山西大同市2021-2022中考数学一模试题分层-04函数（较难）

山西大同市2021-2022中考数学一模试题分层-04函数（较难）

一、单选题

1．（2022·山西大同·统考一模）如图，一次函数与反比例函数相交于点和，当时，则的取值范围是（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

2．（2022·山西大同·校考一模）如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为(－3，2)．若反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过点A，则k的值为(　　)

A．－6 B．－3 C．3 D．6

3．（2022·山西大同·校考一模）如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、．则曲线段扫过的面积为（    ）

A．4 B．6 C．9 D．12

4．（2022·山西大同·校考一模）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝x（0.2≤x≤0.8），EC＝y．则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题

5．（2022·山西大同·统考一模）将二次函数的图象沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向下平移4个单位长度，所得图象的对应表达式用一般式表示为__________．

6．（2022·山西大同·校考一模）把抛物线向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是______．

7．（2021·山西大同·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B均在第一象限，D在x轴上，BC⊥x轴于点E，点E是BC的中点，若反比例函数的图象经过A，B两点，菱形ABCD的边长为2，则k的值为_____．

三、解答题

8．（2022·山西大同·统考一模）数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯（Pappus，约300﹣350）把三等分的操作如下：

①以点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系；

②在平面直角坐标系中，绘制反比例函数的图象，图象与的边交于点；

③以点为圆心，为半径作弧，交函数的图象于点；

④分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，；

⑤作射线，交于点，得到．

(1)任务一：判断四边形的形状，并证明；

(2)任务二：请证明．

9．（2022·山西大同·统考一模）综合与实践

如图，二次函数的图象与轴交于点和，点的坐标是，与轴交于点，点在抛物线上运动．

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图2，当点在第四象限的抛物线上运动时，连接，，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积；

(3)当点在轴上运动时，借助图1探究以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点的坐标．

10．（2022·山西大同·校考一模）已知如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与轴，轴分别交于、两点．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)直接写出时的取值范围．

11．（2022·山西大同·校考一模）越野自行车是中学生喜爱的交通工具，市场巨大竞争也激烈某品牌经销商经营的A型车去年销售总额为50000元，今年每辆售价比去年降低400元，销售总额将比去年减少10000元．

A、B两种型号车今年的进货和销售价格表：

（1）今年A型车每辆售价为多少元？

（2）该品牌经销商计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，请问应如何安排两种型号车的进货数量，才能使这批越野自行车售出后获利最大

12．（2022·山西大同·校考一模）已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点．

（1）求抛物线的解析式和直线的解析式．

（2）在抛物线上两点之间的部分（不包含两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标．

13．（2021·山西大同·统考一模）“人说山西好风光，地肥水美五谷香”．山西复杂的地形、多样的气候、丰富的杂粮品种资源，使山西成为“小杂粮王国”，某杂粮经销商对本地购买20袋以上杂粮的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：

方案A：每袋30元，由经销商免费送货；

方案B：每袋26元，客户需支付运费200元．

（1）请分别写出按方案A，方案B购买该杂粮的应付款y（元）与购买量x（箱）之间的函数表达式；

（2）某单位计划购买该经销商的杂粮，选择哪种方案更省钱？

14．（2021·山西大同·统考一模）综合与探究

如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，点C关于x轴的对称点是点．

（1）求点的坐标和直线BC的表达式；

（2）如图2，点M在抛物线的对称轴上，N为平面内一点，依次连接BM，，，NB，当四边形是菱形时，求点M坐标；

（3）如图3，点P是抛物线第一象限内一动点，过P作x轴的平行线分别交直线BC和y轴于点Q和点E，连接交直线BC于点D，连接，PB，设点P的横坐标为m，△的面积为，△PBD的面积为，求的最大值．

参考答案：

1．A

【分析】先求出A的坐标，然后通过图象比较函数值大小，根据图象在上方的函数值大求解即可．

【详解】解：∵在反比例函数图象上，

∴

∴m=12

∴

∵在反比例函数图象上，

∴

∴a=6

∵

∴或

故选：A

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点坐标，函数和不等式的关系，数形结合是解题的关键．

2．D

【详解】因为菱形OABC是轴对称图形，所以A、C关于y轴对称，则A(3,2)，因为A在y=的图象上，所以k=3×2=6．

故选D

3．B

【分析】如图，连接 由抛物线平移及抛物线的性质可得：曲线段AB扫过的面积矩形的面积，即可求解．

【详解】解：如图，连接 由抛物线平移及抛物线的性质可得：

曲线段AB扫过的面积矩形的面积，

而将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，

则抛物线向上平移了2个单位长度，

∵A（1，m），B（4，n），

∴曲线段AB扫过的面积=，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据已知得出的长度，扫过的面积为矩形，都是解本题关键．

