初中数学22.1.1 二次函数课堂检测

第16课  《二次函数》全章复习与巩固

知识点01  二次函数的定义

一般地，如果                    （a,b,c是常数，且），那么y叫做x的二次函数.
要点诠释：

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．

这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．

a的绝对值越大，抛物线的                    .

知识点02  二次函数的图象与性质

1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　　①；②；③；④ ，
　　其中；⑤.（以上式子a≠0）
　　几种特殊的二次函数的图象特征如下：

2.抛物线的三要素：
　　开口方向、对称轴、顶点.
　　(1)a的符号决定抛物线的      ：当时，        ；当时，          ；

相等，抛物线的            .
　　(2)平行于y轴(或重合)的直线记作        .特别地，y轴记作直线              .
3.抛物线中，的作用：
　　(1)a决定          ，这与中的a完全一样.
　　(2)b和a共同决定抛物线         的位置.由于抛物线的对称轴是直线         ，
　故：①时，对称轴为             ；

② (即a、b同号)时，对称轴在y轴             ；

③ (即a、b异号)时，对称轴在y轴             .
　　(3)c的大小决定抛物线与              .
　 　　当时，，

∴抛物线与y轴有且只有一个交点  ：
①，抛物线经过              ；

②，与y轴交于              ；

③，与y轴交于              .
　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 .

4.用待定系数法求二次函数的解析式：
　　(1)一般式：.已知图象上         ，通常选择一般式.
　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的             ，通常选择顶点式.
　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
　　(3)“交点式”：已知图象与             ，通常选用交点式：
　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).

要点诠释：

求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

知识点03  二次函数与一元二次方程的关系

　　函数，当y=0时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与         ，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时         ，则方程有两个不相等实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时         ，则方程有两个相等实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时             ，则方程没有实根.

　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：

要点诠释：

    二次函数图象与x轴的交点的个数由         的值来确定.

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时            ，则方程有两个不相等实根；

　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时        ，则方程有两个相等实根；

　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时        ，则方程没有实根.

知识点04  利用二次函数解决实际问题

利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
　　(1)建立适当的平面直角坐标系；
　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.

要点诠释：

常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
 

考法01   求二次函数的解析式

【典例1】已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在x轴上截得的线段长为6，求抛物线的解析式．

【即学即练1】已知抛物线（m是常数）． 

（1）求抛物线的顶点坐标；  （2）若，且抛物线与轴交于整数点，求此抛物线的解析式．

考法02   根据二次函数图象及性质判断代数式的符号

【典例2】如图，二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：

①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为

其中正确的结论个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

考法03  数形结合

【典例3】已知平面直角坐标系xOy(如图所示)，一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MO＝MA，二次函数的图象经过点A、M．

    (1)求线段AM的长；

    (2)求这个二次函数的解析式；

(3)如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数 的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．

考法03  函数与方程

【典例4】某体育用品店购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≧60）元，销售量为y套．

（1）求出y与x的函数关系式；

（2）当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？

（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？

【即学即练2】抛物线与直线只有一个公共点，则b=________．

【即学即练3】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

　　(1)写出方程 的两个根；
　　(2)写出不等式的解集；
　　(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
　　(4)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

考法04  分类讨论

【典例5】若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是(    )．

        A．     B．4    C．或4    D．4或

考法05  与二次函数有关的动点问题

【典例6】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2-（m+n）x+n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．
（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．