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专题08 不等式（组）及其应用（共30道）-中考数学真题分项汇编（全国通用）
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这是一份专题08 不等式（组）及其应用（共30道）-中考数学真题分项汇编（全国通用），文件包含专题08不等式组及其应用共30道原卷版docx、专题08不等式组及其应用共30道解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
1．（2023·湖南益阳·统考中考真题）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式，再利用大于向右拐，小于向左拐在数轴上表示两个解集即可．
【详解】解：，
由② 得：，
在数轴上表示两个不等式的解集如下：
，
∴不等式组的解集为：；
故选B
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，利用数轴上确定不等式组的解集，熟练的使用数轴工具是解本题的关键．
2．（2023·山东济南·统考中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可.
【详解】解：由题意可得：，所以，
∴，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；
故选：D.
【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键.
3．（2023·浙江·统考中考真题）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对应的点在数轴上的位置，利用不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：由数轴得：，，
故选项A不符合题意；
∵，∴，故选项B不符合题意；
∵，，∴，故选项C不符合题意；
∵，，∴，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是实数与数轴，绝对值的概念，不等式的性质，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2023·湖南娄底·统考中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先分别求出各不等式的解集，再利用数轴表示解集的公共部分即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
在数轴上表示两个不等式的解集如下：
∴不等式组的解集为：；
故选：C
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知大于向右拐，小于向左拐的原则是解答此题的关键．
5．（江苏省扬州市江都区邵樊片2020-2021学年下学期七年级第二次月考数学试题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法求解即可．
【详解】解：∵x≥1，
∴1处是实心原点，且折线向右．
故选：A．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
6．（2023·四川德阳·统考中考真题）不等式组，的解集是（ ）
A．B．C．D．无解
【答案】A
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
7．（2023·四川雅安·统考中考真题）不等式组的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．（2023·湖南·统考中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．
【详解】解：由得，
由得，
解集在数轴上表示为：
，
则不等式组的解集为．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
9．（2023·辽宁营口·统考中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解出不等式组的解集，在数轴上表示，含端点值用实心圆圈，不含端点值用空心圆圈，即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴数轴表示如下所示：
故选B．
【点睛】本题考查了数轴上表示不等式的解集，解答此类题目时一定要注意实心圆点与空心圆点的区别，这是此题的易错点．
10．（2023·北京·统考中考真题）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：得，则，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变．
11．（2023·山东日照·统考中考真题）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是正数，可得，即可求出的取值范围．
【详解】解：
∵方程的解为正数，且分母不等于0
∴，
∴，且
故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键．
12．（2023·山东·统考中考真题）解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后根据在数轴上表示解集的方法判断即可．
【详解】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式①②的解集在同一条数轴上表示为：
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
13．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）已知不等式组的解集是，则（ ）
A．0B．C．1D．2023
【答案】B
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，再结合已知可得，，然后进行计算可求出，的值，最后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵不等式组的解集是，
∴，，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
二、解答题
14．（2023·陕西·统考中考真题）解不等式：．
【答案】
【分析】去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】解：，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
不等式的两边都除以，得．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．
15．（2023·山东济南·统考中考真题）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为0，1，2
【分析】分别求解两个不等式，再写出解集，最后求出满足条件的整数解即可．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，
原不等式组的解集是，
∴整数解为0，1，2．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．
16．（2023·山东潍坊·统考中考真题）（1）化简：
（2）利用数轴，确定不等式组的解集．
【答案】（1）；（2）画图见解析，不等式组的解集为：．
【分析】（1）先通分计算括号内的分式的减法，再通分计算分式的加法运算即可；
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
由① 得：，
解得：，
由② 得：，
解得：，
两个不等式的解集在数轴上表示如下：
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查的是分式的加减运算，一元一次不等式组的解法，熟记分式的加减运算的运算法则与解不等式组的方法与步骤是解本题的关键．
17．（2023·浙江·统考中考真题）（1）分解因式：．
（2）解不等式：．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用提取公因式法分解因式即可；
（2）按照解不等式的一般步骤求解即可．
【详解】解：（1）；
（2）
去括号，得，
移项合并，得．
【点睛】本题考查了因式分解的方法和解不等式，熟练掌握因式分解的方法和解不等式的步骤是解题的关键．
18．（2023·湖南娄底·统考中考真题）为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗．已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元，；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元．
(1)求每棵甲、乙树苗的价格．
(2)本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值，经济价值）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？
【答案】(1)每棵甲种树苗的价格为2元，每棵乙种树苗的价格3元
(2)乙种树苗种植数量不得少于100棵
【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由“购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元，；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元”列出方程组，可求解；
（2）设乙种树苗种植数量为m棵，则甲种树苗数量为棵，根据“获得不低于5万元的价值”列不等式解题即可．
【详解】（1）解：设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元， 由题意可得：
， 解得：，
答：每棵甲种树苗的价格为2元，每棵乙种树苗的价格3元；
（2）设乙种树苗种植数量为m棵，则甲种树苗数量为棵，
∴，
解得：，
∴的最小整数解为100．
答：乙种树苗种植数量不得少于100棵．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，熟练的确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
