还剩66页未读，
继续阅读
山西阳泉市2021-2022年中考数学一模试题-03解答题
展开
这是一份山西阳泉市2021-2022年中考数学一模试题-03解答题，共69页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
山西阳泉市2021-2022年中考数学一模试题-03解答题
一、解答题
1．（2022·山西阳泉·统考一模）用合适的方法解下列方程．
(1)x2-3x+2=0．
(2)．
(3)．
2．（2022·山西阳泉·统考一模）已知二次函数（m是常数）
（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图像沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？
3．（2022·山西阳泉·统考一模）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
4．（2022·山西阳泉·统考一模）已知二次函数．
(1)用配方法将此二次函数化为顶点式；
(2)求出它的顶点坐标和对称轴；
(3)求出二次函数的图像与x轴的两个交点坐标；
(4)在所给的坐标系上，用描点法画出这个二次函数的图像；
(5)观察图像填空，使 的x的取值范围是______________
(6)观察图像填空，使y随x的增大而减小的x的取值范围是___________．
5．（2022·山西阳泉·统考一模）已知开口向上的抛物线y＝ax2－2x＋|a|－4经过点(0，－3)．
（1）确定此抛物线的解析式；
（2）当x取何值时，y有最小值，并求出这个最小值．
6．（2022·山西阳泉·统考一模）请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则，所以．
把代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程要求：把所求方程化为一般形式．
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，求所求方程；
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
7．（2022·山西阳泉·统考一模）如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．
(1)若的面积是面积的，求的值？
(2)的面积能否为面积的一半？若能，求出的值；若不能，说明理由．
8．（2022·山西阳泉·统考一模）已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△MCB的面积．
9．（2022·山西阳泉·统考一模）计算及先化简求值
(1)；
(2)先化简，再选一个合适的x的值代入求值．
10．（2022·山西阳泉·统考一模）如图，点O为Rt△ABC的斜边BC上一点，以点O为圆心、OC为半径的⊙O与边AB相切于点D，与边AC，BC分别相交于点E，F，连接OE，DE，DF．
(1)求证：DE＝DF；
(2)若∠B＝30°，⊙O的半径为8，求AC的长．
11．（2022·山西阳泉·统考一模）某校组织了九年级学生进行“汉字听写大赛”，据统计，所有学生的比赛成绩均超过60分，最高分为100分．比赛的成绩分以下四个等级：A（），B（），C（），D（）（单位：分）．现随机抽取了九年级若干名学生的比赛成绩，绘制出如下不完整的统计图．请你结合以上信息，解答下列问题：
(1)请补全比赛成绩直方图；
(2)针对本次统计结果，以下三位同学做出如下判断：
小强认为：中位数落在B组；
小明认为：众数落在C组；
小亮认为：若C组有a人，则可估算平均成绩约为：．
以上判断中有一位同学是错误的，这位同学是______（填“小强”、“小明”或“小亮”）；
(3)若该校九年级共1000名学生，测试成绩高于80分记为“优秀”，请你估计该校九年级学生中汉字听写比赛成绩达到“优秀”的人数．
(4)学校要求，各班需推荐一男一女两名学生参加总决赛，九年级（2）班班主任要在本班前五名同学（包括两名男生和三名女生）中进行推选，请用列表或树状图求恰好能按要求推选的概率是多少？
12．（2022·山西阳泉·统考一模）健康绿色生活，从饮用水开始！随着科技的发展和生活质量的不断提高，人们的自我保健意识也不断增强，对饮水品质的需求也越来越高．我市某公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等．
(1)求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？
(2)该公司计划购进A、B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元．试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，该公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献75元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设该公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W的最大值．
13．（2022·山西阳泉·统考一模）随着科技的发展，越来越多高科技的产品应用在我们的生活中，智能跟踪监控摄像头就是其中的一种（如图1）．一款被安装在某小区住宅楼铅直墙面l上A处的跟踪摄像头，在捕捉到地面上E处有一跟踪目标时，数据显示该目标到摄像头水平距离BE＝8m，此时摄像头的俯视角度为35°；继续跟踪目标到达围墙CD的墙头D处，此时摄像头俯视角度减小了15°．已知围墙CD的铅直高度为1.8m，请求出目标落脚点D到墙面l的水平距离（结果保留到0.1m）．（参考数据：，，，，，）
14．（2022·山西阳泉·统考一模）阅读下列材料，完成相应的学习任务．
巧折黄金矩形
如果一个矩形宽与长的比为，那么这样的矩形叫做黄金矩形．
我们可以用如下方法折出黄金矩形：
如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝2．
操作1：将矩形纸片ABCD沿AF折叠，使得点D落在AB上的点E处，
展开得到折痕AF；
操作2：再将该矩形纸片折叠，使得点D与点F重合，展开得到折痕GH；
操作3：继续折叠该纸片，使得AG落在DC上，点A的对应点为点M，
点D的对应点为点P，折痕为GQ；
操作4：过点M折出DC的垂线，折痕为MN．
则四边形FENM是黄金矩形．
学习任务：
(1)请你证明四边形FENM是黄金矩形；
(2)在不添加其他字母的情况下，请你再写出图中的一个黄金矩形．（参考数据：）
15．（2022·山西阳泉·统考一模）综合与实践
【问题背景】
如图1，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，AD＝8．点E、G分别是AD和DC边的中点，过点E、G分别作DC和AD的平行线，两线交于点F，显然，四边形DEFG是平行四边形．
【独立思考】
(1)线段AE和线段CG的数量关系是：______．
(2)将平行四边形DEFG绕点D逆时针旋转，当DE落在DC边上时，如图2，连接AE和CG．
①求AE的长；
②猜想AE与CG有怎样的数量关系，并证明你的猜想；
【问题解决】
(3)将平行四边形DEFG继续绕点D逆时针旋转，当A，E，F三点在同一直线上时（如图3），AE与CG交于点P，请直接写出线段CG的长和∠APC的度数．
16．（2022·山西阳泉·统考一模）综合与探究
如图，已知抛物线与x轴负半轴交于点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D，直线y＝x＋b与抛物线交于A，F两点，过点D作DE∥y轴交直线AF于点E．
(1)求抛物线和直线AF的解析式；
(2)在直线AF上方的抛物线上有一点P，使，求点P的坐标；
(3)若点M为抛物线上一动点，试探究在直线AF上是否存在一点N，使得以D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2022·山西阳泉·统考一模）（1）计算：
（2）解方程：
18．（2022·山西阳泉·统考一模）如图，为的直径，点在上，且点是的中点，连接，过点作的切线交射线于点. 连接，已知，，试求线段的长.
19．（2022·山西阳泉·统考一模）2022年1月初，平定县全面推开创建国家卫生县城活动，县教科局积极开展“小手拉大手，共创卫生城”劳动实践系列活动，全县师生踊跃行动，带动家长和社区群众一起参加，成为县城一道亮丽的风景. 此次活动中，某校为增加学生的环境保护知识，增强学生的环境保护意识，利用课余时间组织九年级一班50名学生参加“环境保护知识小竞赛”，已知每人5道题，班长小王抽查了部分同学的成绩，绘制出如下尚不完整的统计图．
(1)请补全条形统计图，并求出“答对3道”所对应的圆心角度数；
(2)被调查学生成绩的中位数是________；
(3)若该校九年级共有1000人，请你估计九年级答对题数超过2道的人数；
(4)为了增强学生的环境保护意识，班长计划开展环境保护知识交流会，将从所抽取的“答对4道”，“答对5道”的同学中随机抽取两人在会议上发言，请用列表或画树状图法求出所抽到的两人恰好都是“答对4道”的概率．
20．（2022·山西阳泉·统考一模）《榜样阅读》是中国青年报·中青在线联合酷我音乐共同打造的首档青年阅 读分享类音频节目，青春偶像传颂经典、讲述成长故事，用声音掀起新时代青年阅读热潮．某 中学为了满足学生的阅读需求，购进了一批图书，并前后两次购买两种书架，其中第一次购 买铁质书架个，木质书架个，共花费元；第二次购买铁质书架个，木质书架个，共花费元，且两次购买的两种书架单价不变．
（1）求这两种书架的单价分别为多少元？
（2）若该学校计划再次购买这两种书架共个，且要求铁质书架的数量不多于木质书架数 量的倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
21．（2022·山西阳泉·统考一模）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕. 北京冬奥会为绿色办奥、科技办奥贡献了中国样本和中国智慧，让奥运精神点亮更多人的冰雪梦想，并以冰雪运动和奥林匹克精神为纽带，凝聚更团结的力量. 图①，图②分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，假设三点共线，若大腿弯曲处与滑雪板后端的距离长为，该运动员大腿长为，且其上半身长为，．
(1)求此刻滑雪运动员的身体与大腿所成的夹角的度数；
(2)求此刻运动员头部到斜坡的高度. （结果精确到，参考数据：，，，）
22．（2022·山西阳泉·统考一模）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
《周髀算经》的启示
早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”. 它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中. 如图，已知是大家熟悉的勾三，股四，弦五的三角形，即，在其内部作正方形和正方形，点在边上，点在边上，点在边上，则.
下面是一位同学的部分证明过程：
证明：∵四边形是正方形，
∴.
∴.
