】
本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
例3 （2020秋•成华区校级月考）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于55cm、10cm、6cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？

【解答】解：展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×10+3×6＝48，
BC＝55，
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=482+552=73cm，
答：一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有73cm．

【方法总结】
本题主要考查对勾股定理，平面展开﹣最短路径问题等知识点的理解和掌握，能理解题意知道是求出直角三角形ABC的斜边AB的长是解此题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•渝中区校级月考）一架梯子AB长25m，如图斜靠在一面墙上，梯子底瑞B离墙7m．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向也滑动了4m吗？如果不是，梯子的底端在水平方向上滑动了多长的距离呢？

【解答】解：（1）由题意，得AB2＝AO2+BO2，
所以：AO=AB2-BO2=252-72=24（米）．
（2）由A′B′2＝A′O2+OB′2，得
B′O=A'B'2-A'O'2=252-(24-4)2=45×5=15（米）．
∴BB′＝B′O﹣BO＝15﹣7＝8（米）．
答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米．
2．（2020秋•金水区校级月考）如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离．

【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B=A'D2+BD2=122+162=20（cm）．
答：蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离是20cm．

知识点3 勾股定理的逆定理
勾股数：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形
是直角三角形.
【典例】
例1 （2020•鼓楼区一模）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2．求整式B．
联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
　15　
8
　17　
勾股数组Ⅱ
35
　12　
　37　

【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，
∵A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
当2n＝8时，n＝4，∴n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；
当n2﹣1＝35时，n＝±6（负值舍去），∴2n＝2×6＝12，n2+1＝37．
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
15
8
17
勾股数组Ⅱ
35
12
37
故答案为：15，17；12，37．
【方法总结】
本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
例2 （2020春•海珠区校级期中）如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求线段AB的长；
（2）求∠ABC的度数．

【解答】解：（1）AB=42+22=25；

（2）∵AC2＝42+32＝25，AB2＝（25）2＝20，BC2＝22+12＝5，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°．
【方法总结】
本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理和逆定理是解题的关键．
例3 （2020秋•梅列区校级期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，BD=95．
（1）求AD＝　165　；
（2）求证：△ABC是直角三角形．

【解答】（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：CD=BC2-BD2=32-(95)2=125，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=AC2-CD2=42-(125)2=165，
故答案为：165；

（2）证明：由（1）知：AD=165，
∵BD=95，
∴AB＝BD+AD=95+165=5，
∵BC＝3，AC＝4，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
即△ABC是直角三角形．
【方法总结】
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记知识点是解此题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•成都期中）若正整数a，n满足a2+n2＝（n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”．当n＜150时，共有　8　组这样的“完美勾股数”．
【解答】解：∵n＜150，（n+1）2﹣n2＝2n+1，
又∵149+150＝299，大于等于9小于297的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8个，
∴共有8组这样的“完美勾股数”．
故答案为：8．
2．（2020秋•姜堰区期中）△ABC的三边长分别是a、b、c，且a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，则△ABC是直角三角形吗？请证明你的结论．
【解答】解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵a2+b2＝（m2﹣1）2+（2m）2
＝m4﹣2m2+1+4m2
＝m4+2m2+1
＝（m2+1）2
＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
3．（2020秋•溧阳市期中）如图，每个小正方形的边长为1．
（1）求图中格点三角形ABC的面积；
（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论．

【解答】解：（1）如图．
S△ABC＝S矩形ADEF﹣S△ABD﹣S△EBC﹣S△AFC
＝6×5-12×5×5-12×3×1-12×6×2
＝30﹣12.5﹣1.5﹣6
＝10；

（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵AC2＝62+22＝40，BC2＝32+12＝10，AB2＝52+52＝50，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，即△ABC是直角三角形．


综合运用
1．（2020春•和县期末）如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么a+b的值为　5　．

【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，
四个直角三角形的面积是：12ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12，
则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25，
则a+b＝5．
故答案为：5．
2．（2020秋•朝阳区校级月考）图是一个长、宽、高分别为4cm，3cm，5cm的长方体，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬行至点B，爬行的最短路程是多少？

【解答】解：因为平面展开图不唯一，
故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90；
（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+4）2+52＝74；
（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+5）2+42＝80；
所以最短路径长为74cm．
3．（2020秋•南京期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AB＝13，BD＝5，AC＝15．
（1）求AD的长；
（2）求BC的长．

【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠CDA＝90°．
在Rt△ADB中，∵∠ADB＝90°，
∴AD2+BD2 ＝ AB2，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝144．
∵AD＞0，
∴AD＝12．
（2）在Rt△ADC中，∵∠CDA＝90°，
∴AD2+CD2 ＝ AC2 ，
∴CD2＝AC2﹣AD2＝81．
∵CD＞0，
∴CD＝9．
∴BC＝BD+CD＝5+9＝14．
4．（2020秋•姜堰区期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．

（1）在Rt△ABC中，AC＝m，BC＝n，∠ACB＝90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求（m+n）2；
（2）若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）．
【解答】解：（1）由题意（n﹣m）2＝1，m2+n2＝61，
∴2mn＝60，
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝61+60＝121；

（2）由（1）可知m+n=11n-m=1，
∴m=5n=6，
∴AC＝5，BC＝6，
∵∠ACB＝90°，AC＝5，CD＝12，
∴AD=AC2+CD2=52+122=13，
∴这个风车的外围周长＝4（13+6）＝76．
5．（2020秋•兴庆区校级期中）如图所示，已知等腰△ABC的底边BC＝15cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝9cm．
（1）判断△BDC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的周长．

【解答】解：（1）在△BDC中，BC＝15cm，CD＝12cm，BD＝9cm，
∴152＝92+122，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴△BDC为直角三角形；
（2）设AB＝xcm，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝xcm，
∵△ADC为直角三角形，
∴AC2＝AD2+CD2，
即x2＝（x﹣9）2+122，
解得：x=252，
∴△ABC的周长＝2AB+BC＝2×252+15＝40（cm）．
故△ABC的周长为40cm．
6．（2020春•海安市月考）如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形ABCD的周长及面积；
（2）连接BD，判断△BCD的形状．

【解答】解：（1）根据勾股定理得AB=52+12=26，AD=42+12=17，CD=22+12=5，BC=42+22=25，
故四边形ABCD的周长为26+35+17；
面积为5×5-12×1×5-12×1×4﹣1-12×1×2-12×2×4＝14.5；
（2）连接BD，
∵BC＝25，CD=5，BD＝5，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴△BCD是直角三角形．
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日期：2021/1/29 11:07:40；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626