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2022-2023学年广东省广州市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年广东省广州市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析，共49页。试卷主要包含了选一选，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
满分150分，考试时间为120分钟
一、选一选 (本大题共10小题，每小题3分，满分30分)
1. 如果2是方程x2-3x+k=0的一个根，则常数k的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）.
A. B. C. D.
3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）.
A. B. C. D.
4. 在反比例函数y＝的图象的每一支位上，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A. m＞7 B. m＜7 C. m＝7 D. m≠7
5. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB＝36°，则∠BCD的大小是( )
A. 18° B. 36° C. 54° D. 72°
6. 关于x的二次函数，下列说确的是（ ）
A. 图象的开口向上
B. 图象与y轴的交点坐标为
C. 图象的顶点坐标是
D. 当时，y随x的增大而减小
7. 已知二次函数y=x2+bx－2的图象与x轴的一个交点为（1,0），则它与x轴的另一个交点坐标是（ ）.
A. （1，0） B. （2，0） C. （－2，0） D. （－1，0）
8. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到，连接，若，则的度数是（ ）
A. 70° B. 65° C. 60° D. 55°
9. 如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是（ ）
A B. C. D.
10. 如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二.填 空 题（共6题，每题3分，共18分.）
11. 方程的解为____．
12. 抛物线的对称轴为________．
13. 点(2)关于原点对称的点的坐标是__________.
14. 受益于国家支持新能源汽车发展，番禺区某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元．则该企业近2年利润的年平均增长率为_______．
15. 一个书法兴趣小组有2名女生，3名男生，现要从这5名学生中选出2人代表小组参加比赛，则一男一女当选的概率是____．
16. 对于实数，，我们用符号表示，两数中较小的数，如，= ,若，则x=_______．
三、解 答 题（本大题共9小题，满分102分）
17. （1）解方程：; （2）用配方法解方程.
18. 如图，BD是⊙O切线，B为切点，连接DO与⊙O交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4.
(1) 求∠BAC的大小；
(2) 求图中阴影部分的面积．
19. 如图，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，与x轴交于点B.
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）过点B作 轴交反比例函数的图象于点D，求点D的坐标和 的面积；
（3）观察图象，写出当x＞0时没有等式的解集．
20. 如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，点的坐标分别为、、，试解答下列问题：
（1）画出关于原点对称的；
（2）平移，使点移到点，画出平移后的并写出点、的坐标；
（3）在、、中，与哪个图形成对称？试写出其对称的坐标．
21. 在甲、乙两个没有透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率．
22. “国庆”期间，某电影院装修后重新开业，试营业期间统计发现，影院每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价（元/张）之间满足函数关系： ，是整数，影院每天运营成本为1600元，设影院每天的利润为w（元）（利润=票房收入运营成本）．
（1）试求w与之间的函数关系式；
（2）影院将电影票售价定为多少时，每天获利？利润是多少元？
23. 关于方程有两个没有相等的实数根.
（1）求实数的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，是否存在实数k，使得？若存在，试求出的值；若没有存在，说明理由.
24. 如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，且于D，与⊙O交于点F．
（1）判断AC是否是∠DAE的平分线？并说明理由；
（2）连接OF与AC交于点G，当AG＝GC＝1时，求切线长．
25. 已知抛物线的图象与轴有两个公共点．
（1）求的取值范围，写出当取其范围内整数时抛物线的解析式；
（2）将（1）中所求得的抛物线记为，
①求的顶点的坐标；
②若当时，的取值范围是，求的值；
（3）将平移得到抛物线,使的顶点落在以原点为圆心半径为的圆上，求点与两点间的距离时的解析式，怎样平移可以得到所求抛物线？
2022-2023学年广东省广州市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
满分150分，考试时间为120分钟
一、选一选 (本大题共10小题，每小题3分，满分30分)
1. 如果2是方程x2-3x+k=0的一个根，则常数k的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
【正确答案】A
【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．
【详解】解：∵2是一元二次方程x2-3x+k=0一个根，
∴22-3×2+k=0，
解得，k=2．
故选：A．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）.
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：A、是轴对称图形，没有是对称图形．故错误；
B、没有是轴对称图形，是对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，没有是对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是对称图形．故正确．
故选D．
此题考查对称图形，掌握对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做对称图形．
3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）.
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：x2＋2x－1＝0，
x2＋2x＝1，
x2＋2x＋1＝2，
(x＋1)2＝2．
故选A．
点睛：此题考查了解一元二次方程－配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1，常数项移至等号右边，然后两边都加上项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为非负常数，开方转化为两个一元方程来求解．
4. 在反比例函数y＝的图象的每一支位上，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A. m＞7 B. m＜7 C. m＝7 D. m≠7
【正确答案】A
【详解】∵反比例函数的图象的每一支曲线上，y随x的增大而减小，
∴m－7＞0，
解得：m＞7．
故选：A．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
5. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB＝36°，则∠BCD的大小是( )
A. 18° B. 36° C. 54° D. 72°
【正确答案】B
【详解】试题分析：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴＝，
∴∠BCD＝∠CAB＝36°，
故选B．
6. 关于x的二次函数，下列说确的是（ ）
A. 图象的开口向上
B. 图象与y轴的交点坐标为
C. 图象的顶点坐标是
D. 当时，y随x的增大而减小
【正确答案】D
【分析】分别根据二次项系数、顶点坐标和对称轴，可判断A、C、D，令x=0可求得与y轴的交点坐标，可判断B，可得出答案．
【详解】A选项，∵，∴二次函数的图象的开口向下，故此选项错误；
B选项，当时，，∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为，故此选项错误；
C选项，二次函数的图象的顶点坐标是，故此选项错误；
D选项，对称轴是直线，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．故此选项正确．
故选：D．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴、增减性、开口方向等知识是解题的关键．
7. 已知二次函数y=x2+bx－2的图象与x轴的一个交点为（1,0），则它与x轴的另一个交点坐标是（ ）.
A. （1，0） B. （2，0） C. （－2，0） D. （－1，0）
【正确答案】C
【详解】解：把交点坐标（1，0），代入二次函数y=x2+bx-2求出b的值，进而知道抛物线的对称轴，再利用公式x=，可求出它与x轴的另一个交点坐标．
解答：解：把x=1，y=0代入y=x2+bx-2得：
0=1+b-2，
∴b=1，
∴对称轴为x=-=-，
∴x==-，
∴x2=-2，
∴它与x轴的另一个交点坐标是（-2，0）．
故选C．
8. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到，连接，若，则的度数是（ ）
A. 70° B. 65° C. 60° D. 55°
【正确答案】B
【分析】根据旋转的性质得为等腰直角三角形，即可算得，继而可算得．
【详解】解：由旋转性质：，
为等腰直角三角形，
，
在中，
，
，
故选B．
本题考查了旋转的性质；关键在于知道旋转过程中对应边角的大小是相等的．
9. 如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是2/6 ="1/3" ；
故选B．
10. 如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】D
【详解】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．
把y=b代入y=得，b=，则x=，，即A的横坐标是，；
同理可得：B的横坐标是：﹣．
则AB=﹣（﹣）=．
则S□ABCD=×b=5．
故选D．
二.填 空 题（共6题，每题3分，共18分.）
11. 方程的解为____．
【正确答案】
【详解】试题分析：(x－5)2＝5，
直接开平方得：x－5＝±，
∴x1＝5＋，x2＝5－．
故答案为x1＝5＋，x2＝5－．
12. 抛物线的对称轴为________．
【正确答案】直线
【详解】试题分析：抛物线y＝x2－6x＋10的对称轴为：x＝＝＝3，
故答案为x＝3．
点睛：主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．通常有两种方法：
（1）公式法：y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为，对称轴是x＝；
（2）配方法：将解析式化为顶点式y＝a（x－h）2＋k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h．
13. 点(,2)关于原点对称的点的坐标是__________.
【正确答案】(1,)
【分析】根据关于原点对称的定义，进行解答即可.
【详解】点(,2)关于原点对称的坐标是(1,)
故答案为(1,)
此题考查关于原点对称的点的坐标，解题关键在于掌握其定义.
14. 受益于国家支持新能源汽车发展，番禺区某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元．则该企业近2年利润的年平均增长率为_______．
【正确答案】
【详解】试题分析：设这两年该企业年利润平均增长率x．根据题意得
2(1＋x)2＝2.88，
解得 x1 ＝0.2＝20%，x2 ＝－2.2 （没有合题意，舍去）．
即：这两年该企业年利润平均增长率为20%．
故答案为20%．
点睛：此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度没有大．
15. 一个书法兴趣小组有2名女生，3名男生，现要从这5名学生中选出2人代表小组参加比赛，则一男一女当选的概率是____．
【正确答案】
【详解】试题分析：
列表得：
男1
男2
男3
女1
女2
男1
男2男1
男3男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2
男3男2
女1男2
女2男2
男3
男1男3
男2男3
女1男3
女2男3
女1
男1女1
男2女1
男3女1
女2女1
女2
男1女2
男2女2
男3女2
女1女2
由图可知总有20种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有12种，所以抽到一男一女的概率为P（一男一女）＝＝．
故答案为．
16. 对于实数，，我们用符号表示，两数中较小的数，如，= ,若，则x=_______．
【正确答案】2或-1
【详解】试题分析：∵min{(x－1)2，x2}＝1，
当x＝0.5时，x2＝(x－1)2，没有可能得出最小值为1，
∴当x＞0.5时，(x－1)2＜x2，
则(x－1)2＝1，
x－1＝±1，
x－1＝1或x－1＝－1，
解得：x1＝2，x2＝0（没有合题意，舍去），
当x＜0.5时，(x－1)2＞x2，
则x2＝1，
解得：x1＝1（没有合题意，舍去），x2＝－1，
综上所述：x的值为：2或－1．
故答案为2或－1．
三、解 答 题（本大题共9小题，满分102分）
17. （1）解方程：; （2）用配方法解方程.
【正确答案】(1) ;(2)
【详解】试题分析：（1）方程左边提出公因式x，利用提公因式法解答；
（2）把常数项移至等号右边，方程两边都加上项系数一半平方，使左边成为一个完全平方式，然后再开方求解．
试题解析：
解：（1）因式分解得：，
于是得： ， ，
；
（2）移项得：，
配方得：，
由此得： ，
于是得：．
点睛：本题主要考查了一元二次方程的解法，常用的解法有公式法、配方法、因式分解法，正确的选择方法是解决（1）的关键，熟悉配方法的一般步骤是解决（2）的关键．
18. 如图，BD是⊙O的切线，B为切点，连接DO与⊙O交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4.