19．（2023·宁夏·统考中考真题）解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
第1步
第2步
第3步
第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【答案】任务一：4，不等号的方向没有发生改变，；任务二：，
【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论；
任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集即可．
【详解】解：任务一：∵，
∴；
∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是；
故答案为：4，不等号的方向没有发生改变，；
任务二：，
，
，
；
又，
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集，注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变．
20．（2023·四川德阳·统考中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
【答案】(1)乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
(2)甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元．
【分析】（1）设乙单独完成需要个月，由“乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．”建立分式方程求解即可；
（2）由题意可得：，可得，结合，，可得，结合都为正整数，可得为3的倍数，可得甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，从而可得答案．
【详解】（1）解：设乙单独完成需要个月，则
，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
（2）由题意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵都为正整数，
∴为3的倍数，
∴或或，
∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：（万元），
方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：（万元），
方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：（万元），
∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
21．（2023·山东泰安·统考中考真题）（1）化简：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据分式的混合计算法则求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．
22．（2023·湖北恩施·统考中考真题）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
(1)男装、女装的单价各是多少？
(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
【答案】(1)男装单价为100元，女装单价为120元．
(2)学校有11种购买方案，当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元
【分析】（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设参加活动的女生有a人，则男生有人，列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）解：设男装单价为x元，女装单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：男装单价为100元，女装单价为120元．
（2）解：设参加活动的女生有a人，则男生有人，
根据题意可得，
解得：，
∵a为整数，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，
故一共有11种方案，
设总费用为w元，则，
∵，
∴当时，w有最小值，最小值为（元）．
此时，（套）．
答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到题中的等量关系或不等关系是解题的关键．
23．（2023·北京·统考中考真题）解不等式组：．
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
24．（2023·江苏无锡·统考中考真题）（1）解方程：
（2）解不等式组：
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】（1）
解：∵，
∴，
∴
解得：，；
（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
【点睛】本题考查了解一元二次方程，求不等式组的解集，熟练掌握公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式组是解题的关键．
25．（2023·江苏徐州·统考中考真题）（1）解方程组
（2）解不等式组
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用代入法解二元一次方程组即可；
（2）求出每个不等式的解集，取每个不等式解集的公共部分即可．
【详解】解：（1）
把①代入②得，，
解得，
把代入①得，，
∴ ；
（2）
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集是．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，熟练掌握相关解法是解题的关键．
26．（2023·辽宁·统考中考真题）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元
(1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
(2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
【答案】(1)A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；
(2)至少购进A种礼品盒15盒．
【分析】（1）设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒盒，根据题意列不等式即可得到结论．
【详解】（1）解：设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，
根据题意得：，
解得：，
答：A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；
（2）解：设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒盒，
根据题意得：，
解得：，
∵x为整数，
∴x的最小整数解为15，
∴至少购进A种礼品盒15盒．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
27．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）解不等式组：．
【答案】
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分即可．
【详解】解：，
由①得：，
解得：，
由②得：，
解得：，
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键．
28．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）（1）计算：；
（2）解不等式组：.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简，进行计算即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，正确掌握零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简，一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
三、填空题
29．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）不等式的最大整数解是 ．
【答案】3
【分析】根据一元一次不等式的解法即可得．
【详解】解：不等式的解集是，
则不等式的最大整数解是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
30．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）若关于的不等式组有三个整数解，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于的不等式组求得的范围．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有三个整数解，
不等式组的整数解为，0、1，
则，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
1．（2023·湖南益阳·统考中考真题）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式，再利用大于向右拐，小于向左拐在数轴上表示两个解集即可．
【详解】解：，
由② 得：，
在数轴上表示两个不等式的解集如下：
，
∴不等式组的解集为：；
故选B
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，利用数轴上确定不等式组的解集，熟练的使用数轴工具是解本题的关键．
2．（2023·山东济南·统考中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可.
