2022-2023学年广东省东莞市九年级上册数学期中专项突破模拟试卷（含解析）

2022-2023学年广东省东莞市九年级上册数学期中专项突破

模拟试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．            B． C． D．

2．一元二次方程x2+3x＝0的解是（　　）

A．x＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x＝3

3．抛物线y＝3（x﹣1）2﹣1的顶点坐标是（　　）

A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）

4．一元二次方程2x2﹣4x+3＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 D．无法确定

5．已知△ABC∽△DEF，且△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，则△ABC与△DEF的相似比是（　　）

A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1

6．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝72°，则∠BAC的度数是（　　）

A．18° B．36° C．54° D．72°

7．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截，AB＝6，BC＝8，DE＝4，则EF的长为（　　）

A．12 B．3 C． D．5

8．若点（0，a），（4，b）都在二次函数y＝（x﹣2）2的图象上，则a与b的大小关系是（　　）

A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定

9．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置．若∠CAB′＝25°，则∠CAC'的度数为（　　）

A．25° B．40° C．65° D．70°

10．如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.

11．点（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为 　            　．

12．将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是         　   　．

13．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件 　   　，使△ADE∽△ABC．

14．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 　   　．

15．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为　   　   　   　   　．

三、解答题（一）：本题共3小题，每小题8分，共24分

16．解方程：x2﹣6x+8＝0．

17．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，连接DE，且∠AED＝∠B，AD＝6，AB＝8，AC＝10，求AE的长．

18．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°．

（1）找到△ABC的外心，画出△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程）

（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，BC＝12，请求出⊙O的面积．

四、解答题（二）：本小题共3小题，每小题9分，共27分.

19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）若x1+x2＝3，求k的值及方程的根．

20．如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线

所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，建立平面直角坐标系，如图．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求水流落地点B离墙的距离OB．

21．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF，∠ABC＝α＝60°，BF＝AF．

（1）求证：DA∥BC；

（2）猜想线段AD、AE的数量关系，并证明你的猜想．

五、解答题（三）：本小题共2小题，每小题12分，共24分.

22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）求证：△ABD∽△DCP；

（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．

23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交BD所在直线于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

（3）点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B，Q，M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（答案与解析）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.

1．解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；

D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：C．

2．解：x2+3x＝0，x（x+3）＝0，

x＝0，x+3＝0，x1＝0，x2＝﹣3，故选：C．

3．解：抛物线y＝3（x﹣1）2﹣1的顶点坐标为（1，﹣1），故选：D．

4．解：∵一元二次方程2x2﹣4x+3＝0的判别式，Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×2×3＝﹣8＜0，

∴一元二次方程2x2﹣4x+3＝0没有实数根．故选：C．

5．解：∵△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，

∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，

∵△ABC∼△DEF，∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，故选：C．

6．解：∵点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝72°，∴∠BAC＝∠BOC＝36°．故选：B．

7．解：∵直线l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，∴EF＝．故选：C．

8．解：∵y＝（x﹣2）2，∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝2，

∴点（0，a），（4，b）离直线x＝2一样近，∴a＝b，故选：C．

9．解：∠BAB′＝∠BAC﹣∠CAB′＝65°﹣25°＝40°，

根据旋转的性质可知∠CAC′＝∠BAB′＝40°．故选：B．

10．解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，

设切点为F，连接AF，则AF⊥BC．

在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，∴CF＝BF＝1．

在Rt△ACF中，AF＝＝，

∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE＝×2×﹣＝﹣，故选：D．

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.