(1) 求∠BAC的大小；
(2) 求图中阴影部分的面积．
【正确答案】(1)30°;(2)
【详解】试题分析：（1）先由切线的性质得出∠DBA＝90°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠BOC＝60°，然后根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得出答案；
（2）由条件可求得∠COA的度数，过O作OE⊥CA于点E，则可求得OE的长和CA的长，再利用S阴影＝S扇形COA－S△COA可求得答案．
试题解析：
解：（1）∵DB为⊙O的切线，
∴ ，
∵
∴；
（2）如图，过O作OE⊥CA于点E，
∵
∴
∵
∴OE＝2，
∴ ，
，
∴阴影＝扇形COA﹣△COA＝
点睛：本题主要考查切线的性质和扇形面积的计算，求得扇形COA和△COA的面积是解题的关键．
19. 如图，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，与x轴交于点B.
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）过点B作 轴交反比例函数的图象于点D，求点D的坐标和 的面积；
（3）观察图象，写出当x＞0时没有等式的解集．
【正确答案】(1)k=8，（3，0）；(2) ，；(3) ．
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式中即可求出k值，再令直线y＝2x－6中y＝0求出x的值，即可得出点B的坐标；
（2）根据BD⊥x轴可知B与D的横坐标相同，将B点的横坐标代入反比例函数解析式即可得出D点的坐标；求出BD的长和点A到BD的距离，根据三角形的面积公式即可得出答案；
（3）根据图象求出双曲线在直线上方时自变量的取值范围即可．
【详解】解：（1）点在反比例函数的图象上，
，解得
将代入，得，解得．
点的坐标是（3，0）
（2） 反比例函数解析式为：
将 代入得 ，点的坐标是
∴BD＝，点A到BD的距离为4－3＝1，
的面积为
（3）观察两函数图象可发现：当0＜x＜4时，反比例函数图象在例函数图象的上方，
∴x＞0时没有等式的解集为0＜x＜4．
20. 如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，点的坐标分别为、、，试解答下列问题：
（1）画出关于原点对称；
（2）平移，使点移到点，画出平移后的并写出点、的坐标；
（3）在、、中，与哪个图形成对称？试写出其对称的坐标．
【正确答案】(1)见解析；（2） ，；（3） ，
【详解】试题分析：（1）分别作出点A、B、C关于原点O的对称点A1、B1、C1，连接A1、B1、C1即可得到△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）根据平移的性质，作出平移后△A2B2C2，并写出点B2、C2的坐标即可；
（3）△A2B2C2中与△△A1B1C1对称，连接A2A1，B2B1，C2C1，三条线段恰好点D，则点D即为对称点．
试题解析：
解：（1）如图所示.
（2）如图所示，点的坐标为，
点的坐标为.
（3）与成对称，
其对称为D
点睛：本题考查了对称和平移作图，根据对称和平移的性质找出对称点和平移后的点是解决此题的关键．
21. 在甲、乙两个没有透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率．
【正确答案】（1）列表见解析；共有9种等可能的结果数；（2）点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率＝．
【分析】（1）通过列表展示所有9种等可能的结果数；（2）找出满足点（x，y）落在函数y=-x+1的图象上的结果数，然后根据概率公式求解.
【详解】解：（1）列表如下：
x
y
0
1
2
﹣1
（0，﹣1）
（1，﹣1）
（2，﹣1）
﹣2
（0，﹣2）
（1，﹣2）
（2，﹣2）
0
（0，0）
（1，0）
（2，0）
共有9种等可能的结果数；
（2）满足点（x，y）落在函数y＝﹣x+1的图象上的结果有2个，即（2，﹣1），（ 1，0 ），
所以点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率＝．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算A或B的概率.
22. “国庆”期间，某电影院装修后重新开业，试营业期间统计发现，影院每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价（元/张）之间满足函数关系： ，是整数，影院每天运营成本为1600元，设影院每天的利润为w（元）（利润=票房收入运营成本）．
（1）试求w与之间的函数关系式；
（2）影院将电影票售价定为多少时，每天获利？利润是多少元？
【正确答案】（1）；（2）32元，利润是2624元．
【分析】（1）根据“利润＝票房收入－运营成本”可得函数解析式；
（2）将函数解析式配方成顶点式，由30≤x≤60，且x是整数二次函数的性质求解可得．
【详解】解:（1）由题意：，
得w与之间的函数关系式为：
.
（2），
.
是整数, ,
当或33时，w取得值，值为2624.
更能吸引顾客，定价32.
答：影城将电影票售价定为32元/张时，每天获利，利润是2624元．
本题是二次函数的应用，解题的关键是得出函数解析式，并熟练掌握二次函数的性质．
23. 关于的方程有两个没有相等的实数根.
（1）求实数的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，是否存在实数k，使得？若存在，试求出的值；若没有存在，说明理由.
【正确答案】（1），（2） 存在,理由见解析.
【分析】（1）由方程有两个没有相等的实数根知△＞0，列出关于k的没有等式求解可得；
（2）利用求根公式求出方程的两个根，根据（1）中k的范围判断出x1＞0，由韦达定理知x1x2＝k2－2k＋3＝（k－1）2＋2＞0，进而得出x2＞0，然后把x1、x2的值代入计算即可得出k的值．
【详解】解：（1）∵原一元二次方程有两个没有相等的实数根，
，
得：
；
（2）由一元二次方程求根公式得：
，
，
又 ，
当时，有，
即
存在实数使得.
本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．
24. 如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，且于D，与⊙O交于点F．
（1）判断AC是否是∠DAE的平分线？并说明理由；
（2）连接OF与AC交于点G，当AG＝GC＝1时，求切线的长．
【正确答案】(1) AC是∠DAE的平分线,理由见解析；（2）.
【详解】试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥DE，又AD⊥DE，得出AD∥OC，根据圆的半径相等得出∠1＝∠OCA，再由平行线的性质得出∠2＝∠OCA，等量代换即可得出结论；
（2）先证明△AOF是等边三角形，进而得出∠DAO＝60°，由（1）中结论可得∠1＝30°，根据直角三角形的两锐角互余可得∠E＝30°，所以∠1＝∠E，根据等角对等边得出CE＝AC，即可得到答案．
试题解析：
解：（1）AC是∠DAE的平分线.
证明：连接 ．
∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，.
∵AD⊥DE，∴∠ADC＝∠OCE＝,
∴AD∥OC，.
∴∠2＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠1＝∠ACO，
∴∠1＝∠2，∴AC是∠DAE的平分线.
（2）∵＝1 ， ∴ ，即.
又∠1＝∠2， , ∴
又，∴△是等边三角形，
，，.
又∠ADE＝，
∴ .
∴CE＝AC＝AG＋CG＝2．
点睛：本题考查切线的性质、垂径定理、等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25. 已知抛物线的图象与轴有两个公共点．
（1）求的取值范围，写出当取其范围内整数时抛物线的解析式；
（2）将（1）中所求得的抛物线记为，
①求的顶点的坐标；
②若当时，的取值范围是，求的值；
（3）将平移得到抛物线,使的顶点落在以原点为圆心半径为的圆上，求点与两点间的距离时的解析式，怎样平移可以得到所求抛物线？
【正确答案】（1）;(2) ①,②1；（3）的解析式为．将抛物线记为向左平移,再向上平移即可得到抛物线．
【详解】试题分析：（1）函数图形与x轴有两个公共点，则该函数为二次函数且△＞0，故此可得到关于m的没有等式组，从而可求得m的取值范围；
（2）①把（1）中求得的函数解析式改为顶点式，即可得出顶点P的坐标；
②先求得抛物线的对称轴，当1≤x≤n时，函数图象位于对称轴的右侧，y随x的增大而增大，当x＝n时，y有值2n，然后将x＝n，y＝2n代入求解即可；
（3）由弦的性质可得当PQ圆心时，PQ有值，此时Q点位于第二象限．根据点P、O的坐标，求得直线OP的解析式，设出点Q的坐标，根据点Q在直线PO上，以及点Q到原点的距离是即可求出点Q的坐标，进而得出C2的解析式，得出C2如何由C1平移得到．
试题解析：
解：（1）由题意可得：，
解得：且
当取整数时，其值为2，此时函数解析式为：．
（2）①由，顶点的坐标为.