∵四边形是正方形，
∴．
…
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)若正方形的边长为1，求正方形的边长．
23．（2022·山西阳泉·统考一模）综合与实践：
问题情境：（1）如图，点是正方形边上的一点，连接、，将绕点顺针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．
①线段和的数量关系是______．
②写出线段、和之间的数量关系．并说明理由；
操作探究：（2）在菱形中，，点是菱形边所在直线上的－点，连接、，将绕点顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．
①如图，点在线段上时，请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②如图，点在线段的延长线上时，交射线于点，若，直接写出线段和的长度．
24．（2022·山西阳泉·统考一模）综合与探究
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，过点作轴与抛物线交于另一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，点为上一个动点，由点以每秒1个单位长度的速度沿运动（不与点重合），运动时间为，过点作轴交抛物线于点，求与的函数关系式；
(3)点是轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2021·山西阳泉·统考一模）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
26．（2021·山西阳泉·统考一模）某校为了解八年级500名学生在某次知识竞赛中的成绩情况，随机抽取了八年级部分学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图．请根据图表信息解答以下问题．
组别
分数/分
频数
A
B
10
C
14
D
18
(1)本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩；
(2)表中______；
(3)所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是______；
(4)请你估计，该校八年级学生成绩达到80分以上（含80分）的学生有______名．
27．（2021·山西阳泉·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．
（1）求证：∠ABC＝∠CBD；（2）若BC＝4，CD＝4，则⊙O的半径是 ．
28．（2021·山西阳泉·统考一模）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与小王的行驶时间之间的函数关系．
请你根据图象进行探究：
（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段所表示的与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
29．（2021·山西阳泉·统考一模）阅读与思考
探索位似的性质利用图形计算器或计算机等信息技术工具，可以很方便地将图形放大或缩小，还可以探索位似的性质．
小明利用《几何画板》软件，尝试用“观察—猜想—验证—应用”的方法进行探究，步骤如下：
如图，任意画一个，以点为位似中心，自选新旧图形的相似比为，得到．
第一步，度量对应边的长度，并计算它们的比值，发现结果与的值相等．
第二步，以为原点建立平面直角坐标系，分别度量点，的横坐标，并计算比值；分别度量点，的纵坐标，并计算比值，观察比值与的关系，发现它们相等．接下来对其它顶点作相同的操作，得出相同的结论．
第三步，作线段，度量它们，发现的结论是：_______．
第四步，任意改变的位置或形状，发现上面探究得出的结论仍然成立．
于是，小明总结并得出了位似的性质．
任务：
（1）第三步发现的结论是______．
（2）已知图1中点，则点的坐标是_______，______．
（3）如图2，以点P为位似中心，画出与矩形的相似比为0.75的一个图形．
30．（2021·山西阳泉·统考一模）道闸杆，在生活中很常见，又称为八角杆，经过铝合金挤压成型，后经喷涂，贴红色反光膜而成，主要是跟道闸配套使用，广泛应用于公路收费站、停车场、小区等，用于管理车辆的出入，可单独通过无线遥控实现起落杄，也可以通过停车场管理系统实行自动管理状态．如图1，是某停车场使用的直杆型道闸杆，图2是示意图．已知道闸杆平行于地面且距离地面的高度为1米．
（1）一辆长是4.20米、宽是1.80米、高是1.80米的箱式小货车要沿宽度为3米的道路的中心线进入停车场，则道闸杆至少需要绕点C顺时针方向旋转多少度，小货车才能安全通过？请通过计算说明．（参考数据：）
（2）车辆进入该停车场时，系统会扫描车牌号码并自动起杆；而离开停车场时，需要扫码支付停车费用之后，人工遥控起杄落杆．已知车辆进入时的平均通过速度是离开时平均通过速度的2倍，20辆车组成的车队连续进入停车场比连续离开停车场所需时间少100秒，求进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数．
31．（2021·山西阳泉·统考一模）综合与实践
【问题背景】
如图1，矩形中，．点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边的点处．
【问题解决】
（1）填空：的长为______．
（2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到与交于点F，与交于点G．求的长；
【拓展探究】
（3）在图2中，连接，则四边形是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
32．（2021·山西阳泉·统考一模）如图1，抛物线经过点、两点，与y轴交于点C．点P为线段上一动点（不与点B重合），连接，，，将沿直线翻折得到，交抛物线的另一点为Q，连接．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求四边形面积的最大值；
（3）当时，点N为抛物线上一点，直线交y轴于点M．
①求点Q的坐标．
②若的面积为面积的8倍，请直接写出点N的坐标．
33．（2021·山西阳泉·统考一模）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中．
34．（2021·山西阳泉·统考一模）如图，．求证：．
35．（2021·山西阳泉·统考一模）为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，盂县某中学随机抽取了部分学生进行调查，要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果，现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共抽查了 人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数；
（3）张老师在班上随机抽取了名学生，其中学习效果“优秀”的人，“良好”的人，“一般”的人，若再从这人中随机抽取人，请用画树状图法，求出抽取的人学习效果是“一个优秀，一个良好”的概率．
36．（2021·山西阳泉·统考一模）人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，AB=AC，BD=140cm，∠BAC=40°，求点D离地面的高度DE．（结果精确到0.1cm；参考数据sin70°≈0. 94，cos70°≈0.34，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94）
37．（2021·山西阳泉·统考一模）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．
（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．
38．（2021·山西阳泉·统考一模）先阅读下面材料，再完成任务：
材料一：我们可以将任意三位数记为，（其中分别表示该数的百位数字，十位数字和个位数字，且）．显然．
材料二：若一个三位数的百位数字，十位数字和个位数字均不为，则称之为原始数，比如就是一个原始数，将原始数的三个数位上的数字交换顺序，可产生出个新的原始数，比如由可以产生出这个新原始数，将这个数相加，得到的和1332称为由原始数生成的终止数．
任务：
（1）分别求出由下列两个原始数生成的终止数：；
（2）若由一个原始数生成的终止数为求满足条件的所有原始数．
39．（2021·山西阳泉·统考一模）如图1，在等腰三角形中，点分别在边上，连接点分别为的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段的数量关系是____，的大小为_____；
（2）探究证明
把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值．
40．（2021·山西阳泉·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．
参考答案：
1．(1)x1=2,x2=1
(2)
(3)x1=-15+65，x2=-15-65
【分析】（1）用公式法解即可；
（2）将方程化简后，用公式法解即可；
（3）用公式法解即可．
【详解】（1）解：
，
，
，
；
（2）
原方程化为：，
，
，
，
；
（3）
，
，
，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程的方法步骤，牢记公式．
2．（1）证明见解析；（2）3．
【分析】（1）求出根的判别式，即可得出答案．
（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．
【详解】解：（1）∵，
∴方程没有实数解．
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点．
（2）∵，
∴把函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，
得到函数的图象，它的顶点坐标是（m，0）．
∴这个函数的图象与x轴只有一个公共点．
∴把函数的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
【点睛】本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度。
3．（1）10%；（2）23．
【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1﹣降价百分比）2”，列出方程，解方程即可得出结论；
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”表示出总利润，再根据总利润不少于3210元，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1﹣x%）2=324，
解得：x=10，或x=190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．
依题意得：60m+24×（100－m）=36m+2400≥3210，
解得：m≥22.5．
∴m≥23．
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系得出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系得出关于的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键．
4．(1)
(2)对称轴，顶点坐标
(3)和；
(4)见解析
(5)或
(6)
【分析】（1）利用配方法可将一般式配成顶点式；
（2）根据二次函数的性质和顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）解方程可确定二次函数的图像与x轴的两个交点坐标；
（4）利用描点法可画出函数图像；
（5）观察图像得到当或时二次函数图像到在x轴下方，即；
（6）根据二次函数的性质求解．
（1）
解：；
（2）
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（3）
把代入得，解得，所以抛物线与x轴的交点坐标为和；
（4）
图像如下，
（5）
当或时；
（6）
当，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是确定二次函数的顶点坐标及对称轴．
5．（1）抛物线的解析式为y=x 2 -2x-3；（2）当x=1时，y有最小值-4．
【分析】（1）用待定系数法求得|a|的值，因为抛物线开口向上，所以a＞0，进而得到抛物线的解析式；
（2）将抛物线的解析式变换成顶点式即可得到答案.
【详解】（1）由抛物线过（0，-3），
得：-3=|a|-4，
解得|a|=1，即a=±1，
∵抛物线开口向上，
∴a=1，
故抛物线的解析式为y=x2 -2x-3；
（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x-1）2-4，
∴当x=1时，y有最小值-4．
6． ； ．
【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为y，则y=﹣x，所以x=﹣y，然后把x=﹣y代入已知方程得（﹣y）2+（﹣y）﹣2=0；
（2）设所求方程的根为y，则y=，所以x=．然后把x=代入已知方程得2（）2+7•﹣3=0．再化成整式方程即可．
【详解】（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x，所以x=﹣y．
把x=﹣y代入已知方程，得：（﹣y）2+（﹣y）﹣2=0．
化简得：y2﹣y﹣2=0，故所求方程为y2﹣y﹣2=0；
（2）设所求方程的根为y，则y=，所以x=．
把x=代入已知方程，得：2（）2+7•﹣3=0．
化简得：3y2﹣7y﹣2=0，即所求方程为3y2﹣7y﹣2=0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握换根法的使用．
7．(1)
(2)不可能
【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为：，的面积为，由题意列出方程解答即可；
（2）由等量关系S△PCQS△ABC列方程求出t的值，但方程无解．
【详解】（1），，
，
，
解得：．
答：当时，的面积为面积的．
（2）的面积不可能是面积的一半．理由如下：
当时，
，
整理得：，
，
此方程没有实数根，
的面积不可能是面积的一半．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
8．(1)
(2)15
【分析】（1）把A（，0），C（0，5），（1，8）三点代入二次函数解析式，解方程组即可．
（2）先求出M、B、C的坐标，根据即可解决问题．
【详解】（1）解∶ 二次函数的图象经过（，0），C（0，5），（1，8），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为
（2）解：令y=0，则，
∴，，
∴B（5，0），
，
∴M（2，9），
如图中，过M作ME⊥y轴于点E，
∴，，，，，
∴
=
=15．
【点睛】本题考查二次函数综合题、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积，属于中考常考题型．
9．(1)；
(2)；
【分析】（1）利用负整数指数幂的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及二次根式的性质计算即可；
（2）先利用分式的混合运算化简，然后选取适当的x的值代入即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
．
∴当x＝0时，原式＝－3．
注意：x不能取1、－1、3，除此之外均可
【点睛】本题考查了实数运算及分式的混合运算求值，熟练掌握运算性质是解题的关键．
10．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，根据垂径定理证得OD⊥AB，进而证明OD∥AC，利用平行线的性质以及圆心角定理可证明DE＝DF．
（2）根据30°的角所对直角边等于斜边的一半，可求得OB的长，进而可得BC的长，再根据锐角三角函数可得AC的长．
(1)
证明：如图，连接OD．
∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB．
又∵∠A＝90°，
∴OD∥AC．
∴∠1＝∠C，∠2＝∠3．
由OC＝OE得，∠C＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴，
∴DE＝DF．
(2)
解：∵∠B＝30°，⊙O的半径为8，
∴BO＝2OD＝16，
∴BC＝BO＋OC＝16＋8＝24．
∴
【点睛】本题考查了圆的综合问题，主要涉及到垂径定理、平行线的判定与性质、圆心角定理、锐角三角函数以及含30°直角三角形的性质，熟知圆心角定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”是解决本题的关键．
11．(1)直方图补全见解析
(2)小明
(3)估计该校九年级学生中汉字听写比赛成绩达到“优秀”的人数为480人
(4)列表见解析，
【分析】（1）根据直方图和扇形统计图数据得到样本容量和组人数即可补全直方图；
（2）根据题意，对三人说法进行判定即可得到结论；
（3）根据样本中“优秀”学生占比来估算九年级总体学生中“优秀”人数即可；
（4）采用列表法，得到共有20种等可能的结果，其中恰好出现“一男一女”的结果有12种，直接利用简单概率公式求解即可．
（1）
解：由直方图和扇形统计图数据可得总人数为（人），
组人数为（人），
补全直方图如下：
（2）
解：根据题意，中位数落在组，
若C组有a人，根据平均数计算公式可得：，
故小强3001小亮的说法是正确的，判断错误的是小明，
故答案为：小明；
（3）
解：根据样本中“优秀”学生占比来估算九年级总体学生中“优秀”人数，由于样本总数为50人，组有20人，
测试成绩高于80分记为“优秀”的人数为20+4=24人，
估计该校九年级学生中汉字听写比赛成绩达到“优秀”的人数为（人），
答：估计该校九年级学生中汉字听写比赛成绩达到“优秀”的人数为480人；
（4）
解：根据题意，列表如下：
①
②
男1
男2
男3
女1
女2
男1
（男2，男1）
（男3，男1）
（女1，男1）
（女2，男1）
男2
（男1，男2）
（男3，男2）
（女1，男2）
（女2，男2）
男3
（男1，男3）
（男2，男3）
（女1，男3）
（女2，男3）
女1
（男1，女1）
（男2，女1）
（男3，女1）
（女2，女1）
女2
（男1，女2）
（男2，女2）
（男3，女2）
（女1，女2）
由上表可知，共有20种等可能的结果，其中恰好出现“一男一女”的结果有12种，故：．
【点睛】本题考查直方图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数、平均数、列举法求概率等知识点，熟练掌握相关统计的基本概念及运算公式，会用两种列举法求两步概率题目是解决问题的关键．
12．(1)A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元；
(2)W的最大值是20800元
【分析】（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为元，根据题意，列出方程，即可求解；
（2）根据“购买资金不超过9.8万元．”可得，从而得到．再根据题意列出函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为元，根据题意，得：
，
解得，m＝2000，
经检验，m＝2000是分式方程的解，且符合题意，
∴m－200＝1800．
答：A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元．
（2）解：根据题意得：，
解得．
，
∵，
∴W随x增大而增大，
∴当x＝40时，W取最大值，最大值为，
∴W的最大值是20800元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
13．目标落脚点D到墙面l的水平距离约为10.4m
【分析】利用锐角三角函数求出AB的长，进而求出AF的长，再根据锐角三角函数求出DF的长即为目标落脚点D到墙面l的水平距离．
【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F．
则四边形FBCD是矩形，
故CD＝BF，BC＝FD．
在Rt△ABE中，，BE＝8m．
∴由，得m．
∴AF＝AB－BF＝5.6－1.8＝3.8 m．
在Rt△AFD中，．
∴∠DAF＝90°－∠ADF＝90°－20°＝70°．
由，得 m
∴ m．
答：目标落脚点D到墙面l的水平距离约为10.4 m
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，在解直角三角形中，利用锐角三角函数中正弦函数、余弦函数、正切函数的特点解决相关线段长度是解决本题的关键．
14．(1)证明见解析；
(2)四边形ADMN是黄金矩形；证明见详解．
【分析】（1）先证明四边形FENM是矩形，利用折叠的性质再求出该矩形的长和宽，就可以解决此问；
（2）先证明出四边形ADMN是矩形，利用（1）中所得条件，求出该矩形的长和宽，就可以解决此问．
(1)
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠D＝90°．
根据折叠，∠AEF＝∠D＝90°，AD＝AE，
∴四边形ADFE是正方形．
∵DG＝FG，AH＝HE，AD＝2，
∴DG＝GF＝1．
根据勾股定理，得．
∵GM＝AG，
∴．
∴．
∴．
又∵∠NMF＝∠ENM＝∠MFE＝90°，
∴四边形FENM是黄金矩形．
(2)
解：四边形ADMN也是黄金矩形.
