2023年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学二模试卷(含解析)

2023年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，直线，，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

5.  若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则菱形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则四边形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在平面直角坐标系中，将抛物线绕点旋转，在旋转后的抛物线上，当时，随的增大而减小，则的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  不等式的解集为        ．

10.  如图所示的正六边形，连接，则的度数是        ．

11.  孙子算经中有一道题，原文是：“今有木，不知长短引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺设木长为尺，绳子长为尺，则符合题意的方程组是______ ．

12.  如图，矩形的面积为，对角线与双曲线相交于点，且，则的值为        ．

13.  如图，在中，弦，点为圆周上一动点，连接、，为上一点，且，，则周长的最大值为        ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解方程组：．

16.  本小题分
解分式方程：．

17.  本小题分
如图，已知在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，保留作图痕迹，不写作法

18.  本小题分
如图，点是线段的中点，且，求证：．

19.  本小题分
某校七年级科技兴趣小组计划制作一批飞机模型，如果每人做个，那么比计划多做了个，如果每人做个，那么比计划少做了个．该兴趣小组共有多少人？计划做多少个飞机模型？

20.  本小题分
年春节档电影满江红和流浪地球上映后，热度持续不减，小明一家想选择其中的一部一起观看：哥哥想看满江红，弟弟想看流浪地球，妈妈让哥哥和弟弟用掷骰子骰子质地均匀的游戏决定听谁的，游戏规则如下：两人随机各掷一枚骰子，若两枚骰子朝上的点数之和为偶数，则哥哥获胜；若两枚骰子朝上的点数之和为奇数，则弟弟获胜根据上述规则，解答下列问题：
弟弟随机掷一枚骰子，点数“”朝上的概率为        ；
请用列表格或画树状图的方法判断此游戏是否公平，并说明理由．

21.  本小题分
如图，为测量学校围墙外直立电线杆的高度，小亮在操场上点处直立高的竹竿，然后退到点处，此时恰好看到竹竿顶端与电线杆顶端重合：小亮又在点处直立高的竹竿，然后退到点处，此时恰好看到竹竿顶端与电线杆顶端重合．小亮的眼睛离地面高度，量得，，，求电线杆的高度．
 

22.  本小题分
某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，将这部分成绩分成了四组：：；：；：；：，并绘制出如图不完整的统计图．

所抽取学生成绩的中位数落在        组内；
计算被抽取的学生成绩在：组的人数，并补全条形统计图；
若该学校有名学生，估计这次竞赛成绩不低于分的学生有多少人？

23.  本小题分
甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价元，乒乓球拍每副定价元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球，乙店按八折优惠．某俱乐部需购球拍副，乒乓球盒．
若在甲店购买付款元，在乙店购买付款元，分别写出：，与的函数关系式．
若该俱乐部需要购买乒乓球盒，在哪家商店购买合算？

24.  本小题分
如图，以的一边为直径作，与边的交点恰好为的中点，与边的交点为，过点作于点．
求证：直线是的切线；
若，，求弦的长度．

25.  本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于、两点点在点的右侧，与轴交于点．
求点、、的坐标；
若点在抛物线对称轴上，且在轴上方，当为等腰三角形时，求出所有符合条件的点的坐标．

26.  本小题分
如图，在中，，，则边上的高为        ．

如图，在四边形中，，，，，的直角顶点在边上，顶点在边上，若，求的长．
如图，在四边形中，，，，，，的顶点，分别在边，上，若，的面积是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据零指数幂法则计算即可．
此题主要考查了实数的运算，掌握零指数幂的法则是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从俯视图可看出前后有三层，从左视图可看出最后面有层高，
中间最高是层，要是最多就都是层，
最前面的最高是层，
所以最多的为：．
故选：．
由左视图和俯视图可以猜想到主视图的可能情况，从而得到答案．
本题考查了三视图的知识，由两个识图想象几何体是解题的关键，
 

3.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．
本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，，，
，
，，
．
故选：．
先根据两直线平行，同位角相等求出，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出的度数．
本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象不经过第二象限，
且，
解得，
故选：．
根据一次函数的图象不经过第二象限，可得且，进一步求解即可确定的取值范围．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：点，分别是，的中点，
，
四边形是菱形，
，
，
故选：．
由三角形中位线定理可求，由勾股定理可求解．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，，
，，
，
在中，，
，
四边形的面积．
故选：．
根据，，求出，，并利用勾股定理求出，根据垂径定理求出，即可求出四边形的面积．
本题考查了垂径定理，解题的关键是熟练运用定理．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
原抛物线开口向上，对称轴为直线，
将抛物线绕点旋转，
旋转后的对称轴为直线，开口向下，
当时，随的增大而减小，
，
．
故选：．
先确定旋转后抛物线的开口和对称轴，再根据增减性列不等式求的范围．
本题考查二次函数的图象和性质，确定旋转后抛物线的开口和对称轴是求解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：移项得，，
合并同类项得，，
化系数为得，
故答案为：．
先移项、再合并同类项、化系数为即可．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在正六边形中，，
，，
，
故答案为：．
首先求得正六边形的内角的度数，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
此题考查了正多边形和圆．等腰三角形的性质，此题难度不大，注意数形结合思想的应用．掌握正六边形的内角和公式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设木长为尺，绳子长为尺，
依题意得，
故答案为：．
本题的等量关系是：绳长木长；木长绳长，据此可列方程组求解．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图所示，作于，则，

