山西大同市2021-2022年中考数学一模试题-03解答题

山西大同市2021-2022年中考数学一模试题-03解答题

一、解答题

1．（2022·山西大同·统考一模）（1）计算：．

（2）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务：

解：原式……第一步

……第二步

……第三步

……第四步

任务一：填空：

①以上化简步骤中，第__________步是进行分式的通分，通分的依据是__________；

②第__________步开始出现错误；

任务二：请写出正确的解答过程．

2．（2022·山西大同·统考一模）春节期间，小明帮妈妈在小区里开的生活超市销售年货．其中，有一种有机蔬菜进价是38元，加价作为标价．小明的妈妈告诉小明这种有机蔬菜按利润率销售，小明销售这种蔬菜应打几折？

3．（2022·山西大同·统考一模）如图1是太原市新换的一批新能源公交车，图2，图3分别是该公交车双开门关闭、打开时的俯视示意图．、、是门轴的滑动轨道，，两门，的门轴，，，都在涓动轨道上，两门关闭时（图2），，分别在，处，门缝忽略不计（即，重合），两门同时开启，点，分别沿，的方向同时匀速滑动（如图3），当到达时，恰好到达，此时两门完全开启，在门开启的过程中，时，求的度数．

4．（2022·山西大同·统考一模）在“双减”和“双增”的政策下，某校七年级开设了五门手工课，按照类别分别为：．剪纸；．沙画；．雕刻；．泥塑；．插花，每个学生仅限选择一项，为了了解学生对每种手工课的喜爱程度，随机抽取了七年级部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)本次共调查了__________名学生；扇形统计图中__________，类别所对应的扇形圆心角的度数是__________度；

(2)请根据以上信息直接补全条形统计图；

(3)在学期结束时，从开设的五门手工课中各选出一名学生谈感悟，由于这五名同学采用随机抽签的方式确定顺序，请用树状图或列表的方式说明剪纸（）和雕刻（）两人排在前两位谈感受的概率．

5．（2022·山西大同·统考一模）如图，是半圆的直径，圆心是，点在半圆上，连接，作弦，连接．过点作半圆的切线分别交，的延长线于点、．

(1)求证：；

(2)若，．求弦的长．

6．（2022·山西大同·统考一模）数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯（Pappus，约300﹣350）把三等分的操作如下：

①以点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系；

②在平面直角坐标系中，绘制反比例函数的图象，图象与的边交于点；

③以点为圆心，为半径作弧，交函数的图象于点；

④分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，；

⑤作射线，交于点，得到．

(1)任务一：判断四边形的形状，并证明；

(2)任务二：请证明．

7．（2022·山西大同·统考一模）综合与探究

问题情境：

数学实践课上，老师要求同学们先制作一个透明的菱形塑料板，然后在纸上画一个与透明的菱形相似的菱形，把透明的菱形放在上面记作菱形，它们的锐角顶点重合，且，连接，．

(1)操作发现：

如图1，当边在边所在的射线上，直接写出与的数量关系：

(2)探究发现：

如图2，将菱形绕点按逆时针方向旋转，使点落在边上，连接和．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)探究拓广：

如图3，在（2）的条件下，当时，探究并说明线段和的数量关系和位置关系．

8．（2022·山西大同·统考一模）综合与实践

如图，二次函数的图象与轴交于点和，点的坐标是，与轴交于点，点在抛物线上运动．

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图2，当点在第四象限的抛物线上运动时，连接，，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积；

(3)当点在轴上运动时，借助图1探究以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点的坐标．

9．（2022·山西大同·校考一模）（1）计算：

（2）先化简；再求值，然后从，0，1中选择适当的数代入求值．

10．（2022·山西大同·校考一模）已知如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与轴，轴分别交于、两点．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)直接写出时的取值范围．

11．（2022·山西大同·校考一模）如图，为的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点，已知

(1)求的度数；

(2)若弦，垂足为，且，求图中阴影部分的面积．

12．（2022·山西大同·校考一模）某中学九（1）班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：：自带白开水；：瓶装矿泉水；：碳酸饮料；：非碳酸饮料.根据统计结果绘制如下两个统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）请你补全条形统计图；

（2）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学担任生活监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率．

