人教版中考一轮复习 第14讲 最值问题--提高班

第14讲 最值问题

知识点1 几何问题最值
【典例】
例1（2020秋•如皋市期中）如图，△ABC的顶点A是⊙O上的一个动点，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，边AC，AB分别交⊙O于点E，D，分别过点E，D作⊙O的切线交于点F，且点F恰好在边BC上，连接OC，若⊙O的半径为6，则OC的最大值为（　　）

A．39+3 B．210+3 C．35+3 D．53
【解答】解：如图，取EF的中点T，连接CT，OT，OF．

∵∠EOD＝2∠A，∠A＝30°，
∴∠EOD＝60°，
∵EF，FD是⊙O的切线，
∴FE＝FD，∠OEF＝∠ODF＝90°，
∴∠EOF＝∠DOF＝30°，
∴EF＝OE•tan30°＝23，
∴ET＝TF=3，
∴OT=ET2+OE2=(3)2+62=39，
∵∠ECF＝90°，ET＝TF，
∴CT=12EF=3，
∴OC≤CT+OT，
∴OC≤3+39．
故选：A．
【方法总结】
题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，求出CT，OT，属于中考选择题中的压轴题．
例2（2020秋•莆田期中）如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（　　）

A．43+4 B．4 C．43+8 D．6
【解答】解：以BC为边作等边△BCM，连接DM．
∵∠DCA＝∠MCB＝60°，
∴∠DCM＝∠ACB，
∵DC＝AC，MC＝BC
∴△DCM≌△CAB（SAS），
∴DM＝AB＝2为定值，
即点D在以M为圆心，半径为2的圆上运动，
当点D运动至BC的中垂线与圆的交点时，
CB边上的高取最大值为23+2，
此时面积为43+4．
故选：A．

【方法总结】
本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，找出点D的位置是解题的关键．
例3（2020秋•吴江区期中）已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D．
（1）如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I．求证：点I是△ABC的内心；
（2）如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E．求证：DIDE=CACE；
（3）探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC＝8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值．
【解答】（1）证明：如图①中，连接BI．

∵DB＝DI，
∴∠DBI＝∠DIB，
∵∠DIB＝∠IAB+∠IBA，∠DBI＝∠IBC+∠DBC，
又∵∠DBC＝∠DAC＝∠DAB，
∴∠DBC＝∠IAB，
∴∠IBA＝∠IBC，即BI平分∠ABC，
∴点I是△ABC的内心．

（2）证明：如图②中，

∵∠BDA＝∠BCA，∠DBC＝∠DAC，
∴△BDE∽△ACE，
∴DBDE=CACE，
∵DB＝DI，
∴DIDE=CACE．

（3）解：如图③中，作∠BAC的角平分线AD交⊙O于D，连接BD，DC，以D为圆心，DB为半径作作弧，交AD于点I，
由（1）点I是△ABC的内心．

∵IH⊥AC，
∴IH是△ABC的内切圆的半径，
在△AIH中，∠IAH=12∠BAC＝60°，
∴IH=32AI，故欲求IH的最大值只要求出AI的最大值，
∵∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠DAB＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴DB＝CB＝8，即DI＝8，
作直径DF，
在Rt△BDF中，∠DFB＝60°，DB＝8，
∴DF=1633，即直径为1633，
∴AI的最大值为1633-8，
∴△ABC的内切圆的半径的最大值为8﹣43．
【方法总结】
本题属于圆综合题，考查了三角形的内心，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
例4（2020秋•和平区期末）如图，在边长为16的菱形ABCD中，AC、BD为对角线，∠BCD＝60°，点E、F分别是边AB、边BC上的动点，连接DE、DF、EF．

（1）当点E、点F分别是边AB，边BC的中点时．
①求证：△DEF是等边三角形；
②若点G是对角线AC上的动点，连接EG，FG，则直接写出EG+FG的最小值为　16　；
（2）若点H是对角线AC上的动点，连接EH、FH，则直接写出EH+FH的最小值为　83　；
（3）若AE＝BF＝4，EF交BD于点K，点P、点Q分别是线段DE、线段DF上的动点，连接KQ、PQ，则直接写出KQ+PQ的最小值为　239　．
【解答】证明：（1）①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝16，∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD，△BCD是等边三角形，
∵点E、点F分别是边AB，边BC的中点，
∴∠ADE＝∠BDE＝∠BDF＝∠CDF＝30°，AE＝BE＝BF＝CF＝8，DE=3AE＝83，DF=3CF＝83，
∴DF＝DF，∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形；
②∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，
如图1，作点F关于AC的对称点N，连接GN，则FG＝GN，