②抛物线C1的对称轴为，
∴当时，随的增大而增大．
∵当时，的取值范围是，
∴，
∴或（舍去）．
∴．
（3）由弦的性质，当线段圆心时，距离，此时点位于第二象限．
由，可求得直线的解析式为：，
设，PQ在直线上， ，
圆半径为，，
解之得（舍去）或者，故．
∴的解析式为:．
将抛物线记为向左平移再向上平移即可得到抛物线记为．
点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质，勾股定理的应用，待定系数法求函数的解析式，找出PQ取得值的条件是解题的关键．
2022-2023学年广东省广州市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一．选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分.）
1. 如图图形中，是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 平面直角坐标系内一点（-3，4）关于原点对称点的坐标是（ ）
A. （3，4） B. （-3，-4 ） C. （3，-4） D. （4，-3)
3. 下列中是没有可能的是（ ）
A. 三角形内角和小于180° B. 两实数之和为正
C 买体育中奖 D. 抛一枚硬币2次都正面朝上
4. 如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ）
A. 1：2 B. 1：5 C. 1：100 D. 1：10
5. 把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，以CA为半径作⊙C，则△ABC斜边的中点D与⊙C的位置关系是（ ）
A. 点D在⊙C上 B. 点D在⊙C内
C. 点D在⊙C外 D. 没有能确定
7. 点M（﹣3，y1），N（﹣2，y2）是抛物线 y=﹣（x+1）2+3上的两点，则下列大小关系正确的是（ ）
A. y1＜y2＜3 B. 3＜y1＜y2 C. y2＜y1＜3 D. 3＜y2＜y1
8. 今年“十一”长假某湿地公园迎来旅游高峰，天的游客人数是1.2万人，第三天的游客人数为2.3万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为（ ）
A. 2.3 （1+x）2=1.2= B. 1.2（1+x）2=2.3
C. 1.2（1﹣x）2=2.3 D. 1.2+1.2（1+x）+1.2（1+x）2=2.3
9. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P取值范围是( )
A. ﹣4＜P＜0 B. ﹣4＜P＜﹣2 C. ﹣2＜P＜0 D. ﹣1＜P＜0
二．填 空 题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
10. 在一个有15万人的小镇，随机了1000人，其中200人会在日常生活中进行分类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行分类的概率是_____．
11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴交轴于点，以原点为位似，将放大为原来的2倍得到，且点在第二象限，则点的坐标为______．
12. 若方程的一个根是，则另一个根是________，________．
13. （3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为_____．
14. 如图，△ABC的周长为8，⊙O与BC相切于点D，与AC的延长线相切于点E，与AB的延长线相切于点F，则AF的长为_____．
15. 如图，正方形ABCD的边长为2，点O是边AB上一动点（点O没有与点A，B重合），以O为圆心，2为半径作⊙O，分别与AD，BC相交于M，N，则劣弧MN长度a的取值范围是_____．
三．解 答 题（本题共9个小题，共102分.）
16. 解方程
（1）x2+4x﹣5＝0
（2）（x﹣3）（x+3）＝2x+6．
17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位．
（1）把△ABC绕着点C逆时针旋转 90°，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）求△ABC旋转到△A1B1C时线段AC扫过的面积．
18. 如图，甲分为三等分数字转盘，乙为四等分数字转盘，转动转盘．
（1）转动甲转盘，指针指向的数字小于3的概率是 ；
（2）同时转动两个转盘，用列举的方法求两个转盘指针指向的数字均为奇数的概率．
19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．
20. 如图，晚上，小颖由路灯A下B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得影子DE的长刚好是自己的身高，已知小颖的身高为1.5米，求路灯A的高度AB．
21. 已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件59元，每星期可卖出300件，市场发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，由于供货方的原因销量没有得超过380件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每星期的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求该厂产品定价为每件多少元时，每星期的利润？利润是多少元？
22. 如图，圆C过原点并与坐标轴分别交于A、D两点，已知点B为圆C圆周上一动点，且∠ABO=30°，点D坐标为（0，2）．
（1）直接写出圆心 C 的坐标；
（2）当△BOD为等边三角形时，求点B的坐标；
（3）若以点B为圆心、r为半径作圆B，当圆B与两个坐标轴同时相切时，求点B坐标．
23. 如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上由点E顺时针向点C运动（点B没有与点E、C重合），弦BD交CE于点F，且BD=BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．
（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求圆心O到弦CD的距离；
（2）当DF•DB=CD2时，求∠CBD的大小；
（3）若AB=2AE，且CD=12，求△BCD的面积．
24. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0，c＞0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆点C．
（1）若点A（﹣2，0），点B（8，0），求ac的值；
（2）若点A（x1，0），B（x2，0），试探索ac是否为定值？若是，求出这个定值；若没有是，请说明理由．
（3）若点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C没有重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请直接写出点P坐标；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年广东省广州市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一．选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分.）
1. 如图图形中，是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据对称图形的概念和识别．
【详解】根据对称图形的概念和识别，可知D是对称图形，A、C是轴对称图形，D既没有是对称图形，也没有是轴对称图形．
故选D．
本题考查对称图形，掌握对称图形的概念，会判断一个图形是否是对称图形．
2. 平面直角坐标系内一点（-3，4）关于原点对称点的坐标是（ ）
A. （3，4） B. （-3，-4 ） C. （3，-4） D. （4，-3)
【正确答案】C
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
【详解】∵P（-3，4），
∴关于原点对称点的坐标是（3，-4），
故选C．
此题主要考查了原点对称的点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化规律：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
3. 下列中是没有可能的是（ ）
A. 三角形内角和小于180° B. 两实数之和为正
C. 买体育中奖 D. 抛一枚硬币2次都正面朝上
【正确答案】A
【详解】根据三角形的内角和定理，可知：“三角形内角和等于180°”，故是没有可能；
根据实数的加法，可知两实数之和可能为正，可能是0，可能为负，故是可能；
根据买可能中奖，故可知是可能；
根据硬币特点，抛一枚硬币2次有可能两次都正面朝上，故是可能.
故选A.
4. 如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ）
A. 1：2 B. 1：5 C. 1：100 D. 1：10
【正确答案】C
【详解】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100．
故选：C．
点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
5. 把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.
【详解】解：把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为.
故选：C.
此题考查了抛物线的平移，属于基本题型，熟知抛物线的平移规律是解答的关键.
6. 如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，以CA为半径作⊙C，则△ABC斜边的中点D与⊙C的位置关系是（ ）
A. 点D在⊙C上 B. 点D在⊙C内
C. 点D在⊙C外 D. 没有能确定
【正确答案】B
【详解】根据勾股定理，由△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，求得AB=10，然后根据直角三角形的的性质，斜边上的中线等于斜边长的一半，即CD=5＜AC=6，所以点D在在⊙C内.
故选B.
7. 点M（﹣3，y1），N（﹣2，y2）是抛物线 y=﹣（x+1）2+3上的两点，则下列大小关系正确的是（ ）
A. y1＜y2＜3 B. 3＜y1＜y2 C. y2＜y1＜3 D. 3＜y2＜y1
【正确答案】A
【分析】根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，点（-1，3）在对称轴上，即可得到答案．
【详解】抛物线的解析式y=﹣（x+1）2+3可得其对称轴为x=-1，系数a＜0，图像开口下下，
根据抛物线上点离对称轴越远，对应的函数值就越小，点（-1，3）在对称轴上，-3<-2
所以y1＜y2＜3.
故选A.
8. 今年“十一”长假某湿地公园迎来旅游高峰，天的游客人数是1.2万人，第三天的游客人数为2.3万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为（ ）
A. 2.3 （1+x）2=1.2= B. 1.2（1+x）2=2.3
C. 1.2（1﹣x）2=2.3 D. 1.2+1.2（1+x）+1.2（1+x）2=2.3
【正确答案】B
【详解】如果每天的增长率都为x，利用天到第三天的人数关系，列出方程：1.2（1+x）2=2.3.
故选：B．
点睛：本题考查增长率问题，关键是知道两天的变化，知道两天前的情况和两天后的情况，列方程．
9. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是( )
A. ﹣4＜P＜0 B. ﹣4＜P＜﹣2 C. ﹣2＜P＜0 D. ﹣1＜P＜0
【正确答案】A
【详解】解:∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0．
∵对称轴在y轴的左边，∴＜0．∴b＞0．
∵图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b﹣2=0．
∴a=2﹣b，b=2﹣a．∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2．
把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4，
∵b＞0，∴b=2﹣a＞0．∴a＜2．
∵a＞0，∴0＜a＜2．∴0＜2a＜4．∴﹣4＜2a﹣4＜0，即﹣4＜P＜0．
故选A．
本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形思想解题是本题的解题关键．
二．填 空 题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
10. 在一个有15万人的小镇，随机了1000人，其中200人会在日常生活中进行分类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行分类的概率是_____．
【正确答案】
【详解】根据概率的概念，由符合条件的人数除以样本容量，可得P（在日常生活中进行分类）==.
故答案为.
11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴交轴于点，以原点为位似，将放大为原来的2倍得到，且点在第二象限，则点的坐标为______．
【正确答案】
【分析】根据位似的性质已知条件即可解答．
【详解】解：∵将放大为原来2倍得到，
∴∽，且相似比为
∴
∴当点在第二象限时，的坐标为 ．
故填．
本题主要考查了位似的性质、相似三角形的判定与性质，掌握两个三角形位似、则这两个三角形是相似三角形是解答本题的关键．
12. 若方程的一个根是，则另一个根是________，________．
【正确答案】 ①. 1 ②. -3
【分析】设方程的一个根x1=2，另一根为x2，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于x2的方程，解方程即可得到x2的值，再由两根之和得到p的值．
【详解】方程x2-k+35=0的一个根为x1=2，设另一根为x2，
∴x1•x2=2x2=2，
解得：x2=1，
则方程另一根为1，
又x1+x2=-p，
∴2+1=-p，
解得p=-3，
故答案为1，-3．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当方程有解，即b2-4ac≥0时，设方程的两根分别为x1，x2，则有x1+x2=-，x1x2=．
13. （3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为_____．
【正确答案】42°
【分析】
【详解】根据题意：Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，即旋转角为48°，
则：∠ACA′=48°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠B′=90°﹣48°=42°，
故42°．
【考点】旋转的性质；直角三角形的性质；两直角三角形的两锐角互余．
14. 如图，△ABC的周长为8，⊙O与BC相切于点D，与AC的延长线相切于点E，与AB的延长线相切于点F，则AF的长为_____．
【正确答案】4
【详解】根据切线长定理，由⊙O与BC相切于点D，与AC的延长线相切于点E，与AB的延长线相切于点F，可知AE=AF，CE=CD，DB=BF，然后由△ABC的周长AB+BC+AC= AB+BC+CD+DB= AB+BC+CE+BF=2AF=8，求得AF=4.
故答案为4.
15. 如图，正方形ABCD的边长为2，点O是边AB上一动点（点O没有与点A，B重合），以O为圆心，2为半径作⊙O，分别与AD，BC相交于M，N，则劣弧MN长度a的取值范围是_____．
【正确答案】π≤a<π
【详解】因为O是AB上的一个动点，可观察图形得到：扇形MON的圆心角∠MON的值为90°，最小值为60°，所以当∠MON=90°时，劣弧MN的长a为，当∠MON=60°时，劣弧MN的长a为，根据点O没有与点A，B重合，故可得劣弧MN的长度a的取值范围为：π≤l＜π.
故答案为π≤l＜π.
点睛：此题主要考查了弧长的求法，关键是根据图形分析出在动点的情况下，扇形MON的圆心角∠MON的值为90°，最小值为60°，由此根据弧长公式求解即可.
三．解 答 题（本题共9个小题，共102分.）
16. 解方程
（1）x2+4x﹣5＝0
（2）（x﹣3）（x+3）＝2x+6．
【正确答案】（1）x=1或x=﹣5；（2）x=﹣3或x=5．
【详解】试题分析：（1）根据因式分解—十字相乘法，分解因式后，由ab=0的性质求解即可；
（2）通过移项，添括号，构成能因式分解的一元二次方程，因式分解后由ab=0的性质求解即可.