13．（2022·山西大同·校考一模）越野自行车是中学生喜爱的交通工具，市场巨大竞争也激烈某品牌经销商经营的A型车去年销售总额为50000元，今年每辆售价比去年降低400元，销售总额将比去年减少10000元．

A、B两种型号车今年的进货和销售价格表：

（1）今年A型车每辆售价为多少元？

（2）该品牌经销商计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，请问应如何安排两种型号车的进货数量，才能使这批越野自行车售出后获利最大

14．（2022·山西大同·校考一模）如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：（即tan∠DEM=1：），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）

15．（2022·山西大同·校考一模）如图1，在中，，，点为边的中点，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为，连接、．

(1)当点、在直线的异侧时，延长交于点，猜想线段和的数量关系为______；

(2)如图2，直线绕点旋转，当点在直线的同侧时，延长交于点，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；

(3)直线绕点旋转一周的过程中，当线段的长度最大时，请判断四边形的形状为______，并求出它的面积为______．

16．（2022·山西大同·校考一模）已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点．

（1）求抛物线的解析式和直线的解析式．

（2）在抛物线上两点之间的部分（不包含两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标．

17．（2021·山西大同·统考一模）（1）

（2）先化简，再求值：，其中．

18．（2021·山西大同·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，，过D作⊙O的切线与AC的延长交于点E．判断△ADE的形状并说明理由．

19．（2021·山西大同·统考一模）今年是建党100周年，回望“雄关漫道真如铁”的过去，瞭望“乘风破浪会有时”的未来，党史学习教育是牢记初心使命、坚定理想信念、推进党的自我革命的必然要求．教育局党委对教育系统的教师党员个人学习形式开展了问卷调查（问卷调查表如图），并将调查结果绘制成如图的条形统计图和扇形统计图（均不完整）请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：

“个人学习党史形式问卷调查”

党员同志你好！我市教育系统召开了党史学习教育动员大会，请在表中选择一项你学习党史的形式（每人只能选择一种方式），在其空格内打“√”，非常感谢你的合作．

（1）本次参与调查的总人数是人；扇形统计图中，扇形统计图D部分的圆心角是度；

（2）若该市教育系统有6000名党员，如果对全市进行调查，请你估计选择学习形式C的人数为多少？

（3）教育局党委规定，选择学习形式是A的党员要就规定书目中的两本内容进行讲座，并用随机抽取两本书的方式确定具体内容．工作人员将四本书分别编号为1，2，3，4，如图所示，将写有编号的卡片放在不透明的盒子中，王老师选择的学习形式是A，他从盒子中随机一次性抽出两张卡片，请用列表或画树状图的方法求他抽到两张卡片编号恰好是1和2的概率．

20．（2021·山西大同·统考一模）“人说山西好风光，地肥水美五谷香”．山西复杂的地形、多样的气候、丰富的杂粮品种资源，使山西成为“小杂粮王国”，某杂粮经销商对本地购买20袋以上杂粮的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：

方案A：每袋30元，由经销商免费送货；

方案B：每袋26元，客户需支付运费200元．

（1）请分别写出按方案A，方案B购买该杂粮的应付款y（元）与购买量x（箱）之间的函数表达式；

（2）某单位计划购买该经销商的杂粮，选择哪种方案更省钱？

21．（2021·山西大同·统考一模）阅读与思考

如图是小亮同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务，

×年×月×目星期日

只用尺规也能判断两条线是否垂直

如图1，点是直线MN上一点，为射线，现在需要判断和是否垂直，然而我手头只有直尺和圆规，该怎么办呢？

我发现在初中三年的学习中很多知识都和直角有关，经过思考我想到了以下三个办法：

办法一：如图2，在射线上任取一点A，以A为圆心，大于长为半径作弧交于点B，点C，连接，若则，即．

办法二：如图3，在，上分别取点A，B，以AB为直径画圆，若点O在圆上，则．

办法三：如图4，在上任取一点A，以为边在作等边，延长交于点C，若，则，即．

还有只用尺规就可以判断和是否垂直的办法吗？……

任务：

（1）填空：“办法一”依据的数学定理是        ；“办法二”依据的数学定理是        ；

（2）请说明“办法三”尺规作图的合理性；

（3）在下图中再设计一种不同的方法探究与是否互相垂直（要求：尺规作图，保留作痕迹并描述探究的方法）

22．（2021·山西大同·统考一模）《海岛算经》是中国最早的一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》，所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远，因首题测算海岛的高、远得名《海岛算经》，亦为地图学提供了数学基础．

