专题12 数列的基本运算（练）-备战高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）

这是一份专题12 数列的基本运算（练）-备战高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考），文件包含专题12数列的基本运算练解析版docx、专题12数列的基本运算练原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。

【对点演练】
一、单选题
1．（2022春·江苏南京·高三期末）若等差数列的前5项和为75，，则（ ）
A．40B．45C．50D．55
【答案】B
【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列前项和与基本量和的关系将题目条件全部转化为基本量的关系，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
根据题意可得，解得，，
.
故选：B.
2．（2022春·江苏·高三江苏省新海高级中学校联考阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，它的前项和为，且，则（ ）
A．27B．64C．81D．128
【答案】A
【分析】由基本量法求得首项和公比可得．
【详解】设公比为，则由已知得，即，解得或（舍去），所以．
故选：A．
3．（2023·广西桂林·统考一模）已知正项等比数列}满足为与的等比中项，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据等比中项定义和等比数列通项公式得，解得，化简.
【详解】设等比数列的公比为，
由题意得，即，
，，
，
故选：B.
4．（2022春·北京大兴·高三统考期末）已知数列中，，，，则下列结论错误的是（）
A．B．
C．是等比数列D．
【答案】D
【分析】AB项，分别令，，求出的值验证；CD项，由可得，得，继而得到及均为等比数列，根据等比数列的通项求解.
【详解】当时，，故A正确.
当时，，
当时，，，故B正确.
C项，，
，
所以得，所以，是以为首项，为公比的等比数列，故C正确.
D项，由C项得，
又，，是以为首项，为公比的等比数列，
，故D错误.
故选：D
二、多选题
5．（2022春·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考期中）已知数列为等差数列，其前n项和为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．公差
C．当时最大D．使的n的最大值为16
【答案】ABC
【分析】根据等差数列的性质得出，，逐项判断即可.
【详解】根据等差数列的性质知，，，
又，所以，所以，B项正确；
又，所以，A项正确；
根据，，，，可知，等差数列前8项均为正数，从第9项起为负数，所以当时最大，C项正确；
，，所以使的n的最大值为15.
故选：ABC.
6．（2022春·江苏南通·高三海安高级中学期中）设是公差为d的等差数列，是其前n项的和，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】由等差数列的性质得出，即，由此易判断ABC，对选项D，可根据数列是递增数列，确定即可判断．
【详解】，则，
，所以，，，
，则，
，
，
，是递增数列，
，，
所以中，最小，
故选：ACD．
三、填空题
7．（2023·广西桂林·统考一模）记为等差数列的前n项和.若，则=___________.
【答案】144
【分析】利用等差数列的前n项和公式求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，
则解得，
所以，
故答案为:144.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，且，则______.
【答案】
【分析】由特征方程解得特征根，可知数列通项的形式，由，解出待定系数得到通项公式.
【详解】特征方程为，解得：，所以可设，
因为，，所以，解得：，，故.
故答案为：
9．（2022春·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）设数列的前项和为，若，，则______.
【答案】
【分析】根据递推关系式，得，即可得数列是以为首项，为公比的等比数列，按照等比数列通项公式求出，即可得的值.
【详解】解：设数列的前项和为，若，，
则，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列
所以，即，所以.
故答案为：.
10．（2022·四川达州·统考一模）已知正项数列前项和满足，且，则__________.
【答案】
【分析】利用得出数列是等差数列，且公差为1，然后求得，再代入可得．
【详解】，，
，，
，，
∴，即，所以是等差数列，公差为1，
，，
，即，．
故答案为：．
【冲刺提升】
一、单选题
1．（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知等差数列满足，则下列命题：①是递减数列；②使成立的的最大值是9；③当时，取得最大值；④，其中正确的是（ ）
A．①②B．①③
C．①④D．①②③
【答案】D
【分析】设出公差为，列出方程组，求出首项和公差，根据判断①正确，
写出，解不等式求出成立的的最大值是9，②正确；
根据与，得到当时，取得最大值，③正确；
利用通项公式求出的值，得到④错误.