试题解析：（1）∵x2+4x﹣5=0，
∴（x﹣1）（x+5）=0，
则x﹣1=0或x+5=0，
解得：x=1或x=﹣5；
（2）∵（x﹣3）（x+3）﹣2（x+3）=0，
∴（x+3）（x﹣5）=0，
则x+3=0或x﹣5=0，
解得：x=﹣3或x=5．
17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位．
（1）把△ABC绕着点C逆时针旋转 90°，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）求△ABC旋转到△A1B1C时线段AC扫过的面积．
【正确答案】（1）见解析；（2）2π
【分析】（1）根据旋转角度、旋转、旋转方向找出各点的对称点，顺次连接即可；
（2）根据扇形的面积公式求解即可．
【详解】（1）如图所示，△A1B1C即为所求；
（2）∵CA=，
∴S==2π．
本题考查旋转作图的知识，难度没有大，注意掌握旋转作图的三要素，旋转、旋转方向、旋转角度．
18. 如图，甲分为三等分数字转盘，乙为四等分数字转盘，转动转盘．
（1）转动甲转盘，指针指向的数字小于3的概率是 ；
（2）同时转动两个转盘，用列举的方法求两个转盘指针指向的数字均为奇数的概率．
【正确答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据甲盘中的数字，可判断求出概率；
（2）列出符合条件的所有可能，然后确定符合条件的可能，求出概率即可.
【详解】（1）甲转盘共有1，2，3三个数字，其中小于3的有1，2，
∴P（转动甲转盘，指针指向的数字小于3）=，
故答案为．
（2）树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能情况，其中两个转盘指针指向的数字为奇数的有4种情况，
所以两个转盘指针指向的数字均为奇数的概率P==．
19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．
【正确答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．
【详解】试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.
试题解析：（1）∵方程有两个实数根，
∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；
（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，
∵x12x22+4x1+4x2=1，
∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，
∵a≤3，
∴a=﹣1．
20. 如图，晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得影子DE的长刚好是自己的身高，已知小颖的身高为1.5米，求路灯A的高度AB．
【正确答案】4.5m．
【详解】试题分析：根据题意，构造数学模型，相似三角形，利用相似三角形的判定与性质可求解.
试题解析：由题MC=FD=DE=1.5m，CD=1m，
∵MC∥AB，
∴△DMC∽△DAB，
∴=，
∵△EFD∽△EAB，
∴=，
∵MC=FD，
∴=，
即=，
解得：BC=2m，
将BC=2m代入=，即=，
解得：AB=4.5，
答：路灯A的高度AB为4.5m．
点睛：此题综合考查了投影的特点和规律，以及相似三角形的性质的运用，解题的关键是利用投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需的线段，再求公共边的长度.
21. 已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件59元，每星期可卖出300件，市场发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，由于供货方的原因销量没有得超过380件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每星期的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求该厂产品定价为每件多少元时，每星期的利润？利润是多少元？
【正确答案】（1）w=﹣20x2+80x+5700，0≤x≤4，且x为整数；（2）当x=2时，w取得值，值为5780.
【分析】（1）设每星期所获利润为y，然后讨论：若每件降价x元，根据一星期利润等于每件的利润×量分别得到w=（59-x-40）（300+20x）；
（2）然后把它们配成抛物线的顶点式，利用抛物线的最值问题即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意，w=（59﹣40﹣x）（300+20x）=﹣20x2+80x+5700，
由300+20x≤380可得x≤4；
所以0≤x≤4，且x为整数；
（2）∵w=﹣20x2+80x+5700=﹣20（x﹣2）2+5780，
∴当x=2时，w取得值，值为5780，
答：该厂产品定价为每件58元时，每星期的利润，利润是5780元．
本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，再配成抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，然后利用当a＜0，x=h时，y有值k；当a＞0，x=h时，y有最小值k等性质解决实际问题．
22. 如图，圆C过原点并与坐标轴分别交于A、D两点，已知点B为圆C圆周上一动点，且∠ABO=30°，点D的坐标为（0，2）．
（1）直接写出圆心 C 坐标；
（2）当△BOD为等边三角形时，求点B的坐标；
（3）若以点B为圆心、r为半径作圆B，当圆B与两个坐标轴同时相切时，求点B的坐标．
【正确答案】（1）（﹣1，）；（2）B（﹣3，）；（3）B（﹣﹣1， +1）或B（﹣1，﹣1）．
【详解】试题分析：（1）连接OC并延长，交⊙C于点E，连接EA、ED，在直角三角形中，由30°角的性质和直角三角形的正切值可求出ED的长；再过点C作CF⊥OD，垂足为F，则CF是△DEO的中位线，根据三角形的中位线的性质可求C点的坐标；
（2）作BH⊥x轴交x轴于点H，根据勾股定理可求B点的坐标；
（3）分为B点在象限或第二象限，设出B的坐标，利用勾股定理可求解.
试题解析：（1）如图1，连接OC并延长，交⊙C于点E，连接EA、ED．
因为∠ABO=30°，
∴∠AEO=30°，又因为OE是直径，
∠AOE=60°，∠EOD=30°，∠EDO=90°
∵OD=2，
∴ED=DO•tan30°=2．
过点C作CF⊥OD，垂足为F，则CF是△DEO的中位线，
所以OF=，CF=1．
∴点C的坐标为（﹣1，）
故圆心C的坐标为（﹣1，）；
（2）如图2，作BH⊥x轴交x轴于点H，
当△BOD是等边三角形，
则OB=OD=2，∠BOD=60°，
故∠BOA=30°，
则BH=OB=×2=，
OH===3，
∴B（﹣3，）；
（3）若B在第二象限，设B（﹣a，a），（a＞0），
则BC=，
∴AD===4，
∴AC=2，
∵BC=AC，
∴=2，
∴（﹣a+1）2+（a﹣）2=4，
解得：a1=0（舍去），a2=1+，
故B（﹣﹣1， +1），
若B在象限，设B（a，a），（a＞0），
∴BC=，
同理： =2，
解得：a3=0（舍去），a4=﹣1，
∴B（﹣1，﹣1），
综上所述：B（﹣﹣1， +1）或B（﹣1，﹣1）．
23. 如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上由点E顺时针向点C运动（点B没有与点E、C重合），弦BD交CE于点F，且BD=BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．
（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求圆心O到弦CD的距离；
（2）当DF•DB=CD2时，求∠CBD的大小；
（3）若AB=2AE，且CD=12，求△BCD的面积．
【正确答案】（1）；（2）45°；（3）72．
【分析】（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理求出点O到H的距离即可；
（2）根据相似三角形的判定与性质，先证明△CDF∽△BDC，再根据相似三角形的性质可求解；
（3）连接BE，BO，DO，并延长BO至H点，利用相似三角形的性质判定，求得BH的长，然后根据三角形的面积求解即可.
【详解】解：（1）如图，过O作OH⊥CD于H，
∵点D为弧EC的中点，
∴弧ED=弧CD，
∴∠OCH=45°，
∴OH=CH，
∵圆O的半径为2，即OC=2，
∴OH=；
（2）∵当DF•DB=CD2时，，
又∵∠CDF=∠BDC，
∴△CDF∽△BDC，
∴∠DCF=∠DBC，
∵∠DCF=45°，
∴∠DBC=45°；
（3）如图，连接BE，BO，DO，并延长BO至H点，
∵BD=BC，OD=OC，
∴BH垂直平分CD，
又∵AB∥CD，
∴∠ABO=90°=∠EBC，
∴∠ABE=∠OBC=∠OCB，
又∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△ACB，
∴，即AB2=AE×AC，
∴，
设AE=x，则AB=2x，
∴AC=4x，EC=3x，
∴OE=OB=OC=，
∵CD=12，
∴CH=6，
∵AB∥CH，
∴△AOB∽△COH，
∴，即，
解得x=5，OH=4.5，OB=7.5，
∴BH=BO+OH=12，
∴△BCD的面积=×12×12=72．
24. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0，c＞0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆点C．
（1）若点A（﹣2，0），点B（8，0），求ac的值；
（2）若点A（x1，0），B（x2，0），试探索ac是否为定值？若是，求出这个定值；若没有是，请说明理由．
（3）若点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C没有重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请直接写出点P坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）ac=﹣1；
（2）ac的值是定值，为﹣1；
（3）P的坐标为（2，0）或（，0）或（0，）或（0，16）．
【分析】（1）设圆心点为M，利用A、B的坐标求出圆的半径，然后根据勾股定理求出OC的长，求得C点，然后利用x轴的交点式y=a（x+2）（x﹣8）代入C点的坐标得到函数的解析式即可求解；
（2）根据坐标系中交点的坐标，利用三角形相似的判定得到△OAC∽△OCB，再根据相似三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系求出ac=-1是一个定值；
（3）根据题意，分为点P在x轴上或点P在y轴上两种情况，相似三角形的判定与性质可求P点的坐标.
【小问1详解】
设圆心为点M，
∵A（﹣2，0），B（8，0），
∴M（3，0），⊙M的半径为5，
∴OC=，
∴C（0，4），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣8），
∵点C在抛物线上，
∴a×2×（﹣8）=4，
∴a=﹣，
∴y=﹣﹣（x+2）（x﹣8）=﹣﹣x2+x+4，
∴a=﹣，b=4，
∴ac=﹣1；
【小问2详解】
ac的值是定值，为﹣1，
理由：∵点A（x1，0），B（x2，0），
∴OA=x1，OB=x2，OC=c，
∵∠OAC+∠OCA=90°，∠OCB+∠OCA=90°，
∴∠OAC=∠OCB，
∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△OAC∽△OCB，
∴，
∴OC2=OA•OB，
∴c2=﹣x1•x2，
令y=0时，0=ax2+bx+c，
∴x1•x2=，
∴c2=，
∴ac=﹣1；
【小问3详解】
∵点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C没有重合），C（0，4），
∴D（6，4），即：CD∥AB，
当点P在x轴上时，如图1，设点P的坐标为（m，0），
∵C（0，4），D（6，4），B（8，0），
∴BC=，CD=6，BP=8﹣m，
∵CD∥AB，
∴∠BCD=∠ABC，
∵以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，
∴①，
∴，
∴m=2，
∴P2（2，0），
或②，
∴，
∴m=﹣，
∴P1（﹣，0），
当点P在y轴上时，如图2，
∵CD∥AB，
∴，
∵，
∴
∴∠ABD=∠BCO，
∵CD∥AB，
∴∠BDC+∠ABC=180°，
∵∠BCO+∠BCy=180°，
∴∠BDC=∠BCy，
设P（0，n），
∵C（0，4），D（6，4），B（8，0），
∴BC=，CD=6，BD=，CP=n﹣4，
∵以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，
∴①，
∴，
∴n=，
∴P3（0，）
或②，
∴，
∴n=16，
∴P4（0，）
即：满足条件的点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）或（0，）或（0，16）．
题目主要考查二次函数与圆的综合问题，包括勾股定理，利用待定系数法确定函数解析式，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点进行分类讨论是解题关键．
2022-2023学年广东省广州市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
满分150分，考试时间为120分钟
一、选一选 (本大题共10小题，每小题3分，满分30分)
1. 如果2是方程x2-3x+k=0的一个根，则常数k的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）.
