2021年湖南省岳阳市岳阳县十校中考数学第一次联考试卷

这是一份2021年湖南省岳阳市岳阳县十校中考数学第一次联考试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，小器一容三斛；大器一，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年湖南省岳阳市岳阳县十校中考数学第一次联考试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣2021的倒数是（　　）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a2＝2a2 B．a2+a2＝a4 C．（a2）2＝a4 D．a8÷a2＝a4
3．（3分）2021年春节档电影票房达78.22亿元，比2019年增长32.47%，再次刷新春节档全国电影票房纪录，数据“78.22亿”用科学记数法表示为（　　）
A．78.22×108 B．7.822×108 C．7.822×109 D．7.822×1010
4．（3分）下列水平放置的几何体中，左视图是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2+8x+7＝0，则方程可化为（　　）
A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x+8）2＝23 D．（x﹣8）2＝9
6．（3分）某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为23，22，20，20，20，25，18．则这组数据的众数与中位数分别是（　　）
A．20分，22.5分 B．20分，18分
C．20分，22分 D．20分，20分
7．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
8．（3分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+bx﹣（a，b是常数，a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+bx﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（　　）
A．﹣1≤m≤0 B．2≤m＜ C．2≤m≤4 D．m≥2
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
9．（4分）分解因式：x2﹣xy＝　 　．
10．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围为　 　．
11．（4分）已知三角形的两边分别是2cm和4cm，现从长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm、6cm五根小木棒中随机抽一根，抽到的木棒能作为该三角形第三边的概率是　 　．
12．（4分）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于　 　．

13．（4分）若点P（2k+1，1﹣k）在第一象限，则k的取值范围是　 　．
14．（4分）如图，圆锥体的高，底面半径r＝2cm，则圆锥体的侧面积为　 　cm2．

15．（4分）《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛？设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据题意，可列方程组为　 　（斛：古量器名，容量单位）．

16．（4分）如图，圆O是锐角△ABC的外接圆，D是弧AB的中点，CD交AB于点E，∠BAC的平分线交CD于点F，过点D的切线交CA的延长线于点P，连接AD，则有下列结论：①点F是△ABC的内心；②PD∥AB；③AF＝AE；④DF2＝DE•CD，其中正确结论的序号是　 　．

三、解答题：（64分）
17．（6分）计算：3tan30°+﹣（π﹣2021）0．
18．（6分）已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB＝MC．求证：四边形ABCD是矩形．

19．（8分）如图，一次函数y＝x+b与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象在第一象限内交于点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求点P的坐标．

20．（8分）岳阳市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的统计图．

（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是　 　人，m＝　 　；
（2）补全条形统计图，若该小区有居民1500人，试估计去C景区旅游的居民约有多少人？
（3）甲、乙两人暑假打算游玩，甲从B、C两个景点中任意选择一个游玩，乙从B、C、E三个景点中任意选择一个游玩，用列表法或树状图法求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．
21．（8分）某工程队承担了某道路900米长的改造任务．工程队在改造完360米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造道路多少米？
22．（8分）某数学兴趣小组用高为1.2米的测角仪测量小树AB的高度，如图，在距AB一定距离的F处测得小树顶部A的仰角为50°，沿BF方向行走3.5米到G处时，又测得小树顶部A的仰角为27°，求小树AB的高度．（参考数据：sin27°＝0.45，cos27°＝0.89，tan27°＝0.5，sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.2）

23．（10分）（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝30°，连接CD，BE交于点F．＝　 　；∠BFD＝　 　；
（2）如图2，在矩形ABCD和△DEF中，AB＝AD，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，连接AF交CE的延长线于点G．求的值及∠AGC的度数，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，将△DEF绕点D在平面内旋转，AF，CE所在直线交于点P，若DE＝1，AD＝，求出当点P与点E重合时AF的长．

