第9讲 2023高考热点分类提分复习 超难数压轴小题----导数与函数归纳

第9讲 超难数压轴小题
——导数和函数归类（1）

目录

【题型一】 整数解 2
【题型二】 零点 6
【题型三】 同构 10
【题型四】 恒成立求参：移项讨论型 12
【题型五】 恒成立求参：代入消参型（虚设根型） 16
【题型六】 恒成立求参：构造函数 20
【题型七】 恒成立求参：分离参数（常规） 24
【题型八】 恒成立求参：分离参数（洛必达法则） 27
【题型九】 恒成立求参：倍函数 29
【题型十】 恒成立求参：双函数最值型 33
【题型十一】 数列与导数 37







热点题型总结
【题型一】 整数解
【典例分析】
在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由，化简得：，
设，，则原不等式即为.若，则当时，，，
原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴.∵，，∴.
当，即时，设，则.
设，则在单调递减，所以，所以在单调递减，∴，
∴当时，，∴在上为减函数，即，
∴当时，不等式恒成立，原不等式的解集中没有大于2的整数.
要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则f3>g3f4>g4f5≤g5，即e2>2ae34e2>3ae49e2≤4ae5，解得.
则实数的取值范围为.故选：D


【提分秘籍】
基本规律
1.通过函数讨论法，参变分离，数形结合等来切入
2.讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题



【变式演练】
1.已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：函数，若存在唯一的正整数，使得。等价于存在唯一的正整数，使得不等式成立，令，则，由得，由得
所以函数在区间上递增，在区间上递减。所以，
直线过定点，作出函数和直线图像如下：
由图可得要使存在唯一的正整数使得不等式成立
必有所以实数的取值范围是
故选：C.
2.已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式在上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为偶函数满足，所以，即，
所以函数是以6为周期的周期函数，当时，，所以，
当时，，函数递增；当时，，函数递减；
当当时，函数取得极大值，作出函数在上的图象，如图所示：

因为不等式在上有且只有150个整数解，
所以不等式在上有且只有3个整数解，
当时，不符合题意，故不等式在上有且只有3个整数解，
因为，所以，即，
故不等式在上的3个整数解分别为-2，2，3，
所以，，即，故选：B
3.已知对任意实数，关于的不等式在上恒成立，则的最大整数值为
A．0 B． C． D．
【详解】令，依题意，对任意，当时，图象在直线下方，∴列表
得的大致图象
则当时，∵，∴当时不成立；
当时，设与相切于点.
则，解得.
∴，故成立，∴当时,.故选B.
【题型二】 零点
【典例分析】
已知函数，若方程有3个不同的实根，，（），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，故可得，令，解得，
故可得在区间单调递增，在单调递减，在单调递增.
又，，且当趋近于负无穷时，趋近于零，故的图象如下所示：
故若方程有3个不同的实根，则，又因为，故，不妨令，则，令，解得，
容易知在区间单调递减，在单调递增.故可得，又<故可得，则，即.故选：B


【提分秘籍】
基本规律
求零点或者讨论零点求参
1.函数讨论法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
3.数形结合法：构造两个函数，利用数形结合的方法求解.（常规题是函数与直线，较复杂的，就需要构造需要借助求导来画图的函数了）


【变式演练】
1.已知，若存在唯一的零点，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：当时，，解得，函数有两个零点，不符合题意，应舍去；
当时，令，解得或，列表如下：
x

0





0

0


单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
，，而，
存在，使得，
不符合条件：存在唯一的零点，且，应舍去，
当时，，
解得或，
列表如下：
x



0



0

0


单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
而，时，，存在，使得，
存在唯一的零点，且，极小值，化为，
，，综上可知：a的取值范围是．故选:．
2.已知函数，设方程的3个实根分别为，且，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
由题设，的定义域为，且，
∴当时，，即递减；当时，，即递增.
∴，又在上逐渐变小时逐渐趋近于0，当时且随趋向于0，趋向无穷大.
∴的图象如下：

∵的定义域为，由可得：在上必有两个不等的实根(假设)且，
∴令，要使的3个实根，则、，即，可得.
∴由知：，，∴.故选：B.
3.已知函数，对于正实数a，若关于t的方程恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
因为，，令得：；令得：，所以在区间单调递增，在单调递减，且时，恒成立，的图像如下：