A. B. C. D.
3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）.
A. B. C. D.
4. 在反比例函数y＝的图象的每一支位上，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A. m＞7 B. m＜7 C. m＝7 D. m≠7
5. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB＝36°，则∠BCD的大小是( )
A. 18° B. 36° C. 54° D. 72°
6. 关于x的二次函数，下列说确的是（ ）
A. 图象的开口向上
B. 图象与y轴的交点坐标为
C. 图象的顶点坐标是
D. 当时，y随x的增大而减小
7. 已知二次函数y=x2+bx－2的图象与x轴的一个交点为（1,0），则它与x轴的另一个交点坐标是（ ）.
A. （1，0） B. （2，0） C. （－2，0） D. （－1，0）
8. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到，连接，若，则的度数是（ ）
A. 70° B. 65° C. 60° D. 55°
9. 如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是（ ）
A B. C. D.
10. 如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二.填 空 题（共6题，每题3分，共18分.）
11. 方程的解为____．
12. 抛物线的对称轴为________．
13. 点(2)关于原点对称的点的坐标是__________.
14. 受益于国家支持新能源汽车发展，番禺区某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元．则该企业近2年利润的年平均增长率为_______．
15. 一个书法兴趣小组有2名女生，3名男生，现要从这5名学生中选出2人代表小组参加比赛，则一男一女当选的概率是____．
16. 对于实数，，我们用符号表示，两数中较小的数，如，= ,若，则x=_______．
三、解 答 题（本大题共9小题，满分102分）
17. （1）解方程：; （2）用配方法解方程.
18. 如图，BD是⊙O切线，B为切点，连接DO与⊙O交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4.
(1) 求∠BAC的大小；
(2) 求图中阴影部分的面积．
19. 如图，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，与x轴交于点B.
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）过点B作 轴交反比例函数的图象于点D，求点D的坐标和 的面积；
（3）观察图象，写出当x＞0时没有等式的解集．
20. 如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，点的坐标分别为、、，试解答下列问题：
（1）画出关于原点对称的；
（2）平移，使点移到点，画出平移后的并写出点、的坐标；
（3）在、、中，与哪个图形成对称？试写出其对称的坐标．
21. 在甲、乙两个没有透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率．
22. “国庆”期间，某电影院装修后重新开业，试营业期间统计发现，影院每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价（元/张）之间满足函数关系： ，是整数，影院每天运营成本为1600元，设影院每天的利润为w（元）（利润=票房收入运营成本）．
（1）试求w与之间的函数关系式；
（2）影院将电影票售价定为多少时，每天获利？利润是多少元？
23. 关于方程有两个没有相等的实数根.
（1）求实数的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，是否存在实数k，使得？若存在，试求出的值；若没有存在，说明理由.
24. 如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，且于D，与⊙O交于点F．
（1）判断AC是否是∠DAE的平分线？并说明理由；
（2）连接OF与AC交于点G，当AG＝GC＝1时，求切线长．
25. 已知抛物线的图象与轴有两个公共点．
（1）求的取值范围，写出当取其范围内整数时抛物线的解析式；
（2）将（1）中所求得的抛物线记为，
①求的顶点的坐标；
②若当时，的取值范围是，求的值；
（3）将平移得到抛物线,使的顶点落在以原点为圆心半径为的圆上，求点与两点间的距离时的解析式，怎样平移可以得到所求抛物线？
2022-2023学年广东省广州市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
满分150分，考试时间为120分钟
一、选一选 (本大题共10小题，每小题3分，满分30分)
1. 如果2是方程x2-3x+k=0的一个根，则常数k的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
【正确答案】A
【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．
【详解】解：∵2是一元二次方程x2-3x+k=0一个根，
∴22-3×2+k=0，
解得，k=2．
故选：A．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）.
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：A、是轴对称图形，没有是对称图形．故错误；
B、没有是轴对称图形，是对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，没有是对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是对称图形．故正确．
故选D．
此题考查对称图形，掌握对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做对称图形．
3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）.
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：x2＋2x－1＝0，
x2＋2x＝1，
x2＋2x＋1＝2，
(x＋1)2＝2．
故选A．
点睛：此题考查了解一元二次方程－配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1，常数项移至等号右边，然后两边都加上项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为非负常数，开方转化为两个一元方程来求解．
4. 在反比例函数y＝的图象的每一支位上，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A. m＞7 B. m＜7 C. m＝7 D. m≠7
【正确答案】A
【详解】∵反比例函数的图象的每一支曲线上，y随x的增大而减小，
∴m－7＞0，
解得：m＞7．
故选：A．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
5. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB＝36°，则∠BCD的大小是( )
A. 18° B. 36° C. 54° D. 72°
【正确答案】B
【详解】试题分析：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴＝，
∴∠BCD＝∠CAB＝36°，
故选B．
6. 关于x的二次函数，下列说确的是（ ）
A. 图象的开口向上
B. 图象与y轴的交点坐标为
C. 图象的顶点坐标是
D. 当时，y随x的增大而减小
【正确答案】D
【分析】分别根据二次项系数、顶点坐标和对称轴，可判断A、C、D，令x=0可求得与y轴的交点坐标，可判断B，可得出答案．
【详解】A选项，∵，∴二次函数的图象的开口向下，故此选项错误；
B选项，当时，，∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为，故此选项错误；
C选项，二次函数的图象的顶点坐标是，故此选项错误；
D选项，对称轴是直线，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．故此选项正确．
故选：D．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴、增减性、开口方向等知识是解题的关键．
7. 已知二次函数y=x2+bx－2的图象与x轴的一个交点为（1,0），则它与x轴的另一个交点坐标是（ ）.
A. （1，0） B. （2，0） C. （－2，0） D. （－1，0）
【正确答案】C
【详解】解：把交点坐标（1，0），代入二次函数y=x2+bx-2求出b的值，进而知道抛物线的对称轴，再利用公式x=，可求出它与x轴的另一个交点坐标．
解答：解：把x=1，y=0代入y=x2+bx-2得：
0=1+b-2，
∴b=1，
∴对称轴为x=-=-，
∴x==-，
∴x2=-2，
∴它与x轴的另一个交点坐标是（-2，0）．
故选C．
8. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到，连接，若，则的度数是（ ）
A. 70° B. 65° C. 60° D. 55°
【正确答案】B
【分析】根据旋转的性质得为等腰直角三角形，即可算得，继而可算得．
【详解】解：由旋转性质：，
为等腰直角三角形，
，
在中，
，
，
故选B．
本题考查了旋转的性质；关键在于知道旋转过程中对应边角的大小是相等的．
9. 如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是2/6 ="1/3" ；
故选B．
10. 如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】D
【详解】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．
把y=b代入y=得，b=，则x=，，即A的横坐标是，；
同理可得：B的横坐标是：﹣．
则AB=﹣（﹣）=．
则S□ABCD=×b=5．
故选D．
二.填 空 题（共6题，每题3分，共18分.）
11. 方程的解为____．
【正确答案】
【详解】试题分析：(x－5)2＝5，
直接开平方得：x－5＝±，
∴x1＝5＋，x2＝5－．
故答案为x1＝5＋，x2＝5－．
12. 抛物线的对称轴为________．
【正确答案】直线
【详解】试题分析：抛物线y＝x2－6x＋10的对称轴为：x＝＝＝3，
故答案为x＝3．
点睛：主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．通常有两种方法：
（1）公式法：y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为，对称轴是x＝；
（2）配方法：将解析式化为顶点式y＝a（x－h）2＋k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h．
13. 点(,2)关于原点对称的点的坐标是__________.
【正确答案】(1,)
【分析】根据关于原点对称的定义，进行解答即可.
【详解】点(,2)关于原点对称的坐标是(1,)
故答案为(1,)
此题考查关于原点对称的点的坐标，解题关键在于掌握其定义.
14. 受益于国家支持新能源汽车发展，番禺区某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元．则该企业近2年利润的年平均增长率为_______．
【正确答案】
【详解】试题分析：设这两年该企业年利润平均增长率x．根据题意得
2(1＋x)2＝2.88，
解得 x1 ＝0.2＝20%，x2 ＝－2.2 （没有合题意，舍去）．
即：这两年该企业年利润平均增长率为20%．
故答案为20%．
点睛：此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度没有大．
15. 一个书法兴趣小组有2名女生，3名男生，现要从这5名学生中选出2人代表小组参加比赛，则一男一女当选的概率是____．
【正确答案】
【详解】试题分析：
列表得：
男1
男2
男3
女1
女2
男1
男2男1
男3男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2
男3男2
女1男2
女2男2
男3
男1男3
男2男3
女1男3
女2男3
女1
男1女1
男2女1
男3女1
女2女1
女2
男1女2
男2女2
男3女2
女1女2
由图可知总有20种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有12种，所以抽到一男一女的概率为P（一男一女）＝＝．
故答案为．
16. 对于实数，，我们用符号表示，两数中较小的数，如，= ,若，则x=_______．
【正确答案】2或-1
【详解】试题分析：∵min{(x－1)2，x2}＝1，
当x＝0.5时，x2＝(x－1)2，没有可能得出最小值为1，
∴当x＞0.5时，(x－1)2＜x2，
则(x－1)2＝1，
x－1＝±1，
x－1＝1或x－1＝－1，
解得：x1＝2，x2＝0（没有合题意，舍去），
当x＜0.5时，(x－1)2＞x2，
则x2＝1，
解得：x1＝1（没有合题意，舍去），x2＝－1，
综上所述：x的值为：2或－1．
故答案为2或－1．
三、解 答 题（本大题共9小题，满分102分）
17. （1）解方程：; （2）用配方法解方程.
【正确答案】(1) ;(2)
【详解】试题分析：（1）方程左边提出公因式x，利用提公因式法解答；
（2）把常数项移至等号右边，方程两边都加上项系数一半平方，使左边成为一个完全平方式，然后再开方求解．
试题解析：
解：（1）因式分解得：，
于是得： ， ，
；
（2）移项得：，
配方得：，
由此得： ，
于是得：．
点睛：本题主要考查了一元二次方程的解法，常用的解法有公式法、配方法、因式分解法，正确的选择方法是解决（1）的关键，熟悉配方法的一般步骤是解决（2）的关键．
18. 如图，BD是⊙O的切线，B为切点，连接DO与⊙O交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4.
