初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆复习练习题

第22课  圆的基本概念和性质

知识点01  圆的定义及性质

1. 圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

要点诠释：
　  ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
  　②圆是一条封闭曲线.

(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
要点诠释：
　  ①定点为圆心，定长为半径；
　　②圆指的是圆周，而不是圆面；
　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.

2.圆的性质
　　①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
  　②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.

要点诠释：
　　①圆有无数条对称轴；
　  ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.
3.两圆的性质
　   两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.

知识点02  与圆有关的概念

1. 弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
　　直径：经过圆心的弦叫做直径.

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
要点诠释：
　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.
 

证明：连结OC、OD
 

　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦.
2. 弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
要点诠释：
　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.同心圆与等圆
　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
 

4.等弧
　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
要点诠释：
　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
    ②圆中两平行弦所夹的弧相等.

考法01   圆的定义

【典例1】已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，求证：点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上.

【答案与解析】

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，

∴OA=OC=OB=OD，

∴点A、B、C、D在以点O为圆心、OA为半径的圆上.

【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.

【即学即练1】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（   ）

A.正方形      B.菱形     C.矩形       D.等腰梯形

【答案】C.

【典例2】爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？

【答案与解析】

∴点导火索的人安全.

【总结升华】爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示.

考法02   圆及有关概念

【典例3】下列说法中，正确的是（　　）

A．两个半圆是等弧

B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧

C．长度相等的弧是等弧

D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧

【答案】 B.

【解析】A、两个半圆的半径不一定相等，故错误；

B、同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，正确；

C、长度相等的弧是等弧，错误；

D、同圆中优弧与劣弧的差比一定是优弧，故错误，

故选B．

【总结升华】本题考查了圆的有关概念，解题的关键是了解等弧及半圆的定义、优弧与劣弧的定义等.

【即学即练2】 点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B.

提示：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点，

图中的弦有AB、BC、CE，一共3条．故选B．

考法03   圆的对称性

【典例4】圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？

【答案与解析】

如图所示,分两种情况:

（1）当点P为圆O内一点（如图1），过点P作圆O的直径，分别交圆O于A、B两点，

由题意可得P到圆O最大距离为10，最小距离为2，则AP=2，BP=10，

所以圆O的半径为.

图1                                   图2

（2）当点P在圆外时（如图2），作直线OP，分别交圆O于A、B，由题可得P到圆O最大距离为10，最小距离为2，则BP=10，AP=2，所以圆O的半径.

综上所述，所求圆的半径为6或4.

【总结升华】题目中说到最大距离和最小距离，我们首先想到的就是直径，然后过点P做圆的直径，得到圆的半径.通常情况下，我们进行的都是在圆内的有关计算，这逐渐成为一种习惯，使得我们一看到题首先想到的就是圆内的情况，而忽略了圆外的情况，所以经常会出现漏解的情况.这也是本题想要提醒大家的地方.体现分类讨论的思想.

【即学即练3】平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm，则圆的半径是（   ）.

A.2.5cm      B.6.5cm     C. 2.5cm或6.5cm     D. 5cm或13cm

【答案】C.

【即学即练4】（1）过____________________上的三个点确定一个圆．

（2）交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．

【答案】（1）不在同一直线；（2） 圆的旋转不变性；

【典例5】如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP的长的取值范围是           .

【答案】3≤OP≤5.

【解析】OP最长边应是半径长，为5；

根据垂线段最短，可得到当OP⊥AB时，OP最短．

∵直径为10，弦AB=8

∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得AP=4，

由勾股定理得OP=，∴OP最短为3.

∴OP的长的取值范围是3≤OP≤5.

【总结升华】关键是知道OP何时最长与最短.

【即学即练5】已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是___        ____．

【答案】 OP最大为半径，最小为O到AB的距离．所以5≤OP≤13.

题组A  基础过关练

1．有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

【答案】B

【解析】试题解析：①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；

②直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；

③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；

④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．

其中错误说法的是①③两个．

故选B．

考点：圆的认识．

2．过圆上一点可以作圆的最长弦有（ ）条．

A．1 B．2 C．3 D．无数条

【答案】A

【详解】

圆的最长的弦是直径，直径经过圆心，过圆上一点和圆心可以确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条．

3．等于圆周的弧为(　　)

A．劣弧 B．半圆 C．优弧 D．圆

【答案】D

【分析】

根据弧的命名方式分析.

【详解】

大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，直径所对的两条弧是半圆，等于

圆周的弧叫做圆.

故选：D.

【点睛】

考核知识点：弧.