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠D＝90°．
根据折叠的性质得：∠DMN＝∠D＝∠DAB ＝90°
∴四边形ADMN是矩形.
由（1）知：DG＝GF＝1，，AD=2．
∴．
∴ ．
∴四边形ADMN是黄金矩形.
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、折叠的性质、勾股定理等知识．利用折叠的性质求矩形的边长，再按照黄金矩形的定义求解是解决本题的关键．
15．(1)3AE＝4CG或或或等
(2)①，②3AE＝4CG，或，或等，证明见解析；
(3)，∠APC＝60°
【分析】（1）根据平行四边形性质结合中点即可得出结论；
（2）①利用三角函数值求线段长，再根据勾股定理求解即可；②利用三角形相似的判定与性质直接求解即可；
（3）利用三角形相似，再结合平行四边形的性质，根据勾股定理求出线段长；利用“8”字形的两个三角形角度关系得到即可求解．
（1）
解：点E、G分别是AD和DC边的中点，
，
在平行四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝60°，CD＝AB＝6，AD＝8，
，
，
故答案为：3AE＝4CG或或或等
（2）
解：①如图，过点E作EH⊥AD于点H，
在Rt△EDH中，∠EDA＝60°，，
∴，
∴，
∴AH＝AD－HD＝8－2＝6，
在Rt△AHE中，根据勾股定理可得；
②3AE＝4CG或或或等，
证明如下：
由题可知：∠ADC＝∠CDG＝60°，，即，
∴△ADE∽△CDG，
∴，
即3AE＝4CG或或或等；
（3）
过点作于，如图所示：
,
,
,
,
,
,,
在平行四边形DEFG中，,
,
,
,
,,
,
即,
,
,,
,
．
【点睛】本题考查四边形综合，涉及到平行四边形的性质、中点性质、旋转不变性的运用、相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理求线段长、特殊角度直角三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关性质及判定，结合图形准确作出辅助线是解决问题的关键．
16．(1)，
(2)
(3)，，，
【分析】（1）根据待定系数法确定函数关系式即可；
（2）平面直角坐标系中三角形面积问题，设，根据题意转化为平行于坐标轴的线段表示面积，从而得到方程求解即可；
（3）确定四边形中的三个顶点，构造平行四边形，利用点的平移求出第四个顶点的坐标，根据点在抛物线上得出方程求解即可．
【详解】（1）解：将和代入，
得，
解得，
∴抛物线解析式为，
将代入y＝x＋b，得：－1＋b＝0，
解得b＝1，
∴直线AF的解析式为y＝x＋1；
（2）解：，
∴，
对于直线y＝x＋1，令x＝1，则y＝2，故，
∴DE＝4－2＝2．
过点P作x轴的垂线，交AF于点H，过点P作PG⊥AF于点G，过点P作PK⊥DE于点K，连接PA和PD，如图所示：
设，则，
∴，
对于直线y＝x＋1，令x＝0，则y＝1，
由交点得出∠FAB＝45°，
∴∠PHG＝45°，即△PHG为等腰直角三角形，
故有，
延长DE交x轴于点Q，则，
∴AQ＝2，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由，
得，
解得，（不合题意，舍去），，（不合题意，舍去），
将代入，
得，则得点P的坐标为；
将代入，
得，则得点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）解：在直线上任选一点，连接构成，过三个顶点分别作对边平行线交于，如图所示：
，直线AF的解析式为y＝x＋1，
，
设，
：在中，，则根据点的平移得，
点M为抛物线上一点，抛物线解析式为，
，
解得或 ，
则点N的坐标是或；
：在中，，则根据点的平移得，
点M为抛物线上一点，抛物线解析式为，
，
解得或 ，
则点N的坐标是（与点重合，舍弃）或；
：在中，，则根据点的平移得，
点M为抛物线上一点，抛物线解析式为，
，
解得或 ，
则点N的坐标是（与点重合，舍弃）或；
综上所述，直线AC上是存在点N，使得以D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标是：，，，．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及到待定系数法确定函数关系式、平面直角坐标系中三角形面积、函数与平行四边形综合等，根据具体题型准确选择恰当方法解决问题是关键．
17．（1）；（2）
【分析】（1）利用零指数幂、求绝对值、负整数指数幂进行求解；
（2）先把分式方程转化为一元一次方程，求解后再检验根．
【详解】解：（1）解：原式
；
（2）解：两边同乘，
得，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了零指数幂、求绝对值、负整数指数幂、分式方程，解题的关键是求解分式方程后不要忘记验根．
18．
【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质、平行线的判定得到OC∥AE，得到OC⊥EF，证明△AEC∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算AC后即可用勾股定理得BC的长．
【详解】解：如图，连接.
∵，
∴.
∵点是的中点，
∴.
∴.
∴.
∵是的切线，
∴.
∴.
又∵，
∴
∵为的直径，
∴
∴.
又∵
∴
∴
∴
∴
∵在中，，
∴
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质定理、直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
19．(1)补全条形统计图见解析；扇形统计图中“答对3道”所对应的圆心角度数是
(2)3
(3)估计该校九年级答对题数超过2道的人数有600名
(4)（所抽到的两人恰好都是“答对4道”）
【分析】（1）根据做对1道的人数除以占比可得调查的人数，从而可求得做对4道题和5道题的人数即可补全条形统计图，再用360°乘以“答对3道”的占比即可得到结论；
（2）根据中位数的定义（把一组数据按大小顺序排列，处在最中间的一个数或两个数的平均数，叫这组数据的中位数）求解即可；
（3）用九年级的人数乘以样本中超过2道题的占比即可得到结论；
（4）列表得出所有等可能的结果数 ，再确定两人恰好都是“答对4道”的结果数，最后根据概率公式求解即可．
（1）
解：（人），
答对4道题的人数为：（人）；
答对5道题的人数为：（人）
补全统计图如下：
“答对3道”所对应的圆心角度数=，
答：扇形统计图中“答对3道”所对应的圆心角度数是；
（2）
因为20个数据按大小顺序排列，最中间的两个数为第10和11个数据，
而，
所以，被调查学生成绩的中位数是3，
故答案为3；
（3）
（名），
答：估计该校九年级答对题数超过2道的人数有600名；
（4）
由（1）知“答对4道”的有3人，“答对5道”的有1人，列表如下：
4
4
4
5
4
4
4
5
由上表可知，共有12种等可能的情况，其中所抽到的两人恰好都是“答对4道”的有6种情况，
∴（所抽到的两人恰好都是“答对4道”）．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图，从统计图中获取相关信息是解题关键．
20．（1）铁质书架的单价是元，木质书架的单价是元；（2）最省钱的购买方案是购进铁质书架 个，木质书架 个，最少费用为元．
【分析】（1）设铁质书架的单价是元，木质书架的单价是元，根据两次购买的个数及花费可列二元一次方程组进行求解；
（2）设购买木质书架个，购买两种书架的总费用为元，则购买铁质书架个，根据题意得到关于的一次函数，根据一次函数的性质可以求出当最小时，有最小值，从而可以设计出最省钱的购买方案.
【详解】解：设铁质书架的单价是元，木质书架的单价是元，
由题意得
解得
答：铁质书架的单价是元，木质书架的单价是元；
设购买木质书架个，购买两种书架的总费用为元，则购买铁质书架个．
由题意得
随的增大而增大
当最小时，有最小值
解得，且为正整数，
当时，（元）
此时
答：最省钱的购买方案是购进铁质书架个，木质书架个，最少费用为元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组及一次函数的应用. 解决第（2）问的关键是能根据函数的增减性，求出w的最小值.
21．(1)此刻滑雪运动员的身体与大腿所成的夹角
(2)此刻运动员头部到斜坡的高度约为
【分析】（1）连接GE，先证明，再求出，从而可得出结论；
（2）解直角△GEF，求出，解直角△EDM，求出，代入GD=GE+ED，计算即可．
（1）
如图，连接，
∵，，三点共线，
∴
∵，
∴.
∴.
（2）
由（1）得
∴在中，.
在中，，
∴.
∴.
答：此刻运动员头部到斜坡的高度约为
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，锐角三角函数定义，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)正方形的边长为
【分析】（1）证明，即可完成证明过程；
（2）过点作于点，设的长为，证明，可得，证明，根据相似三角形的性质可得，同理，，分别求得，根据比例式列出方程，求得，进而在中，勾股定理求解即可
（1）
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴.
∴.
∵四边形是正方形，
∴．
又∵，
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴；
（2）
如图，过点作于点，设的长为
∵四边形是正方形，
∴.
又∵，
∴
∴
在和中，
∴
由（1）得.
∴
∴.
∵，
∴.
∴
∴.
同理，，
∴.
∴，.
∴
解得.
∴在中，.
∴正方形的边长为
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
23．（1）①；②，理由见解析；（2）①，证明见解析；②，
【分析】（1）①根据旋转的性质证得，即可求解；②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）①过点作于点，根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；②过点作，，同理①解答即可．
【详解】解：（1）①绕点顺时针旋转，
由旋转可知，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
②．
理由如下：由旋转可知，．
∵四边形是正方形，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴≌，
∴，
∴．
∵，即．
（2）①．
证明：在菱形中，，
由旋转120°得，．
在中，，
∴，
∴，
∴≌，
∴，
∴．
如图所示，过点作于点，
∵，
∴．
在中，，
∴．
设，则，．
∴，
∴，
∴．
②过点作，，如图，
，
由①中同理可得：，．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了角平分线定理，全等三角形的判定和性质，正方形和菱形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
24．(1)
(2)与的函数关系式为（）；
(3)存在点，使得以为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或.
【分析】（1）把点A，B坐标代入中，求出b，c的值即可；
（2）运用待定系数法求出直线AB的解析式，过点作轴于点，可证明，得到， ，再表示出点Q的纵坐标即可得到pQ;
（3）首先求出点D的坐标，再分3种情况讨论求解即可．
（1）
将，代入抛物线，
得
解得
∴抛物线的表达式为；
（2）
设直线的解析式为，
将两点坐标代入解析式得
解得
∴直线的解析式为
∵，
∴由勾股定理可得
如图①，过点作轴于点，
∴
∴，则
∴
根据题意可知，
∴，
∴点的横坐标为.
∴
∴与的函数关系式为（）；
（3）
存在，点的坐标为或.
理由如下：
如图2，过点作轴的垂线交的延长线于点，则，
当时，，
解得或3.
∴点的坐标为.
∴.
①如图2，当为矩形的边时，过点作轴，交轴于点.
∵，
∴.
∴
∴，即
∴
同理，可求得.
∴
∴，
又∵，
∴.
∴.
∴.
∴
∴；
②如图2，当为矩形的对角线时，过点作轴交的延长线于点
同理可得
∴
∴
∴.
∵，
∴易得
∴，
∴，点的纵坐
∴，
③以为对角线这种情况不存在.
综上所述，存在点，使得以为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或.