(1) 求∠BAC的大小；
(2) 求图中阴影部分的面积．
【正确答案】(1)30°;(2)
【详解】试题分析：（1）先由切线的性质得出∠DBA＝90°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠BOC＝60°，然后根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得出答案；
（2）由条件可求得∠COA的度数，过O作OE⊥CA于点E，则可求得OE的长和CA的长，再利用S阴影＝S扇形COA－S△COA可求得答案．
试题解析：
解：（1）∵DB为⊙O的切线，
∴ ，
∵
∴；
（2）如图，过O作OE⊥CA于点E，
∵
∴
∵
∴OE＝2，
∴ ，
，
∴阴影＝扇形COA﹣△COA＝
点睛：本题主要考查切线的性质和扇形面积的计算，求得扇形COA和△COA的面积是解题的关键．
19. 如图，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，与x轴交于点B.
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）过点B作 轴交反比例函数的图象于点D，求点D的坐标和 的面积；
（3）观察图象，写出当x＞0时没有等式的解集．
【正确答案】(1)k=8，（3，0）；(2) ，；(3) ．
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式中即可求出k值，再令直线y＝2x－6中y＝0求出x的值，即可得出点B的坐标；
（2）根据BD⊥x轴可知B与D的横坐标相同，将B点的横坐标代入反比例函数解析式即可得出D点的坐标；求出BD的长和点A到BD的距离，根据三角形的面积公式即可得出答案；
（3）根据图象求出双曲线在直线上方时自变量的取值范围即可．
【详解】解：（1）点在反比例函数的图象上，
，解得
将代入，得，解得．
点的坐标是（3，0）
（2） 反比例函数解析式为：
将 代入得 ，点的坐标是
∴BD＝，点A到BD的距离为4－3＝1，
的面积为
（3）观察两函数图象可发现：当0＜x＜4时，反比例函数图象在例函数图象的上方，
∴x＞0时没有等式的解集为0＜x＜4．
20. 如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，点的坐标分别为、、，试解答下列问题：
（1）画出关于原点对称；
（2）平移，使点移到点，画出平移后的并写出点、的坐标；
（3）在、、中，与哪个图形成对称？试写出其对称的坐标．
【正确答案】(1)见解析；（2） ，；（3） ，
【详解】试题分析：（1）分别作出点A、B、C关于原点O的对称点A1、B1、C1，连接A1、B1、C1即可得到△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）根据平移的性质，作出平移后△A2B2C2，并写出点B2、C2的坐标即可；
（3）△A2B2C2中与△△A1B1C1对称，连接A2A1，B2B1，C2C1，三条线段恰好点D，则点D即为对称点．
试题解析：
解：（1）如图所示.
（2）如图所示，点的坐标为，
点的坐标为.
（3）与成对称，
其对称为D
点睛：本题考查了对称和平移作图，根据对称和平移的性质找出对称点和平移后的点是解决此题的关键．
21. 在甲、乙两个没有透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率．
【正确答案】（1）列表见解析；共有9种等可能的结果数；（2）点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率＝．
【分析】（1）通过列表展示所有9种等可能的结果数；（2）找出满足点（x，y）落在函数y=-x+1的图象上的结果数，然后根据概率公式求解.
【详解】解：（1）列表如下：
x
y
0
1
2
﹣1
（0，﹣1）
（1，﹣1）
（2，﹣1）
﹣2
（0，﹣2）
（1，﹣2）
（2，﹣2）
0
（0，0）
（1，0）
（2，0）
共有9种等可能的结果数；
（2）满足点（x，y）落在函数y＝﹣x+1的图象上的结果有2个，即（2，﹣1），（ 1，0 ），
所以点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率＝．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算A或B的概率.
22. “国庆”期间，某电影院装修后重新开业，试营业期间统计发现，影院每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价（元/张）之间满足函数关系： ，是整数，影院每天运营成本为1600元，设影院每天的利润为w（元）（利润=票房收入运营成本）．
（1）试求w与之间的函数关系式；
（2）影院将电影票售价定为多少时，每天获利？利润是多少元？
【正确答案】（1）；（2）32元，利润是2624元．
【分析】（1）根据“利润＝票房收入－运营成本”可得函数解析式；
（2）将函数解析式配方成顶点式，由30≤x≤60，且x是整数二次函数的性质求解可得．
【详解】解:（1）由题意：，
得w与之间的函数关系式为：
.
（2），
.
是整数, ,
当或33时，w取得值，值为2624.
更能吸引顾客，定价32.
答：影城将电影票售价定为32元/张时，每天获利，利润是2624元．
本题是二次函数的应用，解题的关键是得出函数解析式，并熟练掌握二次函数的性质．
23. 关于的方程有两个没有相等的实数根.
（1）求实数的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，是否存在实数k，使得？若存在，试求出的值；若没有存在，说明理由.
【正确答案】（1），（2） 存在,理由见解析.
【分析】（1）由方程有两个没有相等的实数根知△＞0，列出关于k的没有等式求解可得；
（2）利用求根公式求出方程的两个根，根据（1）中k的范围判断出x1＞0，由韦达定理知x1x2＝k2－2k＋3＝（k－1）2＋2＞0，进而得出x2＞0，然后把x1、x2的值代入计算即可得出k的值．
【详解】解：（1）∵原一元二次方程有两个没有相等的实数根，
，
得：
；
（2）由一元二次方程求根公式得：
，
，
又 ，
当时，有，
即
存在实数使得.
本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．
24. 如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，且于D，与⊙O交于点F．
（1）判断AC是否是∠DAE的平分线？并说明理由；
（2）连接OF与AC交于点G，当AG＝GC＝1时，求切线的长．
【正确答案】(1) AC是∠DAE的平分线,理由见解析；（2）.
【详解】试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥DE，又AD⊥DE，得出AD∥OC，根据圆的半径相等得出∠1＝∠OCA，再由平行线的性质得出∠2＝∠OCA，等量代换即可得出结论；
（2）先证明△AOF是等边三角形，进而得出∠DAO＝60°，由（1）中结论可得∠1＝30°，根据直角三角形的两锐角互余可得∠E＝30°，所以∠1＝∠E，根据等角对等边得出CE＝AC，即可得到答案．
试题解析：
解：（1）AC是∠DAE的平分线.
证明：连接 ．
∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，.
∵AD⊥DE，∴∠ADC＝∠OCE＝,
∴AD∥OC，.
∴∠2＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠1＝∠ACO，
∴∠1＝∠2，∴AC是∠DAE的平分线.
（2）∵＝1 ， ∴ ，即.
又∠1＝∠2， , ∴
又，∴△是等边三角形，
，，.
又∠ADE＝，
∴ .
∴CE＝AC＝AG＋CG＝2．
点睛：本题考查切线的性质、垂径定理、等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25. 已知抛物线的图象与轴有两个公共点．
（1）求的取值范围，写出当取其范围内整数时抛物线的解析式；
（2）将（1）中所求得的抛物线记为，
①求的顶点的坐标；
②若当时，的取值范围是，求的值；
（3）将平移得到抛物线,使的顶点落在以原点为圆心半径为的圆上，求点与两点间的距离时的解析式，怎样平移可以得到所求抛物线？
【正确答案】（1）;(2) ①,②1；（3）的解析式为．将抛物线记为向左平移,再向上平移即可得到抛物线．
【详解】试题分析：（1）函数图形与x轴有两个公共点，则该函数为二次函数且△＞0，故此可得到关于m的没有等式组，从而可求得m的取值范围；
（2）①把（1）中求得的函数解析式改为顶点式，即可得出顶点P的坐标；
②先求得抛物线的对称轴，当1≤x≤n时，函数图象位于对称轴的右侧，y随x的增大而增大，当x＝n时，y有值2n，然后将x＝n，y＝2n代入求解即可；
（3）由弦的性质可得当PQ圆心时，PQ有值，此时Q点位于第二象限．根据点P、O的坐标，求得直线OP的解析式，设出点Q的坐标，根据点Q在直线PO上，以及点Q到原点的距离是即可求出点Q的坐标，进而得出C2的解析式，得出C2如何由C1平移得到．
试题解析：
解：（1）由题意可得：，
解得：且
当取整数时，其值为2，此时函数解析式为：．
（2）①由，顶点的坐标为.