4．如果圆外一点P到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，那么这个圆的半径为（    ）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5

【答案】C

【分析】

利用最长距离减去最短距离即得圆的直径,从而得出圆的半径．

【详解】

∵P为圆外一点，点P到圆的最短距离为3，最长距离为9，

∴圆的直径为：9−3=6，

∴圆的半径为3，

故选C.

【点睛】

本题考查点与圆的位置关系.

5．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作( )

A．1    B．2    C．3    D．无数个

【答案】A

【解析】

根据圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，则可以作一个圆．

6．在同圆或等圆中________弧叫等弧．

【答案】能完全重合的

【分析】

根据等弧的定义解答即可.

【详解】

在同圆或等圆中能完全重合的弧叫等弧，

故答案为：能完全重合的

【点睛】

本题考查圆的有关定义，熟练掌握等弧的定义是解题关键.

7．已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为______________cm

【答案】8cm．

【解析】

试题分析：⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．

试题解析：∵⊙O中最长的弦为16cm，即直径为16cm，

∴⊙O的半径为8cm．

考点：圆的认识．

8．下列说法①直径是弦；②圆心相同，半径相同的两个圆是同心圆；③两个半圆是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．正确的是______填序号．

【答案】①

【分析】

利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】

解：直径是弦，但弦不是直径，故① 正确；圆心相同但半径不同的两个圆是同心圆，故② 错误；若两个半圆的半径不等，则这两个半圆的弧长不相等，故③错误；经过圆的圆心可以作无数条的直径，故④错误.综上，正确的只有①.

故答案为：①

【点睛】

本题考查了圆的知识，了解有关圆的定义及性质是解答本题的关键，难度不大.

题组B  能力提升练

1．下列说法正确的是（　　）

A．弦是直径    B．弧是半圆

C．半圆是弧    D．通过圆心的线段是直径

【答案】C

【解析】试题解析：A、弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有的弦都是直径．故本选项错误；

B、弧是圆上任意两点间的部分，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧是半圆，不是所有的弧都是半圆．故本选项错误；

C、圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．所以半圆是弧是正确的．

D、过圆心的弦才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，故本选项错误．

故选C．

2．下列语句中，不正确的个数是(　　)

①弦是直径　②半圆是弧　③长度相等的弧是等弧　④经过圆内一点可以作无数条直径

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】

直径是弦，但弦不一定是直径故①不正确，弧包括半圆，优弧和劣弧故②正确，等弧是能够重合的弧故③不正确，而经过圆内一点只能作一条直径或无数条直径(圆内一点正好是圆心，故④不正确．)

3．如图，中，点，，以及点，，分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ）

A．条 B．条 C．条 D．条

【答案】B

【分析】

根据弦的定义进行分析，从而得到答案．

【详解】

解：图中的弦有AB，BC，CE共三条．

故选B．

【点睛】

理解弦的定义是解决本题的关键．

4．如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有______个．

【答案】3

【分析】

过O点作OE⊥AB，交⊙O于D，由OE＝3，OA＝5，得到DE＝2，即点P到到直线AB的距离为2；在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，则还有两个点到直线AB的距离为3．

【详解】

如图，OD＝OA＝OB＝5，OE⊥AB，OE＝3，

∴DE＝OD−OE＝5−3＝2cm，

∴点D是圆上到AB距离为2cm的点，

∵OE＝3cm＞2cm，

∴在OD上截取OH＝1cm，

过点H作GF∥AB，交圆于点G，F两点，

则有HE⊥AB，HE＝OE−OH＝2cm，

即GF到AB的距离为2cm，

∴点G，F也是圆上到AB距离为2cm的点．

故答案为3．

【点睛】

本题考查了垂径定理，当圆心到直线的距离小于圆的半径，这条直线与圆相交．注意圆上的点到AB距离为2cm的点不唯一，有三个．

5．如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则a、b、c的大小是_________．

【答案】a=b=c

【详解】

连接OA，OD，OM．因为四边形ABOC、DEOF、HMON均为长方形，长方形的对角线相等，所以OA=BC，OD=EF，OM=HN．所以BC=EF=HN，即a=b=c．

6．如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于________．

【答案】80°

【详解】

试题分析：利用等腰三角形的性质可得∠N的度数，根据三角形的内角和定理可得所求角的度数．

解：∵OM=ON，

∴∠N=∠M=50°，

∴∠MON=180°-∠M-∠N=80°，

故答案为80°．

考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形的内角和定理；3．圆的定义．

7．P为⊙O内一点，OP＝3cm，⊙O的半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_____cm，最长弦长为_____cm．

【答案】8    10   

【解析】

试题分析：当弦与OP垂直时，弦最短，最短弦为8cm，过P点经过圆心的弦最长为直径，最长弦为10cm．

考点：点与圆的位置关系.