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
25．（1）；（2），
【分析】（1）根据负指数幂、算术平方根及特殊三角函数值可直接进行求解；
（2）先对分式进行化简，然后代值求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
∴当时，．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值、负指数幂及特殊三角函数值，熟练掌握分式的化简求值、负指数幂及特殊三角函数值是解题的关键．
26．(1)50
(2)8
(3)C
(4)320
【分析】（1）根据图表即可求解；
（2）根据图表即可求解；
（3）根据中位数的概念即可求解；
（4）由样本估计总数所占比值求解；
【详解】（1）解：本次调查一共随机抽取学生的人数为：（名）
（2）（名）
（3）一共抽取了50名学生的成绩进行调查，所以中位数为第25、26名学生成绩的平均值，有表格可知，参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是C组；
（4）（名）
答：该校八年级学生成绩达到80分以上（含80分）的学生有320名
【点睛】本题主要考查扇形统计图、中位数的概念、由样本估计总体，掌握相关知识并正确计算是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）5．
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得OC⊥MN，即可证得OC∥BD，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠BCO＝∠ABC，即可证得结论；
（2）连接AC，由勾股定理求得BD，然后通过证得△ABC∽△CBD，求得直径AB，从而求得半径．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵MN为⊙O的切线，
∴OC⊥MN，
∵BD⊥MN，
∴OC∥BD，
∴∠CBD＝∠BCO．
又∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC．；
（2）解：连接AC，
在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝4，
∴BD＝＝8，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴，即，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径是5，
故答案为5．
【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理、三角形相似的判定和性质以及解直角三角形，作出辅助线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键．
28．（1）小王和小李的速度分别是、；（2）．
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；
根据中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标，从而可以解答本题．
【详解】解：（1）由图可得，
小王的速度为：，
小李的速度为：，
答：小王和小李的速度分别是、；
（2）小李从乙地到甲地用的时间为：，
当小李到达甲地时，两人之间的距离为：，
∴点的坐标为，
设线段所表示的与之间的函数解析式为，
，解得，
即线段所表示的与之间的函数解析式是．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确坐标轴中xy所表示的对象量，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
29．（1）位似中心与对应点连线之比等于相似比；（2）；4.5；（3）见解析．
【分析】（1），所以考查相似图形的性质．
（2）根据相似比即可推出对应点的坐标，面积比等于相似比的平方就可求出相关答案．
（3）因为相似比已知，所以根据位似图形的性质，分别求出所求矩形的长和宽，在网格中画图即可。
【详解】（1）位似中心与对应点连线之比等于相似比，结论正确即可．
（2）∵，且点，
∴点的横坐标为：，纵坐标为：,所以．
又∵，
∴．
（3）如图：
图中矩形即为所作图形．
【点睛】本题主要考查位似图形的性质，以及根据性质在网格中画位似图形等相关知识点，能根据位似图形的性质进行分析是解题关键．
30．（1）道闸杆至少需要绕点C顺时针方向旋转，小货车才能安全通过；（2）进入停车场时平均每分钟连续通过的辆数为12辆．
【分析】（1）根据题意，构造截面图，利用三角函数求解即可；
（2）由题意，设离开停车场时平均每分钟连续通过的车辆数为x辆，则进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数为辆，列出分式方程求解并检验即可．
【详解】（1）如图，点E为的中点，则米．
在上取点F，使米，
则米，
过点F作，交为点H，
在上截取上截取米，
则四边形是矩形，故有米，
∴米．
在中，米，米，
∴，
∴，即．
∴道闸杆至少需要绕点C顺时针方向旋转，小货车才能安全通过．
（2）设离开停车场时平均每分钟连续通过的车辆数为x辆，则进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数为辆．
根据题意，得，
去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
当时，，
答：进入停车场时平均每分钟连续通过的辆数为12辆．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，以及分式方程的实际应用，合理构造直角三角形，熟练掌握三角函数的定义，并注意分式方程求解之后要检验是解题关键．
31．（1）6；（2）；（3）四边形不是平行四边形，理由见解析．
【分析】（1）先根据已知条件和矩形的性质可得CD=AB=10,AD=BC=8，再根据折叠的性质可得DC＇=DC=10，最后运用勾股定理解答即可；
（2）先根据折叠的性质和勾股定理可求得，进而求得BE、EC，然后连接，根据平移的性质可得，进而说明，最后运用相似三角形的性质解答即可；
（3）先由折叠可得，再根据平移的性质和等腰三角形的判定与性质得到，过点作于点H，则且，根据相似三角形的性质可得；设，则，在中，运用勾股定理求得和DH；然后再在中求得，可以发现即，即可发现四边形不可能是平行四边形．
【详解】解：（1）如图：∵矩形中，
∴CD=AB=10，AD=BC=8
根据折叠的性质可得DC＇=DC=10
在直角三角形ADC＇中，AC＇=．
（2）由折叠可知：．
在中，根据勾股定理可求得，
∴．
在中，设，根据勾股定理，得，
解得，即．
如图：连接，则由平移可知，，且．
于是可得，
∴，
又∵，
∴．
（3）四边形不是平行四边形，理由如下：
由折叠可知；
又∵平移可知，且，
∴，
∴，即是等腰三角形，
∴．
如图，过点作于点H，则且，
∴ ．
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
解得，
∴，
∴．
而在中，，
根据勾股定理可求得，
∴，即，
故四边形不可能是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解答本题的关键．
32．（1）；（2）当时，四边形的面积最大，且最大值为12；（3）①点Q的坐标为；②，或．
【分析】（1）知道抛物线与x轴的两个交点坐标，可以利用交点式求得二次项系数a的值，将交点式转换为一般式即可.
（2）连接，过点Q分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点E，F，将四边形面积转化为两个三角形面积，进行计算即可．
（3）①过点C作，垂足为点G；过点Q作，垂足为点H，通过求证，求得CH长度，从而知道Q点横坐标，代入抛物线求解即可．
②根据点的位置，分两种情况去讨论，通过三角形相似，转换等量关系求解即可．
【详解】（1）∵拋抛物线与x轴相交于、两点，
∴与y轴的交点C的坐标为．
设抛物线的表达式为，将点代入，得
，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）如图1，连接，过点Q分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点E，F．
设点Q的坐标为，则
，
．
∴
．
∵，
∴四边形的面积有最大值，
当时，四边形的面积最大，且最大值为12．
（3）①如图3-1
过点C作，垂足为点G；过点Q作，垂足为点H．
由和可知，，故，即四边形为正方形．
∴．
∵，
∴，
∴，即，∴．
将代入抛物线解析式，得，
故点Q的坐标为．
②根据题意，点的坐标分两种情况讨论，第一种情况，如下图3-2：
过点 作轴于点L，过点作于点，过点作轴于点,由的面积为面积的8倍，得：
又∵
∴
∴
在和中，
∵,，
∴
∴
在和中，
∵，，
∴
∴
又∵
∴,
∴,即点的横坐标为，
∴将点的横坐标入抛物线，得纵坐标为：
∴
第二种情况，如下图3-3：
过点作延长线于点，过点作延长线于点，过点作轴于点,过点作,由的面积为面积的8倍，得：
又∵
∴
∴
在和中，
∵,，
∴
∴
在和中，
∵，，
∴
∴
又∵
∴,
∴,即点的横坐标为，
∴将点的横坐标入抛物线，得纵坐标为：
∴
综上，，或．
【点睛】本题考查的是二次函数解析式的求法、不规则图形面积最大值的求法、三角形相似判定，点存在性问题的讨论等相关知识点，能根据题意画出相关图形，构造三角形相似是解题关键．
33．（1）0；（2），．
【分析】（1）根据绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（1）
；
当时，
原式．
【点睛】本题考查实数的运算、分式的化简求值，涉及绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
34．证明见解析
【分析】由已知，可得∠B＝∠E，由BF＝EC，可得BC＝EF，易证，即可得出AC＝DF．
【详解】证明：∵ ，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出．
35．（1）；（2）作图见解析；；（3）．
【分析】（1）根据良好的人数和所占的百分比求出总人数；
（2）用总人数减去其它学习效果的人数，求出不合格的人数，再补全统计图；用360°乘以学习效果“一般”的学生所占的百分比即可得出圆心角度数；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数与抽取的2人学习效果是“一个优秀，一个良好”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）这次活动共抽查的学生人数为80÷40%＝200（人）；
故答案为：200；
（2）“不合格”的学生人数为200﹣40﹣80﹣60＝20（人），补全条形统计图如下：
学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为；
（3）把学习效果“优秀”的记为A，“良好”记为B，“一般”的记为C，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽取的2人学习效果是“一个优秀、一个良好”的结果有4个，
则抽取的人学习效果是“一个优秀、一个良好”的概率．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
36．
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形的三线合一性质得∠BAF的度数，进而得∠BDE的度数，再解直角三角形得结果．
【详解】解：过点A作AF⊥BC于点F，则AF∥DE，
∴∠BDE=∠BAF，
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠BDE=∠BAF=20°，
∴DE=BD×cos20°≈140×0.94=131.6（cm）
故点D离地面的高度DE约为131.6cm．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，关键是构造直角三角形求得∠BDE的度数．
37．（1）购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元；（2）至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元．
【分析】（1）设购买一个甲种笔记本x元，一个乙种笔记本y元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设需要购买a个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w，先求出调价之后甲、乙两种笔记本的单价，再列出不等式求解，再列出函数关系式表示出购买两种笔记本总费用的最大值，代入a的值求解即可．
【详解】解：（1）设购买一个甲种笔记本x元，一个乙种笔记本y元，
由题意得：，
解得：，
答：购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元．
（2）设需要购买a个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w，
调价之后，甲种笔记本的单价为：10-2=8（元），
乙种笔记本的单价为：5×0.8=4（元），
8a+4（35-a）≤250×90%，
解得：，
至多需要购买21个甲种笔记本，
，
当a=21时，w=224，
答：购买两种笔记本总费用的最大值为224元．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程组或不等式，求解即可．
38．（1）由原始数生成的终止数为；由原始数生成的终止数为；（2）．
【分析】先写出每个数产生的原始数，相加得到它们的终止数．
终止数为的原始数一定是个三位数，可根据各个原始数的和与终止数相等，得到原始数各个数位的数字和，然后写出满足条件的所有原始数．
【详解】解：由可以产生出这个新原始数，
将这个数相加，得
所以由原始数生成的终止数为；
由可以产生出这个新原始数，
将这个数相加，得
所以由原始数生成的终止数为．
若原始数为
可以产生出的个新原始数，它们是
将它们相加：因为终止数为
所以，
所以．
所以满足条件的原始数有：．
【点睛】本题考查了数的十进制，写原始数，算终止数，属于新定义类问题．掌握原始数的得到规律，找到各个数位间的数字关系是解决本题的关键．
39．（1）相等，；（2）是等边三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为.
