专题05 数列放缩（精讲精练）-备战2024年高考数学二轮复习讲练测（新备战2024年高考专用）

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数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢．
【核心考点目录】
核心考点一：先求和后放缩
核心考点二：裂项放缩
核心考点三：等比放缩
核心考点四：型不等式的证明
核心考点五：型不等式的证明
核心考点六：型不等式的证明
核心考点七：型不等式的证明
【真题回归】
1、（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
【解析】（1）当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
（2）设，则，
又，设，
则，
若，则，
因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，
故在为增函数，故，
故在为增函数，故，与题设矛盾.
若，则，
下证：对任意，总有成立，
证明：设，故，
故在上为减函数，故即成立.
由上述不等式有，
故总成立，即在上为减函数，
所以.
当时，有，
所以在上为减函数，所以.
综上，.
（3）取，则，总有成立，
令，则，
故即对任意的恒成立.
所以对任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
2、（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解析】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
3、（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
【解析】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以，所以，
所以；
设等比数列的公比为，
所以，解得（负值舍去），
所以；
（II）（i）由题意，，
所以，
所以，且，
所以数列是等比数列；
（ii）由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
4、（2021·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【解析】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
【方法技巧与总结】
常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
（15）二项式定理
①由于，
于是
②，
；
，
（16）糖水不等式
若，则；若，则．
【核心考点】
核心考点一：先求和后放缩
例1．（2022·全国·模拟预测）己知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，证明：.
【解析】（1）设数列的公比为q，
由，，成等差数列可得，
故，解得，
由可得，
解得，故，即数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
故.
当时，取得最大值，当时，
，
故.
例2．（2022·江苏南京·模拟预测）记数列的前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
【解析】（1）由，两边同时除以可得：，
故数列为以为公差的等差数列，则，即，
当时，，
将代入上式，可得，则满足上式，
故数列的通项公式.
（2）由，则，即，
，
，
两式相减可得，
，
则，
由（1）可得，
，
令，，则数列为递增数列，
，则，即；
，
令，易知数列为递减数列，，则，即.
综上，不等式恒成立.
例3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列满足，的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记，证明：.
【解析】（1）依题意，
，
，
所以数列是首项为，
公比为的等比数列，所以，
当时，由得，
两式相减并化简得，
也符合上式，所以.
（2），
，
，
两式相减得，
所以
.
例4．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高三期中）在各项均为正数的数列中，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
【解析】（1）因为各项为正数，，
所以上式两边同时除以，得，
令，则，即，解得（负值舍去），
所以，
又，
所以是以，的等比数列，
故.
（2）由（1）得，
所以，
因为，则，所以.
例5．（2022·山西临汾·高三阶段练习）在各项均为正数的等比数列中，为其前n项和，，，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
【解析】（1）设数列的公比为q，由题意知，
即，
因为，，所以，所以，所以．
（2）证明：由（1）得，所以，
所以，
所以．
显然单调递增，所以，
因为，所以，所以．
例6．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知数列的前项和为，若，
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
【解析】（1）当时，
相减得
当时，符合上式
所以.
当时，
当时，符合上式.
故
（2）由（1）知：
所以
核心考点二：裂项放缩
例7．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）已知为数列的前项和，且，数列前项和为，且，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，设数列的前项和为，求；
(3)证明：.
【解析】（1）由，
当时，，
当时，，
检验时，，所以；
因为，（），
所以，即（），
而，故满足上式，
所以是以，公比等于的等比数列，即；
（2）因为，
所以，
所以
；
（3）因为，
.
所以 ，
，
因为，，所以，
即，即证：；
综上，，， .
例8．（2022·山东·济宁市育才中学高三开学考试）已知数列{an}的前n项和为Sn，且，a1＝1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，数列{bn}的前n项和为Tn，证明．
【解析】（1）因为，所以.
两式相减，得，
即
所以当时，，
在中，令，得，
所以，
又满足，所以
所以，
故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，且.
（2），
所以，
当时，，
当时，，
所以.
例9．（2022·天津一中高三阶段练习）已知数列满足记.
(1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
(3)设，记数列的前项和为，求证：.
【解析】（1）证明：因为，
所以，
又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以.
（2）
（3）
例10．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））记数列​前​项和为，.
(1)证明：​为等差数列；
(2)若​，记​为数列​的前​项积，证明：​.
【解析】（1）由题意，得​.
则​.
两式相减，得​，
即​，
​是等差数列.
（2）因为，由（1）知（也符合此式）
故数列的通项公式为
则
所以
故，得证.
