专题08 一次不等式（组）及一次不等式的应用（考点解读）（全国通用）
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专题08 一次不等式（组）及一次不等式的应用
（考点解读）
本章在中考中题目越来越多，占6～10分，题地有填空、选择、解答题，对不等式的实际应用会加大力度，将会在不等式的实际应用问题、情境设计、设问方式等有新的突破，一大批具有较强的时代气息。格调清新、设计自然、紧密联系日常生活实际的应用题将会不断涌现．针对中考命题趋势，在复习时应掌握解不等式（组）的方法，还应在不等式（组）的实际应用上多下功夫，加大力度，多观察日常生活中的实际问题。
1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义．
2．经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，掌握不等式的基本性质．
3．理解不等式（组）的解及解集的含义；会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示一元一次不等式的解集；会解一元一次不等式组，并会在数轴上确定其解集；初步体会数形结合的思想．
4．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组）解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
考点1：不等式的基本性质
性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，即若a＞b,则a±c＞b±c
性质2：不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b,c＞0，则ac＞bc（或）
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向不变，即：若a＞b,c＜0，则ac＜bc（或）
考点2：一元一次不不等式的解法及解集表示
解法步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1
x＜a | |
x＞a | |
x≤a | |
x≥a |
考点3：一元一次不等式组的解法及解集表示
不等式组（a＞b) | 解集 | 在数轴上表示 | 口诀 |
| x＞a | 同大取大 | |
| x＜b | 同小取小 | |
b＜x＜a | 大小、小大中间找 | ||
无解 | 大大、小小取不小 | ||
【提分要点】 解一元一次不等式组的一般解答步骤 分别求出不等式组中各个不等式的解集、再在数轴上表示出不等式的解集，然后利用数轴或根据口诀确定不等式组的解集 | |||
考点4：列不等式解应用题的步骤
找 | 找出题目当中的不等关系（正确理解表示不等关系的关键词的意义：例如“至少”（≥）、“最多”（≤）、“不低于”（≥）、“不高于”（≤）、“不大于”（≤）、“不小于”（≥）等） |
设
| 设未知数 |
列 | 根据不等关系、列出不等式 |
解 | 解不等式 |
答 | 根据题意作答（要注意所取值要符合实际意义，例如：人数必为正整数，当x表示人数且x≥时，则x咋最小值为4，即至少有4人） |
【提分要点】 题干中至少，设未知数时需注意；不能设至少要x，而应明确设为x，如求甲至少要购买多少件，则设购买甲x件，再根据题目条件列不等式求解。 | |
【典例1】（2022•菏泽）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．
【典例2】（2022•玉林）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨；因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
（1）求两次购买龙眼各是多少吨？
（2）公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
【典例3】（2022•安顺）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．
（1）A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？
（2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？
1．（2022•包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣m＞﹣n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n
2．（2022•包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣m＞﹣n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n
3．（2022•广西）不等式2x﹣4＜10的解集是（ ）
A．x＜3 B．x＜7 C．x＞3 D．x＞7
4．（2022•沈阳）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022•梧州）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020•朝阳区校级一模）如图，天平左盘中物体A的质量为mg，天平右盘中每个砝码的质量都是1g，则m的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022•山西）不等式组的解集是（ ）
A．x≥1 B．x＜2 C．1≤x＜2 D．x＜
8．（2022•十堰）关于x的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为 ．
9．（2022•新野县三模）定义运算：a*b＝2a﹣b，例如3*4＝2×3﹣4＝2，则不等式组的解集是 ．
10．（2022•烟台）求不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．
11．（2022•北京）解不等式组：．
12．（2022•遂宁）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
13．（2022•泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
专题08 一次不等式（组）及一次不等式的应用
（考点解读）
本章在中考中题目越来越多，占6～10分，题地有填空、选择、解答题，对不等式的实际应用会加大力度，将会在不等式的实际应用问题、情境设计、设问方式等有新的突破，一大批具有较强的时代气息。格调清新、设计自然、紧密联系日常生活实际的应用题将会不断涌现．针对中考命题趋势，在复习时应掌握解不等式（组）的方法，还应在不等式（组）的实际应用上多下功夫，加大力度，多观察日常生活中的实际问题。
1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义．
2．经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，掌握不等式的基本性质．
3．理解不等式（组）的解及解集的含义；会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示一元一次不等式的解集；会解一元一次不等式组，并会在数轴上确定其解集；初步体会数形结合的思想．
4．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组）解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
考点1：不等式的基本性质
性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，即若a＞b,则a±c＞b±c
性质2：不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b,c＞0，则ac＞bc（或）
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向不变，即：若a＞b,c＜0，则ac＜bc（或）
考点2：一元一次不不等式的解法及解集表示
解法步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1
x＜a | |
x＞a | |
x≤a | |
x≥a |
考点3：一元一次不等式组的解法及解集表示