4．C

【分析】通过相似三角形△EFB∽△EDC的对应边成比例列出比例式，从而得到y与x之间函数关系式，从而推知该函数图象．

【详解】根据题意知，BF=1﹣x，BE=y﹣1，

∵AD∥BC，

∴△EFB∽△EDC，

∴，即，

∴y=（0.2≤x≤0.8），该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分．

A、D的图象都是直线的一部分，B的图象是抛物线的一部分，C的图象是双曲线的一部分．

故选C．

5．

【分析】根据二次函数的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．

【详解】解：由二次函数的图象沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向下平移4个单位长度，可得平移后的解析式为；

故答案为．

【点睛】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键．

6．

【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可．

【详解】抛物线向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式为：

，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．

7．

【分析】设A（x，2），根据菱形的性质和勾股定理求得CE=BE=1，DE=，则B（x+，1），进而由A、B坐标即可求出k的值．

【详解】解：∵菱形ABCD的边长为2，

∴AD=DC=BC=2，AD∥BC，

∵点E为BC的中点，

∴BE=CE=1，

∵BC⊥x轴，

∴AD⊥x轴，

在Rt△DEC中，DC=2，CE=1，

由勾股定理得DE= =，

设A（x，2），则B（x+，1），

∵反比例函数的图象经过A，B两点，

∴2x= x+，解得：x= ，

∴k=2 ，

故答案为：2 ．

【点睛】本题考查菱形的性质、反比例函数的图象与性质、平行线的性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握菱形的性质和反比例函数的性质是解答的关键．

8．(1)矩形，证明见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据题意可知，，，由此即可证明四边形是矩形；

（2）先证明，则，再由．推出．推出．即可得到．则．

（1）

解： 结论：四边形是矩形．

证明：∵分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，，

∴，，．

∴四边形是平行四边形．

∵，

∴四边形是矩形．

（2）

证明：∵矩形的对角线与相交于点，

∴，，．

∴．

∴．

∵是的外角，

∴．

∵以点为圆心，为半径作弧，交函数的图象于点，

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，坐标与图形，反比例函数与几何综合，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，正确理解题意是解题的关键．

9．(1)

(2)，6

(3)，，，

【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的表达式；

（2）连接，过点作轴，作轴，设点的坐标是，然后根据表示出的面积，然后利用利用二次函数的性质即可求得结果；

（3）根据题意，设点的坐标为：（a，0），点的坐标是．由以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，根据中点坐标公式分三种情况：①当BC为对角线时，②当BD为对角线时，③当BE为对角线时，列出方程，即可求得结果．

（1）

解：点和点代入二次函数，

得：

解得．

∴抛物线的表达式是．

（2）

解：如图，连接，过点作轴，作轴．

设点的坐标是．

∴，．

∵，，

∴，．

∴

．

∵，

∴当时，的面积最大且为6．

当时，．

∴点的坐标是，的最大面积是6．

（3）

解：∵点在轴上，

∴设点的坐标为：（a，0），点的坐标是．

∵以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，

①当BC为对角线时，由中点公式可得

解得：，

点的坐标为：（4，0）时与点重合，应舍去，

此时，点的坐标为：（1，0）；

②当BD为对角线时，由中点公式可得

解得：，

点的坐标为：（4，0）时与点重合，应舍去，

③当BE为对角线时，由中点公式可得

解得：，

此时，点的坐标为：（，0），（，0）；

综上所述，点的坐标为：（1，0），（7，0），（，0），（，0）．

【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式、图形面积的求法、平行四边形的性质、二次函数的应用等，综合性强、难度较大，熟练应用二次函数模型求三角形面积的最大值是解题的关键．

10．(1)，

(2)

【分析】（1）先求解反比例函数解析式，再求解点B的坐标，再利用A，B的坐标求解一次函数解析式即可；

（2）先求解一次函数与轴的交点坐标，再由时，一次函数的图象在轴的上方，结合图象可得答案.

（1）

解： 反比例函数的图象过点，

把代入则

把，代入一次函数中，

解得：

所以一次函数为

（2）

由，

令 则

解得：

所以一次函数与轴的交点坐标为：

当时，一次函数的图象在轴的上方，

结合图象可得：

【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求解函数解析式，利用函数图象求解自变量的取值范围，掌握“待定系数法与函数的图象与性质”是解本题的关键.