②抛物线C1的对称轴为，
∴当时，随的增大而增大．
∵当时，的取值范围是，
∴，
∴或（舍去）．
∴．
（3）由弦的性质，当线段圆心时，距离，此时点位于第二象限．
由，可求得直线的解析式为：，
设，PQ在直线上， ，
圆半径为，，
解之得（舍去）或者，故．
∴的解析式为:．
将抛物线记为向左平移再向上平移即可得到抛物线记为．
点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质，勾股定理的应用，待定系数法求函数的解析式，找出PQ取得值的条件是解题的关键．
2022-2023学年广东省广州市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一．选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分.）
1. 如图图形中，是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 平面直角坐标系内一点（-3，4）关于原点对称点的坐标是（ ）
A. （3，4） B. （-3，-4 ） C. （3，-4） D. （4，-3)
3. 下列中是没有可能的是（ ）
A. 三角形内角和小于180° B. 两实数之和为正
C 买体育中奖 D. 抛一枚硬币2次都正面朝上
4. 如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ）
A. 1：2 B. 1：5 C. 1：100 D. 1：10
5. 把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，以CA为半径作⊙C，则△ABC斜边的中点D与⊙C的位置关系是（ ）
A. 点D在⊙C上 B. 点D在⊙C内
C. 点D在⊙C外 D. 没有能确定
7. 点M（﹣3，y1），N（﹣2，y2）是抛物线 y=﹣（x+1）2+3上的两点，则下列大小关系正确的是（ ）
A. y1＜y2＜3 B. 3＜y1＜y2 C. y2＜y1＜3 D. 3＜y2＜y1
8. 今年“十一”长假某湿地公园迎来旅游高峰，天的游客人数是1.2万人，第三天的游客人数为2.3万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为（ ）
A. 2.3 （1+x）2=1.2= B. 1.2（1+x）2=2.3
C. 1.2（1﹣x）2=2.3 D. 1.2+1.2（1+x）+1.2（1+x）2=2.3
9. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P取值范围是( )
A. ﹣4＜P＜0 B. ﹣4＜P＜﹣2 C. ﹣2＜P＜0 D. ﹣1＜P＜0
二．填 空 题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
10. 在一个有15万人的小镇，随机了1000人，其中200人会在日常生活中进行分类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行分类的概率是_____．
11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴交轴于点，以原点为位似，将放大为原来的2倍得到，且点在第二象限，则点的坐标为______．
12. 若方程的一个根是，则另一个根是________，________．
13. （3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为_____．
14. 如图，△ABC的周长为8，⊙O与BC相切于点D，与AC的延长线相切于点E，与AB的延长线相切于点F，则AF的长为_____．
15. 如图，正方形ABCD的边长为2，点O是边AB上一动点（点O没有与点A，B重合），以O为圆心，2为半径作⊙O，分别与AD，BC相交于M，N，则劣弧MN长度a的取值范围是_____．
三．解 答 题（本题共9个小题，共102分.）
16. 解方程
（1）x2+4x﹣5＝0
（2）（x﹣3）（x+3）＝2x+6．
17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位．
（1）把△ABC绕着点C逆时针旋转 90°，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）求△ABC旋转到△A1B1C时线段AC扫过的面积．
18. 如图，甲分为三等分数字转盘，乙为四等分数字转盘，转动转盘．
（1）转动甲转盘，指针指向的数字小于3的概率是 ；
（2）同时转动两个转盘，用列举的方法求两个转盘指针指向的数字均为奇数的概率．
19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．
20. 如图，晚上，小颖由路灯A下B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得影子DE的长刚好是自己的身高，已知小颖的身高为1.5米，求路灯A的高度AB．
21. 已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件59元，每星期可卖出300件，市场发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，由于供货方的原因销量没有得超过380件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每星期的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求该厂产品定价为每件多少元时，每星期的利润？利润是多少元？
22. 如图，圆C过原点并与坐标轴分别交于A、D两点，已知点B为圆C圆周上一动点，且∠ABO=30°，点D坐标为（0，2）．
（1）直接写出圆心 C 的坐标；
（2）当△BOD为等边三角形时，求点B的坐标；
（3）若以点B为圆心、r为半径作圆B，当圆B与两个坐标轴同时相切时，求点B坐标．
23. 如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上由点E顺时针向点C运动（点B没有与点E、C重合），弦BD交CE于点F，且BD=BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．
（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求圆心O到弦CD的距离；
（2）当DF•DB=CD2时，求∠CBD的大小；
（3）若AB=2AE，且CD=12，求△BCD的面积．
24. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0，c＞0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆点C．
（1）若点A（﹣2，0），点B（8，0），求ac的值；
（2）若点A（x1，0），B（x2，0），试探索ac是否为定值？若是，求出这个定值；若没有是，请说明理由．
（3）若点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C没有重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请直接写出点P坐标；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年广东省广州市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一．选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分.）
1. 如图图形中，是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据对称图形的概念和识别．
【详解】根据对称图形的概念和识别，可知D是对称图形，A、C是轴对称图形，D既没有是对称图形，也没有是轴对称图形．
故选D．
本题考查对称图形，掌握对称图形的概念，会判断一个图形是否是对称图形．
2. 平面直角坐标系内一点（-3，4）关于原点对称点的坐标是（ ）
A. （3，4） B. （-3，-4 ） C. （3，-4） D. （4，-3)
【正确答案】C
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
【详解】∵P（-3，4），
∴关于原点对称点的坐标是（3，-4），
故选C．
此题主要考查了原点对称的点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化规律：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
3. 下列中是没有可能的是（ ）
A. 三角形内角和小于180° B. 两实数之和为正
C. 买体育中奖 D. 抛一枚硬币2次都正面朝上
【正确答案】A
【详解】根据三角形的内角和定理，可知：“三角形内角和等于180°”，故是没有可能；
根据实数的加法，可知两实数之和可能为正，可能是0，可能为负，故是可能；
根据买可能中奖，故可知是可能；
根据硬币特点，抛一枚硬币2次有可能两次都正面朝上，故是可能.
故选A.
4. 如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ）
A. 1：2 B. 1：5 C. 1：100 D. 1：10
【正确答案】C
【详解】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100．
故选：C．
点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
5. 把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.
【详解】解：把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为.
故选：C.
此题考查了抛物线的平移，属于基本题型，熟知抛物线的平移规律是解答的关键.
6. 如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，以CA为半径作⊙C，则△ABC斜边的中点D与⊙C的位置关系是（ ）
A. 点D在⊙C上 B. 点D在⊙C内
C. 点D在⊙C外 D. 没有能确定
【正确答案】B
【详解】根据勾股定理，由△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，求得AB=10，然后根据直角三角形的的性质，斜边上的中线等于斜边长的一半，即CD=5＜AC=6，所以点D在在⊙C内.
故选B.
7. 点M（﹣3，y1），N（﹣2，y2）是抛物线 y=﹣（x+1）2+3上的两点，则下列大小关系正确的是（ ）
A. y1＜y2＜3 B. 3＜y1＜y2 C. y2＜y1＜3 D. 3＜y2＜y1
【正确答案】A
【分析】根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，点（-1，3）在对称轴上，即可得到答案．
【详解】抛物线的解析式y=﹣（x+1）2+3可得其对称轴为x=-1，系数a＜0，图像开口下下，
根据抛物线上点离对称轴越远，对应的函数值就越小，点（-1，3）在对称轴上，-3<-2
所以y1＜y2＜3.
故选A.
8. 今年“十一”长假某湿地公园迎来旅游高峰，天的游客人数是1.2万人，第三天的游客人数为2.3万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为（ ）
A. 2.3 （1+x）2=1.2= B. 1.2（1+x）2=2.3
C. 1.2（1﹣x）2=2.3 D. 1.2+1.2（1+x）+1.2（1+x）2=2.3
【正确答案】B
【详解】如果每天的增长率都为x，利用天到第三天的人数关系，列出方程：1.2（1+x）2=2.3.
故选：B．
点睛：本题考查增长率问题，关键是知道两天的变化，知道两天前的情况和两天后的情况，列方程．
9. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是( )
A. ﹣4＜P＜0 B. ﹣4＜P＜﹣2 C. ﹣2＜P＜0 D. ﹣1＜P＜0
【正确答案】A
【详解】解:∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0．
∵对称轴在y轴的左边，∴＜0．∴b＞0．
∵图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b﹣2=0．
∴a=2﹣b，b=2﹣a．∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2．
把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4，
∵b＞0，∴b=2﹣a＞0．∴a＜2．
∵a＞0，∴0＜a＜2．∴0＜2a＜4．∴﹣4＜2a﹣4＜0，即﹣4＜P＜0．
故选A．
本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形思想解题是本题的解题关键．
二．填 空 题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
10. 在一个有15万人的小镇，随机了1000人，其中200人会在日常生活中进行分类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行分类的概率是_____．
【正确答案】
【详解】根据概率的概念，由符合条件的人数除以样本容量，可得P（在日常生活中进行分类）==.
故答案为.
11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴交轴于点，以原点为位似，将放大为原来的2倍得到，且点在第二象限，则点的坐标为______．
【正确答案】
【分析】根据位似的性质已知条件即可解答．
【详解】解：∵将放大为原来2倍得到，
∴∽，且相似比为
∴
∴当点在第二象限时，的坐标为 ．
故填．
本题主要考查了位似的性质、相似三角形的判定与性质，掌握两个三角形位似、则这两个三角形是相似三角形是解答本题的关键．
12. 若方程的一个根是，则另一个根是________，________．
【正确答案】 ①. 1 ②. -3
【分析】设方程的一个根x1=2，另一根为x2，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于x2的方程，解方程即可得到x2的值，再由两根之和得到p的值．
【详解】方程x2-k+35=0的一个根为x1=2，设另一根为x2，
∴x1•x2=2x2=2，
解得：x2=1，
则方程另一根为1，
又x1+x2=-p，
∴2+1=-p，
解得p=-3，
故答案为1，-3．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当方程有解，即b2-4ac≥0时，设方程的两根分别为x1，x2，则有x1+x2=-，x1x2=．
13. （3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为_____．
【正确答案】42°
【分析】
【详解】根据题意：Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，即旋转角为48°，
则：∠ACA′=48°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠B′=90°﹣48°=42°，
故42°．
【考点】旋转的性质；直角三角形的性质；两直角三角形的两锐角互余．
14. 如图，△ABC的周长为8，⊙O与BC相切于点D，与AC的延长线相切于点E，与AB的延长线相切于点F，则AF的长为_____．
【正确答案】4
【详解】根据切线长定理，由⊙O与BC相切于点D，与AC的延长线相切于点E，与AB的延长线相切于点F，可知AE=AF，CE=CD，DB=BF，然后由△ABC的周长AB+BC+AC= AB+BC+CD+DB= AB+BC+CE+BF=2AF=8，求得AF=4.
故答案为4.
15. 如图，正方形ABCD的边长为2，点O是边AB上一动点（点O没有与点A，B重合），以O为圆心，2为半径作⊙O，分别与AD，BC相交于M，N，则劣弧MN长度a的取值范围是_____．
【正确答案】π≤a<π
【详解】因为O是AB上的一个动点，可观察图形得到：扇形MON的圆心角∠MON的值为90°，最小值为60°，所以当∠MON=90°时，劣弧MN的长a为，当∠MON=60°时，劣弧MN的长a为，根据点O没有与点A，B重合，故可得劣弧MN的长度a的取值范围为：π≤l＜π.
故答案为π≤l＜π.
点睛：此题主要考查了弧长的求法，关键是根据图形分析出在动点的情况下，扇形MON的圆心角∠MON的值为90°，最小值为60°，由此根据弧长公式求解即可.
三．解 答 题（本题共9个小题，共102分.）
16. 解方程
（1）x2+4x﹣5＝0
（2）（x﹣3）（x+3）＝2x+6．
【正确答案】（1）x=1或x=﹣5；（2）x=﹣3或x=5．
【详解】试题分析：（1）根据因式分解—十字相乘法，分解因式后，由ab=0的性质求解即可；
（2）通过移项，添括号，构成能因式分解的一元二次方程，因式分解后由ab=0的性质求解即可.