【详解】解：由题意可得：，所以，
∴，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；
故选：D.
【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键.
3．（2023·浙江·统考中考真题）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对应的点在数轴上的位置，利用不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：由数轴得：，，
故选项A不符合题意；
∵，∴，故选项B不符合题意；
∵，，∴，故选项C不符合题意；
∵，，∴，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是实数与数轴，绝对值的概念，不等式的性质，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2023·湖南娄底·统考中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先分别求出各不等式的解集，再利用数轴表示解集的公共部分即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
在数轴上表示两个不等式的解集如下：
∴不等式组的解集为：；
故选：C
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知大于向右拐，小于向左拐的原则是解答此题的关键．
5．（江苏省扬州市江都区邵樊片2020-2021学年下学期七年级第二次月考数学试题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法求解即可．
【详解】解：∵x≥1，
∴1处是实心原点，且折线向右．
故选：A．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
6．（2023·四川德阳·统考中考真题）不等式组，的解集是（ ）
A．B．C．D．无解
【答案】A
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
7．（2023·四川雅安·统考中考真题）不等式组的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．（2023·湖南·统考中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．
【详解】解：由得，
由得，
解集在数轴上表示为：
，
则不等式组的解集为．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
9．（2023·辽宁营口·统考中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解出不等式组的解集，在数轴上表示，含端点值用实心圆圈，不含端点值用空心圆圈，即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴数轴表示如下所示：
故选B．
【点睛】本题考查了数轴上表示不等式的解集，解答此类题目时一定要注意实心圆点与空心圆点的区别，这是此题的易错点．
10．（2023·北京·统考中考真题）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：得，则，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变．
11．（2023·山东日照·统考中考真题）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是正数，可得，即可求出的取值范围．
【详解】解：
∵方程的解为正数，且分母不等于0
∴，
∴，且
故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键．
12．（2023·山东·统考中考真题）解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后根据在数轴上表示解集的方法判断即可．
【详解】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式①②的解集在同一条数轴上表示为：
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
13．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）已知不等式组的解集是，则（ ）
A．0B．C．1D．2023
【答案】B
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，再结合已知可得，，然后进行计算可求出，的值，最后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵不等式组的解集是，
∴，，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
二、解答题
14．（2023·陕西·统考中考真题）解不等式：．
【答案】
【分析】去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】解：，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
不等式的两边都除以，得．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．
15．（2023·山东济南·统考中考真题）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为0，1，2
【分析】分别求解两个不等式，再写出解集，最后求出满足条件的整数解即可．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，
原不等式组的解集是，
∴整数解为0，1，2．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．
16．（2023·山东潍坊·统考中考真题）（1）化简：
（2）利用数轴，确定不等式组的解集．
【答案】（1）；（2）画图见解析，不等式组的解集为：．
【分析】（1）先通分计算括号内的分式的减法，再通分计算分式的加法运算即可；
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
由① 得：，
解得：，
由② 得：，
解得：，
两个不等式的解集在数轴上表示如下：
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查的是分式的加减运算，一元一次不等式组的解法，熟记分式的加减运算的运算法则与解不等式组的方法与步骤是解本题的关键．
17．（2023·浙江·统考中考真题）（1）分解因式：．
（2）解不等式：．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用提取公因式法分解因式即可；
（2）按照解不等式的一般步骤求解即可．
【详解】解：（1）；
（2）
去括号，得，
移项合并，得．
【点睛】本题考查了因式分解的方法和解不等式，熟练掌握因式分解的方法和解不等式的步骤是解题的关键．
18．（2023·湖南娄底·统考中考真题）为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗．已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元，；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元．
(1)求每棵甲、乙树苗的价格．
(2)本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值，经济价值）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？
【答案】(1)每棵甲种树苗的价格为2元，每棵乙种树苗的价格3元
(2)乙种树苗种植数量不得少于100棵
【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由“购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元，；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元”列出方程组，可求解；
（2）设乙种树苗种植数量为m棵，则甲种树苗数量为棵，根据“获得不低于5万元的价值”列不等式解题即可．
【详解】（1）解：设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元， 由题意可得：
， 解得：，
答：每棵甲种树苗的价格为2元，每棵乙种树苗的价格3元；
（2）设乙种树苗种植数量为m棵，则甲种树苗数量为棵，
∴，
解得：，
∴的最小整数解为100．
答：乙种树苗种植数量不得少于100棵．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，熟练的确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
19．（2023·宁夏·统考中考真题）解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
第1步
第2步
第3步