令，则 ，且
①当时，，成立，所以是方程的一个实数根
②当时，由得：，令
则： ，两式相减得： ，两式相加得：
所以：，由对数均值不等式得：
所以：，且，所以，，即：
所以 故选：D



【题型三】 同构
【典例分析】
定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
解：因为
所以f'(x)=mex+(x+1)[lnm﹣ln(x+1)]+1，f″(x)=mex+lnm﹣ln(x+1)﹣1，
因为在区间(﹣1，+∞)上为“凹函数”，
所以f''(x)=mex+lnm﹣ln(x+1)﹣1>0对任意x∈(﹣1，+∞)都成立，因为mex+lnm﹣ln(x+1)﹣1>0⇔mex+lnm>ln(x+1)+1
⇔ex+lnm+(x+lnm)>ln(x+1)+(x+1)⇔ex+lnm+(x+lnm)>eln(x+1)+ln(x+1)，且g(x)=ex+x在(﹣∞，+∞)是增函数，
所以ex+lnm+(x+lnm)>eln(x+1)+ln(x+1)⇔x+lnm>ln(x+1)⇔lnm>ln(x+1)﹣x，
由题意，lnm>h(x)=ln(x+1)﹣x的最大值， ， ， ， 单调递增；
，单调递减， ，
即lnm>0，所以m>1，故选：A



【提分秘籍】
基本规律
1.注意同构法在解题中的应用，对于常见形式的同构要熟练运用,如 =.
2.注意同构技巧在试题中的转化意识，适当淡化那种“同构就结束解题”的题型。区别就是如练习1和3。




【变式演练】
1.已知函数，，若对恒成立，求实数的取值范围．
解析：由题意得：
右边式子凑1得
即，因为
当且仅当等号成立，所以满足即可
当且仅当，即等号成立，所以.
2.已知不等式对恒成立，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
不等式对恒成立，即对恒成立，令，，而在单调递增（增+增），且，所以（x0唯一），使得.
则时，，单调递减，时，，单调递增.所以
根据，
所以，所以.
3.设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解：因为，所以，因为，所以，即，
设函数，，，所以函数在为增函数，
所以所以，设函数，，
所以函数在为增函数，在为减函数，所以，
所以的最大值为，故选：A.




【题型四】 恒成立求参：移项讨论型
【典例分析】
若，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
，，
令，则，而成立，
当时，，即在上递增，当时，
于是有当时，恒有，
当时，由得，有，有，即在上递减，
当时，，即成立，不符合题意，
综上：，
所以实数的取值范围为.
故选：A


【提分秘籍】
基本规律
1.移项含参讨论是所有导数讨论题的基础，也是学生日常训练的重点。
2.讨论点的寻找是关键。
3.一些题型，可以适当的借助端点值来“压缩”参数的讨论范围


【变式演练】
1.若关于的不等式对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：设，则对一切正实数恒成立，即，
由，令，则恒成立，所以在上为增函数，
当时，，当时，，则在上，存在使得，
当时，，当时，，故函数在上单调递减，在，上单调递增，
所以函数在处取得最小值为，
因为，即，所以恒成立，即，
又，当且仅当，即时取等号，故，所以．故选：C．
2.已知函数，，若有最小值，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】
，，
构造函数，其中，则.
①当时，对任意的，，则函数在上单调递减，
此时，，则对任意的，.
此时，函数在区间上单调递增，无最小值；
②当时，解方程，得.
当时，，当时，，
此时，.
（i）当时，即当时，则对任意的，，
此时，函数在区间上单调递增，无最小值；
（ii）当时，即当时，，当时，，
由零点存在定理可知，存在和，使得，
即，且当和时，，此时，；
当时，，此时，.
所以，函数在处取得极大值，在取得极小值，
由题意可知，，
，
可得，又，可得，构造函数，其中，
则，此时，函数在区间上单调递增，
当时，则，.
因此，实数的取值范围是，故选C.
3.已知函数，若存在，对于任意，都有，则实数a的取值范围是________.
【详解】设，由b的任意性，结合题意可知，对于任意，
即，
又，易知函数在单调递减，在上单调递增，
①当时，在上单调递增，
则
故，解得，此时无解.
②当时，在上单调递减，
则故，解得
③当时，在上单调递减，在上单调递增，
则,
故只需且
记函数，则，函数在上递增，
则，
记函数则，
函数在上递减，则
故当时，且恒成立，满足题意，
综上所述，实数a的取值范围为，故答案为：