11．解：∵点M（﹣2，3）关于原点对称，

∴点M（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．

故答案为（2，﹣3）．

12．解：∵抛物线y＝x2向上平移3个单位，

∴平移后的解析式为：y＝x2+3．

13．解：∵∠A＝∠A，

∴当∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝时，△ADE∽△ABC，

故∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝（答案不唯一）．

14．解：设此圆锥的母线长为l，根据题意得×2π×6×l＝60π，解得l＝10，

所以此圆锥的母线长为10．故答案为10．

15．解：∵矩形的宽为x（步），且宽比长少12（步），

∴矩形的长为（x+12）（步）．依题意，得：x（x+12）＝864．

故x（x+12）＝864．

三、解答题（一）：本题共3小题，每小题8分，共24分

16．解：x2﹣6x+8＝0，

（x﹣2）（x﹣4）＝0，

x﹣2＝0或x﹣4＝0，

x1＝2，x2＝4．

17．解：∵∠AED＝∠B，∠A公共，

∴△ADE∽△ACB，

∴AD：AC＝AE：AB，

而AD＝6，AB＝8，AC＝10，

∴6：10＝AE：8，

∴AE＝4.8．

18．解：（1）如图，点O为所作；

（2）过A点作AD⊥BC于D，如图，

∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC＝6，

∴AD垂直平分BC，∴△ABC的外接圆的圆心O在AD上，

连接OB，如图，OD＝8，在Rt△OBD中，OB＝＝＝10，

即⊙O的半径为10，∴⊙O的面积＝π×102＝100π．

四、解答题（二）：本小题共3小题，每小题9分，共27分.

19．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＞0，∴（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，

整理得，4k﹣3＞0，解得：k＞，

故实数k的取值范围为k＞；

（2）∵方程的两个根分别为x1，x2，∴x1+x2＝2k+1＝3，解得：k＝1，

∴原方程为x2﹣3x+2＝0，∴x1＝1，x2＝2．

20．解：（1）根据题意，得A（0，9），顶点M（1，12），

设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+12，

把A（0，9）代入，得a＝﹣3，

所以抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+12＝﹣3x2+6x+9．

答：抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．

（2）当y＝0时，0＝﹣3x2+6x+9，解得x1＝3，x2＝﹣1，所以B（3，0）．

答：水流落地点B离墙的距离OB为3米．

21．解：（1）∵AB＝BD，∠ABD＝α＝60°，

∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°，

∵∠ABC＝60°，∴AD∥BC；

（2）AD＝2AE．

证明：∵△ABD是等边三角形，

∴AD＝BD，

在△ADF和△BDF中

∴△ADF≌△BDF（SSS），

∴∠ADF＝∠BDF＝30°，

∴DF⊥AB，

∴AD＝2AE．

五、解答题（三）：本小题共2小题，每小题12分，共24分.

22．解：（1）如图，连接OD，

∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，

∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD，

∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠BAC＝90°，

∵DP∥BC，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，

∴PD⊥OD，

∵OD是⊙O半径，∴PD是⊙O的切线；

（2）∵PD∥BC，∴∠ACB＝∠P，

∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠P，

∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCP＝180°，

∴∠DCP＝∠ABD，∴△ABD∽△DCP，

（3）∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠BAC＝90°，

在Rt△ABC中，BC＝＝13cm，

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，

∴∠BOD＝∠COD，∴BD＝CD，

在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，

∴BD＝CD＝BC＝，

∵△ABD∽△DCP，∴，

∴，

∴CP＝16.9cm．

23．解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，

得，解得，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+2．

（2）设直线BD的函数表达式为y＝kx+b，

抛物线y＝﹣x2+x+2，当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），

∵点D与点C（0，2）关于x轴对称，∴D（0，﹣2），

将B（4，0），D（0，﹣2）代入y＝kx+b，

得，解得：，

∴直线BD的函数表达式为y＝x﹣2，

∵QM⊥x轴于点P，交抛物线于点Q，交BD所在直线于点M．

且P（m，0），∴Q（m，﹣m2+m+2），M（m，m﹣2），

则QM＝（﹣m2+m+2）﹣（m﹣2）＝﹣m2+m+4，

∵F（0，），D（0，﹣2），∴DF＝﹣（﹣2）＝，

∵QM∥DF，∴当QM＝DF时，四边形DMQF是平行四边形，

∴﹣m2+m+4＝，解得m1＝3或m2＝﹣1，如图1、图2，

∴m1＝3或m2＝﹣1时，四边形DMQF是平行四边形．

（3）∵QM∥DF，∴∠QMB＝∠ODB，

①如图3，当∠MBQ＝∠DOB＝90°时，△MBQ∽△DOB，

则，∴，

∵∠MBQ＝90°，∴∠MBP+∠PBQ＝90°，

∵∠MPB＝∠BPQ＝90°，∴∠MBP+∠BMQ＝90°，∴∠BMQ＝∠PBQ，

∵∠MBQ＝∠BPQ＝90°，∴△MBQ∽△BPQ，

∴，∴＝，∴，

解得m1＝3，m2＝4（不符合题意，舍去），∴Q（3，2）；

②如图4，当∠BQM＝90°时，此时点Q与点A重合，△BQM∽△BOD，

此时m＝﹣1，点Q的坐标为（﹣1，0），

综上，点Q的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B，Q，M为顶点的三角形与△BOD相似．