题组C  培优拔尖练

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，求∠ACD的度数．

【答案】10°．

【分析】

先求得∠B，再由等腰三角形的性质求出∠BCD，则∠ACD与∠BCD互余，从而求得∠ACD的度数．

【详解】

解：连接CD，∵∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠B=50°，
∵CD=CB，
∴∠BCD=180°-2×50°=80°，
∴∠ACD=90°-80°=10°．

故答案为10°．

【点睛】

本题考查三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，同圆的半径相等的性质，是基础知识比较简单，求出∠BCD的度数是解题的关键．

2．如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值.

【答案】的最大值为.

【解析】

【分析】

由和组成的弦，在中，弦最长为直径14，而可求，所以的最大值可求.

【详解】

连结，，

∵    ∴

∴为等边三角形，

∵点，分别是，的中点

∴，∵ 为的一条弦

∴最大值为直径14    ∴的最大值为.

【点睛】

利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.

3．如图，点E为⊙O的直径AB上一个动点，点C、D在下半圆AB上（不含A、B两点），且∠CED=∠OED=60°，连OC、OD

（1）求证：∠C=∠D；

（2）若⊙O的半径为r，请直接写出CE+ED的变化范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）r＜CE+ED＜2r

【分析】

（1）延长CE交⊙O于D′，连接OD′，由已知求得∠AEC=60°，进而求得∠DEO=∠D′EO=60°，根据圆是轴对称图形即可证得∠D=∠D′，ED=ED′，然后根据等腰三角形的性质求得∠D′=∠C，从而证得结论；
（2）证得∠COD′＞60°，从而证得CD′＞OC=OD′，由CD′＜OC+OD′，CE+ED=CE+ED′=CD′，从而得出r＜CE+ED＜2r．

【详解】

证明：（1）延长CE交⊙O于D′，连接OD′

∵∠CED=∠OED=60°，

∴∠AEC=60°，

∴∠OED′=60°，

∴∠DEO=∠D′EO=60°，

由轴对称的性质可得∠D=∠D′，ED=ED′，

∵OC=OD′，

∴∠D′=∠C，

∴∠C=∠D；

（2）∵∠D′EO=60°，

∴∠C＜60°，

∴∠C=∠D′＜60°，

∴∠COD′＞60°，

∴CD′＞OC=OD′，

∵CD′＜OC+OD′，

∵CE+ED=CE+ED′=CD′，

∴r＜CE+ED＜2r．

【点睛】

本题考查了轴对称的性质，轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形三边之间的关系，圆是轴对称图形是本题的关键．

4．（问题提出）用n个圆最多能把平面分成几个区域？

（问题探究）为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．

探究一：如图1，一个圆能把平面分成2个区域．

探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？

如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域．

探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？

如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域．

（1）用4个圆最多能把平面分成几个区域？

仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．

（2）（一般结论）用n个圆最多能把平面分成几个区域？

为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成______________部分，从而增加___________________个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成__________________个区域．（将结果进行化简）

（3）（结论应用）

①用10个圆最多能把平面分成_________个区域；

②用___________个圆最多能把平面分成422个区域．

【答案】（1）在探究三的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增的圆分成部分，从而增加6个区域，所以，用4个圆最多能把平面分成14个区域；（2）；；；（3）①92；②21

【分析】

（1）在探究三的基础上，新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增的圆分成部分，所以，用4个圆最多能把平面分成2+2×1+2×2+2×3个区域；

（2）为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成（2n-2）部分，从而增加（2n-2）个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成2+2×1+2×2+2×3+2×4+…+2(n-1)区域求和即可;

（3）①用n=10，代入规律，求代数式的值即可；

②设n个圆最多能把平面分成422个区域，利用规律构造方程，可得方程解方程即可．

【详解】

解：（1）在探究三的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增的圆分成部分，从而增加6个区域，所以，用4个圆最多能把平面分成2+2×1+2×2+2×3=14个区域；

（2）为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成（2n-2）部分，从而增加（2n-2）个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成区域数为

2+2×1+2×2+2×3+2×4+…+2(n-1)，

=2+2(1+2+3+…+n-1)，

=2+2，

，

=;

故答案为：（2n-2）；（2n-2）；；

（3）①用10个圆，即n=10，；

②设n个圆最多能把平面分成422个区域，

可得方程，

整理得，

因式分解得，

解得或（舍去），

∴用21个圆最多能把平面分成422个区域．

故答案为：21．

【点睛】

本题考查图形分割规律探究问题，圆与圆的位置关系，利用新增圆被原来每个圆都分成两个交点，其交点数就是新增区域数，发现规律后列式求和，利用规律解决问题，涉及数列n项和公式，代数式求值，解一元二次方程，仔细观察图形，掌握所学知识是解题关键．