【分析】（1）根据＂点分别为的中点＂，可得MNBD，NPCE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出．
（2）先求出，得出，根据MNBD，NPCE ，和三角形外角和定理，可知MN=PN，再等量代换求出，即可求解．
（3）根据，可知BD最大值，继而求出面积的最大值．
【详解】由题意知：AB=AC，AD=AE，且点分别为的中点，
∴BD=CE，MNBD，NPCE，MN=BD，NP=EC
∴MN=NP
又∵MNBD，NPCE，∠A=，AB=AC，
∴∠MNE=∠DBE，∠NPB=∠C，∠ABC=∠C=
根据三角形外角和定理，
得∠ENP=∠NBP+∠NPB
∵∠MNP=∠MNE+∠ENP，∠ENP=∠NBP+∠NPB，
∠NPB=∠C，∠MNE=∠DBE，
∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C
=∠ABC+∠C =．
是等边三角形．
理由如下：
如图，由旋转可得
在ABD和ACE中
．
点分别为的中点，
是的中位线，
且
同理可证且
．
在中
∵∠MNP=，MN=PN
是等边三角形．
根据题意得:
即，从而
的面积．
∴面积的最大值为．
【点睛】本题主要考查了三角形中点的性质、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识；正确掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识是解题的关键．
40．（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，）．
【分析】（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可；
（2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标；
（3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为（，），则点D为（，），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可．
【详解】解：（1）在抛物线中，
令，则，
∴点C的坐标为（0，），
∴OC=2，
∵，
∴，，
∴点A为（，0），点B为（，0），
则把点A、B代入解析式，得
，解得：，
∴；
（2）由题意，∵，点C为（0，），
∴点P的纵坐标为，
令，则，
解得：，，
∴点P的坐标为（，）；
（3）设直线AC的解析式为，则
把点A、C代入，得
，解得：，
∴直线AC的解析式为；
过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：
设点P 为（，），则点D为（，），
∴，
∵OA=4，
∴，
∴，
∴当时，取最大值8；
∴，
∴点P的坐标为（，）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题．
山西阳泉市2021-2022年中考数学一模试题-03解答题
一、解答题
1．（2022·山西阳泉·统考一模）用合适的方法解下列方程．
(1)x2-3x+2=0．
(2)．
(3)．
2．（2022·山西阳泉·统考一模）已知二次函数（m是常数）
（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图像沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？
3．（2022·山西阳泉·统考一模）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
4．（2022·山西阳泉·统考一模）已知二次函数．
(1)用配方法将此二次函数化为顶点式；
(2)求出它的顶点坐标和对称轴；
(3)求出二次函数的图像与x轴的两个交点坐标；
(4)在所给的坐标系上，用描点法画出这个二次函数的图像；
(5)观察图像填空，使 的x的取值范围是______________
(6)观察图像填空，使y随x的增大而减小的x的取值范围是___________．
5．（2022·山西阳泉·统考一模）已知开口向上的抛物线y＝ax2－2x＋|a|－4经过点(0，－3)．
（1）确定此抛物线的解析式；
（2）当x取何值时，y有最小值，并求出这个最小值．
6．（2022·山西阳泉·统考一模）请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则，所以．
把代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程要求：把所求方程化为一般形式．
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，求所求方程；
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
7．（2022·山西阳泉·统考一模）如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．
(1)若的面积是面积的，求的值？
(2)的面积能否为面积的一半？若能，求出的值；若不能，说明理由．
8．（2022·山西阳泉·统考一模）已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△MCB的面积．
9．（2022·山西阳泉·统考一模）计算及先化简求值
(1)；
(2)先化简，再选一个合适的x的值代入求值．
10．（2022·山西阳泉·统考一模）如图，点O为Rt△ABC的斜边BC上一点，以点O为圆心、OC为半径的⊙O与边AB相切于点D，与边AC，BC分别相交于点E，F，连接OE，DE，DF．
(1)求证：DE＝DF；
(2)若∠B＝30°，⊙O的半径为8，求AC的长．
11．（2022·山西阳泉·统考一模）某校组织了九年级学生进行“汉字听写大赛”，据统计，所有学生的比赛成绩均超过60分，最高分为100分．比赛的成绩分以下四个等级：A（），B（），C（），D（）（单位：分）．现随机抽取了九年级若干名学生的比赛成绩，绘制出如下不完整的统计图．请你结合以上信息，解答下列问题：
(1)请补全比赛成绩直方图；
(2)针对本次统计结果，以下三位同学做出如下判断：
小强认为：中位数落在B组；
小明认为：众数落在C组；
小亮认为：若C组有a人，则可估算平均成绩约为：．
以上判断中有一位同学是错误的，这位同学是______（填“小强”、“小明”或“小亮”）；
(3)若该校九年级共1000名学生，测试成绩高于80分记为“优秀”，请你估计该校九年级学生中汉字听写比赛成绩达到“优秀”的人数．
(4)学校要求，各班需推荐一男一女两名学生参加总决赛，九年级（2）班班主任要在本班前五名同学（包括两名男生和三名女生）中进行推选，请用列表或树状图求恰好能按要求推选的概率是多少？
12．（2022·山西阳泉·统考一模）健康绿色生活，从饮用水开始！随着科技的发展和生活质量的不断提高，人们的自我保健意识也不断增强，对饮水品质的需求也越来越高．我市某公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等．
(1)求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？
(2)该公司计划购进A、B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元．试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，该公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献75元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设该公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W的最大值．
13．（2022·山西阳泉·统考一模）随着科技的发展，越来越多高科技的产品应用在我们的生活中，智能跟踪监控摄像头就是其中的一种（如图1）．一款被安装在某小区住宅楼铅直墙面l上A处的跟踪摄像头，在捕捉到地面上E处有一跟踪目标时，数据显示该目标到摄像头水平距离BE＝8m，此时摄像头的俯视角度为35°；继续跟踪目标到达围墙CD的墙头D处，此时摄像头俯视角度减小了15°．已知围墙CD的铅直高度为1.8m，请求出目标落脚点D到墙面l的水平距离（结果保留到0.1m）．（参考数据：，，，，，）
14．（2022·山西阳泉·统考一模）阅读下列材料，完成相应的学习任务．
巧折黄金矩形
如果一个矩形宽与长的比为，那么这样的矩形叫做黄金矩形．
我们可以用如下方法折出黄金矩形：
如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝2．
操作1：将矩形纸片ABCD沿AF折叠，使得点D落在AB上的点E处，
展开得到折痕AF；
操作2：再将该矩形纸片折叠，使得点D与点F重合，展开得到折痕GH；
操作3：继续折叠该纸片，使得AG落在DC上，点A的对应点为点M，
点D的对应点为点P，折痕为GQ；
操作4：过点M折出DC的垂线，折痕为MN．
则四边形FENM是黄金矩形．
学习任务：
(1)请你证明四边形FENM是黄金矩形；
(2)在不添加其他字母的情况下，请你再写出图中的一个黄金矩形．（参考数据：）
15．（2022·山西阳泉·统考一模）综合与实践
【问题背景】
如图1，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，AD＝8．点E、G分别是AD和DC边的中点，过点E、G分别作DC和AD的平行线，两线交于点F，显然，四边形DEFG是平行四边形．
【独立思考】
(1)线段AE和线段CG的数量关系是：______．
(2)将平行四边形DEFG绕点D逆时针旋转，当DE落在DC边上时，如图2，连接AE和CG．
①求AE的长；
②猜想AE与CG有怎样的数量关系，并证明你的猜想；
【问题解决】
(3)将平行四边形DEFG继续绕点D逆时针旋转，当A，E，F三点在同一直线上时（如图3），AE与CG交于点P，请直接写出线段CG的长和∠APC的度数．
16．（2022·山西阳泉·统考一模）综合与探究
如图，已知抛物线与x轴负半轴交于点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D，直线y＝x＋b与抛物线交于A，F两点，过点D作DE∥y轴交直线AF于点E．
(1)求抛物线和直线AF的解析式；
(2)在直线AF上方的抛物线上有一点P，使，求点P的坐标；
(3)若点M为抛物线上一动点，试探究在直线AF上是否存在一点N，使得以D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2022·山西阳泉·统考一模）（1）计算：
（2）解方程：
18．（2022·山西阳泉·统考一模）如图，为的直径，点在上，且点是的中点，连接，过点作的切线交射线于点. 连接，已知，，试求线段的长.
19．（2022·山西阳泉·统考一模）2022年1月初，平定县全面推开创建国家卫生县城活动，县教科局积极开展“小手拉大手，共创卫生城”劳动实践系列活动，全县师生踊跃行动，带动家长和社区群众一起参加，成为县城一道亮丽的风景. 此次活动中，某校为增加学生的环境保护知识，增强学生的环境保护意识，利用课余时间组织九年级一班50名学生参加“环境保护知识小竞赛”，已知每人5道题，班长小王抽查了部分同学的成绩，绘制出如下尚不完整的统计图．
(1)请补全条形统计图，并求出“答对3道”所对应的圆心角度数；
(2)被调查学生成绩的中位数是________；
(3)若该校九年级共有1000人，请你估计九年级答对题数超过2道的人数；
(4)为了增强学生的环境保护意识，班长计划开展环境保护知识交流会，将从所抽取的“答对4道”，“答对5道”的同学中随机抽取两人在会议上发言，请用列表或画树状图法求出所抽到的两人恰好都是“答对4道”的概率．
20．（2022·山西阳泉·统考一模）《榜样阅读》是中国青年报·中青在线联合酷我音乐共同打造的首档青年阅 读分享类音频节目，青春偶像传颂经典、讲述成长故事，用声音掀起新时代青年阅读热潮．某 中学为了满足学生的阅读需求，购进了一批图书，并前后两次购买两种书架，其中第一次购 买铁质书架个，木质书架个，共花费元；第二次购买铁质书架个，木质书架个，共花费元，且两次购买的两种书架单价不变．
（1）求这两种书架的单价分别为多少元？
（2）若该学校计划再次购买这两种书架共个，且要求铁质书架的数量不多于木质书架数 量的倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
21．（2022·山西阳泉·统考一模）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕. 北京冬奥会为绿色办奥、科技办奥贡献了中国样本和中国智慧，让奥运精神点亮更多人的冰雪梦想，并以冰雪运动和奥林匹克精神为纽带，凝聚更团结的力量. 图①，图②分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，假设三点共线，若大腿弯曲处与滑雪板后端的距离长为，该运动员大腿长为，且其上半身长为，．
(1)求此刻滑雪运动员的身体与大腿所成的夹角的度数；
(2)求此刻运动员头部到斜坡的高度. （结果精确到，参考数据：，，，）
22．（2022·山西阳泉·统考一模）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
《周髀算经》的启示
早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”. 它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中. 如图，已知是大家熟悉的勾三，股四，弦五的三角形，即，在其内部作正方形和正方形，点在边上，点在边上，点在边上，则.
下面是一位同学的部分证明过程：
证明：∵四边形是正方形，
∴.
∴.
