高中数学新教材必修第一册 第5章 5.4.3　正切函数的性质与图象课件PPT

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高中数学新教材 同步课件（必修第一册）5.4.3　正切函数的性质与图象第五章　§5.4　三角函数的图象与性质1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质.2能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题.学习目标三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象和性质就成为我们学习的必然，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？我们知道，研究一个新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值(值域)等方面来进行研究.请同学们思考学案上的几个问题.导语随堂演练课时对点练一、正切函数的定义域、周期性与奇偶性二、正切函数的图象三、正切函数的单调性与最值内容索引四、正切函数图象与性质的综合应用一、正切函数的定义域、周期性与奇偶性问题1　请同学们回忆角的正切是如何定义的？问题2　角α是任意的吗？问题3　由以上，你能定义正切函数吗？问题4　你还记得诱导公式二、三中和正切有关的公式吗？提示　tan(π＋α)＝tan α，tan(－α)＝－tan α.1.周期性：由诱导公式tan(π＋x)＝tan x，x∈R，且x≠ ＋kπ，k∈Z，可知正切函数是 ，周期是π.2.奇偶性：由诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R，x≠ ＋kπ，k∈Z，可知正切函数是 .注意点：注意区分正切函数与正弦函数、余弦函数的最小正周期，求周期的公式为：T＝周期函数奇函数√√反思感悟　(1)判断函数定义域的方法求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠ ＋kπ，k∈Z.(2)与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略①一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝ ，常常利用此公式来求周期.②判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系.A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数√解析　因为f(x)＝sin x＋tan x，f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数.二、正切函数的图象问题5　你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？问题6　如何画出函数y＝tan x的图象？注意点：正切函数只有对称中心，没有对称轴。√反思感悟　正切函数对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x轴的交点，还有“渐近线”与x轴的交点，正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解决与图象有关问题的关键.跟踪训练2　(1)y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为√√三、正切函数的单调性与最值通过观察函数图象，我们发现正切函数不是单调函数，但有无数个单调递增区间，没有单调递减区间，无最值，值域为R.2.值域：正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集 .单调递增R(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；故原函数的最小正周期为4π.反思感悟　(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.②运用单调性比较大小关系.(2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法令tan x＝t，则t∈[－1,1].∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.故所求函数的值域为[－4,4].四、正切函数图象与性质的综合应用(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；反思感悟　解答正切函数图象与性质问题的注意点跟踪训练4　画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性.解　由y＝|tan x|，其图象如图，值域为[0，＋∞)，是偶函数.函数y＝|tan x|的周期T＝π，1.知识清单：(1)正切函数图象的画法.(2)正切函数的性质.2.方法归纳：整体代换、换元法.课堂小结随堂演练1234√1234√1234√代入验证知A，B，C错误.1234>课时对点练基础巩固√12345678910111213141516A.[－1,1] B.(－∞，－1]∪[1，＋∞)C.(－∞，1] D.[－1，＋∞)123456789101112131415√161234567891011121314153.函数f(x)＝sin xtan xA.是奇函数 B.是偶函数C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数√16又f(－x)＝sin(－x)·tan(－x)＝sin x·tan x＝f(x)，∴f(x)为偶函数.4.tan x≥1的解集为√123456789101112131415165.函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为 ，则ω的值是A.1 B.2 C.4 D.8123456789101112131415√16123456789101112131415√√16√12345678910111213141516易知该函数的最小正周期为π，故B正确；1234567891011121314157.函数y＝tan2x－2tan x＋2的最小值为___.解析　y＝(tan x－1)2＋1，由于tan x∈R，所以当tan x＝1时，函数取最小值1.11612345678910111213141516±2∴|ω|＝2，∴ω＝±2.1234567891011121314159.求函数y＝tan 2x的定义域、值域和最小正周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象.1612345678910111213141516123456789101112131415综合运用11.下列图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈ 内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是16A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③√12345678910111213141516只有图象d符合，即d对应③.12345678910111213141516√A.0<ω≤1 B.－1≤ω<0 C.ω≥1 D.ω≤－1√12345678910111213141516∴－1≤ω<0.1234567891011121314151614.比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)：<<12345678910111213141516拓广探究√当x＝π时，y＝0；1234567891011121314151612345678910111213141516(1)求f(x)的解析式；12345678910111213141516又它的图象过点(0，－3)，1234567891011121314151612345678910111213141516