试题解析：（1）∵x2+4x﹣5=0，
∴（x﹣1）（x+5）=0，
则x﹣1=0或x+5=0，
解得：x=1或x=﹣5；
（2）∵（x﹣3）（x+3）﹣2（x+3）=0，
∴（x+3）（x﹣5）=0，
则x+3=0或x﹣5=0，
解得：x=﹣3或x=5．
17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位．
（1）把△ABC绕着点C逆时针旋转 90°，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）求△ABC旋转到△A1B1C时线段AC扫过的面积．
【正确答案】（1）见解析；（2）2π
【分析】（1）根据旋转角度、旋转、旋转方向找出各点的对称点，顺次连接即可；
（2）根据扇形的面积公式求解即可．
【详解】（1）如图所示，△A1B1C即为所求；
（2）∵CA=，
∴S==2π．
本题考查旋转作图的知识，难度没有大，注意掌握旋转作图的三要素，旋转、旋转方向、旋转角度．
18. 如图，甲分为三等分数字转盘，乙为四等分数字转盘，转动转盘．
（1）转动甲转盘，指针指向的数字小于3的概率是 ；
（2）同时转动两个转盘，用列举的方法求两个转盘指针指向的数字均为奇数的概率．
【正确答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据甲盘中的数字，可判断求出概率；
（2）列出符合条件的所有可能，然后确定符合条件的可能，求出概率即可.
【详解】（1）甲转盘共有1，2，3三个数字，其中小于3的有1，2，
∴P（转动甲转盘，指针指向的数字小于3）=，
故答案为．
（2）树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能情况，其中两个转盘指针指向的数字为奇数的有4种情况，
所以两个转盘指针指向的数字均为奇数的概率P==．
19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．
【正确答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．
【详解】试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.
试题解析：（1）∵方程有两个实数根，
∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；
（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，
∵x12x22+4x1+4x2=1，
∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，
∵a≤3，
∴a=﹣1．
20. 如图，晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得影子DE的长刚好是自己的身高，已知小颖的身高为1.5米，求路灯A的高度AB．
【正确答案】4.5m．
【详解】试题分析：根据题意，构造数学模型，相似三角形，利用相似三角形的判定与性质可求解.
试题解析：由题MC=FD=DE=1.5m，CD=1m，
∵MC∥AB，
∴△DMC∽△DAB，
∴=，
∵△EFD∽△EAB，
∴=，
∵MC=FD，
∴=，
即=，
解得：BC=2m，
将BC=2m代入=，即=，
解得：AB=4.5，
答：路灯A的高度AB为4.5m．
点睛：此题综合考查了投影的特点和规律，以及相似三角形的性质的运用，解题的关键是利用投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需的线段，再求公共边的长度.
21. 已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件59元，每星期可卖出300件，市场发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，由于供货方的原因销量没有得超过380件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每星期的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求该厂产品定价为每件多少元时，每星期的利润？利润是多少元？
【正确答案】（1）w=﹣20x2+80x+5700，0≤x≤4，且x为整数；（2）当x=2时，w取得值，值为5780.
【分析】（1）设每星期所获利润为y，然后讨论：若每件降价x元，根据一星期利润等于每件的利润×量分别得到w=（59-x-40）（300+20x）；
（2）然后把它们配成抛物线的顶点式，利用抛物线的最值问题即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意，w=（59﹣40﹣x）（300+20x）=﹣20x2+80x+5700，
由300+20x≤380可得x≤4；
所以0≤x≤4，且x为整数；
（2）∵w=﹣20x2+80x+5700=﹣20（x﹣2）2+5780，
∴当x=2时，w取得值，值为5780，
答：该厂产品定价为每件58元时，每星期的利润，利润是5780元．
本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，再配成抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，然后利用当a＜0，x=h时，y有值k；当a＞0，x=h时，y有最小值k等性质解决实际问题．
22. 如图，圆C过原点并与坐标轴分别交于A、D两点，已知点B为圆C圆周上一动点，且∠ABO=30°，点D的坐标为（0，2）．
（1）直接写出圆心 C 坐标；
（2）当△BOD为等边三角形时，求点B的坐标；
（3）若以点B为圆心、r为半径作圆B，当圆B与两个坐标轴同时相切时，求点B的坐标．
【正确答案】（1）（﹣1，）；（2）B（﹣3，）；（3）B（﹣﹣1， +1）或B（﹣1，﹣1）．
【详解】试题分析：（1）连接OC并延长，交⊙C于点E，连接EA、ED，在直角三角形中，由30°角的性质和直角三角形的正切值可求出ED的长；再过点C作CF⊥OD，垂足为F，则CF是△DEO的中位线，根据三角形的中位线的性质可求C点的坐标；
（2）作BH⊥x轴交x轴于点H，根据勾股定理可求B点的坐标；
（3）分为B点在象限或第二象限，设出B的坐标，利用勾股定理可求解.
试题解析：（1）如图1，连接OC并延长，交⊙C于点E，连接EA、ED．
因为∠ABO=30°，
∴∠AEO=30°，又因为OE是直径，
∠AOE=60°，∠EOD=30°，∠EDO=90°
∵OD=2，
∴ED=DO•tan30°=2．
过点C作CF⊥OD，垂足为F，则CF是△DEO的中位线，
所以OF=，CF=1．
∴点C的坐标为（﹣1，）
故圆心C的坐标为（﹣1，）；
（2）如图2，作BH⊥x轴交x轴于点H，
当△BOD是等边三角形，
则OB=OD=2，∠BOD=60°，
故∠BOA=30°，
则BH=OB=×2=，
OH===3，
∴B（﹣3，）；
（3）若B在第二象限，设B（﹣a，a），（a＞0），
则BC=，
∴AD===4，
∴AC=2，
∵BC=AC，
∴=2，
∴（﹣a+1）2+（a﹣）2=4，
解得：a1=0（舍去），a2=1+，
故B（﹣﹣1， +1），
若B在象限，设B（a，a），（a＞0），
∴BC=，
同理： =2，
解得：a3=0（舍去），a4=﹣1，
∴B（﹣1，﹣1），
综上所述：B（﹣﹣1， +1）或B（﹣1，﹣1）．
23. 如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上由点E顺时针向点C运动（点B没有与点E、C重合），弦BD交CE于点F，且BD=BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．
（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求圆心O到弦CD的距离；
（2）当DF•DB=CD2时，求∠CBD的大小；
（3）若AB=2AE，且CD=12，求△BCD的面积．
【正确答案】（1）；（2）45°；（3）72．
【分析】（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理求出点O到H的距离即可；
（2）根据相似三角形的判定与性质，先证明△CDF∽△BDC，再根据相似三角形的性质可求解；
（3）连接BE，BO，DO，并延长BO至H点，利用相似三角形的性质判定，求得BH的长，然后根据三角形的面积求解即可.
【详解】解：（1）如图，过O作OH⊥CD于H，
∵点D为弧EC的中点，
∴弧ED=弧CD，
∴∠OCH=45°，
∴OH=CH，
∵圆O的半径为2，即OC=2，
∴OH=；
（2）∵当DF•DB=CD2时，，
又∵∠CDF=∠BDC，
∴△CDF∽△BDC，
∴∠DCF=∠DBC，
∵∠DCF=45°，
∴∠DBC=45°；
（3）如图，连接BE，BO，DO，并延长BO至H点，
∵BD=BC，OD=OC，
∴BH垂直平分CD，
又∵AB∥CD，
∴∠ABO=90°=∠EBC，
∴∠ABE=∠OBC=∠OCB，
又∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△ACB，
∴，即AB2=AE×AC，
∴，
设AE=x，则AB=2x，
∴AC=4x，EC=3x，
∴OE=OB=OC=，
∵CD=12，
∴CH=6，
∵AB∥CH，
∴△AOB∽△COH，
∴，即，
解得x=5，OH=4.5，OB=7.5，
∴BH=BO+OH=12，
∴△BCD的面积=×12×12=72．
24. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0，c＞0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆点C．
（1）若点A（﹣2，0），点B（8，0），求ac的值；
（2）若点A（x1，0），B（x2，0），试探索ac是否为定值？若是，求出这个定值；若没有是，请说明理由．
（3）若点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C没有重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请直接写出点P坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）ac=﹣1；
（2）ac的值是定值，为﹣1；
（3）P的坐标为（2，0）或（，0）或（0，）或（0，16）．
【分析】（1）设圆心点为M，利用A、B的坐标求出圆的半径，然后根据勾股定理求出OC的长，求得C点，然后利用x轴的交点式y=a（x+2）（x﹣8）代入C点的坐标得到函数的解析式即可求解；
（2）根据坐标系中交点的坐标，利用三角形相似的判定得到△OAC∽△OCB，再根据相似三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系求出ac=-1是一个定值；
（3）根据题意，分为点P在x轴上或点P在y轴上两种情况，相似三角形的判定与性质可求P点的坐标.
【小问1详解】
设圆心为点M，
∵A（﹣2，0），B（8，0），
∴M（3，0），⊙M的半径为5，
∴OC=，
∴C（0，4），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣8），
∵点C在抛物线上，
∴a×2×（﹣8）=4，
∴a=﹣，
∴y=﹣﹣（x+2）（x﹣8）=﹣﹣x2+x+4，
∴a=﹣，b=4，
∴ac=﹣1；
【小问2详解】
ac的值是定值，为﹣1，
理由：∵点A（x1，0），B（x2，0），
∴OA=x1，OB=x2，OC=c，
∵∠OAC+∠OCA=90°，∠OCB+∠OCA=90°，
∴∠OAC=∠OCB，
∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△OAC∽△OCB，
∴，
∴OC2=OA•OB，
∴c2=﹣x1•x2，
令y=0时，0=ax2+bx+c，
∴x1•x2=，
∴c2=，
∴ac=﹣1；
【小问3详解】
∵点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C没有重合），C（0，4），
∴D（6，4），即：CD∥AB，
当点P在x轴上时，如图1，设点P的坐标为（m，0），
∵C（0，4），D（6，4），B（8，0），
∴BC=，CD=6，BP=8﹣m，
∵CD∥AB，
∴∠BCD=∠ABC，
∵以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，
∴①，
∴，
∴m=2，
∴P2（2，0），
或②，
∴，
∴m=﹣，
∴P1（﹣，0），
当点P在y轴上时，如图2，
∵CD∥AB，
∴，
∵，
∴
∴∠ABD=∠BCO，
∵CD∥AB，
∴∠BDC+∠ABC=180°，
∵∠BCO+∠BCy=180°，
∴∠BDC=∠BCy，
设P（0，n），
∵C（0，4），D（6，4），B（8，0），
∴BC=，CD=6，BD=，CP=n﹣4，
∵以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，
∴①，
∴，
∴n=，
∴P3（0，）
或②，
∴，
∴n=16，
∴P4（0，）
即：满足条件的点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）或（0，）或（0，16）．
题目主要考查二次函数与圆的综合问题，包括勾股定理，利用待定系数法确定函数解析式，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点进行分类讨论是解题关键．
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