专题22 计数原理（讲）-备战高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇

专题22 计数原理（讲）

真题体验 感悟高考

1．（2021·全国·统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

2.（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ）

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

3．（2022·全国·统考高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．

总结规律 预测考向

（一）规律与预测

1.排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理．难度基本稳定在中等.

2.二项展开式定理的问题是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：

（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；

（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；

（3）二项式定理的应用．

近几年，围绕二项展开式的通项公式命题，考查某一项或考查某一项的系数较多.

（二）本专题考向展示

考点突破 典例分析

考向一  排列组合

【核心知识】

1.排列数公式：这里并且

2.全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，(叫做n的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定.

3.组合数的计算公式：，由于，所以.

4.组合数的性质：①；②；③.

【典例分析】

典例1.（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）将2个红球、2个白球、1个绿球放入编号分别为①②③的三个盒子中，其中，两个盒子各放1个球，另外一个盒子放3个球，这5个球除颜色外其他都一样，则不同的放法有（    ）

A．24种 B．30种 C．62种 D．41种

典例2. （2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）将5名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

典例3.（2023·高三课时练习）某市拟成立一个由6名中学生组成的调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的4所实验中学，要求每所实验中学都有学生参加，那么不同的名额分配方法的种数是_________.

典例4.（2023·高三课时练习）一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，将他们全部分配到三家医院，使每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有_________种.

典例5.（2023·高三课时练习）有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的种数.

(1)选其中5人排成一排；

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；

(3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾；

(4)全体排一排，女生必须站在一起；

(5)全体排一排，男生互不相邻；

(6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人；

(7)全体排一排，甲必须排在乙的前面；

(8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端.

【规律方法】

1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．

具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：

(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．

(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．

(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

2. 解答排列、组合问题的角度：

解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．

(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；

(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；

(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；

(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．

3. 有条件的排列问题大致分四种类型．

（1）直接法:①分类法:选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型ꎬ分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数.

②分步法:选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数.

（2）捆绑法:相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列.

（3）插空法:不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中.

（4）除法:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，所得数字（算式）再除以已定元素的全排列数.

（5）间接法:对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法.

4．分组、分配问题的求解策略

(1)对不同元素的分配问题

①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．

②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．

③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．

(2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．

考向二  求二项展开式中的特定项（系数）

【核心知识】

二项式定理

，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；.

【典例分析】

典例6.（2020·北京·统考高考真题）在的展开式中，的系数为（    ）．

A． B．5 C． D．10

【答案】C

【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.

【详解】展开式的通项公式为：，

令可得：，则的系数为：.

故选：C.

典例7.（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）的展开式中x2y4的系数为（    ）

A．192 B．240 C．432 D．256

典例8.（2022·天津·统考高考真题）的展开式中的常数项为______.

【总结提升】

1.求二项展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．

2．求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路

(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．

(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；

(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．

考向三  已知展开式的某项或其系数求参数

【核心知识】

已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．

【典例分析】

典例9.（2023秋·山东日照·高三校联考期末）二项式的展开式中常数项为，则的值为______．

典例10.（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）若展开式中的系数为30，则________.

【特别提醒】

在应用通项公式时，要注意以下几点：

①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定；

②是展开式中的第项，而不是第项；

③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置；

④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．

⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．

考向四  二项式系数的性质与赋值法的应用

【核心知识】

二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，.

(2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的．

当是偶数时，中间的一项取得最大值．

当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值．

(3)各二项式系数的和

的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，

【典例分析】

典例11.【多选题】（2022·全国·高三专题练习）设，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．展开式中二项式系数最大的项是第5项

典例12.（2022秋·吉林长春·高三长春外国语学校校考期末）已知的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式中常数项为______．

典例13.（2023·甘肃兰州·校考一模）若，则的值为______．

典例14.（2021·全国·高三专题练习）（数学文化）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第13个数是______．（用数字作答）

典例15.（2022秋·甘肃武威·高三校考阶段练习）若，且．

(1)求实数a的值；

(2)求的值．

【规律方法】

1.赋值法在求各项系数和中的应用

(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．

(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．

①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝.

②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.

2．二项式系数最大项的确定方法

(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；

(2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大．

3．展开式系数最大值的两种求解思路

(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案．

(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．