《海岛算经》中的第4道“望谷”的题目为：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．从勺端望谷底，入下股九尺一寸．又设重矩于上，其矩间相去三丈，更从勺端望谷底，入上股八尺五寸．问谷深几何？

大致意思是：望一个如图所示的深谷，深谷的底部为线段MN，在山谷边缘处放置一个直角三角尺ABC，∠ACB＝90°，AC＝6尺，A，C，N在一条直线上，CN⊥MN，从点A处望山谷底部M处时，视线经过BC上的点E处，测得EC长为9尺1寸；将三角尺沿着射线CA方向向上平移3丈得到，从处望山谷底部M处时，视线经过上的点F处，测得长为8尺5寸．求山谷深CN为几丈．（注：1丈＝10尺，1尺＝10寸）

23．（2021·山西大同·统考一模）综合与实践

【问题情境】

在综合实践课上，老师让同学们以“顶角互补的等腰三角形纸片的图形变换”为主题开展数学活动．如图1，两张等腰三角形纸片ABC和AEF，其中AB＝AC＝m，AE＝AF＝n，m＞n，∠BAC＋∠EAF＝180°，△AEF绕点A顺时针旋转，旋转角为，点M为BF的中点．

【特例感知】

（1）如图1，当时，AM和CE的数量关系是       ；

（2）如图2，当时，连接AM，CE，请判断AM和CE的数量关系，并说明理由；

【深入探究】

（3）如图3，当为任意锐角时，连接AM，CE，探究AM和CE的数量关系，并说明理由；

【解决问题】

（4）如图4，△ABC和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，AB＝AC，AE＝AF，M为BF的中点，连接CE，MA，MA的延长线交CE于点N，若，，则AN＝      ．

24．（2021·山西大同·统考一模）综合与探究

如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，点C关于x轴的对称点是点．

（1）求点的坐标和直线BC的表达式；

（2）如图2，点M在抛物线的对称轴上，N为平面内一点，依次连接BM，，，NB，当四边形是菱形时，求点M坐标；

（3）如图3，点P是抛物线第一象限内一动点，过P作x轴的平行线分别交直线BC和y轴于点Q和点E，连接交直线BC于点D，连接，PB，设点P的横坐标为m，△的面积为，△PBD的面积为，求的最大值．

参考答案：

1．（1）

（2）任务一：

①二；分式的基本性质（或分式的分子、分母同乘以或除以同一个不为0的整式，分式的大小不变）

②三

任务二：见解析

【分析】（1）直接利用二次根式的乘法法则及完全平方公式、零指数幂的性质分别化简，进行合并即可得出答案；

（2）任务一：①根据异分母分式的加减法则判断即可；②根据异分母分式的加减法则判断即可；

任务二：根据异分母分式的加减法则进行计算即可．

【详解】解：（1）原式

．

（2）任务一：

①二

分式的基本性质（或分式的分子、分母同乘以或除以同一个不为0的整式，分式的大小不变）

②三

任务二：

解：原式

．

【点睛】本题考查了分式的混合运算以及二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．

2．8折

【分析】设小明销售这种蔬菜应打折，根据售价=进价×（1+利润率）×折扣率列出相应的方程求解即可．

【详解】解：设小明销售这种蔬菜应打折．

根据题意，得，

解得．

答：小明销售这种蔬菜应打8折．

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理清题意找到相等关系列方程．

3．

【分析】由题设条件可得Rt△AEB≌Rt△DFC，进而可得线段之间的倍数关系，在三角形中，根据锐角三角函数值，可求得角的度数．

【详解】解：∵点，分别沿，的方向匀速滑动，当到达时，恰好到达，

∴．

∵，

在和中，

，

∴．

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴在中，．

∴．

∴的度数是．

【点睛】本题是数学知识在实际生活中的应用，准确理解题意，选择用到的数学知识进行解答是解题的关键．

4．(1)120，25，54

(2)见解析

(3)

