初中数学北师大版九年级下册6 直线与圆的位置关系精练

直线与圆的位置关系—知识讲解

【学习目标】

1.理解并掌握直线与圆的三种位置关系；
2.理解切线的判定定理和性质定理.
【要点梳理】

要点一、直线与圆的位置关系

1.切线的定义：

  直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的位置关系称为相切.

2．直线和圆的三种位置关系：
　　(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．
　　(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．
　　(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．
3．直线与圆的位置关系的判定和性质．
　　直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
　　　　　　　　
　   一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：　

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，

（1）d＜r直线l与⊙O相交；

（2）d=r直线l与⊙O相切；
　　 （3）d＞r直线l与⊙O相离.

要点诠释：
   这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．

要点二、切线的性质定理和判定定理

1．切线的性质定理：
　　圆的切线垂直于过切点的半径.

要点诠释：
　　切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直.
 

2．切线的判定定理：
　　过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
要点诠释：
　　切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.

要点三、三角形的内切圆

1．三角形的内切圆：
　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：
　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.
要点诠释：
　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

【典型例题】

类型一、直线与圆的位置关系

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？

 (1)r=2厘米；  (2)r=2.4厘米；  (3)r=3厘米

【答案与解析】

解：过点C作CD⊥AB于D，    

在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，

   ，∴AB·CD=AC·BC，

∴(cm)，

（1）当r=2cm时，CD＞r，∴圆C与AB相离；

（2）当r= 2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；

(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．

【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．

举一反三：

【变式】已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（    ）

A. 相离  B. 相切  C. 相交  D. 相交或相离

【答案】B.

类型二、切线的判定与性质　             

2．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC是⊙D的切线．

【思路点拨】作垂直，证半径．

【答案与解析】

证明：过D作DF⊥AC于F．

∵∠B＝90°，

∴DB⊥AB．

又AD平分∠BAC，

∴ DF＝BD＝半径．

∴ AC与⊙D相切．

【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可．

3.（2020•黄石）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．

（1）求BC的长；

（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．

【思路点拨】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．

【答案与解析】

证明：（1）解：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

又∵∠ABC=30°，AB=4，

∴BD=2，

∵D是BC的中点，

∴BC=2BD=4；

（2）证明：连接OD．

∵D是BC的中点，O是AB的中点，

∴DO是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED

又∵DE⊥AC，

∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°

∴DE是⊙O的切线．

【总结升华】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．

4．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．

【思路点拨】（1）连接OD，证明OD∥AD即可；（2）作DF⊥AB于F，证明△EAD≌△FAD，将DE转化成DF来求.

【答案与解析】

解：（1）直线DE与⊙O相切．

      理由如下：

       连接OD．

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠OAD．

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD．

∴∠ODA＝EAD．

∴EA∥OD．

∵DE⊥EA，

∴DE⊥OD．

       又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．

   （2）如上图，作DF⊥AB，垂足为F．

∴∠DFA＝∠DEA＝90°．

∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，

∴△EAD≌△FAD．

∴AF＝AE＝8，DF＝DE.

∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．

在Rt△DOF中，DF＝＝4．

∴DE＝DF＝4．

【总结升华】本题综合考察了平行线的判定，全等三角形的判定和勾股定理的应用，是一道很不错的中档题.

举一反三：

【变式1】（2020•盐城）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．

（1）求∠DOA的度数；

（2）求证：直线ED与⊙O相切．

【答案与解析】

（1）解；∵∠DBA=50°，

∴∠DOA=2∠DBA=100°，

（2）证明：连接OE．

在△EAO与△EDO中，，

∴△EAO≌△EDO，

∴∠EDO=∠EAO，

∵∠BAC=90°，

∴∠EDO=90°，

∴DE与⊙O相切．

举一反三：

【变式2】如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC等于(   )

A．    B．    C．    D．

【答案】因为以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，所以∠ABC＝90°，

在Rt△ABC中，，故选C．

类型三、三角形的内切圆

5．如图，已知O是△ABC的内心，∠A=50°，求∠BOC的度数.

【思路点拨】O是△ABC的内心，∠A=50°，根据内切圆的性质可求

∠OBC+∠OCB= ，在△BOC中，根据三角形内角和求出∠BOC的度数.

【答案与解析】

解：∵O是△ABC的内心，∠A=50°，

    ∴∠OBC+∠OCB=，

    ∴∠BOC=180°-65°=115°.

【变式】如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O内切与△ABC，则△ABC去除⊙O剩余阴影部分的面积为（      ）

 A.12-π      B. 12-2π    C. 14-4π    D. 6-π

【答案】D.