高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.1 成对数据的相关关系课时训练

专题5.1 平面向量的概念与线性运算

【745】．（2011·四川·高考真题·★★）

如图，正六边形ABCDEF中，=

A．0 B． C． D．

【答案】D

【解析】

【详解】

将平移到，平移到，

故，

故选D.

本题主要考查平面向量的基本概念及线性运算

考点：向量的加法.

【746】．（2013·辽宁·高考真题·★★）

已知点则与同方向的单位向量为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【详解】

试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.

考点：向量运算及相关概念.

【747】．（2012·全国·高考真题·★★★）

中，边的高为，若，，，，，则（ )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【详解】

试题分析：由，，可知

【748】．（2020·山东·高考真题·★★★）

已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用向量的线性运算，即可得到答案；

【详解】

连结，则为的中位线，

，

故选：A

【749】．（2015·山东·高考真题·★★★）

如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由向量的线性运算，可得解

【详解】

由题意，．

故选：B

【750】．（2008·安徽·高考真题·★）

若，, 则（ ）

A．（1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）

【答案】B

【解析】

【详解】

试题分析：因为向量，，所以．故选B．

考点：向量减法的坐标的运算．

【751】．（2018·全国·高考真题·★★）

在△中，为边上的中线，为的中点，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.

【详解】

根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

【点睛】

该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

【752】．（2022·海南华侨中学模拟预测·★★★）

已知不共线的平面向量两两所成的角相等，且，则（       ）

A． B．2 C．3 D．2或3

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出，转化，列方程即可求出.

【详解】

由不共线的平面向量，，两两所成的角相等，可设为θ，则.设||=m.

因为，所以，

即，

所以

即，解得：或3.

所以||=2或3

故选：D

【753】．（2014·天津·高考真题·★★★）

已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于(　　)

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【详解】

试题分析：，，即①，同理可得②，①+②得，故选C．

考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算．

【754】．（2022·浙江嘉兴·二模·★★★★）

已知平面向量，，，其中为单位向量，若，则的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】

建立如图所示坐标系，不妨设，，，由题意，可知，记，，则，求出点的轨迹方程，由的几何意义可得即为点的轨迹上的点到点的轨迹上的点的距离，从而可得出答案.

【详解】

解：建立如图所示坐标系，不妨设，，，

由知，点A在直线或上，

由题意，可知，

记，，则，

由定弦所对的角为顶角可知点B的轨迹是两个关于x轴对称的圆弧，

设，则，

因为，

即，

整理得：或，

由对称性不妨只考虑第一象限的情况，

因为的几何意义为：

圆弧的点到直线上的点的距离，

所以最小值为，故.

故答案为：.

【755】．（2020·江苏·高考真题·★★★★）

在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．

【答案】或0

【解析】

【分析】

根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.

【详解】

∵三点共线，

∴可设，

∵，

∴，即，

若且，则三点共线，

∴，即，

∵，∴，

∵,,，

∴，

设，，则，.

∴根据余弦定理可得，，

∵，

∴，解得，

∴的长度为.

当时， ，重合，此时的长度为，

当时，，重合，此时，不合题意，舍去.

故答案为：0或.

【点睛】

本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．

【756】．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测·★★★★）

半径为4的圆O上有三点A、B、C，满足，点P是圆O内一点，则的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据平面向量加法的几何意义结合圆的几何性质可以确定四边形是菱形，结合菱形的性质、圆的几何性质、平面向量运算法则进行求解即可.

【详解】

如图，与交于点，由得：，

四边形是平行四边形，又，所以四边形是菱形，则，，

由图知，，而，

∴，

同理，，而，

∴，

∴，

∵点是圆内一点，则，∴.

故答案为：

【757】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★★）

已知两非零向量，满足，且，则（       ）

A．8 B．3 C．2 D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量的垂直关系进行向量的数量积和向量的模的运算即可.

【详解】

两非零向量，满足，且，可得，.

故选：A

【758】．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测·★★★★）

已知平面向量，是单位向量，且，向量满足，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量模的定义可得，进而求得，利用向量的线性运算，结合向量模的定义即可求解.

【详解】

解：因为，所以，即，又，所以．

所以．

因为，

所以．

故选：A．

【759】．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测·★★）

已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（       ）

A． B．或

C．或 D．

【答案】C

【解析】

【分析】

求出的坐标，除以，再考虑方向可得．

【详解】

由得，即，，

，

，

，

与同向的单位向量为，反向的单位向量为．

故选：C．

【760】．（2022·湖北·一模·★★）

已知则=（       ）

A．4 B． C．10 D．16

【答案】B

【解析】

【分析】

根据条件，利用模的平方可求出的值，再将变形并平方，即可求得答案.

【详解】

由，

可得，

即，

所以，

故，

故选：B

【761】．（2022·河北·模拟预测·★★）

已知向量，是单位向量，若，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

求出的模，将两边平方，求出向量，的数量积，再根据向量的夹角公式求得答案.

【详解】

∵，是单位向量，若，

∴，，,

∴.

∴，∴，∴,

由

∴与的夹角为,

故选:B.

【762】．（2022·四川绵阳·二模·★★）

已知平面向量，不共线，，，，则（       ）

A．，，三点共线 B．，，三点共线

C．，，三点共线 D．，，三点共线

【答案】D

【解析】

【分析】

根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答.

【详解】

平面向量，不共线，，，，

对于A，，与不共线，A不正确；

对于B，因，，则与不共线，B不正确；

对于C，因，，则与不共线，C不正确；

对于D，，即，

又线段与有公共点，则，，三点共线，D正确.

故选：D

【763】．（2022·山东潍坊·模拟预测·★★★）

在平行四边形中，分别是的中点，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

设，根据向量的线性运算，得到，结合，列出方程组，求得的值，即可求解.

【详解】

如图所示，设，且，

则，

又因为，

所以，解得，所以.

故选：B.

【764】．（2022·内蒙古·包钢一中一模·★★）

已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（       ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量共线的充要条件建立方程直接求解.

【详解】

因为与共线，所以，，

所以，

因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，

故选：C．

【765】．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测·★★）

如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平面向量线性运算法则计算可得；

【详解】

解：因为，所以，

所以.

故选：C.

【766】．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测·★★★）

已知向量，不共线，且向量与平行，则实数（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由两个向量平行的条件求解即可.

【详解】

与平行，，向量不共线，

∴存在实数k，使得，

，解得，

故选：B．

【767】．（2022·吉林吉林·模拟预测·★★★）

如图，中，，，点E是的三等分点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.

【详解】

故选：B.

【768】．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测·★★）

在平行四边形ABCD中，，G为EF的中点，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意和平面向量的线性运算即可得出结果.

【详解】

．

故选：B.

【769】．（2022·湖南·一模·★★）

已知，若，则________．

【答案】##2.5

【解析】

【分析】

利用数量积为零可求，从而可求.

【详解】

因为，故，故，

故，

故答案为：

【770】．（2007·江西·高考真题·★★★★）

如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若,则m+n的值为_________．

【答案】2

【解析】

【详解】

略

【771】．（2022·河南省杞县高中模拟预测·★★）

已知向量，不共线，，，若，则______．

【答案】6

【解析】

【分析】

根据向量共线可得答案.

【详解】

因为，且，

所以存在，使得，即，

因为，不共线，所以解得，．

故答案为：6.

【772】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★★）

已知向量，满足，，，则______．

【答案】1或3##3或1

【解析】

【分析】

利用向量模的定义及向量共线的含义可以求得，进而求得的值．

【详解】

∵∴，

又∵，，∴．

当时，，

当时，．

故答案为：1或3