11．（1）1600元；（2）新进A型车20辆，B型车40辆．

【分析】（1）由题意列出分式方程，解方程即可；

（2）设经销商新进A型车a辆，则B型车为（60﹣a）辆，获利y元．由题意得出y＝﹣100a＋36000，60﹣a≤2a，则a≥20，再由一次函数的性质即可解决问题．

【详解】解：（1）设今年A型车每辆售价为x元，由题意得：，

解得：x＝1600，

经检验，x＝1600是方程的解，

答：今年A型车每辆售价为1600元；

（2）设经销商新进A型车a辆，则B型车为（60﹣a）辆．

由题意得：y＝（1600﹣1100）a＋（2000﹣1400）（60﹣a），

即y＝﹣100a＋36000，

∵B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，

∴60﹣a≤2a，

∴a≥20，

由y与a的关系式可知，﹣100＜2.

∴a＝20时，y的值最大，

∴60﹣a＝60﹣20＝40（辆），

∴当经销商新进A型车20辆，B型车40辆时．

答：当经销商新进A型车20辆，B型车40辆时．

【点睛】本题考查分式方程以及一次函数的实际应用问题，找准数量关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．

12．（1）抛物线的表达式为：，直线的表达式为：；（2）存在，理由见解析；点或或或．

【分析】（1）二次函数表达式为：y=a（x-1）2+9，即可求解；

（2）S△DAC=2S△DCM，则，，即可求解；

（3）分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．

【详解】解：（1）二次函数表达式为：，

将点A的坐标代入上式并解得：，

故抛物线的表达式为：①，

则点，

将点的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线的表达式为：；

（2）存在，理由：

二次函数对称轴为：，则点，

过点作轴的平行线交于点，

设点，点，

∵，

则，

解得：或5（舍去5），

故点；

（3）设点、点，，

①当是平行四边形的一条边时，

点向左平移4个单位向下平移16个单位得到，

同理，点向左平移4个单位向下平移16个单位为，即为点，

即：，，而，

解得：或﹣4，

故点或；

②当是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：，，而，

解得：，

故点或；

综上，点或或或．

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．

13．（1），；（2）当x＞50时，选择方案B更省钱，当x＝50时，选择方案A和方案B都一样，当20＜x＜50时，选择方案A更省钱．

【分析】（1）直接根据各自方案写出函数表达式即可；

（2）分别由、、求出对应的x范围即可做出选择．

【详解】（1）．

．

（2）由，得30x＝26x＋200，解得x＝50

由，得30x＞26x＋200，解得x＞50

由，得30x＜26x＋200，解得x＜50

∴这两种方案是针对本地购买20袋以上的客户，

∴x＞20，

答：当x＞50时，选择方案B更省钱，当x＝50时，选择方案A和方案B都一样，

当20＜x＜50时，选择方案A更省钱．

【点睛】本题考查一次函数的应用、解一元一次不等式、解一元一次方程，解答的关键是理解题意，求出各方案的函数表达式．

14．（1），y＝－x＋4；（2）M（1，－1）；（3）的最大值是4．

【分析】（1）先求得点A，B，C的坐标，即可求得的坐标，再用待定系数法求得直线BC的表达式；

（2）过M作MH⊥y轴于点H，连接OM． 证明△OMB≌△O，即可得∠MOB=．再求得∠MOB==45°；由此求得． 再求得抛物线的对称轴，即可求得点M的坐标；

（3）过B作BI⊥PQ于I．易求，再求得PQ的最大值，即可求得的最大值．

【详解】（1）∵抛物线与x轴相交于点A，B，

当y＝0时，，解，得；

∴B（4，0）

∵抛物线与x轴相交于点C，

∴当x＝0时，y＝4，

∴C（0，4），

．

设BC的表达式为y＝kx＋b，

将B，C两点坐标分别代入得，解，得．

直线BC的表达式为y＝－x＋4 ；

（2）过M作MH⊥y轴于点H，连接OM．

∵四边形是菱形，

∴BM=，

∵B（4，0），C（0，4），

∴OB＝OC，

∵OM=OM，

∴△OMB≌△O，

∴∠MOB=．

∵∠BO＝90°，

∴∠MOB==45°；

∵MH⊥y，

．

∵抛物线的对称轴为直线，

．

∴M（1，－1）．

（3）过B作BI⊥PQ于I．

∵PQ//x轴，

∴∠IEO＝90°

，

∴四边形EOBI是矩形．

．

，

∵点P在抛物线上，且点P的横坐标为m，

∴点P的纵坐标为．

∵PQ//x轴，

∴点Q的纵坐标为，将其代入y＝－x＋4，

∴点Q的横坐标为．

∵点P是抛物线第一象限内，

∴点P在点Q右侧，

．

，

∴当m＝2时，PQ的最大值是2，

∴的最大值是4．

【点睛】本题是二次函数的综合题，解决第（3）题时构建二次函数模型是解决问题的关键．