【分析】（1）用类别D的人数除以其所占的百分比可求调查人数，用类别C人数除以调查人数再乘以百分之百即可求得m，用360°乘以A类所占的百分比即可；

（2）先求出类别B的人数，然后再补全条形统计图即可；

（3）先画树状图确定所有可能，再利用概率公式，即可求解．

【详解】（1）解：（1）本次共调查的学生数为：36÷30%=120

m％=30÷120×100%=25%；

类别所对应的扇形圆心角的度数为360°×=54°

故答案为：120，25，54

（2）解：类别B的人数为120×5%=6

则补全的条形统计图如下图：

（3）解：根据题意，画树状图如下：

由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中，剪纸（）和雕刻（）两人排在前两位的结果有2种，分别为，．

∴（剪纸（）和雕刻（）两人排在前两位）．

即：剪纸（）和雕刻（）两人排在前两位的概率是．

【点睛】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、运用画树状图求概率等知识点，正确读取统计图中的信息和画出树状图成为解答本题的关键．

5．(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接OC，如图，先证明OC∥AF，再根据切线的性质得OC⊥EF，从而得到AF⊥EF；

（2）先利用OC∥AF得到∠COE=∠DAB，在Rt△OCE中，利用余弦的定义得到，解得OB=4，连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，然后根据余弦的定义可计算出AD的长．

（1）

证明：如图，连接，和，和交于点．

∵过点作半圆的切线交的延长线于点，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∵是半圆的直径，

∴．

∴．

∴．

∴．

（2）

解：∵，

∴．

∵，，

∴在中，．

∴．

∵，，

∴．

∴．

∵是半圆的直径，

∴，∠ADB=90°

∴在中，．

∴．

∴．

∴弦的长是．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，掌握圆周角定理，切线的性质，解直角三角形是解题的关键．

6．(1)矩形，证明见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据题意可知，，，由此即可证明四边形是矩形；

（2）先证明，则，再由．推出．推出．即可得到．则．

（1）

解： 结论：四边形是矩形．

证明：∵分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，，

∴，，．

∴四边形是平行四边形．

∵，

∴四边形是矩形．

（2）

证明：∵矩形的对角线与相交于点，

∴，，．

∴．

∴．

∵是的外角，

∴．

∵以点为圆心，为半径作弧，交函数的图象于点，

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，坐标与图形，反比例函数与几何综合，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，正确理解题意是解题的关键．

7．(1)，理由见解析

(2)成立，理由见解析

(3)，，理由见解析

【分析】（1）只需要利用SAS证明△BAE≌△DAG即可得到BE=DG；

（2）同（1）求解即可；

（3）如图，延长与的延长线交于点，证明，得到，，则．再证明．即可得到．

（1）

解：，理由如下：

∵四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，

∴AB=AD，AE=AG，

又∵∠BAE=∠DAG，

∴△BAE≌△DAG（SAS），

∴BE=DG；

（2）

解：（1）中结论成立，理由如下：

证明：∵四边形和四边形是菱形，

∴，．

∵，

∴．

∴．

在和中，

，

∴．

∴．

（3）

解：，，理由如下：

理由如下：如图，延长与的延长线交于点．

∵四边形和四边形是菱形，，

∴菱形和菱形是正方形．

∴，，，．

∴，．

∴．

在和中，

，

∴．

∴，．

∴．

∵，

∴．

∴．

在中，．

∴．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知菱形的性质和全等三角形的性质与判定是解题的关键．

8．(1)

(2)，6

(3)，，，

【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的表达式；

（2）连接，过点作轴，作轴，设点的坐标是，然后根据表示出的面积，然后利用利用二次函数的性质即可求得结果；

（3）根据题意，设点的坐标为：（a，0），点的坐标是．由以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，根据中点坐标公式分三种情况：①当BC为对角线时，②当BD为对角线时，③当BE为对角线时，列出方程，即可求得结果．