例11．（2022·河南·模拟预测（理））若数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解析】（1）因为，，
所以，
故；
（2）证明：当n＝1时，；
当时，，
则，
故；
综上，.
核心考点三：等比放缩
例12．（2022·重庆八中高三阶段练习）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
【解析】（1），，即；
当且时，，
即，，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，则.
（2）由（1）得：，
，，
.
例13．（2022·广东·高三阶段练习）已知数列的首项为1，为数列的前n项和，，其中．
(1)若成等差数列，求的通项公式；
(2)设数列满足，且，数列的前n项和为，证明：．
【解析】（1）由得，两式相减得，
由可得，故对所有都成立，
所以数列是首项为1，公比为q的等比数列，从而，
由成等差数列可得，化简得，
又，解得（舍去），
所以．
（2）由题意可知，
由可得，解得（舍去），
又，则，即，
则，
即．
例14．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且.
(1)求的通项公式，并证明数列是等比数列；
(2)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.
(3)求证：对于任意正整数，.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由，可得，解得或（舍去），
．
又，则，
由，可得，，
数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可得
，
设的前项和为，
则
，
当为奇数时，随着的增大而减小，可得，
当为偶数时，随着的增大而增大，可得，
的最大值为，最小值为．
（3）证明：因为数列是以为首项，为公比的等比数列，
，．
所以，
所以
，
所以．
例15．（2022·浙江大学附属中学高三期中）记为数列的前项和，已知，是公差为2的等差数列.
(1)求证为等比数列，并求的通项公式；
(2)证明：.
【解析】（1）因为是公差为2的等差数列，，
所以，
当时，，
两式相减得，，即，
故，又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
故，则.
（2）因为，所以，则，即，
所以.
例16．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列满足，当时，，的前项和为.
(1)求数列的通项公式及；
(2)数列是等比数列，为数列的公比，且，记，证明：
【解析】（1）当时，累加可得且当时，符合，.
由等差数列前项和的公式可得：
（2）由（1）得，
对于左边，，又，
对于右边，,
.
综上：成立.
例17．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三开学考试）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
【解析】（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，，
故数列为等比数列，首项为，公比为2；
（2）由（1）可知，所以，
所以．
核心考点四：型不等式的证明
例18．（2022·山东省实验中学模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最大值；
(2)若关于x的方程有实数根，求实数k的取值范围；
(3)证明：．
【解析】（1），当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减
所以，即当时，取最大值1．
（2）依题意，，令，，
当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，
即，因此的值域是，方程有解，有，
所以实数k的取值范围是.
（3）由（1）知，当且仅当时取等号，因此当时，，
即当时，，，
所以．
例19．（2022·全国·高三专题练习）设各项均为正数的数列的前项和为，满足.
(1)求的值：
(2)求数列的通项公式：
(3)证明：对一切正整数，有.
【解析】（1）令，，则舍去，所以.
（2），因为数列各项均为正数，舍去，，当时，，
（3）令，所以
例20．（2022·上海·模拟预测）在数列中，，其中．
(1)设，证明数列是等比数列；
(2)记数列的前n项和为，试比较与的大小．
【解析】（1），由得：，而，
则，整理得，而，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）由（1）知，，于是得，，
因此，，
令，显然数列是递增数列，而，
即时，，，当时，，
所以，当时，，当时，.
例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
【解析】（1）当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
（2）设，则，
又，设，
则，
若，则，
因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，
故在为增函数，故，
故在为增函数，故，与题设矛盾.
若，则，
下证：对任意，总有成立，
证明：设，故，
故在上为减函数，故即成立.
由上述不等式有，
故总成立，即在上为减函数，
所以.
当时，有，
所以在上为减函数，所以.
综上，.
（3）取，则，总有成立，
令，则，
故即对任意的恒成立.
所以对任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
例22．（2022·湖南·周南中学高三阶段练习）已知函数．
(1)求函数的最大值；
(2)证明：
【解析】（1）因为定义域为，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即当时，取最大值1．
（2）证明：由（1）知，当且仅当时取等号，因此当时，，
即当时，，
所以，
所以
．
例23．（2022·全国·高三专题练习）已知单调递减的正项数列，时满足． 为前n项和．
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
【解析】（1）由，
得，
即，
由是单调递减的正项数列，得，
则，即，
故是以为首项，1为公差的等差数列，
则，即.
（2）要证：，
只需证：，
即证：，
即证：，
即证：，
即证：，
即证：，
而此不等式显然成立，
所以成立.
