初中数学北师大版八年级下册2 平行四边形的判定一课一练

平行四边形的判定定理（基础）

【学习目标】

1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形．

2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题．

【要点梳理】

要点一、平行四边形的判定

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

要点诠释：

（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个

行四边形时，应选择较简单的方法.

（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.

【典型例题】

类型一、平行四边形的判定 

1、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．

【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．

【答案与详解】

 证明：∵  四边形AECF为平行四边形，

       ∴  AF∥CE．

       ∵  四边形DEBF为平行四边形，

       ∴  BE∥DF．

∴  四边形EGFH为平行四边形．

【总结升华】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质，又可以用来判定一个四边形是平行四边形，即平行四边形的两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

举一反三：

【变式】（2015•厦门校级一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．

【答案】

证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E，

∴∠1=∠2，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠F，

∵CE=CF，

∴∠F=∠3，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AD∥BC，

∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

2、（2020•青海）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：

（1）DE=BF；

（2）四边形DEBF是平行四边形．

【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得DE=BF．

（2）首先判断出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF是平行四边形即可．

【答案与详解】

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CB，AD=CB，

∴∠DAE=∠BCF，

在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF，

∴DE=BF．

（2）由（1），可得△ADE≌△CBF，

∴∠ADE=∠CBF，

∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，

∴∠DEF=∠BFE，

∴DE∥BF，

又∵DE=BF，

∴四边形DEBF是平行四边形．

【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，以及全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．

3、（2020•张掖校级模拟）已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．

求证：四边形PBQD是平行四边形．

【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明．

【答案与详解】

证明：连接BD交AC与O点，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO，BO=DO，

又∵AP=CQ，

∴AP+AO=CQ+CO，

即PO=QO，

∴四边形PBQD是平行四边形．

【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．

举一反三：

【变式】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．试说明：D是BC的中点.
 

【答案】

∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=BD，
∵AF=DC，
∴BD=DC，
∴D是BC的中点.

类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用

4、如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．
（1）猜想探究：BE与DF之间的关系： 平行且相等________________.
（2）请证明你的猜想．

【思路点拨】（1）BE平行且等于DF；
（2）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF即可．

【答案与详解】

（1）解：BE和DF的关系是：BE=DF，BE∥DF，
故答案为：平行且相等．

（2）证明：连接BD交AC于O，
∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴BFDE是平行四边形，
∴BE=DF，BE∥DF．

【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理是你解决本题的关键，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．

举一反三：

变式：如图，在ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．请你猜想BE与DF的关系，并说明理由．

【答案】

解：猜想BE与DF的关系是BE=DF，BE∥DF，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴AD-AE=BC-CF，
即DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF，BE∥DF．

5、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．
（1）求证：PA=PC．
（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD的面积．

【思路点拨】（1）首先在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF，可得PN=PM，则易证四边形EMFN是平行四边形，则可得ME=FN，∠EMA=∠CNF，即可证得△EAM≌△FCN，则可得PA=PC；
（2）由PA=PC，EP=PF，可证得四边形AFCE为平行四边形，易得△PED≌△PFB，则可得四边形ABCD为平行四边形，由AB=15，AD=12，∠DAB=60°，即可求得四边形ABCD的面积．

【答案与详解】

（1）证明：在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF．
∵AP+AE=CP+CF，
∴PN=PM．
∵PE=PF，
∴四边形EMFN是平行四边形．
∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．
又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，
∴△EAM≌△FCN．
∴AM=CN．
∵PM=PN，
∴PA=PC．
（2）解：∵PA=PC，EP=PF，
∴四边形AFCE为平行四边形．
∴AE∥CF．
∵∠PED=∠PFB，∠EPD=∠FPB，EP=PF，
∴△PED≌△PFB．
∴DP=PB．
由（1）知PA=PC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，
∴四边形ABCD的面积为90．

【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质等知识．此题图形比较复杂，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．