【题型五】 恒成立求参：代入消参型（虚设根型）
【典例分析】
设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】令，只需要上恒成立，
∵且，
∴，即在上单调递增，
∵，，
∴，使，即，∴时，，单调递减；时，，单调递增；
故只需，令，
∴，故在上递减，而，
∴时，恒成立，可知. 故选：C


【提分秘籍】
基本规律
1.代入消参，也是压轴大题的一个类型。
2.解题框架（主要的）：
（1）导函数（主要是一阶导函数）等零这一步，有根但不可解。但得到参数和的等量代换关系。备用
（2）知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根
（3）利用与参数互化得关系式，先消掉参数，得出不等式，求得范围。
（4）再代入参数和互化式中求得参数范围。



【变式演练】
1.已知函数有唯一零点，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】函数的定义域为，则，，
则，所以，函数在上为增函数，
当时，，当时，，
则存在，使得，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，，
由于函数有唯一零点，则，
由，解得，
所以，，
令，其中，

，
，则，，，则，
所以，函数在上单调递减，且，，
从而可得，解得.故选：C.
2.已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

【详解】
由题可得对任意恒成立，等价于对任意恒成立，
令，则，令，则，
在单调递增，，
存在唯一零点，且，使得，
在单调递减，在单调递增，，
，即，
令，显然在单调递增，则，即，
则，.故选：A.
3.若对任意x∈（0，+∞），不等式e2x﹣mln（2m）﹣mlnx≥0恒成立，则实数m的最大值（ ）
A． B．e C．2e D．e2
【详解】令 =e2x﹣mln（2m）﹣mlnx，所以，要ln（2m）有意义,
则 ，当时,，，所以存在，有，
当时，，当时，，
所以，又，
所以，，
所以，，
，因为不等式e2x﹣mln（2m）﹣mlnx≥0恒成立，
所以令，
，所以在上是减函数，又，
当时，，即，又，所以，
所以在时是增函数，所以，
所以实数m的最大值是.故选：B




【题型六】 恒成立求参：构造函数
【典例分析】
已知函数的定义域为，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】函数的定义域为
，即函数在上单调递减.
变形为即
不妨设，则，即
令则
若使得对任意的，恒成立.
则需恒成立.则恒成立.
即恒成立.所以.
即实数的取值范围是.故选：B



【提分秘籍】
基本规律
1.一些复杂结构，需要先构造合理的函数形式，以达到“化繁为简”的目的
2.比较常见的，是绝对值形式，如本专题的【典例分析】






【变式演练】
1.已知函数与的图象恰有三个不同的公共点（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】令，可得，可得.设，则，即.，当时，单调递增且；
当时，单调递减且.作出的图象如图所示.
对于，，
设该方程有两个不同的实根，由题意得共有三个实数根.
若是方程的根，则，即，则方程的另一个根为，不合题意.
若是方程的根，则，即，则方程的另一个根为，不合题意.
所以关于的方程的两根(不妨令)满足.
所以解得.故选A.


2.对于任意，，当时，恒有成立；则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】对于任意，，当时，恒有成立，
即成立，
令，∴，
∴在上单调递减，
∴在恒成立，∴在恒成立，
∵当，，∴实数的取值范围为，故选C.
3.已知函数满足，若对任意正数都有，则的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】
由题得,所以


所以当时,,单调递增,当时, ,单调递减.
所以
所以，所以在上单调递减.
因为
所以
令，u(x)是一个增函数，
所以x>1.故选D.




【题型七】 恒成立求参：分离参数（常规）
【典例分析】
设函数，若时，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】时，即，对成立.∴.
令，则令，即，解得.
令，即，解得∴在上是减函数，在上是增函数.
∴∴.故选：B



【提分秘籍】
基本规律
分离参数：将参数提取到单独的一侧，然后通过求解函数的最值来求解参数的取值范围，
1.分离参数思维简单，不需过多思考；
2.缺点是，首先得能分参，其次求导计算可能十分麻烦，甚至需要二阶，三阶。。等等求导。





【变式演练】
1.不等式对任意恒成立，则实数的取值范围
A． B． C． D．
【详解】
题意即为对恒成立，
即对恒成立，从而求，的最小值，而故即
当时，等号成立，方程在内有根，
故，所以，故选D．
2.已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是____．
【详解】∵ 恒成立，∴ 恒成立.∴
又 设，则∴ 时，，函数为增函数
时，，函数为减函数，又时，∴
设则恒成立，所以在区间内单调递增，
所以，故所以实数的取值范围为.
故答案为：.


