《完全平方公式》第1课时示范公开课教案【北师大数学七年级下册】

《完全平方公式》教学设计第1课时一、教学目标1.能根据多项式的乘法法则推导出完全平方公式，理解完全平方公式的结构特征，并能正确运用公式进行计算．2.了解(a+b)2=a2 +2ab+b2的几何背景，发展几何直观．3.在探索完全平方公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力，培养学生观察、归纳、概括等能力．4.在探究过程中发现规律，并能用符号表示，感受数学的严谨性，体会数学的简洁美.二、教学重难点重点：掌握完全平方式的推导过程，并能正确运用公式进行计算.难点：理解完全平方公式的结构特征，能灵活运用公式.三、教学用具电脑、多媒体、课件．四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一 创设情境【复习回顾】问题1：多项式与多项式是如何相乘的？预设：多项式与多项式相乘(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq多项式与多项式相乘的法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.教师活动：引导学生回顾多项式乘以多项式的计算法则，待学生回答后，教师可举两个简单的例子，让学生一起计算.如：(a+b) (m+n)= am+an+bm+bn (x+3) (x+3)=x2+6x+9.问题2：平方差公式是怎样的呢？预设：(a+b)(ab)=a2b2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.小游戏：比一比谁算的更快152=？   252=？    352=？    452 =？   552 =？   652 =？…               认真思考     回顾多项式相乘的运算法则，并计算.    尝试计算，并反馈结果         通过复习回顾熟悉已学知识，为新知识的学习作准备. 激发学生的学习兴趣，调动积极性.环节二 探究新知【探究】教师活动：先给出式子让学生计算出结果，然后通过追问引导学生发现这些等式的规律，得出完全平方公式.问题1：计算下列各式，看谁算得又快又对？(1)  (m+3)² =            =              =          =            ；(2)  (2+3x)² =            =              =          =           .预设：(1)(m+3)²=(m+3)(m+3)=m²+3m+3m+9=m2+6m+9(2)(2+3x)²=(2+3x)(2+3x)=2² +2×3x+2×3x+9x2= 4+12x+9x²                    观察上面的等式，你能发现什么规律？追问1：原算式有什么共同点？(1)(m+3)²=(m+3)(m+3)=m2+6m+9(2)(2+3x)²=(2+3x)(2+3x)= 4+12x+9x²  预设：均为两个数的和的平方.追问2：原算式中的各项与它们结果中的各项有什么关系？(1)(m+3)²=(m+3)(m+3)=m²+3m+3m+9(2)(2+3x)²=(2+3x)(2+3x)=2² +2×3x+2×3x+9x2预设：两个数的和的平方，恰好是这两个数的平方和，加上这两个数的积的2倍.追问3：根据发现的规律你能得出什么结论吗？用式子表示出来.预设：猜想(a+b)2=a2+2ab+b2追问4：你能再举两个例子，验证你发现的规律吗？预设答案：(1)  (m+1)2=(m+1)(m+1) =m2+m+m+1=m2+2m+1(2) (3n+4)²=(3n+4)(3n+4)=9n2+12n+12n+16=9n2+24n+16追问5：你能对发现的规律进行推导吗？小组合作：1.独立思考，完成验证；2.两人一组，交流思路，完善过程.推导过程：(a+b)²=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍.【想一想】你能用下图解释(a+b)2=a2+2ab+b2这一公式吗？预设： (a+b)2=a2+2ab+b2【议一议】 (a−b)2=？你是怎样做的？预设：方法一：(a−b)2=(a−b)(a−b) =a2−ab−ab+b2     =a2−2ab+b2 方法二：(a−b)2=[a+(−b)]2 =a2+2a(−b)+(−b)2=a2−2ab+b2教师活动：引导学生思考并计算，待学生完成计算后，教师汇总并补充，得出结论，教师可适当追问，还有其他的计算方法吗？使学生理解，还可以运用多项式乘以多项式的法则计算.归纳：完全平方公式(a−b)2=a2−2ab+b2两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍.   【做一做】请你设计一个图形解释(a−b)2=a2−2ab+b2这一公式. 预设：(a−b)2=a2−2(a−b)b−b2=a2−2ab+b2 【归纳】    完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2= a2−2ab+b2完全平方公式的特征：(1)公式的左边是两个相同的二项式相乘；(2)公式的右边都是二次三项式；(3)首尾两项分别是二项式两项的平方，中间一项是二项式两项积的2倍；(4)公式中的字母a、b可以表示数、单项式或多项式.         快速运算出结果               认真观察并思考                          先自主完成，再小组交流           先独立思考，再分组探究交流             独立计算，并交流讨论        与教师一起归纳     类比上一个完全平方公式进行设计          熟悉完全平方公式的特征      让学生通过多项式相乘的运算法则计算出结果，由熟悉的知识入手，提高学习积极性.       通过追问引导学生发现等式的规律，培养学生的观察分析能力.                   通过合作探究培养学生的合作意识，并让学生感知从一般到特殊的研究问题的方法.       利用几何图形的面积解释完全平方公式，让学生从不同的角度理解这一公式，了解完全平方公式的几何意义，并让学生感知数形结合的思想.    引导学生类比探究两数和的情况，探究两数差的情况，从而得到两数差的完全平方公式.    明确两数差的完全平方式.   类比“两数和”的情况，引导学生能够利用几何直观对这一结果进行解释.       通过归纳完全平方公式的特征，培养学生的观察分析能力和归纳概括能力.     环节三应用新知【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【例1】利用完全平方公式计算：(1)  (2x3)²；(2)  (4x+5y)²；(3)  (mna)².分析：关键是确认完全平方公式中的a，b分别代表什么.解： (1) (2x3)²=(2x)22·2x·3+32=4x212x+9；(2)  (4x+5y)²=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2=16x2+40xy+25y2；(3)  (mna)=(mn)²2·mn·a+a2                  =m²n²ma+a2         明确本题的做法                    让学生在应用过程中进一步加深对完全平方公式的认识和理解，培养学生的应用意识. 环节四巩固新知【随堂练习】教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.运用完全平方公式计算： (1)  (x2y)2                                            (2)  (2y+)2           (3)  (n+1)2  -n²          解：   (3) (n+1)² −n²= n2+2n+1−n2==2n+1.2.图1是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的长方形，用剪刀沿图中的线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是(      )A. ab                B. (a+b)2              C. (ab)2             D. a2b2答案：C.3.一个圆的半径长为r(r>2)cm，减少2 cm后，这个圆的面积减少了多少？解：πr2 - π(r-2)2=πr2 -π(r2 -4r+4)=πr2 -πr2 +4πr-4π=4π(r-1) cm²       答：这个圆的面积减少了4π(r-1) cm² .4.若x2+kx+81=(x9)2，则k=________．  解： ∵ x2+kx+81=(x±9)2      ∴ x2+kx+92=x2±18x+92      ∴ k=±18          自主完成练习，然后集体交流评价.    通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 环节五课堂小结思维导图的形式呈现本节课的主要内容：   回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.环节六布置作业 教科书 第26页习题1.11 第1、3题  课后完成练习通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.