24．（10分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线的一点，分别连接PB、PC，若直线BC恰好平分四边形COBP的面积，求P点坐标；
（3）在（2）的条件下，是否在该抛物线上存在一点Q，该抛物线对称轴上存在一点N，使得以A、P、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．


2021年湖南省岳阳市岳阳县十校中考数学第一次联考试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣2021的倒数是（　　）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：﹣2021的倒数是：﹣．
故选：D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a2＝2a2 B．a2+a2＝a4 C．（a2）2＝a4 D．a8÷a2＝a4
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2•a2＝a4，故此选项错误；
B、a2+a2＝2a2，故此选项错误；
C、（a2）2＝a4，故此选项正确；
D、a8÷a2＝a6，故此选项错误；
故选：C．
3．（3分）2021年春节档电影票房达78.22亿元，比2019年增长32.47%，再次刷新春节档全国电影票房纪录，数据“78.22亿”用科学记数法表示为（　　）
A．78.22×108 B．7.822×108 C．7.822×109 D．7.822×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：78.22亿＝7822000000＝7.822×109．
故选：C．
4．（3分）下列水平放置的几何体中，左视图是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据常见几何体的三视图解答可得．
【解答】解：A、圆柱体的左视图是矩形，不符合题意；
B、球的左视图是圆，符合题意；
C、直三棱柱的左视图是矩形且中间有一条纵向的实线，不符合题意；
D、圆锥的左视图是三角形，不符合题意；
故选：B．
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2+8x+7＝0，则方程可化为（　　）
A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x+8）2＝23 D．（x﹣8）2＝9
【分析】将常数项移动方程右边，方程两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解答】解：x2+8x+7＝0，
移项得：x2+8x＝﹣7，
配方得：x2+8x+16＝9，即（x+4）2＝9．
故选：A．
6．（3分）某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为23，22，20，20，20，25，18．则这组数据的众数与中位数分别是（　　）
A．20分，22.5分 B．20分，18分
C．20分，22分 D．20分，20分
【分析】根据众数和中位数的概念求解可得．
【解答】解：数据排列为18，20，20，20，22，23，25，
则这组数据的众数为20，中位数为20，
故选：D．
7．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】根据全等三角形的判定、垂径定理、正方形的性质、平行四边形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、有两条边和其夹角对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，原命题是假命题；
C、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，是真命题；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；
故选：C．
8．（3分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+bx﹣（a，b是常数，a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+bx﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（　　）
A．﹣1≤m≤0 B．2≤m＜ C．2≤m≤4 D．m≥2
【分析】根据完美点的概念令ax2+bx﹣＝x，即ax2+（b﹣1）x﹣＝0，由题意，△＝（b﹣1）2﹣4a•（﹣）＝0，即（b﹣1）2＝﹣9a，方程的根为＝，从而求得a＝﹣1，b＝4，所以函数y＝ax2+bx﹣3＝﹣x2+4x﹣3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．
【解答】解：令ax2+bx﹣＝x，即ax2+（b﹣1）x﹣＝0，
由题意，△＝（b﹣1）2﹣4a•（﹣）＝0，即（b﹣1）2＝﹣9a，
又方程的根为＝，
解得a＝﹣1，b＝4或（b＝1舍去）
故函数y＝ax2+bx﹣3＝﹣x2+4x﹣3，
如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．

由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，
∴2≤m≤4，
故选：C．
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
9．（4分）分解因式：x2﹣xy＝　x（x﹣y）　．
【分析】根据观察可知公因式是x，因此提出x即可得出答案．
【解答】解：x2﹣xy＝x（x﹣y）．
10．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围为　x≠5　．
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣5≠0，
解得x≠5，
故答案为：x≠5．
11．（4分）已知三角形的两边分别是2cm和4cm，现从长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm、6cm五根小木棒中随机抽一根，抽到的木棒能作为该三角形第三边的概率是　　．
【分析】根据三角形三边的关系确定三角形第三边的取值范围，然后根据概率公式求解．
【解答】解：∵三角形的两边分别是2cm和4cm，
∴第三边取值为大于2cm小于6cm，
∴2cm、3cm、4cm、5cm、6cm五根小木棒中3cm、4cm、5cm三根小棒满足条件，
∴抽到的木棒能作为该三角形第三边的概率为，
故答案为．
12．（4分）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于　40°　．