3.已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为________.
【详解】
依题意，对任意，恒成立，
令，则.，
令，则，所以在上单调递增，又，
所以，当时，即，单调递减；
当时，即，单调递增，
所以，故，即实数的最大值为1.故答案为：1
【题型八】 恒成立求参：分离参数（洛必达法则）
【典例分析】
若对恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】
将条件对恒成立转化为对有恒成立
令，则
令，则，，对，有，所以在单调递增；
则，所以在单调递增；
则，所以，故在单调递增，则
由洛必达法则可知，则恒成立
所以，故
故选：A



【提分秘籍】
基本规律
若分离参数后，所求最值恰好在“断点处”，则可以通过洛必达法则求出“最值”





【变式演练】
1.已知函数 (a∈R),若在x∈(0,1］ 时恒成立,则实数a的取值范围是
A．［,+ ∞） B．[,+∞) C．[2,+∞) D．[1,+∞)
【详解】
根据题意，有恒成立，当时，将其变形为恒成立，即，令，利用求得法则及求导公式可求得，令，可得，可得，因为，所以时，，时，，所以函数在时单调减，在时单调增，即，而，所以在上是减函数，且，所以函数在区间上满足恒成立，同理也可以确定在上也成立，即在上恒成立，即在上单调增，且，故所求的实数的取值范围是，故选B.
2.若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】
将等价转化为在上恒成立，令，则，令，则，即在上为增函数，则，所以在恒成立，则在单调递增，则，由洛必达法则，得，所以实数的取值范围是；故选C.



【题型九】 恒成立求参：倍函数
【典例分析】
设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为（且），则称为“倍函数”，若函数为“3倍函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为函数为增函数，由函数为“3倍函数”，即函数的图像与直线有两个不同的交点，设，则，又，所以，
则当时，，当时，，
所以函数在为减函数，在为增函数，
要使的图像与直线有两个不同的交点，则需，即
所以， 所以 所以 所以 所以 即
又，所以 故选A



【提分秘籍】
基本规律
1.倍函数，包括“倍增函数”，“倍缩函数”，“K倍函数”，等等新定义
2.应用函数思想和方程思想。




【变式演练】
1.若存在且，使成立，则在区间上，称为的“倍函数”．设，，若在区间上，为的“倍函数”，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
在恒成立，在上单调递增，
由对数函数单调性知：在上单调递增；
不妨设，
由得：，
．
令，则，在上存在单调递增区间，
即在上有解，
即在上有解，，
令，则，令，则，
，当时，单调递增，
，，即实数的取值范围为.故选：B.
2..对于函数y=f(x)，若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb](k>0)，则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=ex+3x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．(e+，+∞) B．(e+，+∞)
C．(e+2，+∞) D．(e+3，+∞)
【详解】因为f(x)=ex+3x是定义域R上的增函数，所以，即，
所以是方程的两个根，显然不是方程的根，所以，
令，则，当时，，当时，，
所以当时，取得极小值，
当时，，当时，，画出函数图象，如下图所示：
所以所以实数k的取值范围是(e+3，+∞)，故选：D
3.如果存在，且，使成立，则在区间上，称为的“倍函数”．设，，若在区间上，为的“倍函数”，则实数的取值范围为______．
【详解】
由题可知，在上，．因此函数在上单调递增，易知在上单调递增，
不妨设，因为，
所以，即．
令，则，则函数在上存在增区间，
则在上有解，即在上有解，
所以．令，则，令，则，
又，所以单调递增，所以，所以．
所以实数的取值范围为故答案为：




【题型十】 恒成立求参：双函数最值型
【典例分析】
已知函数，，对任意的，总存在使得成立，则a的范围为_________．
【详解】
解：对任意的，总存在使得成立，即恒成立
∵，∴
∴当时，，函数单调递减，
∴当时，，函数单调递增，
∴
当时，，则
记，，，
在上单减，，所以单减，则
，单增，，单减，所以
故当时，．
故实数a的取值范围为．