∵四边形是正方形，
∴．
…
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)若正方形的边长为1，求正方形的边长．
23．（2022·山西阳泉·统考一模）综合与实践：
问题情境：（1）如图，点是正方形边上的一点，连接、，将绕点顺针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．
①线段和的数量关系是______．
②写出线段、和之间的数量关系．并说明理由；
操作探究：（2）在菱形中，，点是菱形边所在直线上的－点，连接、，将绕点顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．
①如图，点在线段上时，请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②如图，点在线段的延长线上时，交射线于点，若，直接写出线段和的长度．
24．（2022·山西阳泉·统考一模）综合与探究
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，过点作轴与抛物线交于另一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，点为上一个动点，由点以每秒1个单位长度的速度沿运动（不与点重合），运动时间为，过点作轴交抛物线于点，求与的函数关系式；
(3)点是轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2021·山西阳泉·统考一模）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
26．（2021·山西阳泉·统考一模）某校为了解八年级500名学生在某次知识竞赛中的成绩情况，随机抽取了八年级部分学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图．请根据图表信息解答以下问题．
组别
分数/分
频数
A
B
10
C
14
D
18
(1)本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩；
(2)表中______；
(3)所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是______；
(4)请你估计，该校八年级学生成绩达到80分以上（含80分）的学生有______名．
27．（2021·山西阳泉·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．
（1）求证：∠ABC＝∠CBD；（2）若BC＝4，CD＝4，则⊙O的半径是 ．
28．（2021·山西阳泉·统考一模）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与小王的行驶时间之间的函数关系．
请你根据图象进行探究：
（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段所表示的与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
29．（2021·山西阳泉·统考一模）阅读与思考
探索位似的性质利用图形计算器或计算机等信息技术工具，可以很方便地将图形放大或缩小，还可以探索位似的性质．
小明利用《几何画板》软件，尝试用“观察—猜想—验证—应用”的方法进行探究，步骤如下：
如图，任意画一个，以点为位似中心，自选新旧图形的相似比为，得到．
第一步，度量对应边的长度，并计算它们的比值，发现结果与的值相等．
第二步，以为原点建立平面直角坐标系，分别度量点，的横坐标，并计算比值；分别度量点，的纵坐标，并计算比值，观察比值与的关系，发现它们相等．接下来对其它顶点作相同的操作，得出相同的结论．
第三步，作线段，度量它们，发现的结论是：_______．
第四步，任意改变的位置或形状，发现上面探究得出的结论仍然成立．
于是，小明总结并得出了位似的性质．
任务：
（1）第三步发现的结论是______．
（2）已知图1中点，则点的坐标是_______，______．
（3）如图2，以点P为位似中心，画出与矩形的相似比为0.75的一个图形．
30．（2021·山西阳泉·统考一模）道闸杆，在生活中很常见，又称为八角杆，经过铝合金挤压成型，后经喷涂，贴红色反光膜而成，主要是跟道闸配套使用，广泛应用于公路收费站、停车场、小区等，用于管理车辆的出入，可单独通过无线遥控实现起落杄，也可以通过停车场管理系统实行自动管理状态．如图1，是某停车场使用的直杆型道闸杆，图2是示意图．已知道闸杆平行于地面且距离地面的高度为1米．
（1）一辆长是4.20米、宽是1.80米、高是1.80米的箱式小货车要沿宽度为3米的道路的中心线进入停车场，则道闸杆至少需要绕点C顺时针方向旋转多少度，小货车才能安全通过？请通过计算说明．（参考数据：）
（2）车辆进入该停车场时，系统会扫描车牌号码并自动起杆；而离开停车场时，需要扫码支付停车费用之后，人工遥控起杄落杆．已知车辆进入时的平均通过速度是离开时平均通过速度的2倍，20辆车组成的车队连续进入停车场比连续离开停车场所需时间少100秒，求进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数．
31．（2021·山西阳泉·统考一模）综合与实践
【问题背景】
如图1，矩形中，．点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边的点处．
【问题解决】
（1）填空：的长为______．
（2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到与交于点F，与交于点G．求的长；
【拓展探究】
（3）在图2中，连接，则四边形是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
32．（2021·山西阳泉·统考一模）如图1，抛物线经过点、两点，与y轴交于点C．点P为线段上一动点（不与点B重合），连接，，，将沿直线翻折得到，交抛物线的另一点为Q，连接．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求四边形面积的最大值；
（3）当时，点N为抛物线上一点，直线交y轴于点M．
①求点Q的坐标．
②若的面积为面积的8倍，请直接写出点N的坐标．
33．（2021·山西阳泉·统考一模）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中．
34．（2021·山西阳泉·统考一模）如图，．求证：．
35．（2021·山西阳泉·统考一模）为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，盂县某中学随机抽取了部分学生进行调查，要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果，现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共抽查了 人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数；
（3）张老师在班上随机抽取了名学生，其中学习效果“优秀”的人，“良好”的人，“一般”的人，若再从这人中随机抽取人，请用画树状图法，求出抽取的人学习效果是“一个优秀，一个良好”的概率．
36．（2021·山西阳泉·统考一模）人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，AB=AC，BD=140cm，∠BAC=40°，求点D离地面的高度DE．（结果精确到0.1cm；参考数据sin70°≈0. 94，cos70°≈0.34，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94）
37．（2021·山西阳泉·统考一模）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．
（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．
38．（2021·山西阳泉·统考一模）先阅读下面材料，再完成任务：
材料一：我们可以将任意三位数记为，（其中分别表示该数的百位数字，十位数字和个位数字，且）．显然．
材料二：若一个三位数的百位数字，十位数字和个位数字均不为，则称之为原始数，比如就是一个原始数，将原始数的三个数位上的数字交换顺序，可产生出个新的原始数，比如由可以产生出这个新原始数，将这个数相加，得到的和1332称为由原始数生成的终止数．
任务：
（1）分别求出由下列两个原始数生成的终止数：；
（2）若由一个原始数生成的终止数为求满足条件的所有原始数．
39．（2021·山西阳泉·统考一模）如图1，在等腰三角形中，点分别在边上，连接点分别为的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段的数量关系是____，的大小为_____；
（2）探究证明
把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值．
40．（2021·山西阳泉·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．
参考答案：
1．(1)x1=2,x2=1
(2)
(3)x1=-15+65，x2=-15-65
【分析】（1）用公式法解即可；
（2）将方程化简后，用公式法解即可；
（3）用公式法解即可．
【详解】（1）解：
，
，
，
；
（2）
原方程化为：，
，
，
，
；
（3）
，
，
，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程的方法步骤，牢记公式．
2．（1）证明见解析；（2）3．
【分析】（1）求出根的判别式，即可得出答案．
（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．
【详解】解：（1）∵，
∴方程没有实数解．
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点．
（2）∵，
∴把函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，
得到函数的图象，它的顶点坐标是（m，0）．
∴这个函数的图象与x轴只有一个公共点．
∴把函数的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
【点睛】本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度。
3．（1）10%；（2）23．
【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1﹣降价百分比）2”，列出方程，解方程即可得出结论；
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”表示出总利润，再根据总利润不少于3210元，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1﹣x%）2=324，
解得：x=10，或x=190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．
依题意得：60m+24×（100－m）=36m+2400≥3210，
解得：m≥22.5．
∴m≥23．
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系得出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系得出关于的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键．
4．(1)
(2)对称轴，顶点坐标
(3)和；
(4)见解析
(5)或
(6)
【分析】（1）利用配方法可将一般式配成顶点式；
（2）根据二次函数的性质和顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）解方程可确定二次函数的图像与x轴的两个交点坐标；
（4）利用描点法可画出函数图像；
（5）观察图像得到当或时二次函数图像到在x轴下方，即；
（6）根据二次函数的性质求解．
（1）
解：；
（2）
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（3）
把代入得，解得，所以抛物线与x轴的交点坐标为和；
（4）
图像如下，
（5）
当或时；
（6）
当，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是确定二次函数的顶点坐标及对称轴．
5．（1）抛物线的解析式为y=x 2 -2x-3；（2）当x=1时，y有最小值-4．
【分析】（1）用待定系数法求得|a|的值，因为抛物线开口向上，所以a＞0，进而得到抛物线的解析式；
（2）将抛物线的解析式变换成顶点式即可得到答案.
【详解】（1）由抛物线过（0，-3），
得：-3=|a|-4，
解得|a|=1，即a=±1，
∵抛物线开口向上，
∴a=1，
故抛物线的解析式为y=x2 -2x-3；
（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x-1）2-4，
∴当x=1时，y有最小值-4．
6． ； ．
【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为y，则y=﹣x，所以x=﹣y，然后把x=﹣y代入已知方程得（﹣y）2+（﹣y）﹣2=0；
（2）设所求方程的根为y，则y=，所以x=．然后把x=代入已知方程得2（）2+7•﹣3=0．再化成整式方程即可．
【详解】（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x，所以x=﹣y．
把x=﹣y代入已知方程，得：（﹣y）2+（﹣y）﹣2=0．
化简得：y2﹣y﹣2=0，故所求方程为y2﹣y﹣2=0；
（2）设所求方程的根为y，则y=，所以x=．
把x=代入已知方程，得：2（）2+7•﹣3=0．
化简得：3y2﹣7y﹣2=0，即所求方程为3y2﹣7y﹣2=0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握换根法的使用．
7．(1)
(2)不可能
【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为：，的面积为，由题意列出方程解答即可；
（2）由等量关系S△PCQS△ABC列方程求出t的值，但方程无解．
【详解】（1），，
，
，
解得：．
答：当时，的面积为面积的．
（2）的面积不可能是面积的一半．理由如下：
当时，
，
整理得：，
，
此方程没有实数根，
的面积不可能是面积的一半．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
8．(1)
(2)15
【分析】（1）把A（，0），C（0，5），（1，8）三点代入二次函数解析式，解方程组即可．
（2）先求出M、B、C的坐标，根据即可解决问题．
【详解】（1）解∶ 二次函数的图象经过（，0），C（0，5），（1，8），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为
（2）解：令y=0，则，
∴，，
∴B（5，0），
，
∴M（2，9），
如图中，过M作ME⊥y轴于点E，
∴，，，，，
∴
=
=15．
【点睛】本题考查二次函数综合题、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积，属于中考常考题型．
9．(1)；
(2)；
【分析】（1）利用负整数指数幂的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及二次根式的性质计算即可；
（2）先利用分式的混合运算化简，然后选取适当的x的值代入即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
．
∴当x＝0时，原式＝－3．
注意：x不能取1、－1、3，除此之外均可
【点睛】本题考查了实数运算及分式的混合运算求值，熟练掌握运算性质是解题的关键．
10．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，根据垂径定理证得OD⊥AB，进而证明OD∥AC，利用平行线的性质以及圆心角定理可证明DE＝DF．
（2）根据30°的角所对直角边等于斜边的一半，可求得OB的长，进而可得BC的长，再根据锐角三角函数可得AC的长．
(1)
证明：如图，连接OD．
∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB．
又∵∠A＝90°，
∴OD∥AC．
∴∠1＝∠C，∠2＝∠3．
由OC＝OE得，∠C＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴，
∴DE＝DF．
(2)
解：∵∠B＝30°，⊙O的半径为8，
∴BO＝2OD＝16，
∴BC＝BO＋OC＝16＋8＝24．
∴
【点睛】本题考查了圆的综合问题，主要涉及到垂径定理、平行线的判定与性质、圆心角定理、锐角三角函数以及含30°直角三角形的性质，熟知圆心角定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”是解决本题的关键．
11．(1)直方图补全见解析
(2)小明
(3)估计该校九年级学生中汉字听写比赛成绩达到“优秀”的人数为480人
(4)列表见解析，
【分析】（1）根据直方图和扇形统计图数据得到样本容量和组人数即可补全直方图；
（2）根据题意，对三人说法进行判定即可得到结论；
（3）根据样本中“优秀”学生占比来估算九年级总体学生中“优秀”人数即可；
（4）采用列表法，得到共有20种等可能的结果，其中恰好出现“一男一女”的结果有12种，直接利用简单概率公式求解即可．
（1）
解：由直方图和扇形统计图数据可得总人数为（人），
组人数为（人），
补全直方图如下：
（2）
解：根据题意，中位数落在组，
若C组有a人，根据平均数计算公式可得：，
故小强3001小亮的说法是正确的，判断错误的是小明，
故答案为：小明；
（3）
解：根据样本中“优秀”学生占比来估算九年级总体学生中“优秀”人数，由于样本总数为50人，组有20人，
测试成绩高于80分记为“优秀”的人数为20+4=24人，
估计该校九年级学生中汉字听写比赛成绩达到“优秀”的人数为（人），
答：估计该校九年级学生中汉字听写比赛成绩达到“优秀”的人数为480人；
（4）
解：根据题意，列表如下：
①
②
男1
男2
男3
女1
女2
男1
（男2，男1）
（男3，男1）
（女1，男1）
（女2，男1）
男2
（男1，男2）
（男3，男2）
（女1，男2）
（女2，男2）
男3
（男1，男3）
（男2，男3）
（女1，男3）
（女2，男3）
女1
（男1，女1）
（男2，女1）
（男3，女1）
（女2，女1）
女2
（男1，女2）
（男2，女2）
（男3，女2）
（女1，女2）
由上表可知，共有20种等可能的结果，其中恰好出现“一男一女”的结果有12种，故：．
【点睛】本题考查直方图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数、平均数、列举法求概率等知识点，熟练掌握相关统计的基本概念及运算公式，会用两种列举法求两步概率题目是解决问题的关键．
12．(1)A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元；
(2)W的最大值是20800元
【分析】（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为元，根据题意，列出方程，即可求解；
（2）根据“购买资金不超过9.8万元．”可得，从而得到．再根据题意列出函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为元，根据题意，得：
，
解得，m＝2000，
经检验，m＝2000是分式方程的解，且符合题意，
∴m－200＝1800．
答：A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元．
（2）解：根据题意得：，
解得．
，
∵，
∴W随x增大而增大，
∴当x＝40时，W取最大值，最大值为，
∴W的最大值是20800元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
13．目标落脚点D到墙面l的水平距离约为10.4m
【分析】利用锐角三角函数求出AB的长，进而求出AF的长，再根据锐角三角函数求出DF的长即为目标落脚点D到墙面l的水平距离．
【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F．
则四边形FBCD是矩形，
故CD＝BF，BC＝FD．
在Rt△ABE中，，BE＝8m．
∴由，得m．
∴AF＝AB－BF＝5.6－1.8＝3.8 m．
在Rt△AFD中，．
∴∠DAF＝90°－∠ADF＝90°－20°＝70°．
由，得 m
∴ m．
答：目标落脚点D到墙面l的水平距离约为10.4 m
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，在解直角三角形中，利用锐角三角函数中正弦函数、余弦函数、正切函数的特点解决相关线段长度是解决本题的关键．
14．(1)证明见解析；
(2)四边形ADMN是黄金矩形；证明见详解．
【分析】（1）先证明四边形FENM是矩形，利用折叠的性质再求出该矩形的长和宽，就可以解决此问；
（2）先证明出四边形ADMN是矩形，利用（1）中所得条件，求出该矩形的长和宽，就可以解决此问．
(1)
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠D＝90°．
根据折叠，∠AEF＝∠D＝90°，AD＝AE，
∴四边形ADFE是正方形．
∵DG＝FG，AH＝HE，AD＝2，
∴DG＝GF＝1．
根据勾股定理，得．
∵GM＝AG，
∴．
∴．
∴．
又∵∠NMF＝∠ENM＝∠MFE＝90°，
∴四边形FENM是黄金矩形．
(2)
解：四边形ADMN也是黄金矩形.