（1）

解：点和点代入二次函数，

得：

解得．

∴抛物线的表达式是．

（2）

解：如图，连接，过点作轴，作轴．

设点的坐标是．

∴，．

∵，，

∴，．

∴

．

∵，

∴当时，的面积最大且为6．

当时，．

∴点的坐标是，的最大面积是6．

（3）

解：∵点在轴上，

∴设点的坐标为：（a，0），点的坐标是．

∵以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，

①当BC为对角线时，由中点公式可得

解得：，

点的坐标为：（4，0）时与点重合，应舍去，

此时，点的坐标为：（1，0）；

②当BD为对角线时，由中点公式可得

解得：，

点的坐标为：（4，0）时与点重合，应舍去，

③当BE为对角线时，由中点公式可得

解得：，

此时，点的坐标为：（，0），（，0）；

综上所述，点的坐标为：（1，0），（7，0），（，0），（，0）．

【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式、图形面积的求法、平行四边形的性质、二次函数的应用等，综合性强、难度较大，熟练应用二次函数模型求三角形面积的最大值是解题的关键．

9．（1），（2）

【分析】（1）根据负整数指数幂幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可；

（2）先根据异分母的分式减法计算括号内的，同时将除法转化为乘法计算，然后根据分式的性质化简，再根据分式有意义的条件，取代入求解即可．

【详解】解：（1）

（2）

，当时，原式

【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是正确的进行计算．

10．(1)，

(2)

【分析】（1）先求解反比例函数解析式，再求解点B的坐标，再利用A，B的坐标求解一次函数解析式即可；

（2）先求解一次函数与轴的交点坐标，再由时，一次函数的图象在轴的上方，结合图象可得答案.

（1）

解： 反比例函数的图象过点，

把代入则

把，代入一次函数中，

解得：

所以一次函数为

（2）

由，

令 则

解得：

所以一次函数与轴的交点坐标为：

当时，一次函数的图象在轴的上方，

结合图象可得：

【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求解函数解析式，利用函数图象求解自变量的取值范围，掌握“待定系数法与函数的图象与性质”是解本题的关键.

11．(1)

(2)

【分析】（1）连接OC，则△OCD是直角三角形，可求出∠COD的度数；由于∠A与∠COD是同弧所对的圆周角与圆心角．根据圆周角定理即可求得∠A的度数；

（2）由图可知：阴影部分的面积是扇形OCB和Rt△OEC的面积差；那么解决问题的关键是求出半径和OE的长；在Rt△OCE中，∠OCE=∠D=30°，已知了CE的长，通过解直角三角形，即可求出OC、OE的长，由此得解．

(1)

解：（1）连接OC，

∵CD切⊙O于点C，

∴∠OCD=90°，

∵∠D=30°，

∴∠COD=60°，

∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO=30°；

(2)

解：∵CF⊥直径AB，，

∴CE=，

∴在Rt△OCE中，tan∠COE= ， OE=，

∴OC=2OE=4 ，

∴S扇形BOC=，S△EOC＝，

∴S阴影=S扇形BOC-S△EOC=．

【点睛】本题主要考查了切线的性质、垂径定理以及扇形面积的计算方法．不规则图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．

12．（1）补全条形统计图见解析；（2）（恰好抽到一男一女）．

【分析】（1）先根据B所占的百分比及相应的人数求出总人数，然后即可求出C类所对应的人数，即可补全条形统计图；

（2）用树状图或列表法找出所有的情况数，然后从中找出恰好抽到一男一女的情况数，利用所求情况数与总数之比求概率即可．

【详解】（1）抽查的总人数为：（人），

类人数（人），

补全条形统计图如下：

（2）列表得

或画树状图得：

所有等可能的情况数有20种，其中一男一女的有12种，所以（恰好抽到一男一女）．

【点睛】本题主要考查用树状图或列表法求随机事件的概念以及条形统计图，掌握树状图或列表法是解题的关键．

13．（1）1600元；（2）新进A型车20辆，B型车40辆．

【分析】（1）由题意列出分式方程，解方程即可；

（2）设经销商新进A型车a辆，则B型车为（60﹣a）辆，获利y元．由题意得出y＝﹣100a＋36000，60﹣a≤2a，则a≥20，再由一次函数的性质即可解决问题．

【详解】解：（1）设今年A型车每辆售价为x元，由题意得：，

解得：x＝1600，

经检验，x＝1600是方程的解，

答：今年A型车每辆售价为1600元；

（2）设经销商新进A型车a辆，则B型车为（60﹣a）辆．

由题意得：y＝（1600﹣1100）a＋（2000﹣1400）（60﹣a），

即y＝﹣100a＋36000，

∵B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，

∴60﹣a≤2a，

∴a≥20，

由y与a的关系式可知，﹣100＜2.

