人教版九年级上册22.1.1 二次函数课时作业

第二十二章 二次函数

提分小卷

（考试时间：50分钟  试卷满分：100分）

一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2021·宣城市第六中学九年级月考）已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据二次函数的定义判断即可；

【详解】y＝2x﹣1是一次函数；y＝﹣2x2﹣1是二次函数；y＝3x3﹣2x2不是二次函数；

④y=2（x+3）2-2x2，不是二次函数；

y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数；故二次函数有1个；故答案选A．

【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确判断是解题的关键．

2．（2021·四川成都市·九年级二模）下列关于二次函数的说法，正确的是（    ）

A．对称轴是直线 B．当时有最小值

C．顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而减少

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．

【详解】解：由二次函数可知对称轴是直线，故选项A错误，不符合题意；

由二次函数可知开口向上，当时有最小值，故选项B正确，符合题意；

由二次函数可知顶点坐标为（3，-5），故选项C错误，不符合题意；

由二次函数可知顶点坐标为（3，-5），对称轴是直线，当x＜3时，y随x的增大而减小，故选项D错误，不符合题意；故选：B．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性．

3．（2020·江苏徐州初三二模）把抛物线y＝x2﹣2x+4向左平移2个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的顶点坐标是（    ）

A．(3，﹣3) B．(3，9) C．(﹣1，﹣3) D．(﹣1，9)

【答案】C

【分析】先得到抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标为（1，3），则把点（1，3）向左平移2个单位，再向下平移6个单位后得到（﹣1，﹣3）．

【解析】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），

∴把点（1，3）向左平移2个单位，再向下平移6个单位得到（﹣1，﹣3）．故选：C．

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：把抛物线y=a（x-k）2+h平移的问题转化为抛物线的顶点（k，h）平移问题进行解决．

4．（2021·河南驻马店市·九年级一模）设，，是抛物线图象上的三点，则，，的大小关系为（      ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．

【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴是直线x=1，∴当x>1时，y随x的增大而增大，

∴关于直线x=1的对称点是，∵2<3<6，∴．故选A．

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．

5.（2021·河南九年级二模）若二次函数的图象与轴无交点，则的取值范围为（    ）

A．     B．     C．且    D．且

【答案】B

【分析】令y=0，计算即可求得m的取值范围，并且注意题意二次函数的定义，二次项系数不为0

【详解】是二次函数  则

令y=0，即    解得： 故选B

【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数与一元二次方程的关系，计算是解题的关键．

6．（2021·北京九年级二模）如图，小聪要在抛物线y ＝x（2-x）上找一点M（a，b），针对b的不同取值，所找点M的个数，三个同学的说法如下，小明：若b＝-3，则点M的个数为0；

小云：若b ＝ 1，则点M的个数为1；小朵：若b ＝ 3，则点M的个数为2．下列判断正确的是（    ）．

A．小云错，小朵对 B．小明，小云都错 C．小云对，小朵错 D．小明错，小朵对

【答案】C

【分析】根据题意，分、、三种情况，结合二次函数、一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案．

【详解】∵点，当时，则，整理得，

∵，∴有两个不相等的值，∴点的个数为2；

当时，则，整理得，

∵，∴有两个相同的值，∴点的个数为1；

当时，则，整理得，

∵，∴点的个数为0；∴小明错，小云对，小朵错故选：C．

【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．

7．（2020·北京初三三模）已知点在同一个函数的图象上，这个函数可能是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由点的坐标特点，可知函数图象关于轴对称，于是排除选项；再根据的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即，故选项正确．

【解析】点与点关于轴对称；

由于的图象关于原点对称，因此选项错误；

由可知，在对称轴的右侧，随的增大而减小，

对于二次函数只有时，在对称轴的右侧，随的增大而减小，选项正确，故选．

【点睛】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．

8．（2020·浙江九年级期末）函数的部分图象如图所示：则方程的解是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】根据图象可得抛物线与y轴交点以及对称轴，从而得到（0，3）关于对称轴对称的点，再结合抛物线与方程的关系即可得到结果．

【详解】解：根据图象可以得到：图象与y轴的交点是（0，3），对称轴是直线x=-2，

则（0，3）关于对称轴对称的点为（-4，3），

的解表示抛物线与直线y=3的交点横坐标，

∴解为：x1=-4，x2=0，故选D．

【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，正确求得抛物线与直线y=3的交点是关键．

9．（2021·山东德州市·九年级期末）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（  ）

A．柱子的高度为               

B．喷出的水流距柱子处达到最大高度

C．喷出的水流距水平面的最大高度是

D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外

【答案】C

【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．

【详解】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴当x=0时，y=3，即OA=3m，故A正确，

当x=1时，y取得最大值，此时y=4，故B正确，C错误

当y=0时，x=3或x=-1（舍去），故D正确，故选：C．

【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．

10．（2020·湖北省初三月考）已知，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc0；②a+b+c=2；③b2-4ac＞0；④a＜；⑤b＞1，其中正确结论有（  ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】B

