湖南省长沙市2020-2021-2南雅九下期中（带答案解析）

2021年南雅上学期期中联考试卷

初三年级  数学科目

满分：120分    时量：120分钟

一、选择题：(每题3分，共36分)

1.的倒数是（    ）

A.2     B.     C.    D.

2.下列四个多边形中，不是中心对称图形的是（    ）

A.平行四边形   B.正五边形   C.正六边形   D.正八边形

3.2020年12月31号，长沙地铁线网客运量突破历史最高纪录，达到2656900乘次，这充分展现了长沙这座城市的巨大活力和吸引力以及对周边省市的辐射能力.其中2656900用科学记数法表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

4.下列计算错误的是（    ）

A.     B.       C.  D.

5.一个直角三角形的两直角边长分别为x，y，其面积为2，则y与x之间的关系用图象表示大致为（    ）

A. B. C. D.

6.如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5 m，AB为1.5 m(即小的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是（    ）

A.       B.

C.        D.4 m

7.不等式组的解集在数轴上表示正确的(    )

A. B. C. D.

8.根据某市统计局发布的该市近5年的年度GDP增长率的有关数据，经济学家评论说，该市近5年的年度GDP增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的（    ）比较小.

A.中位数    B.平均数    C众数    D.方差

9.把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行(如图所示)，那么∠1的度数是(    )

A.75°          B.90°                 C.100°              D.105°

第9题图                     第10题图                   第16题图

10.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且，.下列四种说法：

①四边形AEDF是平行四边形；②如果，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果且，那么四边形AEDF是菱形.其中，正确的有（    ）个.

A.1     B.2                   C.3     D.4

11.为推进垃圾分类，推动绿色发展.某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类.用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元.若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是（    ）

A.  B.       C.  D.

12.已知二次函数经过点和点，交x轴于A、B两点，交y轴C.则：

①；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③存在这样一个a，使M、A、C三点在同一条直线上；④若，则. 以上说法正确的有（    ）

A.①②    B.②③④    C.①②④    D.①②③④

二、填空题：(每题3分，共12分)

13.函数的自变量x的取值范围是________.

14.一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个，则两次摸出的球恰好是一个红球一个绿球的概率是________.

15.若一个圆锥的母线长是4，底面直径是2，则它的侧面展开图的面积是________.

16.如图，正方形ABCD中，，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且，连接GH.

(1)连接CG，则________；(2)GH的最小值为________.

三、解答题：(共9小题，共72分)

17.计算：

18.先化简，再求值：，其中，从中选一个合适的整数代入求值.

19.如图，已知△ABC中.

(1)作图：在AC上有一点D，连接BD并延长BD，在BD的延长线上取点E，使，连AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；

(2)在(1)的条件下，连接CF，求证：.

20.某学校开展了防疫知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试(测试满分100分，得分x均为不小于60的整数)，并将测试成绩分为四个等第：基本合格()，合格()，良好()，优秀()，制作了如图统计图(部分信息未给出).

由图中给出的信息解答下列问题：

(1)这次测试共抽取了________人；

(2)请补全频数分布直方图；

(3)求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数为________；

(4)如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？

21.如图，在Rt△ABC中，，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作交BE的延长线于点F.

(1)求证：四边形ADCF是菱形；

(2)若，，求菱形ADCF的面积.

22.5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变，现A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格

某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元.

(1)营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？

(2)若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？

23.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且，，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD.

(1)求证：直线AB是⊙O的切线；

(2)试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；

(3)若，⊙O的半径为4.5，求OA的长.

24.定义：如果一个三角形一边上的中线长等于该边的长，么称这个三角形为“平等三角形”，这条中线称为该边上的“平等线”.如图1，已知△ABC中，D是BC边上一点，连结AD，若AD平分BC，且，则△ABC为“平等三角形”，AD是BC边上的“平等线”.

(1)如图2，已知△ABC中，，若D是BC的中点，，判断△ABC是否为“平等三角形”，并说明理由；

(2)如图3，在Rt△ABC中，，，若△ABC为“平等三角形”，求边BC的长；

(3)如图4，已知正方形ABCD的边长为a，点P，Q从点A同时出发，以相同的速度分别沿折线和向终点C运动，记点P所经过的路程为s，若△APQ是“平等三角形，试求的值.

