人教版中考一轮复习 第14讲 最值问题--尖子班

第14讲  最值问题

知识点1 几何问题最值

【典例】

例1（2020•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）

A．1 B． C．21 D．2

例2（2020•温州一模）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是平面内一动点，且∠APB＝90°，取BC的中点E，连结PE，则线段PE的最大值为（　　）

A．2 B．2 C．2 D．3

例3（2020秋•赣榆区期中）【问题情境】（1）点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为2，且OA＝5，则点P到点A的最短距离为　　．

【直接运用】（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是　　．

【构造运用】（3）如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由．

【灵活运用】（4）如图3，⊙O的半径为4，弦AB＝4，点C为优弧AB上一动点，AM⊥AC交直线CB于点M，则△ABM的面积最大值是　　．

例4（2020•北辰区二模）平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C在坐标轴上，点B（6，6），P是射线OB上一点，将△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，Q是点P旋转后的对应点．

（1）如图（1）当OP＝2时，求点Q的坐标；

（2）如图（2），设点P（x，y）（0＜x＜6），△APQ的面积为S．求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；

（3）当BP+BQ＝8时，求点Q的坐标（直接写出结果即可）．

【随堂练习】

1．（2020•包河区校级一模）如图，等腰Rt△ABC的一个锐角顶点A是⊙O上的一个动点，∠ACB＝90°，腰AC与斜边AB分别交⊙O于点E、D，分别过点D，E作⊙O的切线交于点F，且点F恰好是腰BC上的点，连接OC，OD，OE，若⊙O的半径为4，则OC的最大值为（　　）

A．22 B．42 C．6 D．8

2．（2020•宁波模拟）如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC．直径AD交BC于点E，F是AE的中点，连结CF，若AD＝6．则CF的最大值为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

3．（2020秋•亭湖区期中）给出如下规定：对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为N上任一点，如果P，Q两点间的距离存在最小值时，就称该最小值为两个图形M和N之间的“闭距离”；如果P，Q两点间的距离存在最大值时，就称该最大值为两个图形M和N之间的“开距离”．

请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题：

在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣8，6），B（﹣8，﹣6），C（8，﹣6），D（8，6）．

（1）请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD，线段AB和线段CD的“闭距离”为　　；“开距离”为　　；

（2）设⊙O半径为2，⊙O与四边形ABCD的“闭距离”是　　，“开距离”是　　；

（3）设直线yx+b（b＜0）与x轴，y轴分别交于点E，F，若线段EF与四边形ABCD的“闭距离”是2，求它们的“开距离”；

（4）⊙M的圆心为M（﹣6，m），半径为1，若⊙M与△ABD的“闭距离”等于1，直接写出m的取值范围．

4．（2020秋•巴南区期中）在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，得到△ADE．

（1）如图1，点F为BC与DE的交点，连接AF，求证：∠AFD＝∠AFC；

（2）如图2，点P为线段AB中点，点G是线段BC上的动点，在△ABC绕点A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点G1，直接写出线段PG1长度的最大值与最小值．

知识点2 代数问题最值

几种常见问题

1、 利用一次函数表达式在定义域内的增减性来求最值。

2、 利用二次函数表达式在定义域内的增减性来求最值。

3、 利用完全平方公式的非负性来求最值。

4、 利用绝对值表示的几何意义来求最值。

【典例】

例1（2020春•丛台区校级期末）已知一次函数y＝（m+4）x+2m+2，无论m取何值时，它的图象恒过的定点P，求点P的坐标　　．若m为整数，又知它的图象不过第四象限，则m的最小值为　　．

例2（2020秋•宽城区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点（6，7），其对称轴为直线x＝2．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．

（2）当时，求函数值y的取值范围．

（3）当﹣2≤x≤k时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是　　．

（4）已知A、B两点均在抛物线y＝x2+bx+c上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为m+2．将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为M，当图象M的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值．

例3（2020秋•五常市期末）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且每件的利润率不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝﹣x+120．

（1）若该服装获得利润为w（元），试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得利润最大，最大利润是多少元？

（2）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的取值范围．

【随堂练习】

1．（2020•浙江自主招生）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c＝6，a+b﹣3c＝2，若m＝a﹣b+c，则m的最小值为　　．

2．（2020秋•宁明县期中）一次函数y＝ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）

（1）若点（﹣1，3）在一次函数y＝ax﹣a+1的图象上，求a的值；

（2）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值5，请求出a的值．

3．（2020秋•长春期末）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，该山区组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：

（1）若日销售量y（袋）是每袋的销售价x（元）的一次函数，求y与x之间的函数关系式；

（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，设每日销售土特产的利润为w（元）；

①求w与x之间的函数关系式；

②要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？

综合运用

1．（2020秋•韩城市期末）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为8，则GE+FH的最大值为　　．

2．（2020•越秀区一模）如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AD＝13，AB＝25，∠DAB＝α，且cosα，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接CF．

（1）求平行四边形ABCD的面积；

（2）当点C、B、F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；

（3）求线段CF的长度的最小值．

3．（2020秋•福州期中）如图1，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，以BC所在直线为x轴，边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，将△ABC绕P点（0，﹣1）顺时针旋转．

（1）填空：当点B旋转到y轴正半轴时，则旋转后点A坐标为　　；

（2）如图2，若边AB与y轴交点为E，边AC与直线y＝x﹣1的交点为F，求证：△AEF的周长为定值；

（3）在（2）的条件下，求△AEF内切圆半径的最大值．

4．（2020秋•海珠区校级期中）如图，AB为⊙O直径，半径为2，点D为弧AB的中点，点C在⊙O上由点A顺时针向点B运动（点C不与点A，点B重合），连接AC，BC，CD，AD，BD．

（1）求证：CD是∠ACB的角平分线；

（2）求CD的长x的取值范围（直接写出答案）．

（3）四边形ADBC的面积S是线段CD的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式，并求出S的最大值，如果不是，请说明理由．

5．（2020春•林州市期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC为锐角，以边AB为直径作⊙O，⊙O与边BC交点为E，EF是⊙O的切线，且EF⊥对角线AC于点F．

（1）求证：AC＝CD；

（2）填空：若AB＝4cm，则：

①当∠B的度数＝　　时，▱ABCD是菱形；

②△ACD面积的最大值是　．

6．（2020•天宁区校级一模）问题探究：

如图，在矩形ABCD中，AB＝10，cos∠ABD，P为BD上一点，B'是点B以P为对称中心的对称点，点B'也在BD上（可以是端点），E为PD的中点，以点E为圆，EB'为半径在BD下方作半圆．

（1）BP＝　　时，AP⊥BD时，此时半径是　　；

（2）当半圆与矩形的边相切时，求BP的长；

拓展延伸：

（3）如图，AB＝6，AC，以BC为底边在BC上方作等腰△BCD，其中∠CDB＝120°，直接写出AD的最大值．