例24．（2022·广东·铁一中学高三阶段练习）记为数列的前项和，已知是首项为3，公差为1的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，.
【解析】（1）∵是首项为3，公差为1的等差数列，∴，
∴.∴当时，，.
又不满足，
∴的通项公式.
（2）当时，，
，
∴，
∴.
例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列和满足，且对任意都有，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)证明：．
【解析】（1）对任意都有，，．，即．数列是首项为，公差为1的等差数列．，且，．．，，
（2），，．所证不等式，即．①先证右边不等式：．令，则．当时，，所以函数在上单调递减．当时，，即．分别取．得．即．也即．即．②再证左边不等式：．令，则．当时，，所以函数在上单调递增．当时，，即．分别取．得．即．也即．即．．
例26．（2022·福建·莆田第五中学高三期中）数列满足，.
(1)求数列前项和；
(2)证明：对任意的且时，
【解析】（1）当时，
当时，
两式相减得：
所以，又符合此式，
综上所述，
所以数列为等比数列，首项为1，公比为，所以
（2）由（1）可知，所以
故只需证明
下面先证明对任意的且都有
记，则在上恒成立，
所以在上是增函数，又，故
当且时，，所以，即
所以，，…，累加的原式得证
例27．（2022·天津河西·高三期中）设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝，已知a1，3a2，9a3成等差数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜．
(3)求证：
【解析】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，设公比为，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
（3）由（1）知，
，
，当时，显然，当时，
.
综上：.
核心考点五：型不等式的证明
例28．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数.
（1）判断函数的单调性；
（2）已知数列，，求证：.
【解析】（1）的定义域为，.
设.
∵，∴当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴在处取得最大值.
又∵，∴对任意的，恒成立，即对任意的，都有
恒成立，故在定义域上是减函数.
（2）由是减函数，且可得，当时，，
∴，即，
两边同除以得，即，
从而，
所以. ①
下面证.
记，，
∴.
∵在上单调递减，而，
∴当时，恒成立，
∴在上单调递减，即，，
∴当时，.
∵，
∴当时，，即. ②
综合①②可得，.
例29．（2022·黑龙江·大庆一中高二阶段练习（理））已知曲线Cn：x2﹣2nx+y2=0，（n=1，2，…）.从点P（﹣1，0）向曲线Cn引斜率为kn（kn>0）的切线ln，切点为Pn（xn，yn）.
(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式；
(2)证明：.
【解析】(1)设直线ln：y=kn（x+1），联立x2﹣2nx+y2=0，
得（1+kn2）x2+（2kn2﹣2n）x+kn2=0，
则△=（2kn2﹣2n）2﹣4（1+kn2）kn2=0，
∴kn（负值舍去），
可得xn，yn=kn（1+xn）；
(2)证明：，
由4n2>4n2﹣1，即为，
即有，
x1x3x5…x2n﹣1，
可得x1x3x5…x2n﹣1；
由，设f（x）=xcsx，
f′（x）=1sinx，由0，
可得sinx>0，即f′（x）>0，f（x）在（0，]递增，
由f（0）0，f（）cs（cscs）<0，
可得xcsx，
即有cs，即cs，
则.
例30．（2022·浙江温州·高二期末）已知数列，满足，，且，.
（1）求及；
（2）猜想，的通项公式，并证明你的结论；
（3）证明：对所有的，.
【解析】（1）因为，，且，
令，得到，解得，；
令，得到，解得，；
令，得到，解得，；
（2）证明：猜测，，
用数学归纳法证明：①当时，由上可得结论成立.
②假设当时，结论成立，即，，
那么当时，，
，，
所以当时，结论也成立.
由①②，可知，对一切正整数都成立.
（3）由（2）知，，
于是所证明的不等式即为
（ⅰ）先证明：
因为，所以，从而，
即，所以
（ⅱ）再证明 ，令，
则，设函数，，
则，.
因为在区间上为增函数，
所以当时，，
从而在区间上为单调递减函数，
因此对于一切都成立，
所以
综上所述，对所有的，均有成立.
核心考点六：型不等式的证明
例31．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知数列满足，（其中）
(1)判断并证明数列的单调性；
(2)记数列的前n项和为，证明：．
【解析】（1）单调递减，理由如下：．
∵，∴，∴数列单调递减；
（2）∵，，，∴，又，则.