【提分秘籍】
基本规律
1.形如，最终是归结为求最值
2.一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
3.对于一般同学，如果难以区分，可以简单的总结为一句口诀：对于任意的，不等号大的“小”（min），小的“大”（max），任意改存在，则“大”（max）“小”（min）互换。
4.注意本节练习题3，不等号改成等号，则变成值域之间的包含关系。



【变式演练】
1.已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是______.
【详解】因为存在，，使得成立，所以只需，
因为，当时，当时，，
所以在中单调递减，在中单调递增，所以，
令，则在中的最大值，也就是在中的最大值.
因为
（1）当时，，在中递减，且趋近于0时，趋近于，满足题意；
（2）当时，，，不合题意舍去；
（3）当时，由可得，可得，
∴在中单调递增，在中单调递减，∴，
∴只需，即，令，则.
由可知，，∴在中单调递减，在中单调递增，
又时，，∴的解为，即的解为.
综上所述，所求实数的取值范围是.故答案为：
2.已知f(x)＝ln x－＋，g(x)＝－x2－2ax＋4，若对任意的x1∈(0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，则a的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【解析】
函数 的定义域为，
易知当 时， ，当 时， 所以在 上递减，在 上递增，故 ．
对于二次函数 该函数开口向下，所以其在区间 上的最小值在端点处取得，
所以要使对 使得 成立，只需 或 ，所以
或
解得 故选B．
3.已知函数，若任意给定的，总存在两个不同的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
.
当时，，显然不满足题意；
当时，函数的变化情况如下表所示

0

1

2

0
-
0
+


1


极小值



又时，在上是减函数，
且对任意的值域为，
此时当时，函数上不存在两个使得成立，∴不合题意；
当时，函数的变化情况如下表所示

0

1

2

0
+
0
-


1


极大值



在的最大值为.
又时，在上是增函数，且对任意.
由题意可知.
综上，实数的取值范围是.故选：.




【题型十一】 数列与导数
【典例分析】
已知数列中，，，记，，则下列结正确的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
由，，可得：，故，所以，因为，所以，故，所以与同号，因为，所以，综上：，又因为，可得：，所以，因为，所以，所以，从而，所以不恒成立，选项A不成立
因为，所以恒成立，选项B不成立；
因为，所以，若，则，其中设（），则，所以在上单调递减，其中，当时，，所以
，故有，结合函数的增长速度，显然不恒成立，故选项C错误；
，∴可视为数列的前项和，

∵单调递增，∴，故恒成立，选项D正确.
故选：D




【提分秘籍】
基本规律
数列与不等式结合，常常要进行适当放缩，或利用函数单调性研究数列的单调性，进而求出数列的范围或求和的范围，在求单调性或者最值范围时，可能需要用到函数导数。
如【典例分析】这道题需要构造函数，通过研究其单调性，得到是解题问题的关键.




【变式演练】
1.已知数列满足：.则对于任意正整数n>100，有（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
解：易知，
下证的单调性:
（令，则，当时，，单调递减）
当时，单调递减，则单调递减，则也单调递减，故，
于是B、D不成立.
对于A,
，故A错.
对于C，要证：，
由，只需证 .
由知，只需证得证.
下证，令
当时，，单调递减，当 时，，单调递增，
所以，即恒成立，当取等号.又，故.
故选：C.
2.已知数列满足，满足，，则下列成立的是（ ）
A． B．
C． D．以上均有可能
【详解】
由题设，，，即数列均为正项，
∴，当时等号成立，
当时，有，以此类推可得与题设矛盾，
综上，，故，即.
∵，
∴，
令，则，
当时，即递减，当时，即递增，
∴，故上，即，
∴
故选：C
3.设，数列满足，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【详解】
当时，，即.
则，设，则
，所以在上单调递增,且
所以当时，，则单调递增.
当时，，则单调递减.
所以，所以
所以当时，数列单调递增，则选项A正确，B错误.
当时，，即.
则，设，则
，所以在上单调递增,且
所以当时，，则单调递增.
当时，，则单调递减.
所以,又，
所以一定存在，使得，，使得
当(或)时有，，即.
同理可得，，所以选项C, D不正确.
故选：A












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1.已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．

【详解】∵，
∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减，
当a>0时,f2(x)+af(x)>0⇔f(x)<−a或f(x)>0,此时不等式f2(x)+af(x)>0有无数个整数解，不符合题意；
当a=0时,f2(x)+af(x)>0⇔f(x)≠0,此时不等式f2(x)+af(x)>0有无数个整数解，不符合题意；
当a<0时,f2(x)+af(x)>0⇔f(x)<0或f(x)>−a,要使不等式f2(x)+af(x)>0恰有两个整数解，必须满足f(3)⩽−a 2.（四川省遂宁市2022届高三第一次诊断性考试数学试题）已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
当时，，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则时，.当时，.
作出大致图象，函数恰有5个不同零点，
即方程恰有5个根.令，则需方程.