∴a＝20时，y的值最大，

∴60﹣a＝60﹣20＝40（辆），

∴当经销商新进A型车20辆，B型车40辆时．

答：当经销商新进A型车20辆，B型车40辆时．

【点睛】本题考查分式方程以及一次函数的实际应用问题，找准数量关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．

14．71．

【分析】过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，可得出DF的长，进而得出DH的长，在Rt△ADH中，可得出AH的长，进而可得出AN的长，在Rt△CNB中可求出BN的长，利用AB=AH﹣BN计算即可．

【详解】解：过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，

∵坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：，

∴EF=10米，DF=米，

∵DH=DF+EC+CN=（）米，∠ADH=30°，

∴AH=×DH=（）米，

∴AN=AH+EF=（）米，

∵∠BCN=45°，

∴CN=BN=20米，

∴AB=AN﹣BN=≈71米．

答：条幅的长度是71米．

考点：1．解直角三角形的应用-仰角俯角问题；2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题；3．综合题．

15．(1)PF=EG

(2)成立，理由见解析

(3)矩形，2

【分析】（1）证△PBE≌△PCG（AAS），得PE=PG，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；

（2）延长EP交FC的延长线于G，同（1）得△PBE≌△PCG（AAS），得PE=PG，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；

（3）连接AP，由等腰三角形的性质得∠APC=90°=∠CFA，设线段AC的中点为M，得点P、F都在以线段AC为直径的圆上，当PF=AC=2时，PF取得最大值，此时四边形APCF是正方形，则四边形BEFC是矩形，即可求解．

(1)

解：PF=EG，理由如下：

∵BE⊥a，CF⊥a，

∴，

∴∠PBE=∠PCG，∠PEB=∠PGC，

∵点P为BC边的中点，

∴PB=PC，

∴△PBE≌△PCG（AAS），

∴PE=PG，

∵CF⊥a，

∴∠EFG=90°，

∴PF=EG， 故答案为：PF=EG；

(2)

解：（1）中的结论还成立，

证明如下： 延长EP交FC的延长线于G，如图所示：

同（1）得：△PBE≌△PCG（AAS），

∴PE=PG，

∵CF⊥a，

∴∠EFG=90°，

∴PF= EG；

(3)

解：连接AP，如图所示：

∵AB=AC，点P为BC边的中点，

∴BP=CP，AP⊥BC，

∴∠APC=90°， 设线段AC的中点为M，

∵CF⊥a， ∴∠CFA=90°，

∴点P、F都在以线段AC为直径的圆上，

当PF=AC=2时，PF取得最大值，此时四边形APCF是正方形，

则四边形BEFC是矩形，AF=，

∴四边形BEFC的面积=2正方形APCF的面积=2×AF2=2×2=4．

【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的判定与性质，圆的基本性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．

16．（1）抛物线的表达式为：，直线的表达式为：；（2）存在，理由见解析；点或或或．

【分析】（1）二次函数表达式为：y=a（x-1）2+9，即可求解；

（2）S△DAC=2S△DCM，则，，即可求解；

（3）分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．

【详解】解：（1）二次函数表达式为：，

将点A的坐标代入上式并解得：，

故抛物线的表达式为：①，

则点，

将点的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线的表达式为：；

（2）存在，理由：

二次函数对称轴为：，则点，

过点作轴的平行线交于点，

设点，点，

∵，

则，

解得：或5（舍去5），

故点；

（3）设点、点，，

①当是平行四边形的一条边时，

点向左平移4个单位向下平移16个单位得到，

同理，点向左平移4个单位向下平移16个单位为，即为点，

即：，，而，

解得：或﹣4，

故点或；

②当是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：，，而，

解得：，

故点或；

综上，点或或或．

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．

17．（1）；（2）,．

【分析】（1）分别根据立方根、特殊三角函数值、负指数幂、二次根式的平方计算法则求出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；