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠D＝90°．
根据折叠的性质得：∠DMN＝∠D＝∠DAB ＝90°
∴四边形ADMN是矩形.
由（1）知：DG＝GF＝1，，AD=2．
∴．
∴ ．
∴四边形ADMN是黄金矩形.
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、折叠的性质、勾股定理等知识．利用折叠的性质求矩形的边长，再按照黄金矩形的定义求解是解决本题的关键．
15．(1)3AE＝4CG或或或等
(2)①，②3AE＝4CG，或，或等，证明见解析；
(3)，∠APC＝60°
【分析】（1）根据平行四边形性质结合中点即可得出结论；
（2）①利用三角函数值求线段长，再根据勾股定理求解即可；②利用三角形相似的判定与性质直接求解即可；
（3）利用三角形相似，再结合平行四边形的性质，根据勾股定理求出线段长；利用“8”字形的两个三角形角度关系得到即可求解．
（1）
解：点E、G分别是AD和DC边的中点，
，
在平行四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝60°，CD＝AB＝6，AD＝8，
，
，
故答案为：3AE＝4CG或或或等
（2）
解：①如图，过点E作EH⊥AD于点H，
在Rt△EDH中，∠EDA＝60°，，
∴，
∴，
∴AH＝AD－HD＝8－2＝6，
在Rt△AHE中，根据勾股定理可得；
②3AE＝4CG或或或等，
证明如下：
由题可知：∠ADC＝∠CDG＝60°，，即，
∴△ADE∽△CDG，
∴，
即3AE＝4CG或或或等；
（3）
过点作于，如图所示：
,
,
,
,
,
,,
在平行四边形DEFG中，,
,
,
,
,,
,
即,
,
,,
,
．
【点睛】本题考查四边形综合，涉及到平行四边形的性质、中点性质、旋转不变性的运用、相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理求线段长、特殊角度直角三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关性质及判定，结合图形准确作出辅助线是解决问题的关键．
16．(1)，
(2)
(3)，，，
【分析】（1）根据待定系数法确定函数关系式即可；
（2）平面直角坐标系中三角形面积问题，设，根据题意转化为平行于坐标轴的线段表示面积，从而得到方程求解即可；
（3）确定四边形中的三个顶点，构造平行四边形，利用点的平移求出第四个顶点的坐标，根据点在抛物线上得出方程求解即可．
【详解】（1）解：将和代入，
得，
解得，
∴抛物线解析式为，
将代入y＝x＋b，得：－1＋b＝0，
解得b＝1，
∴直线AF的解析式为y＝x＋1；
（2）解：，
∴，
对于直线y＝x＋1，令x＝1，则y＝2，故，
∴DE＝4－2＝2．
过点P作x轴的垂线，交AF于点H，过点P作PG⊥AF于点G，过点P作PK⊥DE于点K，连接PA和PD，如图所示：
设，则，
∴，
对于直线y＝x＋1，令x＝0，则y＝1，
由交点得出∠FAB＝45°，
∴∠PHG＝45°，即△PHG为等腰直角三角形，
故有，
延长DE交x轴于点Q，则，
∴AQ＝2，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由，
得，
解得，（不合题意，舍去），，（不合题意，舍去），
将代入，
得，则得点P的坐标为；
将代入，
得，则得点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）解：在直线上任选一点，连接构成，过三个顶点分别作对边平行线交于，如图所示：
，直线AF的解析式为y＝x＋1，
，
设，
：在中，，则根据点的平移得，
点M为抛物线上一点，抛物线解析式为，
，
解得或 ，
则点N的坐标是或；
：在中，，则根据点的平移得，
点M为抛物线上一点，抛物线解析式为，
，
解得或 ，
则点N的坐标是（与点重合，舍弃）或；
：在中，，则根据点的平移得，
点M为抛物线上一点，抛物线解析式为，
，
解得或 ，
则点N的坐标是（与点重合，舍弃）或；
综上所述，直线AC上是存在点N，使得以D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标是：，，，．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及到待定系数法确定函数关系式、平面直角坐标系中三角形面积、函数与平行四边形综合等，根据具体题型准确选择恰当方法解决问题是关键．
17．（1）；（2）
【分析】（1）利用零指数幂、求绝对值、负整数指数幂进行求解；
（2）先把分式方程转化为一元一次方程，求解后再检验根．
【详解】解：（1）解：原式
；
（2）解：两边同乘，
得，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了零指数幂、求绝对值、负整数指数幂、分式方程，解题的关键是求解分式方程后不要忘记验根．
18．
【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质、平行线的判定得到OC∥AE，得到OC⊥EF，证明△AEC∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算AC后即可用勾股定理得BC的长．
【详解】解：如图，连接.
∵，
∴.
∵点是的中点，
∴.
∴.
∴.
∵是的切线，
∴.
∴.
又∵，
∴
∵为的直径，
∴
∴.
又∵
∴
∴
∴
∴
∵在中，，
∴
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质定理、直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
19．(1)补全条形统计图见解析；扇形统计图中“答对3道”所对应的圆心角度数是
(2)3
(3)估计该校九年级答对题数超过2道的人数有600名
(4)（所抽到的两人恰好都是“答对4道”）
【分析】（1）根据做对1道的人数除以占比可得调查的人数，从而可求得做对4道题和5道题的人数即可补全条形统计图，再用360°乘以“答对3道”的占比即可得到结论；
（2）根据中位数的定义（把一组数据按大小顺序排列，处在最中间的一个数或两个数的平均数，叫这组数据的中位数）求解即可；
（3）用九年级的人数乘以样本中超过2道题的占比即可得到结论；
（4）列表得出所有等可能的结果数 ，再确定两人恰好都是“答对4道”的结果数，最后根据概率公式求解即可．
（1）
解：（人），
答对4道题的人数为：（人）；
答对5道题的人数为：（人）
补全统计图如下：
“答对3道”所对应的圆心角度数=，
答：扇形统计图中“答对3道”所对应的圆心角度数是；
（2）
因为20个数据按大小顺序排列，最中间的两个数为第10和11个数据，
而，
所以，被调查学生成绩的中位数是3，
故答案为3；
（3）
（名），
答：估计该校九年级答对题数超过2道的人数有600名；
（4）
由（1）知“答对4道”的有3人，“答对5道”的有1人，列表如下：
4
4
4
5
4
4
4
5
由上表可知，共有12种等可能的情况，其中所抽到的两人恰好都是“答对4道”的有6种情况，
∴（所抽到的两人恰好都是“答对4道”）．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图，从统计图中获取相关信息是解题关键．
20．（1）铁质书架的单价是元，木质书架的单价是元；（2）最省钱的购买方案是购进铁质书架 个，木质书架 个，最少费用为元．
【分析】（1）设铁质书架的单价是元，木质书架的单价是元，根据两次购买的个数及花费可列二元一次方程组进行求解；
（2）设购买木质书架个，购买两种书架的总费用为元，则购买铁质书架个，根据题意得到关于的一次函数，根据一次函数的性质可以求出当最小时，有最小值，从而可以设计出最省钱的购买方案.
【详解】解：设铁质书架的单价是元，木质书架的单价是元，
由题意得
解得
答：铁质书架的单价是元，木质书架的单价是元；
设购买木质书架个，购买两种书架的总费用为元，则购买铁质书架个．
由题意得
随的增大而增大
当最小时，有最小值
解得，且为正整数，
当时，（元）
此时
答：最省钱的购买方案是购进铁质书架个，木质书架个，最少费用为元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组及一次函数的应用. 解决第（2）问的关键是能根据函数的增减性，求出w的最小值.
21．(1)此刻滑雪运动员的身体与大腿所成的夹角
(2)此刻运动员头部到斜坡的高度约为
【分析】（1）连接GE，先证明，再求出，从而可得出结论；
（2）解直角△GEF，求出，解直角△EDM，求出，代入GD=GE+ED，计算即可．
（1）
如图，连接，
∵，，三点共线，
∴
∵，
∴.
∴.
（2）
由（1）得
∴在中，.
在中，，
∴.
∴.
答：此刻运动员头部到斜坡的高度约为
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，锐角三角函数定义，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)正方形的边长为
【分析】（1）证明，即可完成证明过程；
（2）过点作于点，设的长为，证明，可得，证明，根据相似三角形的性质可得，同理，，分别求得，根据比例式列出方程，求得，进而在中，勾股定理求解即可
（1）
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴.
∴.
∵四边形是正方形，
∴．
又∵，
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴；
（2）
如图，过点作于点，设的长为
∵四边形是正方形，
∴.
又∵，
∴
∴
在和中，
∴
由（1）得.
∴
∴.
∵，
∴.
∴
∴.
同理，，
∴.
∴，.
∴
解得.
∴在中，.
∴正方形的边长为
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
23．（1）①；②，理由见解析；（2）①，证明见解析；②，
【分析】（1）①根据旋转的性质证得，即可求解；②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）①过点作于点，根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；②过点作，，同理①解答即可．
【详解】解：（1）①绕点顺时针旋转，
由旋转可知，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
②．
理由如下：由旋转可知，．
∵四边形是正方形，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴≌，
∴，
∴．
∵，即．
（2）①．
证明：在菱形中，，
由旋转120°得，．
在中，，
∴，
∴，
∴≌，
∴，
∴．
如图所示，过点作于点，
∵，
∴．
在中，，
∴．
设，则，．
∴，
∴，
∴．
②过点作，，如图，
，
由①中同理可得：，．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了角平分线定理，全等三角形的判定和性质，正方形和菱形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
24．(1)
(2)与的函数关系式为（）；
(3)存在点，使得以为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或.
【分析】（1）把点A，B坐标代入中，求出b，c的值即可；
（2）运用待定系数法求出直线AB的解析式，过点作轴于点，可证明，得到， ，再表示出点Q的纵坐标即可得到pQ;
（3）首先求出点D的坐标，再分3种情况讨论求解即可．
（1）
将，代入抛物线，
得
解得
∴抛物线的表达式为；
（2）
设直线的解析式为，
将两点坐标代入解析式得
解得
∴直线的解析式为
∵，
∴由勾股定理可得
如图①，过点作轴于点，
∴
∴，则
∴
根据题意可知，
∴，
∴点的横坐标为.
∴
∴与的函数关系式为（）；
（3）
存在，点的坐标为或.
理由如下：
如图2，过点作轴的垂线交的延长线于点，则，
当时，，
解得或3.
∴点的坐标为.
∴.
①如图2，当为矩形的边时，过点作轴，交轴于点.
∵，
∴.
∴
∴，即
∴
同理，可求得.
∴
∴，
又∵，
∴.
∴.
∴.
∴
∴；
②如图2，当为矩形的对角线时，过点作轴交的延长线于点
同理可得
∴
∴
∴.
∵，
∴易得
∴，
∴，点的纵坐
∴，
③以为对角线这种情况不存在.
综上所述，存在点，使得以为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或.