不等式组（a＞b) | 解集 | 在数轴上表示 | 口诀 |
| x＞a | 同大取大 | |
| x＜b | 同小取小 | |
b＜x＜a | 大小、小大中间找 | ||
无解 | 大大、小小取不小 | ||
【提分要点】 解一元一次不等式组的一般解答步骤 分别求出不等式组中各个不等式的解集、再在数轴上表示出不等式的解集，然后利用数轴或根据口诀确定不等式组的解集 | |||
考点4：列不等式解应用题的步骤
找 | 找出题目当中的不等关系（正确理解表示不等关系的关键词的意义：例如“至少”（≥）、“最多”（≤）、“不低于”（≥）、“不高于”（≤）、“不大于”（≤）、“不小于”（≥）等） |
设
| 设未知数 |
列 | 根据不等关系、列出不等式 |
解 | 解不等式 |
答 | 根据题意作答（要注意所取值要符合实际意义，例如：人数必为正整数，当x表示人数且x≥时，则x咋最小值为4，即至少有4人） |
【提分要点】 题干中至少，设未知数时需注意；不能设至少要x，而应明确设为x，如求甲至少要购买多少件，则设购买甲x件，再根据题目条件列不等式求解。 | |
【典例1】（2022•菏泽）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．
【解答】解：由①得：x≤1，
由②得：x＜6，
∴不等式组的解集为x≤1，
解集表示在数轴上，如图所示：
．
【典例2】（2022•玉林）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨；因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
（1）求两次购买龙眼各是多少吨？
（2）公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
【解答】解：（1）设第一次购买龙眼x吨，则第二次购买龙眼（21﹣x）吨，
由题意得：0.4x+0.3（21﹣x）＝7，
解得：x＝7，
∴21﹣x＝21﹣7＝14（吨），
答：第一次购买龙眼7吨，则第二次购买龙眼14吨；
（2）设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把（21﹣y）吨龙眼加工成龙眼干，
由题意得：10×0.2y+3×0.5（21﹣y）≥39，
解得：y≥15，
∴至少需要把15吨龙眼加工成桂圆肉，
答：至少需要把15吨龙眼加工成桂圆肉．
【典例3】（2022•安顺）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．
（1）A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？
（2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？
【解答】解：（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，
依题意得：﹣＝4，
解得：x＝600，
经检验，x＝600是原方程的解，且符合题意，
则2x＝2×600＝1200．
答：普通水稻的亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克；
（2）设把y亩B块试验田改种杂交水稻，
依题意得：9600+600（﹣y）+1200y≥17700，
解得：y≥1.5．
答：至少把1.5亩B块试验田改种杂交水稻．
1．（2022•包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣m＞﹣n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n
【答案】D
【解答】解：A、m﹣2＞n﹣2，∴不符合题意；
B、﹣mn，∴不符合题意；
C、m﹣n＞0，∴不符合题意；
D、∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，
∴1﹣2m＜1﹣2n，∴符合题意；
故选：D．
2．（2022•包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣m＞﹣n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n
【答案】D
【解答】解：A、m﹣2＞n﹣2，∴不符合题意；
B、﹣mn，∴不符合题意；
C、m﹣n＞0，∴不符合题意；
D、∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，
∴1﹣2m＜1﹣2n，∴符合题意；
故选：D．
3．（2022•广西）不等式2x﹣4＜10的解集是（ ）
A．x＜3 B．x＜7 C．x＞3 D．x＞7
【答案】B
【解答】解：2x﹣4＜10，
移项，得：2x＜10+4，
合并同类项，得：2x＜14，
系数化为1，得：x＜7，
故选：B．
4．（2022•沈阳）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：不等式2x+1＞3的解集为：x＞1，
故选：B
5．（2022•梧州）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：
所以不等式组的解集为﹣1＜x＜2，
在数轴上表示为：
，
故选：C．
6．（2020•朝阳区校级一模）如图，天平左盘中物体A的质量为mg，天平右盘中每个砝码的质量都是1g，则m的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意得：，
解得：1＜m＜2，
故选：D．
7．（2022•山西）不等式组的解集是（ ）
A．x≥1 B．x＜2 C．1≤x＜2 D．x＜
【答案】C
【解答】解：解不等式2x+1≥3，得：x≥1，
解不等式4x﹣1＜7，得：x＜2，
则不等式组的解集为1≤x＜2，
故选：C．
8．（2022•十堰）关于x的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为 ．
【答案】0≤x＜1
【解答】解：该不等式组的解集为：0≤x＜1．
故答案为：0≤x＜1．
9．（2022•新野县三模）定义运算：a*b＝2a﹣b，例如3*4＝2×3﹣4＝2，则不等式组的解集是 ．
【答案】3≤x＜4
【解答】解：不等式组可变形为：，
解不等式①得：x≥3，
解不等式②得：x＜4，
故不等式组的解集是：3≤x＜4．
故答案为：3≤x＜4．
10．（2022•烟台）求不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．
【解答】解：，
由①得：x≥1，
由②得：x＜4，
∴不等式组的解集为：1≤x＜4，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
11．（2022•北京）解不等式组：．
【解答】解：由2+x＞7﹣4x，得：x＞1，
由x＜，得：x＜4，
则不等式组的解集为1＜x＜4．
12．（2022•遂宁）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
【解答】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴，
解得30≤x≤33，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，33，
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
13．（2022•泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
【解答】解：（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，
依题意得：，
解得：．
答：每件A种农产品的价格是120元，每件B种农产品的价格是150元．
（2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进（40﹣m）件B种农产品，
依题意得：，
解得：20≤m≤30．
设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（160﹣120）m+（200﹣150）（40﹣m）＝﹣10m+2000．
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝20时，w取得最大值，此时40﹣m＝40﹣20＝20．
答：当购进20件A种农产品，20件B种农产品时获利最多．