【详解】设等差数列的公差为，
故，解得：，
由于，故是递减数列，①正确；
，令，
解得：，且，
故使成立的的最大值是9，②正确；
，
当时，，当时，，
故当时，取得最大值，③正确；
，④错误.
故选：D
2．（2022春·北京大兴·高三统考期末）设为等差数列的前项和.已知，，则（ ）
A．为递减数列B．
C．有最大值D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解.
【详解】为等差数列的前项和，
，解得；
又，设等差数列的公差为：
为递增数列，选项A错.
，，选项B对.
由知，
由二次函数的性质可知，有最小值没有最大值.选项C错.
，选项D错.
故选：B.
3．（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）等差数列 中，，当 取得最小值时，n的值为（ ）
A．4或5B．5或6C．4D．5
【答案】A
【分析】求得数列的首项和公差d，可得通项公式，继而求得的表达式，结合二次函数知识即可得答案.
【详解】设等差数列的首项为，公差为d，则 ，
解得，则，
所以，
由于，故当n取4或5时，取得最小值，
故选：A.
4．（2022春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）等比数列满足，设数列的前项和为，则=（ ）
A．B．C．5D．11
【答案】A
【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列通项公式化简条件求，判断数列为等比数列，然后利用等比数列的前项和公式计算.
【详解】设等比数列的公比为 由可得，又，，
所以，所以，因为，
故数列也为等比数列，公比为
所以等比数列的公比为
因此,
所以，
故选：A.
二、多选题
5．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．当时，取得最小值
C．当时，n的最小值为7
D．当时，取得最小值
【答案】ABD
【分析】对于A，由变形求得，利用累加法求得，进而求得，求出，即可判断；对于B，判断的单调性，即可判断；对于C，判断单调递增，并计算的值，即可判断；对于D，根据，的值的正负以及单调性，判断的值正负以及单调性，即可判断.
【详解】由得，
∴，
累加得，，
故，当时，满足上式，
∴，
当时，，∴，故选项A正确；
由于函数 ，其图象对称轴为，当时函数递增，
故当时，单调递增，又，
∴单调递增，且，
∴当时，单调递减，当时，单调递增，且，
∴当时，取得最小值，故选项B正确；
当时，单调递增，又，
∴当时，n的最小值为8，故选项C错误；
当时，；当时，；当时，，
∴当时，考虑的最小值，
又当时，恒为正且单调递减，恒为负且单调递增，
∴单调递增，∴当时，取得最小值，故选项D正确，
故选：．
三、填空题
6．（2022春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）已知等差数列的前项和为，且，则___________；
【答案】
【分析】根据给定条件，列出关于等差数列的首项、公差的方程组，结合等差数列前n项公式求解作答.
【详解】设等差数列的公差为，由得：，解得，又，
于是得，解得，
所以.
故答案为：
7．（2020·全国·统考高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则__________．
【答案】
【分析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.
【详解】是等差数列，且，
设等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前项和公式：
可得：
.
故答案为：.
8．（2022春·北京海淀·高三海淀实验中学校考阶段练习）已知是各项均为正的等比数列，为其前项和，若，则公比_______，______．
【答案】 ##0.5 15
【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式求解即可.
【详解】因为是各项均为正的等比数列，
所以解得或，
又因为是各项均为正，所以，
所以，
故答案为：，
9．（2020·江苏·统考高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．
【答案】
【分析】结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得的公差和公比，由此求得.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.
等差数列的前项和公式为，
等比数列的前项和公式为，
依题意，即，
通过对比系数可知，故.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式，属于中档题.
四、解答题
10．（2022·全国·统考高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
11．（2022春·河南·高三信阳高中校联考期末）已知数列的前项和为，，，且当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)，
【分析】对于（1），利用，，化简已知式子可得，即数列为等差数列.
对于（2），分组求和可得答案.
【详解】（1）因为时，，
所以.
所以，即.
因为，所以.
故数列是首项为1，公差为1的等差数列.
所以，.
（2）由（1），得，
所以
，.
12．（2021·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．
下面用数学归纳法证明．
当时显然成立．
假设当时成立，即．
那么当时，．
综上，猜想对任意的都成立．
即数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；
方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式.