，
，
四边形是矩形，
，
，
，
∽，
，
矩形的面积为，
，
，
点在双曲线上，
．
故答案为：．
证明∽，根据相似三角形的性质可得，由反比例函数系数的几何意义可得答案．
本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的性质和判定，运用矩形的面积确定的面积是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设的周长为，
则，
，
，
点是圆周上一动点，
当时直径时，最长，
，
，，
，
，
，，
最大为；
故答案为：．
设的周长为，则，因为点是圆周上一动点，所以当时直径时，最长；求出，，所以，，则最大为．
本题考查圆周角定理，圆的基本概念，勾股定理，含度的直角三角形的性质，解题的关键是利用已知条件将三角形的周长转化为．
 

14.【答案】解：

． 

【解析】先算零指数幂和负指数幂，以及开方，再算加减法．
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂和负指数幂的计算法则．
 

15.【答案】解：方程组整理得：，
，得
，
解得，
把代入，得
，
解得，
则方程组的解为． 

【解析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

16.【答案】解：方程两边同乘以，得
，
解得：，
经检验：是原方程的解．
所以原方程的解为． 

【解析】方程两边同乘以，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了解分式方程，解题的关键是注意：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

17.【答案】解：如图，点即为所求，
由作图可知：，且，
，
． 

【解析】以点为圆心，为半径画弧，与交于点，再作线段的垂直平分线，与交于点即可．
本题考查了尺规作图，解题的关键是理解题意，根据面积的关系确定线段的关系．
 

18.【答案】证明：点  是线段的中点，
，
，
．
在与  中，
，
≌，
． 

【解析】根据线段中点的定义得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．也考查了线段中点的定义，平行线的性质．
 

19.【答案】解：设该兴趣小组共有人，由题意得
，
解得：，
则．
答：该兴趣小组共有人，计划做个飞机模型． 

【解析】设该兴趣小组共有人，由题意表示出计划做的个数为或，由此联立方程求得人数，进一步求得计划做的个数即可．
此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系：设出人数，表示出做的总个数，利用总个数相等联立方程解决问题．
 

20.【答案】 

【解析】解：骰子共有个面，
点数“”朝上的概率为；
故答案为：．
列表得：

共有种等可能的结果，点数和为偶数的有种情况，
哥哥获胜的概率为，
点数和为奇数的有种情况，
弟弟获胜的概率为，
此游戏公平．
根据概率公式直接计算；
首先根据题意列出表格，，然后由表格即可求得所有等可能的结果与点数和为偶数和奇数的情况，再利用概率公式即可求得两人获胜的概率，可得结果．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：  ，  ，，
，
∽．
．
，
∽．
．
，
，
即．
．
经检验是原方程得解，
，
．
．
经检验是原方程得解，
．
答：电线杆的高度为． 

【解析】本题考查相似三角形的应用；解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．
利用相似三角形的对应边成比例可得相关的两个比例式，求得的长，加上即为的高．
 

22.【答案】： 

【解析】解：人，
将这人的成绩从小到大排列，处在第、位的两个数都在组，即在，
故答案为：：；
“组”学生人数为：人，
补全频数分布直方图如下：

人，
答：该学校名学生中竞赛成绩不低于分的学生有人．
从两个统计图中可知“：”的频数是人，占调查人数的，可求出调查人数，再根据中位数的意义求出中位数落在哪组即可；
求出“：”的频数即可，
求出样本中在：组的学生所占的百分比，即可估计总体名学生中在：组的学生的人数．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：在甲店购买需付款：，
在乙店购买需付款：；

当时，元，
当时，元，
，
选乙家比较合算． 

【解析】根据题意和两种优惠政策分别列出函数关系式即可；
根据得出的关系式，再把代入求出两家花的钱数，然后进行比较即可得出答案．
此题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是理解两家商店的优惠条件，能用代数式表示甲店的费用和乙店的费用．
 

24.【答案】证明：连接，
点为的中点，点为的中点，
为的中位线，
，
，
，
是半径，
直线是的切线；

连接，
是直径，
，
，
垂直平分，
，
，设，
则，，
在中，，
，
解得：或舍，
． 

【解析】连接，如图，先证明为的中位线，则，由于，所以，于是可根据切线的判定定理得到直线是的切线；
连接，根据圆周角定理得到，证明垂直平分，得到，根据三角函数的定义得到，设，在中，利用勾股定理列出方程，解之即可．
本题考查了切线的判定，圆周角定理和勾股定理以及垂直平分线的判定和性质，解直角三角形，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．
 

25.【答案】解：令，解得：，，
点的坐标为，点的坐标为点，
令，得，
点的坐标为，
即点、、的坐标分别为、、；
抛物线的对称轴为直线，
设点坐标为，，
，，，
若，则，
解得：，即；
若，则，
解得：或舍，即；
若，则，
解得：舍或，即；
综上所述，所求点的坐标为或或． 

【解析】令，解得：，，进而求解；
求出抛物线的对称轴，设点坐标为，表示出的三边，再分、、三种情况，列出方程即可求解．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，垂足为，

，
，
，，
，
，
即边上的高为．
故答案为：．

，，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，，
；
存在．理由：如图中，过点作于点，过点作于点，设，．

，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，，，
，，，
，，
，，
，
，
∽，
，
，，
，，
，
，
，
，
有最大值，最大值，
的最大值为，即的最小值为，此时的面积最小，
过点作，垂足为，
，，
，
，
的面积为．
过点作，垂足为，根据含度的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出即可；
证明∽，推出，可得结论；
如图中，过点作于点，过点作于点，设，利用相似三角形的性质，构建二次函数，利用二次函数的性质求出的最大值，可得即的最小值，得到此时的面积最小，过点作，垂足为，求出，即可得到面积．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．