第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【答案】任务一：4，不等号的方向没有发生改变，；任务二：，
【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论；
任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集即可．
【详解】解：任务一：∵，
∴；
∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是；
故答案为：4，不等号的方向没有发生改变，；
任务二：，
，
，
；
又，
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集，注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变．
20．（2023·四川德阳·统考中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
【答案】(1)乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
(2)甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元．
【分析】（1）设乙单独完成需要个月，由“乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．”建立分式方程求解即可；
（2）由题意可得：，可得，结合，，可得，结合都为正整数，可得为3的倍数，可得甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，从而可得答案．
【详解】（1）解：设乙单独完成需要个月，则
，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
（2）由题意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵都为正整数，
∴为3的倍数，
∴或或，
∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：（万元），
方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：（万元），
方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：（万元），
∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
21．（2023·山东泰安·统考中考真题）（1）化简：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据分式的混合计算法则求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．
22．（2023·湖北恩施·统考中考真题）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
(1)男装、女装的单价各是多少？
(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
【答案】(1)男装单价为100元，女装单价为120元．
(2)学校有11种购买方案，当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元
【分析】（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设参加活动的女生有a人，则男生有人，列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）解：设男装单价为x元，女装单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：男装单价为100元，女装单价为120元．
（2）解：设参加活动的女生有a人，则男生有人，
根据题意可得，
解得：，
∵a为整数，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，
故一共有11种方案，
设总费用为w元，则，
∵，
∴当时，w有最小值，最小值为（元）．
此时，（套）．
答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到题中的等量关系或不等关系是解题的关键．
23．（2023·北京·统考中考真题）解不等式组：．
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
24．（2023·江苏无锡·统考中考真题）（1）解方程：
（2）解不等式组：
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】（1）
解：∵，
∴，
∴
解得：，；
（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
【点睛】本题考查了解一元二次方程，求不等式组的解集，熟练掌握公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式组是解题的关键．
25．（2023·江苏徐州·统考中考真题）（1）解方程组
（2）解不等式组
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用代入法解二元一次方程组即可；
（2）求出每个不等式的解集，取每个不等式解集的公共部分即可．
【详解】解：（1）
把①代入②得，，
解得，
把代入①得，，
∴ ；
（2）
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集是．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，熟练掌握相关解法是解题的关键．
26．（2023·辽宁·统考中考真题）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元
(1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
(2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
【答案】(1)A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；
(2)至少购进A种礼品盒15盒．
【分析】（1）设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒盒，根据题意列不等式即可得到结论．
【详解】（1）解：设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，
根据题意得：，
解得：，
答：A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；
（2）解：设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒盒，
根据题意得：，
解得：，
∵x为整数，
∴x的最小整数解为15，
∴至少购进A种礼品盒15盒．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
27．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）解不等式组：．
【答案】
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分即可．
【详解】解：，
由①得：，
解得：，
由②得：，
解得：，
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键．
28．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）（1）计算：；
（2）解不等式组：.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简，进行计算即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，正确掌握零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简，一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
三、填空题
29．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）不等式的最大整数解是 ．
【答案】3
【分析】根据一元一次不等式的解法即可得．
【详解】解：不等式的解集是，
则不等式的最大整数解是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
30．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）若关于的不等式组有三个整数解，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于的不等式组求得的范围．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有三个整数解，
不等式组的整数解为，0、1，
则，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
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