（l）在区间和上各有一个实数根，令函数，
则解得.
（2）方程（*）在和各有一根时，则即无解.
（3）方程（*）的一个根为6时，可得，验证得另一根为，不满足.
（4）方程（*）的一个根为1时，可得，可知不满足.
综上，.故选：A
3.（山东省2021-2022学年高三10月“山东学情”联考数学试题C）已知，若存在，使得成立，则实数的取值范围为__________．
解：由，得，令： ，即：，
解得：，，
（1）当时， ，则或，，则，
即：，时，为增函数，时，为减函数，
由于存在，使得成立，则要求，成立即可，
且，，，，，
已知时，， ，
①当时，只需，
则： ，解得：或解得：；
②当时，只需或即可，即或，
解得：或，
（2）当时， ，，时，为增函数，
，时，为减函数，
则此时，所以存在，使得成立，解得：.
综上得：实数的取值范围为.
故答案为：.
4.（广东省2022届高三上学期一轮复习联考（四）数学试题）已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【详解】
，
设，，即函数在上单调递增，易得，于是问题等价于函数在R上有两个零点，，
若，则，函数在R上单调递增，至多有1个零点，不合题意，舍去；
若，则时，，单调递减，时，，单调递增.
因为函数在R上有两个零点，所以，
而，
限定 ，记，，即在上单调递增，于是，则时 ，，此时，因为，所以，于是时，.
综上：当时，有两个交点，a的最小整数值为2.
故选：C.
5.（2019届湖北省八校高三第二次联考理科数学）若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】令，，所以，
因为需要保证有意义，所以，所以在上单调递增，
因为当时，，且，所以，使得，
并且当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，且，
所以，，所以
所以，
考虑函数，其中，
根据复合函数单调性可得函数在上单调递减，
因为，所以解得到，所以，
因为在上单调递增，所以，所以的最大值为.故选：C
6.不等式对于定义域内的任意恒成立，则的取值范围为__________.
【详解】
解：已知对于定义域内的任意恒成立，
即对于内的任意恒成立，
令，则只需在定义域内即可，，
，当时取等号，由可知，，当时取等号，
，
当有解时，令，则，在上单调递增，
又，，使得，，
则，所以的取值范围为.故答案为：.
7.设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍胀函数”.若函数为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是________.
【详解】
解：因为函数为“倍胀函数”，且定义域为，所以存在，使在上的值域为.因为为增函数，所以，所以方程有两个不等的实数根.令，则，令，解得.易知在上单调递增，在上单调递减，所以.易知当时，，当时，所以要使方程有两个不等的实数根，只需，得，所以t的取值范围为.
故答案为：
8.对任意的，不等式（其中e是自然对数的底）恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
对任意的N，不等式（其中e是自然对数的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，构造，.
下证，再构造函数，设，令，，在时，，单调递减，即，所以递减，，即，所以递减，并且，所以有，所以，所以在上递减，所以最小值为.∴，即的最大值为。
故选：B。
9.数列，满足，，，若的前项和为，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【详解】由，①得，
，②
①-②得：，即．成立，∴；则．
所以，设，则．
∴在上单调递减，则，即．
令，则．∴，故．
设，则．在上单调递增，
∴，即．令，则．
∴ ．故．
∴．故选D．
10.（黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高三第四次验收考试数学（理科）试题）已知函数，若存在实数使得，则的取值范围是___________；若，则的最大值是___________.
【详解】
，，当时，，单减；当时，单增；当时，，当时，，当时，，，画出大致图象，如图：

，故当时，，单减，当时，，单增，当时，，当时，，当时，，故将画出，如图所示：

由图可知，若，则；
若，，，因为，所以，即，即，
，令，因为，所以，构造，
，当时，，单增，当时，，单减，故，故的最大值是.
故答案为：；