【分析】由∠A＝30°，∠APD＝70°，利用三角形外角的性质，即可求得∠C的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠APD＝70°，
∴∠C＝∠APD﹣∠A＝40°，
∵∠B与∠C是对的圆周角，
∴∠B＝∠C＝40°．
故答案为：40°．
13．（4分）若点P（2k+1，1﹣k）在第一象限，则k的取值范围是　﹣＜k＜1　．
【分析】根据第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵点P（2k+1，1﹣k）在第一象限，
∴，
解不等式①得，k＞﹣，
解不等式②得，k＜1，
所以，不等式组的解集是﹣＜k＜1．
故答案为：﹣＜k＜1．
14．（4分）如图，圆锥体的高，底面半径r＝2cm，则圆锥体的侧面积为　8π　cm2．

【分析】根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，最后利用扇形的面积计算方法求得侧面积．
【解答】解：底面圆的半径为2，则底面周长＝4π，
∵底面半径为2cm、高为2cm，
∴圆锥的母线长为4cm，
∴侧面面积＝×4π×4＝8πcm2；
故答案为：8π．
15．（4分）《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛？设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据题意，可列方程组为　　（斛：古量器名，容量单位）．

【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【解答】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，
根据题意得：，
故答案为：．
16．（4分）如图，圆O是锐角△ABC的外接圆，D是弧AB的中点，CD交AB于点E，∠BAC的平分线交CD于点F，过点D的切线交CA的延长线于点P，连接AD，则有下列结论：①点F是△ABC的内心；②PD∥AB；③AF＝AE；④DF2＝DE•CD，其中正确结论的序号是　①②④　．

【分析】根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BCD，则可根据三角形内心的定义对①进行判断；连接OD，如图，利用切线的性质得到OD⊥PD，利用垂径定理得到OD⊥AB，则可对②进行判断；利用三角形外角性质得到∠AFE＝∠1+∠3，∠AEF＝∠2+∠B，由于只有当∠BAC＝2∠B时AF＝AE，于是可对②进行判断；先证明∠DAF＝∠DFA得到DF＝DA，再证明△DAE∽△CAD，利用相似比可对④进行判断．
【解答】解：∵D是弧AB的中点，即＝，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴AE平分∠CAB，
∵AF平分∠BAC，
∴点F是△ABC的内心，所以①正确；
连接OD，如图，
∵PD为⊙O的切线，
∴OD⊥PD，
∵D是弧AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴PD∥AB，所以②正确；
∵∠AFE＝∠1+∠3，∠AEF＝∠2+∠B，
而∠1＝∠2，∠3＝∠BAC，
∴只有当∠BAC＝2∠B时，∠AFE＝∠AEF，此时AF＝AE，所以②不正确；
∵∠DAF＝∠DAB+∠BAF＝∠2+∠3＝∠1+∠3＝∠DFA，
∴DF＝DA，
∵∠DAB＝∠1，∠ADE＝∠CDA，
∴△DAE∽△CAD，
∴DA：DC＝DE：DA，
∴DA2＝DE•DC，
∴DF2＝DE•DC，所以④正确．
故答案为①②④．

三、解答题：（64分）
17．（6分）计算：3tan30°+﹣（π﹣2021）0．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝3×+2﹣+3﹣1
＝+2﹣+3﹣1
＝4．
18．（6分）已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB＝MC．求证：四边形ABCD是矩形．

