初中数学北师大版八年级上册4 平行线的性质课后测评
展开平行线的性质(基础)知识讲解
【学习目标】
1. 掌握平行线的性质公理、定理,并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解;
2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程;
3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系.
【要点梳理】
要点一、平行线的公理、定理
公理:两条平行线被第三条直线所截,得到的同位角相等.(简记为:两直线平行,同位角相等).
定理:两条平行线被第三条直线所截,得到的内错角相等(简记为:两直线平行,内错角相等).
定理:两条平行线被第三条直线所截,得到的同旁内角互补(简记为:两直线平行,同旁内角互补).
要点诠释:(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提 “两直线平行”.
(2)从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质.
要点二、平行线的性质定理的探究过程
1.两条平行线被第三条直线所截,得到的内错角相等(简记为:两直线平行,内错角
相等).
因为a∥b,
所以∠1=∠2(两直线平行,同位角相等),
又∠3=∠1 (对顶角相等)
所以∠2=∠3.
2.两条平行线被第三条直线所截,得到的同旁内角互补(简记为:两直线平行,同旁
内角互补).
因为a∥b,
所以∠3=∠2(两直线平行,内错角相等),
又∠3+∠1=180°(补角的定义),
所以∠2+∠1=180°.
要点诠释:平行线性质定理的证明,要借助平行线线性质公理,因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论,不需要证明,但是定理、性质或推论到的证明其正确性.
要点三、平行线的性质与判定
(1)平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.
(2)应用平行线的判定和性质定理时,一定要弄清题设和结论,切莫混淆.
(3)平行线的判定与性质的联系与区别
区别:性质由形到数,用于推导角的关系并计算;判定由数到形,用于判定两直线平行.
联系:性质与判定的已知和结论正好相反,都是角的关系与平行线相关.
(4)辅助线规律,经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线,构造出三类角.
【典型例题】
类型一、平行线的性质公理、定理的应用
1.如图所示,如果AB∥DF,DE∥BC,且∠1=65°.那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?为什么.
【思路点拨】本题已知条件中,包含了两个层次:第一层次是由DE∥BC,可得∠1=∠4,∠1+∠2=180°;第二层次是由DF∥AB,可得∠3=∠2或∠3+∠4=180°,从而解出∠2、
∠3、∠4的度数.
【答案与解析】
解:∵ DE∥BC,
∴ ∠4=∠1=65°(两直线平行,内错角相等).
∠2+∠1=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∴ ∠2=180°-∠1=180°-65°=115°.
又∵ DF∥AB(已知),
∴ ∠3=∠2(两直线平行,同位角相等).
∴ ∠3=115°(等量代换).
【总结升华】平行线的性质:由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系.
举一反三:
【变式】(2020•永州)如图,∠1=∠2,∠A=60°,则∠ADC= 度.
【答案】解:∵∠1=∠2,∴AB∥CD,
∴∠A+∠ADC=180°,
∵∠A=60°,
∴∠ADC=120°.故答案为:120°
2. 如图,一条铁路修到一个村子边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角∠A是105度,第二次拐的角∠B是135度,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么∠C应为多少度?
【思路点拨】过点B作直线BE∥CD,用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答.
【答案与解析】
解:过点B作直线BE∥CD.
∵CD∥AF,
∴BE∥CD∥AF.
∴∠A=∠ABE=105°.
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.
又∵BF∥CD,
∴∠CBE+∠C=180°.
∴∠C=150°.
【总结升华】此题是一道生活实际问题,根据题目信息,转化为关于平行线性质的数学问题.
3. 已知,如图,AB∥CD,BE∥FD.
求证:∠B+∠D=180°
【思路点拨】根据平行线的性质可得∠B=∠1,∠1+∠D=180°,等量代换即可证明∠B+∠D=180°.
【答案与解析】
证明:∵AB∥CD(已知),
∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等).
∵BE∥FD(已知),
∴∠1+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∴∠B+∠D=180°(等量代换).
【总结升华】此题主要考查平行线的性质:两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.
举一反三
【变式】如图,AB∥CD,CE平分∠ACD,若∠1=25°,求∠2的度数.
【答案】
解:∵CE平分∠ACD,∠1=25°,
∴∠ECD=∠1=25°,
∵AB∥CD,
∴∠ECD+∠2=180°,
∴∠2=180°-∠ECD=155°.
4.(2020春•秦皇岛期末)如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系,请你从所得到的关系中任选一个加以说明.(适当添加辅助线,其实并不难)
【思路点拨】关键过转折点作出平行线,根据两直线平行,内错角相等,或结合三角形的外角性质求证即可.
【答案与解析】如图:
(1)∠APC=∠PAB+∠PCD;
证明:过点P作PF∥AB,则AB∥CD∥PF,
∴∠APC=∠PAB+∠PCD(两直线平行,内错角相等).
(2)∠APC+∠PAB+∠PCD=360°;
(3)∠APC=∠PAB﹣∠PCD;
(4)∵AB∥CD,
∴∠POB=∠PCD,
∵∠POB是△AOP的外角,
∴∠APC+∠PAB=∠POB,
∴∠APC=∠POB﹣∠PAB,
∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB.
【总结升华】两直线平行时,应该想到它们的性质,由两直线平行的关系得到角之间的数量关系,从而达到解决问题的目的.
5. 如图是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多几何知识.根据下面的条件完成证明.
已知:如图,BC∥AD,BE∥AF.
(1)求证:∠A=∠B;
(2)若∠DOB=135°,求∠A的度数.
【思路点拨】(1)由平行线的性质(两直线平行,同位角相等)可得∠A=∠B.
(2)由平行线的性质(两直线平行,同旁内角互补)可得∠A=180°-∠DOE.
【答案与解析】
解:(1)∵BC∥AD,
∴∠B=∠DOE,
又∵BE∥AF,
∴∠DOE=∠A,
∴∠A=∠B.
(2)∵∠DOB=∠EOA,由BE∥AF,得∠EOA+∠A=180°
又∠DOB=135°,
∴∠A=45°.
【总结升华】本题考查的是平行线的性质,主要是考查学生把实际问题转化成数学问题的能力,要结合实际图象画出数学图形,再运用平行线的性质来解决.
举一反三
【变式】已知:如图,BD∥AF∥CE,∠ABD=60°,∠ACE=36°,AP是∠BAF的平分线,求∠PAC的度数.
【答案】
解:∵BD∥AF,∠ABD=60°,
∴∠BAF=∠ABD=60°,
∵AP平分∠BAF,
∴∠PAF=∠BAF=30°,
又∵AF∥CE,∠ACE=36°,
∴∠CAF=∠ACE=36°.
∴∠PAC=∠PAF+∠CAF=30°+36°=66°.
类型二、平行的性质与判定综合应用
6、如图所示,AB∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=( )
A.180° B.270° C.360° D.540°
【答案】C
【解析】过点C作CD∥AB,
∵ CD∥AB,
∴ ∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行,同旁内角互补)
又∵ EF∥AB
∴ EF∥CD.
∴ ∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行,同旁内角互补)
又∵∠ACE=∠ACD+∠DCE
∴∠BAC+∠ACE+∠CEF=∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°
【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用,利用“两直线平行,同旁内角互补,”可以得到∠BAC +∠ACE+∠CEF=360°
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