（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入计算即可．

【详解】（1）解：原式＝

＝．

故答案为：

（2）解：原式

；

当时，原式

故答案为：,．

【点睛】本题考查了实数的计算和分式的化简求值，熟知实数计算中负指数幂、立方根、特殊三角函数值、分式混合运算的法则是解答此题的关键．

18．△ADE为直角三角形．理由见解析．

【分析】根据同圆中相等的弧所对的圆周角相等，得出∠EAD=∠DAB，连接OD，由圆的切线性质可得∠EDO=90°，即∠EDA+∠ADO=90°，再由∠DAO=∠ADO，等量代换出∠EAD=∠ADO，即可求出∠E=90°．

【详解】△ADE为直角三角形．理由如下：

如图，连接OD，

∵DE与⊙O相切于点D，

∴DE⊥OD，

∴∠ADO＋∠ADE＝90°

∵，

∴∠CAD＝∠DAO．

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠CAD＝∠ODA，

∴∠CAD＋∠ADE＝90°．

在△ADE中，∠CAD＋∠ADE＋∠AED＝180°

∴∠AED＝90°，

∴△ADE为直角三角形．

【点睛】本题考查了同圆中相等的弧所对的圆周角相等，切线的性质，解题关键是利用切线的性质得出垂直关系．

19．（1）120 ，54；（2）1500人；（3）．

【分析】（1）用A类人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，然后用360度乘以D类人数所占的百分比即可；

（2）用样本估计总体的思想求解，用6000乘以样本中C类人数所占的百分比即；

（3）根据题意列表表示出所有出现的等可能结果，然后根据概率的公式进行计算求解．

【详解】解：（1）本次参与调查的总人数=24÷20%=120（人）；

扇形统计图D部分的圆心角是360°×=54°；

故答案为：120；54  

（2），

6000×25%＝1500（人）．

答：选择学习形式C的人数约为1500人．

（3）列表如下：

由列表可以看出，总共有12种等可能结果，其中抽到两张卡片编号恰好是1和2的结果有2种，

∴P（抽到两张卡片编号恰好是1和2）．

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及列表法或树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

20．（1），；（2）当x＞50时，选择方案B更省钱，当x＝50时，选择方案A和方案B都一样，当20＜x＜50时，选择方案A更省钱．

【分析】（1）直接根据各自方案写出函数表达式即可；

（2）分别由、、求出对应的x范围即可做出选择．

【详解】（1）．

．

（2）由，得30x＝26x＋200，解得x＝50

由，得30x＞26x＋200，解得x＞50

由，得30x＜26x＋200，解得x＜50

∴这两种方案是针对本地购买20袋以上的客户，

∴x＞20，

答：当x＞50时，选择方案B更省钱，当x＝50时，选择方案A和方案B都一样，

当20＜x＜50时，选择方案A更省钱．

【点睛】本题考查一次函数的应用、解一元一次不等式、解一元一次方程，解答的关键是理解题意，求出各方案的函数表达式．

21．（1）等腰三角形三线合一；直径所对的圆周角是直角；（2）见解析；（3）答案不唯一，作图及描述见解析．

【分析】（1）第一空：利用等腰三角形三线合一；第二空：根据直径所对的圆周角是直角，可以判断；

（2）根据等边三角形及等腰三角形的性质，利用等量代换，可以证明；

（3）可以利用全等三角形的判定及性质来证明．

【详解】（1）“办法一”依据的数学定理是：等腰三角形三线合一，

“办法二”依据的数学定理是：直径所对的圆周角是直角；

（2）∵是等边三角形，

,

，

，

是的一个外角，

，

，

，

即．

（3）答案不唯一，如：

以为圆心，任意长为半径作弧，交与B，C两点，在上任取一点A，若，则，即．

【点睛】本题考查来如何证明两条直线垂直的多种方法，解题的关键是：回顾与直角有关的知识来证明．

22．山谷深CN为41.9丈．

【分析】根据题目中的条件，需要两次利用三角形相似的判定定理及性质，证明两个三角形相似，再利用对应边成比例建立等式，进行求解．

【详解】：解：由题意知：寸，寸，＝85寸，＝300寸．

，

．

．

∴．

．

，

．

．

即．

，

解得：

经检验：符合题意，

寸＝41.9丈．

答：山谷深CN为41.9丈．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理及性质，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理及性质，根据对应边成比例建立等式，再通过等量代换进行求解．