【分析】根据平行四边形的两组对边分别相等可知△ABM≌△DCM，可知∠A＝∠D＝90°，所以是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SSS），
∴∠A＝∠D＝90°，
即可得出平行四边形ABCD是矩形．
19．（8分）如图，一次函数y＝x+b与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象在第一象限内交于点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求点P的坐标．

【分析】（1）把两函数的交点A的坐标分别代入y＝x+b和y＝中求出b、k可得到两函数解析式；
（2）先利用一次函数解析式确定B、C的坐标，设P（t，0），利用三角形面积公式得到×1×|t+1|＝2，然后求出t得到P点坐标．
【解答】解：（1）把A（1，2）代入y＝x+b得1+b＝2，解得b＝1，
∴一次函数解析式为y＝x+1；
把A（1，2）代入y＝得k＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）设P（t，0），
针对于直线y＝x+1，
当x＝0时，y＝x+1＝1，则C（0，1），
当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣1，则B（﹣1，0），
∵△BCP的面积等于2，
∴×1×|t+1|＝2，解得t＝3或t＝﹣5，
∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
20．（8分）岳阳市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的统计图．

（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是　200　人，m＝　35　；
（2）补全条形统计图，若该小区有居民1500人，试估计去C景区旅游的居民约有多少人？
（3）甲、乙两人暑假打算游玩，甲从B、C两个景点中任意选择一个游玩，乙从B、C、E三个景点中任意选择一个游玩，用列表法或树状图法求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．
【分析】（1）用去D景区旅游的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用去到B景区旅游的居民数除以总人数可得到m的值；
（2）先计算出去到C景区旅游的居民数，则可补全条形统计图；然后用去C景区旅游的居民数的百分比乘以1500即可；
（3）画树状图展示所有6种等可能的结果，找出甲、乙恰好游玩同一景点的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数为20÷10%＝200（人）；
m%＝×100%＝35%，
所以m＝35；
故答案为200；35；
（2）样本中，去C景区旅游的居民人数为200﹣20﹣70﹣20﹣50＝40，
条形统计图为：

1500×＝300（人），
所以估计去C景区旅游的居民约有300人；
（3）画树状图为：

共有6种等可能的结果，其中甲、乙恰好游玩同一景点的结果数为2，
所以甲、乙恰好游玩同一景点的概率＝＝．
21．（8分）某工程队承担了某道路900米长的改造任务．工程队在改造完360米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造道路多少米？
【分析】设原来每天改造管道x米，则引进新设备前工程队每天改造管道（1+20%）x米，由题意：原来改造360米管道所用时间+引进了新设备改造540米所用时间＝27天，列出方程，解方程即可．
【解答】解：设原来每天改造管道x米，
由题意得：+＝27，
解得：x＝30，
经检验：x＝30是原分式方程的解，
答：引进新设备前工程队每天改造管道30米．
22．（8分）某数学兴趣小组用高为1.2米的测角仪测量小树AB的高度，如图，在距AB一定距离的F处测得小树顶部A的仰角为50°，沿BF方向行走3.5米到G处时，又测得小树顶部A的仰角为27°，求小树AB的高度．（参考数据：sin27°＝0.45，cos27°＝0.89，tan27°＝0.5，sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.2）

【分析】首先设AC＝x米，然后由在Rt△ACD中，tan50°＝，求得CD，由在Rt△ACE中，tan27°＝，求得CE，又由CE﹣CD＝DE，即可得方程，继而求得答案．
【解答】解：设AC＝x米，
在Rt△ACD中，tan50°＝，
∴CD＝＝＝x，
在Rt△ACE中，tan27°＝，
∴CE＝＝＝2x，
∵CE﹣CD＝DE，
∴2x﹣x＝3.5．
解得x＝3．
∴AB＝AC+CB＝3+1.2＝4.2（米）．
答：小树AB的高为4.2米．
23．（10分）（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝30°，连接CD，BE交于点F．＝　1　；∠BFD＝　150°　；
（2）如图2，在矩形ABCD和△DEF中，AB＝AD，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，连接AF交CE的延长线于点G．求的值及∠AGC的度数，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，将△DEF绕点D在平面内旋转，AF，CE所在直线交于点P，若DE＝1，AD＝，求出当点P与点E重合时AF的长．