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
25．（1）；（2），
【分析】（1）根据负指数幂、算术平方根及特殊三角函数值可直接进行求解；
（2）先对分式进行化简，然后代值求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
∴当时，．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值、负指数幂及特殊三角函数值，熟练掌握分式的化简求值、负指数幂及特殊三角函数值是解题的关键．
26．(1)50
(2)8
(3)C
(4)320
【分析】（1）根据图表即可求解；
（2）根据图表即可求解；
（3）根据中位数的概念即可求解；
（4）由样本估计总数所占比值求解；
【详解】（1）解：本次调查一共随机抽取学生的人数为：（名）
（2）（名）
（3）一共抽取了50名学生的成绩进行调查，所以中位数为第25、26名学生成绩的平均值，有表格可知，参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是C组；
（4）（名）
答：该校八年级学生成绩达到80分以上（含80分）的学生有320名
【点睛】本题主要考查扇形统计图、中位数的概念、由样本估计总体，掌握相关知识并正确计算是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）5．
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得OC⊥MN，即可证得OC∥BD，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠BCO＝∠ABC，即可证得结论；
（2）连接AC，由勾股定理求得BD，然后通过证得△ABC∽△CBD，求得直径AB，从而求得半径．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵MN为⊙O的切线，
∴OC⊥MN，
∵BD⊥MN，
∴OC∥BD，
∴∠CBD＝∠BCO．
又∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC．；
（2）解：连接AC，
在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝4，
∴BD＝＝8，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴，即，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径是5，
故答案为5．
【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理、三角形相似的判定和性质以及解直角三角形，作出辅助线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键．
28．（1）小王和小李的速度分别是、；（2）．
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；
根据中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标，从而可以解答本题．
【详解】解：（1）由图可得，
小王的速度为：，
小李的速度为：，
答：小王和小李的速度分别是、；
（2）小李从乙地到甲地用的时间为：，
当小李到达甲地时，两人之间的距离为：，
∴点的坐标为，
设线段所表示的与之间的函数解析式为，
，解得，
即线段所表示的与之间的函数解析式是．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确坐标轴中xy所表示的对象量，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
29．（1）位似中心与对应点连线之比等于相似比；（2）；4.5；（3）见解析．
【分析】（1），所以考查相似图形的性质．
（2）根据相似比即可推出对应点的坐标，面积比等于相似比的平方就可求出相关答案．
（3）因为相似比已知，所以根据位似图形的性质，分别求出所求矩形的长和宽，在网格中画图即可。
【详解】（1）位似中心与对应点连线之比等于相似比，结论正确即可．
（2）∵，且点，
∴点的横坐标为：，纵坐标为：,所以．
又∵，
∴．
（3）如图：
图中矩形即为所作图形．
【点睛】本题主要考查位似图形的性质，以及根据性质在网格中画位似图形等相关知识点，能根据位似图形的性质进行分析是解题关键．
30．（1）道闸杆至少需要绕点C顺时针方向旋转，小货车才能安全通过；（2）进入停车场时平均每分钟连续通过的辆数为12辆．
【分析】（1）根据题意，构造截面图，利用三角函数求解即可；
（2）由题意，设离开停车场时平均每分钟连续通过的车辆数为x辆，则进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数为辆，列出分式方程求解并检验即可．
【详解】（1）如图，点E为的中点，则米．
在上取点F，使米，
则米，
过点F作，交为点H，
在上截取上截取米，
则四边形是矩形，故有米，
∴米．
在中，米，米，
∴，
∴，即．
∴道闸杆至少需要绕点C顺时针方向旋转，小货车才能安全通过．
（2）设离开停车场时平均每分钟连续通过的车辆数为x辆，则进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数为辆．
根据题意，得，
去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
当时，，
答：进入停车场时平均每分钟连续通过的辆数为12辆．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，以及分式方程的实际应用，合理构造直角三角形，熟练掌握三角函数的定义，并注意分式方程求解之后要检验是解题关键．
31．（1）6；（2）；（3）四边形不是平行四边形，理由见解析．
【分析】（1）先根据已知条件和矩形的性质可得CD=AB=10,AD=BC=8，再根据折叠的性质可得DC＇=DC=10，最后运用勾股定理解答即可；
（2）先根据折叠的性质和勾股定理可求得，进而求得BE、EC，然后连接，根据平移的性质可得，进而说明，最后运用相似三角形的性质解答即可；
（3）先由折叠可得，再根据平移的性质和等腰三角形的判定与性质得到，过点作于点H，则且，根据相似三角形的性质可得；设，则，在中，运用勾股定理求得和DH；然后再在中求得，可以发现即，即可发现四边形不可能是平行四边形．
【详解】解：（1）如图：∵矩形中，
∴CD=AB=10，AD=BC=8
根据折叠的性质可得DC＇=DC=10
在直角三角形ADC＇中，AC＇=．
（2）由折叠可知：．
在中，根据勾股定理可求得，
∴．
在中，设，根据勾股定理，得，
解得，即．
如图：连接，则由平移可知，，且．
于是可得，
∴，
又∵，
∴．
（3）四边形不是平行四边形，理由如下：
由折叠可知；
又∵平移可知，且，
∴，
∴，即是等腰三角形，
∴．
如图，过点作于点H，则且，
∴ ．
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
解得，
∴，
∴．
而在中，，
根据勾股定理可求得，
∴，即，
故四边形不可能是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解答本题的关键．
32．（1）；（2）当时，四边形的面积最大，且最大值为12；（3）①点Q的坐标为；②，或．
【分析】（1）知道抛物线与x轴的两个交点坐标，可以利用交点式求得二次项系数a的值，将交点式转换为一般式即可.
（2）连接，过点Q分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点E，F，将四边形面积转化为两个三角形面积，进行计算即可．
（3）①过点C作，垂足为点G；过点Q作，垂足为点H，通过求证，求得CH长度，从而知道Q点横坐标，代入抛物线求解即可．
②根据点的位置，分两种情况去讨论，通过三角形相似，转换等量关系求解即可．
【详解】（1）∵拋抛物线与x轴相交于、两点，
∴与y轴的交点C的坐标为．
设抛物线的表达式为，将点代入，得
，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）如图1，连接，过点Q分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点E，F．
设点Q的坐标为，则
，
．
∴
．
∵，
∴四边形的面积有最大值，
当时，四边形的面积最大，且最大值为12．
（3）①如图3-1
过点C作，垂足为点G；过点Q作，垂足为点H．
由和可知，，故，即四边形为正方形．
∴．
∵，
∴，
∴，即，∴．
将代入抛物线解析式，得，
故点Q的坐标为．
②根据题意，点的坐标分两种情况讨论，第一种情况，如下图3-2：
过点 作轴于点L，过点作于点，过点作轴于点,由的面积为面积的8倍，得：
又∵
∴
∴
在和中，
∵,，
∴
∴
在和中，
∵，，
∴
∴
又∵
∴,
∴,即点的横坐标为，
∴将点的横坐标入抛物线，得纵坐标为：
∴
第二种情况，如下图3-3：
过点作延长线于点，过点作延长线于点，过点作轴于点,过点作,由的面积为面积的8倍，得：
又∵
∴
∴
在和中，
∵,，
∴
∴
在和中，
∵，，
∴
∴
又∵
∴,
∴,即点的横坐标为，
∴将点的横坐标入抛物线，得纵坐标为：
∴
综上，，或．
【点睛】本题考查的是二次函数解析式的求法、不规则图形面积最大值的求法、三角形相似判定，点存在性问题的讨论等相关知识点，能根据题意画出相关图形，构造三角形相似是解题关键．
33．（1）0；（2），．
【分析】（1）根据绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（1）
；
当时，
原式．
【点睛】本题考查实数的运算、分式的化简求值，涉及绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
34．证明见解析
【分析】由已知，可得∠B＝∠E，由BF＝EC，可得BC＝EF，易证，即可得出AC＝DF．
【详解】证明：∵ ，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出．
35．（1）；（2）作图见解析；；（3）．
【分析】（1）根据良好的人数和所占的百分比求出总人数；
（2）用总人数减去其它学习效果的人数，求出不合格的人数，再补全统计图；用360°乘以学习效果“一般”的学生所占的百分比即可得出圆心角度数；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数与抽取的2人学习效果是“一个优秀，一个良好”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）这次活动共抽查的学生人数为80÷40%＝200（人）；
故答案为：200；
（2）“不合格”的学生人数为200﹣40﹣80﹣60＝20（人），补全条形统计图如下：
学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为；
（3）把学习效果“优秀”的记为A，“良好”记为B，“一般”的记为C，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽取的2人学习效果是“一个优秀、一个良好”的结果有4个，
则抽取的人学习效果是“一个优秀、一个良好”的概率．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
36．
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形的三线合一性质得∠BAF的度数，进而得∠BDE的度数，再解直角三角形得结果．
【详解】解：过点A作AF⊥BC于点F，则AF∥DE，
∴∠BDE=∠BAF，
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠BDE=∠BAF=20°，
∴DE=BD×cos20°≈140×0.94=131.6（cm）
故点D离地面的高度DE约为131.6cm．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，关键是构造直角三角形求得∠BDE的度数．
37．（1）购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元；（2）至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元．
【分析】（1）设购买一个甲种笔记本x元，一个乙种笔记本y元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设需要购买a个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w，先求出调价之后甲、乙两种笔记本的单价，再列出不等式求解，再列出函数关系式表示出购买两种笔记本总费用的最大值，代入a的值求解即可．
【详解】解：（1）设购买一个甲种笔记本x元，一个乙种笔记本y元，
由题意得：，
解得：，
答：购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元．
（2）设需要购买a个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w，
调价之后，甲种笔记本的单价为：10-2=8（元），
乙种笔记本的单价为：5×0.8=4（元），
8a+4（35-a）≤250×90%，
解得：，
至多需要购买21个甲种笔记本，
，
当a=21时，w=224，
答：购买两种笔记本总费用的最大值为224元．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程组或不等式，求解即可．
38．（1）由原始数生成的终止数为；由原始数生成的终止数为；（2）．
【分析】先写出每个数产生的原始数，相加得到它们的终止数．
终止数为的原始数一定是个三位数，可根据各个原始数的和与终止数相等，得到原始数各个数位的数字和，然后写出满足条件的所有原始数．
【详解】解：由可以产生出这个新原始数，
将这个数相加，得
所以由原始数生成的终止数为；
由可以产生出这个新原始数，
将这个数相加，得
所以由原始数生成的终止数为．
若原始数为
可以产生出的个新原始数，它们是
将它们相加：因为终止数为
所以，
所以．
所以满足条件的原始数有：．
【点睛】本题考查了数的十进制，写原始数，算终止数，属于新定义类问题．掌握原始数的得到规律，找到各个数位间的数字关系是解决本题的关键．
39．（1）相等，；（2）是等边三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为.
【分析】（1）根据＂点分别为的中点＂，可得MNBD，NPCE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出．
（2）先求出，得出，根据MNBD，NPCE ，和三角形外角和定理，可知MN=PN，再等量代换求出，即可求解．
（3）根据，可知BD最大值，继而求出面积的最大值．
【详解】由题意知：AB=AC，AD=AE，且点分别为的中点，
∴BD=CE，MNBD，NPCE，MN=BD，NP=EC
∴MN=NP
又∵MNBD，NPCE，∠A=，AB=AC，
∴∠MNE=∠DBE，∠NPB=∠C，∠ABC=∠C=
根据三角形外角和定理，
得∠ENP=∠NBP+∠NPB
∵∠MNP=∠MNE+∠ENP，∠ENP=∠NBP+∠NPB，
∠NPB=∠C，∠MNE=∠DBE，
∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C
=∠ABC+∠C =．
是等边三角形．
理由如下：
如图，由旋转可得
在ABD和ACE中
．
点分别为的中点，
是的中位线，
且
同理可证且
．
在中
∵∠MNP=，MN=PN
是等边三角形．
根据题意得:
即，从而
的面积．
∴面积的最大值为．
【点睛】本题主要考查了三角形中点的性质、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识；正确掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识是解题的关键．
40．（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，）．
【分析】（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可；
（2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标；
（3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为（，），则点D为（，），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可．
【详解】解：（1）在抛物线中，
令，则，
∴点C的坐标为（0，），
∴OC=2，
∵，
∴，，
∴点A为（，0），点B为（，0），
则把点A、B代入解析式，得
，解得：，
∴；
（2）由题意，∵，点C为（0，），
∴点P的纵坐标为，
令，则，
解得：，，
∴点P的坐标为（，）；
（3）设直线AC的解析式为，则
把点A、C代入，得
，解得：，
∴直线AC的解析式为；
过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：
设点P 为（，），则点D为（，），
∴，
∵OA=4，
∴，
∴，
∴当时，取最大值8；
∴，
∴点P的坐标为（，）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题．
相关试卷
2023年山西省阳泉市中考数学一模试卷(含答案)： 这是一份2023年山西省阳泉市中考数学一模试卷(含答案)，共23页。
2023年山西省阳泉市中考数学一模试卷（含解析）： 这是一份2023年山西省阳泉市中考数学一模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山西省阳泉市中考数学一模试卷： 这是一份2023年山西省阳泉市中考数学一模试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
