第四章 数列（基础提升测试）-高二数学考点知识详解+模拟测试（人教A版选择性必修第二册）

第四章数列基础提升测试

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28铅笔在答题卡上对应题目选项

的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不

能答在试卷上，

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在等比数列中，，，则等于（       ）

A． B．5 C． D．9

【答案】D

【解析】

【分析】

由等比数列的项求公比，进而求即可.

【详解】

由题设，，

∴．

故选：D

2．等差数列的首项为，公差不为．若、、成等比数列，则的前项的和为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式，列出关于等差数列公差的方程，求出，再利用等差数列的前项和公式，即可求出结果.

【详解】

因为设等差数列的公差，且，

若、、成等比数列，

所以，所以，

所以，即，

所以的前项的和为.

故选：A.

3．已知等比数列的前n项和为，若=1，，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】

【分析】

根据等比数列通项公式，结合数列前n项和性质进行求解即可.

【详解】

设等比数列的公比为，

因为=1，，

所以，

由，

故选：A

4．在等差数列中，，，记，则（       ）

A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值

C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值

【答案】C

【解析】

【分析】

首先求出公差，即可得到通项公式，即可得到数列前项为正数，从第项开始是负数，从而对任意，都有，即可判断；

【详解】

解: 由题意知的公差，所以，

所以，，、、、，、，……，

所以前项为正数，从第项开始是负数，从而可知对任意，都有，

所以总为正，且是单调递增的，因此有最小值，没有最大值．

故选：C

5．《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（       ）

A．10 B．14 C．23 D．26

【答案】D

【解析】

【分析】

设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次构成等差数列，根据，前5项和为100求解.

【详解】

解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列．

由题意可知，等差数列中，前5项和为100，

设公差为，前项和为，

则，解得，

所以，

所以公士出的钱数为，

故选：D．

6．已知数列为等比数列，若，为函数的两个零点，则（       ）

A．10 B．12 C．32 D．33

【答案】B

【解析】

【分析】

由题知，进而得或，再分别讨论求解即可.

【详解】

解：因为，为函数的两个零点，

所以，所以或

所以，当时，，，

当时，，，

所以，.

故选：B

7．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】

设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.

若为单调递增数列，则，

若，则当时，；若，则，

由可得，取，则当时，，

所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；

若存在正整数，当时，，取且，，

假设，令可得，且，

当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.

所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.

所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.

故选：C.

8．已知数列满足.记数列的前n项和为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．

【详解】

因为，所以，．

由

，即

根据累加法可得，，当且仅当时取等号，

，

由累乘法可得，当且仅当时取等号，

由裂项求和法得：

所以，即．

故选：A．

【点睛】

本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（       ）

A．数列的首项比公差多 B．数列的首项比公差少

C．数列的首项为 D．数列的公比为

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据等差数列与等比数列的通项公式求各基本量，进而判断各选项.

【详解】

设的公差为，由，

得，化简得，

所以A正确，B错误．

设的公比为，由，得，化简得，

所以C错误，D正确，

故选：AD.

10．已知数列中，，，下列选项中能使的有（       ）

A．22 B．24 C．26 D．28

【答案】AD

【解析】

【分析】

由递推公式可得数列为周期数列，即得答案.

【详解】

解：因为，，

所以，所以数列是周期为3的数列，

所以，故.

故选：AD.

11．已知数列的前项和为，且满足，，，则（       ）

A． B．

C． D．数列为递减数列

【答案】AC

【解析】

【分析】

取代入条件方程可求解，由递推关系可得，即可求解，根据前项和与通项关系求判断CD．

【详解】

，，

，则，

，故正确；

由，得，

数列是首项为，公差为的等差数列，

，则，故B错误；

当时，，

又符合上式，，故C正确，D错误．

故选：AC．

12．已知等比数列各项均为正数，其前项积为，若，，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．

C．是中最小的项

D．使成立的的最大值为18

【答案】AC

【解析】

【分析】

对于A：利用直接求出；对于B：由解得，即可得到；对于C：判断出时，；时， 得到是中最小的项；对于D：直接求出使成立的的最大值为17.

【详解】

对于A：因为，所以，所以，所以.故A正确；

对于B：因为，所以时，，所以数列为递增数列.