【分析】（1）利用SAS判断出△CAD≌△BAE，得出CD＝BE，再用数据线的外角和三角形的内角和定理，即可得出结论；
（2）先判断出，进而判断出△ADF∽△CDE，即可得出结论；
（3）先求出EF＝2，设出CE，进而表示出AE，分两种情况：用勾股定理求出CE，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝30°，
∴∠BAC+∠BAD＝∠DAE+∠BAD，
∴∠CAD＝∠BAE，
∵AC＝AB，AD＝AE，
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴CD＝BE，
∴＝1，
∵△CAD≌△BAE（SAS），
∴∠ACD＝∠ABE，
∴∠BFD＝∠DCB+∠CBE＝∠DCB+∠ABE+∠ABC＝∠DCB+∠ACD+∠ABC＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠BAC＝150°，
故答案为1，150°；

（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AB＝CD，
∵AB＝AD，
∴＝，
在Rt△DEF中，∠DEF＝60°，
∴tan∠DEF＝，
∴＝，
∴，
∵∠EDF＝90°＝∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDE，
∴△ADF∽△CDE，
∴＝，∠DAF＝∠DCE，
AD与CD的交点记作点O，
∵∠DCE+∠COD＝90°，
∴∠DAF+∠AOG＝90°，
∴∠AGC＝90°；
备用图1
（3）当点E在AF上时，如备用图，
连接AC，在Rt△ADC中，AD＝，
∴AB＝AD＝，
根据勾股定理得，AC＝2，
由（2）知，，
∴AF＝CE，
设CE＝x．则AF＝x，
在Rt△DEF中，∠DEF＝60°，DE＝1，
∴EF＝2，
∴AE＝AF﹣EF＝x﹣2，
由（2）知，∠AEC＝90°，
在Rt△ACE中，AE2+CE2＝AC2，
∴（x﹣2）2+x2＝28，
∴x＝﹣（舍）或x＝2，
∴AF＝x＝6，

当点F在AE上时，如备用图1，
设CE＝a，则AF＝a，∴AE＝AF+EF＝a+2，
在Rt△ACE中，AC＝2，根据勾股定理得，（a+2）2+a2＝28，
∴a＝（舍去负值），
∴AF＝3，
即满足条件的AF的长为3或6．


24．（10分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线的一点，分别连接PB、PC，若直线BC恰好平分四边形COBP的面积，求P点坐标；
（3）在（2）的条件下，是否在该抛物线上存在一点Q，该抛物线对称轴上存在一点N，使得以A、P、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）代入A，B，C的坐标，解方程组即可，
（2）表示出四边形COBP的面积，进而得出一元二次方程，解方程即可．
（3）分AQ和AN哪一个是对角线，运用平行四边形点的坐标的特征解决问题．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，4）三点坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c得，
，
解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）设P点坐标为（x，﹣x2+3x+4），如图，
∴四边形COBP的面积＝S△COP+S△BOP＝＝﹣2x2+8x+8，
∵直线BC平分四边形COBP的面积，
∴四边形COBP的面积＝2S△COB，
即：﹣2x2+8x+8＝，
解得x1＝x2＝2，
将x＝2代入抛物线表达式得y＝6，
故点P坐标为（2，6），

（3）存在，
①当AQ为平行四边形的对角线时，
∴Q点横坐标为，
∴，
故Q（），
②当AN为平行四边形的对角线时，
∴Q点横坐标为，
∴，
故Q（），
③当AP为对角线时，
∴点Q的横坐标为﹣，
∴点Q（﹣），
综上所述，Q点坐标为．，（﹣），（﹣）．