∵，，∴，则，
当，累加可得，则，
则，则，
∴
，则．
例32．（2022·天津市第九十五中学益中学校高三开学考试）已知为等差数列，前n项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，．
(1)和的通项公式；
(2)求数列的前8项和；
(3)证明：．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．
由已知，得，而，所以．又因为，解得．所以．
由，可得①．由，得②，联立①②，解得，由此可得．
所以，的通项公式为的通项公式为．
（2）设数列的前n项和为，由，得，所以
，
，
上述两式相减，得
．
得．
所以，数列的前n项和为
当时，．
（3）由（1）得，所以：
当时，，不等式成立；
当时，，所以，不等式成立；
当时，，
所以，
，
所以，得证．
例33．（2022·山西·高三阶段练习）已知函数．
(1)证明：对恒成立；
(2)是否存在，使得成立？请说明理由．
【解析】（1）证明：由，得，
令，得，
令，得，
，且当且仅当，
所以在上单调递增，故，且当且仅当，
所以在上也单调递增，故，且当且仅当，
所以在上仍单调递增，故；
（2）对于右侧：由（1）可知，当时，，即，
故，
所以
，
所以该侧不等号始终成立；
对于左侧：由（1）可知当时，．
设，，则．
在上有，所以在上单调递增，故当时，．
此时，
令，
可知，
所以当时，
，
令，注意到，所以可得到一个充分条件，
即，
所以任取，则该侧不等式成立，（表示整数部分），
因此，对于任意，原不等式都成立．即所求的n是存在的．
核心考点七：型不等式的证明
例34．（2022·广东·广州大学附属中学高三阶段练习）已知数列，，为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知当时，不等式恒成立，证明：．
【解析】（1），即，
当时，，
两式相减，，
即，也即，
变形为，
所以
，经检验时也适合．
．
（2）证明：因为时，，
，所以，
令，则有．
，，
将两边同时取对数，
得到原不等式等价于证明：，
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
，
令，2，，然后累加得：
，
则，原不等式得证．
例35．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知数列为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：；
(3)证明：．
【解析】（1）
当时，
得：
，，即，
变形为，
，经检验时也适合．
.
（2）构造函数，，
在上递减，
，
时．
∵，
∴令，则有
（3），，原不等式等价于证明：
，
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
令，然后累加得：
．原不等式得证．
例36．（2022·广东·红岭中学高三阶段练习）设数列满足，，令.
(1)试证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)是否存在常数，使得数列是等比数列？请说明理由.
(3)令，是否存在实数，使得对一切都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由，得，
即,故，而，
∴，即，
∴数列是以首项为，公差为1的等差数列，故．
（2）由（1），设，
若存在常数c，使是等比数列，则，
即，解得.
经检验，c=0复合题意，
所以，存在唯一的常数，使是等比数列.
（3）设，
则.
∵
∴，即数列是递减数列，故．
要使不等式对一切都成立，
只要，即，， 解得.
因此， 存在大于实数，使不等式对一切都成立．
例37．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)证明：（为自然对数的底数，）.
【解析】（1），
当时，，在上单调递增；
当时， 令，得，令，得，
∴在上单调递增，在上单调递减.
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，当时，在上单调递减，
当时，由，
∴，令，即，
∴
，
∴.
【新题速递】
1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列满足，的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记，证明：.
【解析】（1）依题意，
，
，
所以数列是首项为，
公比为的等比数列，所以，
当时，由得，
两式相减并化简得，
也符合上式，所以.
（2），
，
，
两式相减得，
所以
.
2．（2022·福建·宁德市民族中学高三期中）已知为数列的前n项和，是公差为1的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解析】（1）因为，所以，
是公差为1的等差数列，
所以，
故，
当时，，
显然，
所以，.
（2），
所以
，
随着的变大，变大，故当时，取得最小值，
最小值为，且，
故.
3．（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为．
(1)试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；
(2)若，求的前n项和，并证明：．
【解析】（1）由题意得，
，
，
，
，
…
，
由等比数列的前n项和公式可得，，
所以的通项公式．
（2）由于，
所以，
则，
因为，所以，所以，
又随n的增大而减小，
所以当时，取得最大值，故．
4．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）已知是等差数列，是等比数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记的前n项和为，证明：；
(3)记，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)
【解析】(1)设等差数列公差为d，等比数列公比为q，
所以，所以，
(2)的前n项和为
，(当时，取等号)
命题得证.
(3)由（1）得，，
所以数列的前项和，
5．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知数列{}的前项和为，，
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设，为数列的前项和.证明：
【解析】(1)当时，，又，则，
当时，，解得，
故是首项为，公比为的等比数列，则；
(2)因为，则，
故，又，
所以，即，又是单调递增数列，则
综上，.