23．（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析；（4）．

【分析】（1）利用等腰三角形两腰相等和M为中点，得到，，，则可推出两线段的数量关系；

（2）利用已知条件求出∠BAF＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出，再证明，即可得到；

（3）添加辅助线，延长AM至点G，使得MG＝AM．利用对角相互相平分得到ABGF是平行四边形，利用角的关系推出∠AFG＝∠CAE，再证明，即可得到；

（4）与（3）中添加辅助线的方法相同，延长AM至点G，使得MG＝AM．利用对角相互相平分得到ABGF是平行四边形，则．利用角的关系推出，证明得到，则，，又因为，所以，进而推出．又，则．由和即可求出的值．

【详解】（1）∵两张等腰三角形纸片ABC和AEF，其中AB＝AC，AE＝AF

∴，

又∵点M为BF的中点

∴

∴

∴

（2）

理由：∵∠BAC＋∠EAF＝180°，∠CAE＝90°，

∴∠BAF＝90°．

∵在Rt△BAF中，∠BAF＝90°，M是BF的中点，

在△ACE和△ABF中

．

．

．

（3）．

理由：如图，延长AM至点G，使得MG＝AM．

∵M是BF的中点，

∴BM＝FM．

又∵MG＝AM，

∴四边形ABGF是平行四边形

∴AC＝AB＝FG，AB//GF．

∴∠BAF＋∠AFG＝180°．

∵∠BAC＋∠EAF＝180°，

∴∠BAF＋∠CAE＝180°．

∴∠AFG＝∠CAE．

在△ACE和△FGA中

．

．

．

（4）如图所示，延长AM至点G，使得，连接、．

∵M是BF的中点，

∴BM＝FM．

又∵MG＝AM，

∴四边形ABGF是平行四边形

∴AC＝AB＝FG，AB//GF， ．

∴∠BAF＋∠AFG＝180°．

∵∠BAC＋∠EAF＝180°，

∴∠BAF＋∠CAE＝180°．

∴∠AFG＝∠CAE．

在△ACE和△FGA中

．

，，．

，

∴．

又∵

∴，

∴，

∴．

∴

∴．

【点睛】本题是与四边形相关的综合性题目，主要考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，以及旋转，直角三角形斜边上的直线等于斜边的一半等相关知识．

24．（1），y＝－x＋4；（2）M（1，－1）；（3）的最大值是4．

【分析】（1）先求得点A，B，C的坐标，即可求得的坐标，再用待定系数法求得直线BC的表达式；

（2）过M作MH⊥y轴于点H，连接OM． 证明△OMB≌△O，即可得∠MOB=．再求得∠MOB==45°；由此求得． 再求得抛物线的对称轴，即可求得点M的坐标；

（3）过B作BI⊥PQ于I．易求，再求得PQ的最大值，即可求得的最大值．

【详解】（1）∵抛物线与x轴相交于点A，B，

当y＝0时，，解，得；

∴B（4，0）

∵抛物线与x轴相交于点C，

∴当x＝0时，y＝4，

∴C（0，4），

．

设BC的表达式为y＝kx＋b，

将B，C两点坐标分别代入得，解，得．

直线BC的表达式为y＝－x＋4 ；

（2）过M作MH⊥y轴于点H，连接OM．

∵四边形是菱形，

∴BM=，

∵B（4，0），C（0，4），

∴OB＝OC，

∵OM=OM，

∴△OMB≌△O，

∴∠MOB=．

∵∠BO＝90°，

∴∠MOB==45°；

∵MH⊥y，

．

∵抛物线的对称轴为直线，

．

∴M（1，－1）．

（3）过B作BI⊥PQ于I．

∵PQ//x轴，

∴∠IEO＝90°

，

∴四边形EOBI是矩形．

．

，

∵点P在抛物线上，且点P的横坐标为m，

∴点P的纵坐标为．

∵PQ//x轴，

∴点Q的纵坐标为，将其代入y＝－x＋4，

∴点Q的横坐标为．

∵点P是抛物线第一象限内，

∴点P在点Q右侧，

．

，

∴当m＝2时，PQ的最大值是2，

∴的最大值是4．

【点睛】本题是二次函数的综合题，解决第（3）题时构建二次函数模型是解决问题的关键．