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，由对称轴及抛物线上过点（1，2），从而对所得结论进行判断．

【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上可得a＞0，交y轴于负半轴可得c＜0，由-＜0，可得b＞0，∴abc＜0，故①错误，∵当x=1时，y=2，∴a+b+c=2；故②正确，
∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0；故③正确，∵由图可知，当x=-1时，对应的点在第三象限，将x=-1代入y=ax2+bx+c，得a-b+c＜0∴将a-b+c＜0与a+b+c=2相减，得-2b＜-2，即b＞1，故⑤正确，∵对称轴x=-＞-1，解得：a＞，又∵b＞1，∴a＞，故④错误．∴说法正确的有：②③⑤，共计3个；故选：B．

【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置； ③常数项c决定抛物线与y轴交点；④抛物线与x轴交点个数，由△的大小决定．

二、填空题：本题共5个小题，每题4分，共20分。

11．（2020·苏州市平江中学校九年级期中）二次函数的图象经过原点，则__________．

【答案】3

【分析】根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出m的值，还需要考虑二次项系数不能为零．

【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式，

得，整理得，解得，

∵，∴，∴．故答案为：3．

【点睛】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．

12．（2021·北京九年级二模）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线x＝4；乙：顶点到x轴的距离为2，请你写出一个符合条件的解析式：_________．

【答案】（答案不唯一）．

【分析】由题意，得到抛物线的顶点坐标为或，然后判断开口方向，即可得到抛物线的解析式．

【详解】解：根据题意，∵抛物线的对称轴是直线x＝4，顶点到x轴的距离为2，

∴抛物线的顶点坐标为或，

∴符合条件的解析式为：；（答案不唯一）

故答案为：．（答案不唯一）

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握题意，正确得到抛物线的顶点坐标．

13．（2020.成都市初三期末）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示）．对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为                 

【答案】

【解析】由图可知，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm，所以点C的纵坐标为0，横坐标的绝对值为，即点C（-3,0），因为点F与点C关于y轴对称，所以点F（3,0），因为F是抛物线的顶点，设该抛物线为,即为，将点B（-1，1）代入得，，即.

点评：该题是常考题，主要考查学生对二次函数解析式中顶点式的应用。

【考点】待定系数法求解析式

14．（2020·江苏省南通田家炳中学初三其他）已知二次函数中函数y与自变量x之间部分对应值如下表所示，点在函数图象上

则表格中的m＝______；当时，和的大小关系为______．

【答案】-1       

【分析】根据二次函数图象的对称性确定其对称轴，根据对称轴公式求出b的值，代入表格中的坐标求出c的值，然后根据二次函数的对称性及增减性判断和的大小关系．

【解析】根据图表知，当x=1和x=3时，所对应的y值都是n，

∴抛物线的对称轴是直线x=2，∴ ，b=4  ∴

把(2，3）代入得：c=-1 ∴   把x=0代入得：m=-1
又∵对称轴是直线x=2， ∵，关于对称轴的对称点在4和5之间，
∵该二次函数的图象的开口方向是向下，当x＞2时，y随x的增大而减小，∴y1＜y2，

故答案为：-1；y1＜y2

【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的纵坐标的大小是解此题的关键．

15．（2020·江苏省初三模拟）二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示,若线段AB在x轴上,且AB为2个单位长度,以AB为边作等边△ABC,使点C落在该函数y轴右侧的图象上,则点C的坐标为__     . 

【答案】(1+,3)或(2,-3).

【分析】△ABC是等边三角形，且边长为2，所以该等边三角形的高为3，又点C在二次函数上，所以令y=±3代入解析式中，分别求出x的值．由因为使点C落在该函数y轴右侧的图象上，所以x＞0．

【解析】解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2，∴AB边上的高为3，

又∵点C在二次函数图象上，∴C的纵坐标为±3，

令y=±3代入y=x2-2x-3，∴x=1±或0或2
∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，∴x＞0，∴x=1+或x=2
∴C（1+，3）或（2，-3）故答案为：（1+，3）或（2，-3）

【点睛】本题考查二次函数的图象性质，涉及等边三角形的性质，分类讨论的思想等知识，题目比较综合，解决问题的关键是根据题意得出C的纵坐标为±3．

三、解答题：本题共5个小题，每题10分，共50分。

16．（2020•绍兴.中考真题）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）

【分析】（1）求出抛物线表达式；再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；（2）当y＝0时，y（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝68.4，即可求解．

【详解】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，

将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a，

故抛物线的表达式为：y（x﹣7）2+2.88；

当x＝9时，y（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，

当x＝18时，y（x﹣7）2+2.88＝0.46＞0，

故这次发球过网，但是出界了；

（2）如图，分别过点O，P作边线的平行线交于点Q，

在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，

当y＝0时，（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），

∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝68.4，

∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处．

17．（2021·浙江绍兴市·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径，且点A，B关于y轴对称，杯脚高，杯高，杯底MN在x轴上．

（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）．

（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高CO不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）确定B点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；（2）利用杯深 CD′ 与杯高 OD′ 之比为0.6，求出OD′ ，接着利用抛物线解析式求出B'或A'横坐标即可完成求解．

