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    初中数学北师大版八年级上册4 平行线的性质课后测评

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    这是一份初中数学北师大版八年级上册4 平行线的性质课后测评,共6页。

    平行线的性质(基础)知识讲解

    【学习目标】

    1. 掌握平行线的性质公理、定理,并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解;

    2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程;

    3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系.

    【要点梳理】

    要点一、平行线的公理、定理

       公理:两条平行线被第三条直线所截,得到的同位角相等.简记为:两直线平行,同位角相等.    

    定理:两条平行线被第三条直线所截,得到的内错角相等(简记为:两直线平行,内错角相等).

       定理:两条平行线被第三条直线所截,得到的同旁内角互补(简记为:两直线平行,同旁内角互补).

    要点诠释:(1)同位角相等、内错角相等同旁内角互补都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提 两直线平行

     (2)从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质.

    要点二、平行线的性质定理的探究过程

    1.两条平行线被第三条直线所截,得到的内错角相等(简记为:两直线平行,内错角

    相等).

     因为ab,

    所以1=2(两直线平行,同位角相等),

    3=1 (对顶角相等)

    所以2=3.

    2.两条平行线被第三条直线所截,得到的同旁内角互补(简记为:两直线平行,同旁

    内角互补).

        

    因为ab,

    所以3=2(两直线平行,内错角相等),

    3+1=180°(补角的定义),

    所以2+1=180°.

    要点诠释:平行线性质定理的证明,要借助平行线线性质公理,因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论,不需要证明,但是定理、性质或推论到的证明其正确性.

    要点三、平行线的性质与判定

    (1)平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.
        (2)应用平行线的判定和性质定理时,一定要弄清题设和结论,切莫混淆.
        (3)平行线的判定与性质的联系与区别
         区别:性质由形到数,用于推导角的关系并计算;判定由数到形,用于判定两直线平行.
         联系:性质与判定的已知和结论正好相反,都是角的关系与平行线相关.
       (4)辅助线规律,经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线,构造出三类角.

    【典型例题】

    类型一、平行线的性质公理、定理的应用 

    1如图所示,如果ABDFDEBC,且165°.那么你能说出234的度数吗?为什么.

     

     

     

     

     

    思路点拨本题已知条件中,包含了两个层次:第一层次是由DEBC,可得1=4,1+2=180°;第二层次是由DFAB,可得3=2或3+4=180°,从而解出2、

    3、4的度数.

    【答案与解析

     解:  DEBC

          4165°(两直线平行,内错角相等).

        2+1180°(两直线平行,同旁内角互补).

          2180°-1180°-65°115°

          DFAB(已知),

          32(两直线平行,同位角相等).

          3115°(等量代换).

    总结升华平行线的性质:由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系.

    举一反三:

    【变式】2020永州)如图,1=2A=60°,则ADC=  度.

    【答案】解:∵∠1=2ABCD

    ∴∠A+ADC=180°

    ∵∠A=60°

    ∴∠ADC=120°.故答案为:120°

    2. 如图,一条铁路修到一个村子边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角A是105度,第二次拐的角B是135度,第三次拐的角是C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么C应为多少度?

    【思路点拨】过点B作直线BECD,用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答.

    【答案与解析】

    解:过点B作直线BECD.

    CDAF,
    BECDAF.
    ∴∠A=ABE=105°.
    ∴∠CBE=ABC-ABE=30°.
    BFCD,
    ∴∠CBE+C=180°.
    ∴∠C=150°.

    【总结升华】此题是一道生活实际问题,根据题目信息,转化为关于平行线性质的数学问题.

    3. 已知,如图,ABCD,BEFD.
    求证:B+D=180°

    【思路点拨】根据平行线的性质可得B=1,1+D=180°,等量代换即可证明B+D=180°.

    【答案与解析】

    证明:ABCD(已知),
    ∴∠B=1(两直线平行,内错角相等).
    BEFD(已知),
    ∴∠1+D=180°(两直线平行,同旁内角互补).
    ∴∠B+D=180°(等量代换).

    【总结升华】此题主要考查平行线的性质:两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.

    举一反三

    【变式】如图,ABCD,CE平分ACD,若1=25°,求2的度数.

    【答案】

    解:CE平分ACD,1=25°,
    ∴∠ECD=1=25°,
    ABCD,
    ∴∠ECD+2=180°,
    ∴∠2=180°-ECD=155°.

    4.(2020春•秦皇岛期末)如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系,请你从所得到的关系中任选一个加以说明.(适当添加辅助线,其实并不难)

    【思路点拨】关键过转折点作出平行线,根据两直线平行,内错角相等,或结合三角形的外角性质求证即可.

    【答案与解析】如图:

     

    (1)∠APC=∠PAB+∠PCD;

    证明:过点P作PF∥AB,则AB∥CD∥PF,

    ∴∠APC=∠PAB+∠PCD(两直线平行,内错角相等).

    (2)∠APC+∠PAB+∠PCD=360°;

    (3)∠APC=∠PAB﹣∠PCD;

    (4)∵AB∥CD,

    ∴∠POB=∠PCD,

    ∵∠POB是△AOP的外角,

    ∴∠APC+∠PAB=∠POB,

    ∴∠APC=∠POB﹣∠PAB,

    ∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB.

    【总结升华】两直线平行时,应该想到它们的性质,由两直线平行的关系得到角之间的数量关系,从而达到解决问题的目的.

    5. 如图是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多几何知识.根据下面的条件完成证明.
    已知:如图,BCAD,BEAF.
    (1)求证:A=B;
    (2)若DOB=135°,求A的度数.

    【思路点拨】(1)由平行线的性质(两直线平行,同位角相等)可得A=B.
    (2)由平行线的性质(两直线平行,同旁内角互补)可得A=180°-DOE.

    【答案与解析】

    解:(1)BCAD,
    ∴∠B=DOE,
    BEAF,
    ∴∠DOE=A,
    ∴∠A=B.
    (2)∵∠DOB=EOA,由BEAF,得EOA+A=180°
    DOB=135°,
    ∴∠A=45°.

    【总结升华】本题考查的是平行线的性质,主要是考查学生把实际问题转化成数学问题的能力,要结合实际图象画出数学图形,再运用平行线的性质来解决

    举一反三

    【变式】已知:如图,BDAFCE,ABD=60°,ACE=36°,AP是BAF的平分线,求PAC的度数.

    【答案】

    解:BDAF,ABD=60°,
    ∴∠BAF=ABD=60°,
    AP平分BAF,
    ∴∠PAF=BAF=30°,
    AFCE,ACE=36°,
    ∴∠CAF=ACE=36°.
    ∴∠PAC=PAF+CAF=30°+36°=66°.

    类型二、平行的性质与判定综合应用

    6、如图所示,ABEF,那么BAC+ACE+CEF=(  )

     

     

     

     

     

     A180°    B270°    C360°    D540°

    【答案】C  

    【解析】过点C作CDAB

    CDAB

    BAC+ACD=180°(两直线平行,同旁内角互补)

    EFAB

    EFCD

    DCE+CEF=180°(两直线平行,同旁内角互补)

    ∵∠ACEACD+DCE

    ∴∠BAC+ACE+CEFBAC+ACD+DCE+CEF=180°+180°=360°

    总结升华这是平行线性质与平行公理的综合应用,利用两直线平行,同旁内角互补,可以得到BAC +ACE+CEF360°

     

     

     

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