               图1                  图2                   图3                 图4

25.在平面直角坐标系中，已知抛物线(b，c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为，C的坐标为，直顶点B在第四象限.

(1)如图，若该抛物线过A，B两点，求抛物线的函数表达式；

(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q.

①若点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M，P，Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的M的坐标；

②取BC的中点N，连接NP，BQ.试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.

备用图    

2021年上学期初三期中考试

数学参考答案

一、选择题

二、填空题

13.   14.    15.    16.(1)45°  (2)

三、解答题

17.解：

18.解：

∵且且，

∴或

当时，原式

(或当时，原式)

19.(1)解：如图所示：

(2)证明：∵，，

∴.

又，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴

20.解：(1)200

(2)略

(3)144°

(4)(人)

答：估计该校获得优秀的学生有300人.

21.(1)证明：∵E是AD的中点，

∴，

∵，

∴，

在△AEF和△DEB中，

∴，

∴，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵，D是BC的中点，

∴，

∴四边形ADCF是菱形.

(2)解：法一、设AF到CD的距离为h，

∵，，，

∴.

法二、连接DF

∵，，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴，

∴.

法三、

∵三角形ABD与三角形ADC与三角形AFC的面积相等，

∴菱形ADCF的面积等于三角形ABC的面积为24.

答：菱形ADCF的面积为24.

22.解：(1)设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部，

，

解得，，

答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；

(2)设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机部，获得的利润为w元，

，

∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，

∴，解得，，

∵，，

∴w随x的增大而减小，

∴当时，w取得最大值，此时，，

答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元.

23.解：(1)证明：如图3，连接OC.

∵，，

∴.

∴AB是⊙O的切线.

(2).

∵ED是直径，

∴.

∴.

又∵，，

∴.

又∵，

∴.

∴.

∴.

(3)∵，

∴.

∵，

∴.

设，则.

又，解之，得，.

∵，

∴，

∴.

24.解：(1)证明：(1)△ABC是“平等三角形”，理由如下，

∵，D为BC的中点，

∴，，

由勾股定理可知：，

∴，

∴△ABC是平等三角形.

(2)①如图1，若CD是AB边上的平等线，

∵△ABC中，，CD是AB的中线，

∴，

此时，△ABC不可能是平等三角形

②如图2，若AE是BC边上的平等线，设，则

∵△ABC是平等三角形，

∴

∵，

∴，

即

又，故解得，此时

③如图3，若BF是AC边上的平等线，则，

∵△ABC是平等三角形，

∴，

∵，

∴.

综上所述当△ABC是平等三角形时，BC的长为8或者6.

(3)∵四边形ABCD是正方形，

∴，，

当点P在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“平等三角形”.

当点P在BC上时，如图4，连接AC，交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，

∵，，

∴A是PQ的垂直平分线.

∴.

∵，，

∴.

∴.

∵，

∴.

ⅰ)当底边PQ与它的中线AE相等，即时，，

∴.

ⅱ)如图5，当腰AP与它的中线QM相等，即时，作于点N，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴.

综上所述，的值为或.

25.解：(1)∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为，C的坐标为，

∴点B的坐标为.

∵抛物线过，两点，

∴，解得：，，

∴抛物线的函数表达式为：.

(2)∵，，

∴直线AC的解析式为：.

∵点P在直线AC上滑动，

∴可设P的坐标为，

则平移后抛物线的函数表达式为：.

解方程组：，得，

∴，.

∴.

①如图1，如果PQ为斜边，则，那么点M的坐标为，M在平移前的抛物线上，将M的坐标代入.得，解得，

所以点M的坐标为或；

如图2，如果点P为直角顶点，则，那么M的坐标为，M在平移前的抛物线上，将M的坐标代入，得，解得或，

所以点M的坐标为或者；

如图3，如果点Q为直角顶点，则，那么M的坐标为，M在平移前的抛物线上，将M的坐标代入，得，解得或，

所以点M的的坐标为或者；

综上所述符合要求的点M的坐标有4个：

、、、.

②存在最大值.理由如下：

由①可知为定值，则当取最小值时，有最大值.

如图，取AB的中点F，则点F的坐标为.

连接QF，FN，，

∵N是BC的中点，

∴，且，

∴四边形PQFN为平行四边形.

∴.

取点B关于AC的对称点，易得点的坐标为，则.

∴.

∴当、Q、F三点共线时，最小，最小值为.

∴的最大值为.