【详解】解：（1）设，∵杯口直径 AB=4 ，杯高 DO=8 ，∴

将，代入，得，．

（2），，，，

当时，，或，，

即杯口直径的长为．

【点睛】本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等．

18．（2021·江苏南京市·九年级二模）已知二次函数．

（1）若图像经过点．①的值为______；②无论为何值，图像一定经过另一个定点______．

（2）若图像与轴只有1个公共点，求与的数量关系．

（3）若该函数图像经过，写出函数图像与坐标轴的公共点个数及对应的的取值范围．

【答案】（1）①2；②；（2）；（3）图像与坐标轴有1个公共点时，；图像与坐标轴有2个公共点时，或；图像与坐标轴有3个公共点时，或且．

【分析】（1）①把点代入即可求得；②把代入求得，即可证明图像一定过另一个定点；（2）根据题意，即可得到；（3）由题意得，计算出，分三种情况得到关于m的不等式组，和方程组，即可．

【详解】（1）①∵二次函数过点，∴n=2，故填：2；

②当时，=2，

∴无论m为何值，图像一定经过另一个定点，故答案为：；

（2）∵图像与x轴有1个公共点，∴当y=0时，

方程有两个相等的实数根，∴且，

即，∵，∴，∴；

（3）∵函数图像经过，∴即,

∴，∴，

①当图像与坐标轴有1个公共点时，即与x轴没有交点,，

则或，解得，

②当图像与坐标轴有2个公共点时，即与x轴只有1个交点或者函数过原点,

当函数与x轴只有1个交点时,，解得，

当函数过原点时,,解的,

故当或时,函数与坐标轴有2个交点;

③当图像与坐标轴有3个公共点时，即与x轴有2个不同的交点,且函数不过原点,

则或，解得或且，

综上所述：图像与坐标轴有1个公共点时，，

图像与坐标轴有2个公共点时，或，

图像与坐标轴有3个公共点时，或且．

【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，分类讨论是解题的关键．

19．（2021·安徽中考真题）已知抛物线的对称轴为直线．

（1）求a的值；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．

【答案】（1）；（2），见解析；（3）

【分析】（1）根据对称轴，代值计算即可（2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果

（3）先根据求根公式计算出，再表示出，=，即可得出结论

【详解】解：（1）由题意得：

（2）抛物线对称轴为直线，且当时，y随x的增大而减小，

当时，y随x的增大而增大．当时，y1随x1的增大而减小，

时，，时，同理：时，y2随x2的增大而增大

时，． 时，  

（3）令     

   令   

AB与CD的比值为

【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点

20．（2020·河北初三其他）某公司计划生产甲、乙两种产品，公司市场部根据调查后得出：甲种产品所获年利润（万元）与投入资金（万元）成正比例；乙种产品所获年利润（万元）与投入资金（万元）的平方成正比例，并得到表格中的数据．设公司计划共投入资金（万元）（为常数且）生产甲、乙两种产品，其中投入乙种产品资金为（万元）（其中），所获全年总利润（万元）为与之和．（1）分别求和关于的函数关系式；（2）求关于的函数关系式（用含的式子表示）；

（3）当时，①公司市场部预判公司全年总利润的最高值与最低值相差恰好是40万元，请你通过计算说明该预判是否正确；②公司从全年总利润中扣除投入乙种产品资金的倍（）用于其它产品的生产后，得到剩余利润（万元），若随增大而减小，直接写出的取值范围．

【答案】（1），；（2）； （3）①正确；②

【分析】（1）y1（万元）、y2（万元）与投入资金n、n2（万元）成正比例，要确定解析式，只要找直线上一点，y1（万元）上（2，1），y2（万元）上（4，0.1）即可

（2）设公司计划共投入资金m（万元），投入乙种产品资金为x（万元），投入甲种产品资金为（m-x）（万元），代入即可，

（3）①由，得，配方得利用二次函数开口向上，对称轴右侧，函数的性质，取最大值与最小值作差即可，

②设剩余年利润为，由①知年利润，可得剩余年利润为：，对称轴为，，抛物线开口向上，在对称轴左侧，剩余年利润为与x的增大而减小，只要投资额在对称轴左侧取值，即，又知0<k≤3，取公共部分即可．

【解析】解：（1）由题意，设，由表格数据可得，，解得∴．

设，由表格数据可得，，解得，∴．

（2）由题意可知，投入乙种产品资金为万元，则投入甲种产品资金为万元，

则有，即．

（3）①由，得，

∵，抛物线开口向上，对称轴为，∴当时，，

当时，，，∴该预判正确．

②．设剩余年利润为，由题意可得：，

对称轴为，，抛物线开口向上，

若要满足全年利润随增大而减小，，

则必有，解得，又，∴．

【点睛】本题考查正比例函数，复合函数，剩余利润函数问题，关键是掌握正比例函数的求法，再列出复合函数，统一自变量，读懂题的含义列出剩余利润函数．