6．（2022·浙江·模拟预测）已知数列满足：，.
(1)证明：，；
(2)证明：，.
【解析】(1)证明：对任意，.
因为，，，
假设当时，，则，
这说明当时，也成立，
综上所述，，.
(2)证明：先归纳证明：对任意，，
因为，，，，，
，
假设当时，，
则当时，，
，
这说明当时，，
综上所述，，，所以，，
故，得证!
7．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，.
(1)证明：；
(2)若数列满足，设数列的前n项和为，证明：.
【解析】（1）证明：右边：，
左边：法一（数学归纳法）：
，，
当时，
假设当时，成立
即，即成立
则当时，
综上所述，.
法二（求通项）：
，，
两边同时取对数得：
数列是以首项为，公比为的等比数列，

数列单调性证明：
思路1：由复合函数的单调性，知单调递增，；
思路2：，；
思路3：，；
综上所述，.
（2）证明：法一：放缩到裂项
因为，所以，
由（1）知
所以
所以
所以，
又，所以，所以.
法二：放缩到等比
，
所以，
所以，
所以
所以.
8．（2022·天津一中高三阶段练习）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前项和；
(3)若数列满足：，证明：.
【解析】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由已知，得，而，所以.
又因为，解得，所以.
由，可得①，
由，可得，即②，联立①②，解得，，由此可得.
所以的通项公式为，的通项公式为.
(2)由（1），
所以.
(3)证明：由（1），.
由真分数性质，若，，则，所以，
所以，
所以，
故不等式得证.
9．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）设数列的前项和为，且，数列满足，其中.
(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；
(2)求使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值；
(3)当时，求证：.
【解析】(1)当时，，所以，
当时，，
即，则有，
，
所以是以1为公差2为首项的等差数列，
是以，
是以；
(2)，
则，
即为，
即为对于任意的正整数都成立，
令，
则，
故，
是以单调递增，
所以，
所以，
所以的最大值为；
(3)证明：要证，
只需证，
因为，
所以
，
所以.
10．（2022·陕西·模拟预测（文））已知等比数列为递增数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
【解析】(1)由题意，，解得或，
因为等比数列为递增数列，所以，
所以；
(2)由（1）知，
所以数列的前n项和为，①
，②
① ② 得，
所以，
又因为，所以，
所以.
11．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（理））已知数列的前n项和为，，，.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)记，数列的前n项和为，证明：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】根据题意变形为，得到，进而根据等比数列的定义，证得数列为等比数列，结合等比数列的通项公式，求得数列的通项；
（2）由，得到，结合裂项法求得，结合函数的单调性，即可求解.
(1)当时，由可变形为，
即，即，所以，
又因为，，可得，所以，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，所以数列的通项公式为.
(2)由，可得，
所以
，
因为，所以，即，
又因为，单调递增，
所以，所以.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：.
【解析】(1)将两边同时平方，整理得，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以.
由题知，所以.
(2)因为，所以，则.
先证：当时，，，满足；
当时，，
所以.
故得证.
再证：因为，
所以.
故不等式成立.
13．（2022·全国·高三专题练习）证明：．
【解析】证明：
．
．
令，
当，，
在上递增，，所以，又因为，．
综上：．
14．（2022·浙江·高三专题练习）已知各项为正的数列满足：，．
(1)设，若数列是公差为2的等差数列，求a的值；
(2)设数列的前n项和为，证明．
【解析】(1)因为，所以
等式两边同时取以a为底的对数可得，
又数列是公差为2的等差数列可知，即
(2)由（1）可知数列是公比为4的等比数列，可得
，可得数列的通项公式为
记可求得其通项公式为
显然为正项数列，因此
另一方面，构造数列满足可得其通项公式为
注意到，
记的前n项和为，可得，
而由于，因此，从而，
综上所述，.
15．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，，．证明：当时，．
【解析】(1)当时，，
当时，；
相除得
整理为：，
即，
为等差数列，公差，首项为；
所以，整理为：，经检验，符合要求.
(2)由（1）得：．
，
，
，
所以，当时，．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列满足：且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式和前项和；
(2)证明不等式且
【解析】(1)设数列公差为，
因为，，成等比数列.
所以，即,
得,又，所以.
故 （）,
(2)证明：由（1）得 ，
因为当时，.，
即.，
所以 ,
即.
17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明.
【解析】(1)当时，，
当时，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以数列通项公式为.
(2)因为，
所以
，
因为，
所以.