因为，所以，所以.故B错误；

对于C：因为数列各项均为正数，前项积为，且时，有，所以，即；时，有，所以，即；所以是中最小的项.故C正确.

对于D：因为，而，

所以使成立的的最大值为17.故D错误.

故选：AC

三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知数列的通项公式为，则该数列中的数值最大的项是第___________项.

【答案】5

【解析】

【分析】

结合二次函数的最值即可判断为整数时，的最大值.

【详解】

因为,所以,由于,所以当时,最大,此时

故答案为：5

14．已知数列的前n项和为，若，则______．

【答案】

【解析】

【分析】

由得出的递推关系，构造等比数列得出通项公式，从而可得．

【详解】

由题意，则，

两式相减得：，

所以，

又，，所以是等比数列，公比为，

，所以．

故答案为：．

15．已知数列满足，（）.设为中取值为1的项的个数，则 __________ .

【答案】12525

【解析】

【分析】

设，根据（）依此类推归纳得到，从而得到求解.

【详解】

解：当时，若，则，，

依此类推，可归纳证得，（），

从而.

因此，，当且仅当（），从而，

故恰有个.

则，

，

故答案为：12525

16．设函数，，．则数列的前n项和______．

【答案】

【解析】

【分析】

由题设，讨论n的奇偶性求的通项公式，再求.

【详解】

由题设，，

所以，

即且n ≥ 2，

当时，，

当时，，

所以，

故答案为：.

四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．已知数列是公差不为零的等差数列，，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设为数列的前项和，求使成立的的取值集合.

【答案】(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）利用等差数列通项公式求公差，进而写出通项公式.

（2）由等差数列前n项和公式及已知不等关系得，即可求n的范围.

(1)

设等差数列的公差为，则.

因为，所以，又，

所以，故.

(2)

由知：.

所以，

由得：，即，解得，

所以的取值集合为.

18．记为数列的前n项和．已知．

(1)证明：是等差数列；

(2)若成等比数列，求的最小值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)．

【解析】

【分析】

（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；

（2）由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．

(1)

解：因为，即①，

当时，②，

①②得，，

即，

即，所以，且，

所以是以为公差的等差数列．

(2)

解：由（1）可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，所以，

所以，当或时．

19．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．

(1)证明：；

(2)求集合中元素个数．

【答案】(1)证明见解析；

(2)．

【解析】

【分析】

（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；

（2）根据题意化简可得，即可解出．

(1)

设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．

(2)

由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．

20．已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．

(1)若，求；

(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；

(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.

(1)

因为，

所以，

所以，又，

所以，

所以，

所以，

(2)

因为，，成等比数列，

所以，

，

，

由已知方程的判别式大于等于0，

所以，

所以对于任意的恒成立，

所以对于任意的恒成立，

当时，，

当时，由，可得

当时，，

又

所以

21．已知数列的前n项和为，，且.

（1）求数列的通项；

（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；

（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.

【详解】

（1）当时，，

，

当时，由①，

得②，①②得

，

又是首项为，公比为的等比数列，

；

（2）由，得，

所以，

，

两式相减得

，

所以，

由得恒成立，

即恒成立，

时不等式恒成立；

时，，得；

时，，得；

所以.

【点睛】

易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.

22．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．

（1）证明：数列是等差数列;

（2）求的通项公式．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;

（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.

【详解】

（1）[方法一]：

由已知得,且，,

取,由得,

由于为数列的前n项积，

所以,

所以，

所以,

由于

所以，即,其中

所以数列是以为首项，以为公差等差数列;

[方法二]【最优解】：

 由已知条件知       ①

于是．            ②

由①②得．        ③

又，            ④

由③④得．

令，由，得．

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．

[方法三]：

   由，得，且，，．

又因为，所以，所以．

在中，当时，．

故数列是以为首项，为公差的等差数列．

[方法四]：数学归纳法

   由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．

下面用数学归纳法证明．

当时显然成立．

假设当时成立，即．

那么当时，．

综上，猜想对任意的都成立．

即数列是以为首项，为公差的等差数列．

（2）

由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，

,

,

当n=1时，,

当n≥2时,,显然对于n=1不成立,

∴.

【整体点评】

（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；

方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；

方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．

（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；