∴EG+FG＝EG+GN，
∴点E，点G，点N三点共线时，EG+FG的最小值为EN，
∵点F，点N关于AC对称，
∴CN＝CF=12BC=12CD，
∴DN＝CN＝AE＝BE，
又∵AB∥CD，
∴四边形AEND是平行四边形，
∴EN＝AD＝16，
故答案为：16；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，
如图2，作点F关于AC的对称点N，连接HN，则FH＝HN，

∴EH+FH＝EH+HN，
∴点E，点H，点N三点共线且EN⊥CD时，EH+FH的最小值为EN，
此时EN＝83，
∴EH+FH的最小值为83；
（3）如图3，过点D作DN⊥BC于N，作点K关于DF的对称点H，连接DH，HF，QH，

∴KQ＝HQ，∠BDF＝∠HDF，KD＝HD，
∴PQ+KQ＝PQ+QH，
∴当点H，点Q，点P三点共线，且HP⊥DE时，PQ+KQ有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，
∴∠A＝∠BCD＝60°，AD＝CD＝BC＝AB，
∴△ABD，△BCD是等边三角形，
∴AD＝BD＝16，∠ADB＝∠DBC＝60°，
又∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠BDF，
∴ADB＝∠EDF＝60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴∠EFD＝60°，
∵DN⊥BC，△BDC是等边三角形，
∴BN＝NC＝8，∠BDN＝30°，
∴DN=3BN＝83，
∵FN＝BN﹣BF＝4，
∴DF=DN2+FN2=192+16=413，
∵∠EFD＝∠DBC＝60°，∠BDF＝∠KDF，
∴△BDF∽△FDK，
∴DFBD=DKDF，
∴41316=DK413，
∴DK＝13，
∴DH＝13，
∵∠DFN＝∠DBC+∠BDF＝60°+∠BDF，∠EDH＝∠EDF+∠FDH＝60°+∠BDF，
∴∠DFN＝∠EDH，
又∵∠HPD＝∠DNF，
∴△DPH∽△FND，
∴DFDH=DNHP，
∴41313=83PH，
∴PH＝239，
∴PQ+KQ的最小值为239．
【方法总结】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，最短路径等知识，添加恰当辅助线构造构造在直角三角形是本题的关键．
声明：试
【随堂练习】
1．（2020秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（　　）

A．60° B．90° C．120° D．135°
【解答】解：如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．

∵OA⊥PC，OB⊥CT，
∴CD＝DP，CE＝TE，
∴DE=12PT，
∴当PT是直径时，DE的长最大，
连接OC，
∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT，
∴∠COD＝∠POA，∠COB＝∠BOT，
∴∠AOB＝∠COA+∠COB=12∠POT＝90°，
故选：B．
2．（2020秋•宜兴市期中）如图，已知直线y=34x﹣6与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心、半径为1的圆上的一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（　　）．

A．21 B．33 C．212 D．42
【解答】解：∵直线y=34x﹣6与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点的坐标为（8，0），B点的坐标为（0，﹣6），
即OA＝8，OB＝6，由勾股定理得：AB=62+82=10，
过C作CM⊥AB于M，连接AC，
则由三角形面积公式得：12×AB×CM=12×OA×OC+12×OA×OB，
∴10×CM＝8×1+6×8，
∴CM=285，
∴圆C上点到直线y=34x﹣6的最大距离是1+285=335，
∴△PAB面积的最大值是12×10×335=33，
故选：B．

3．（2020•邯山区一模）如图①半⊙O的直径为4，过点作CO⊥AB，且CO＝4，延长OB到点D，使OD＝3，以OC、OD为邻边作矩形ODEC．
发现：若点P在半⊙O上，则PE的最大值是　41　，PE的最小值是　3　．

思考：如图②，将半⊙O绕点B逆时针旋转90°得到半⊙O'，求半⊙O'与矩形ODEC重叠部分图形的面积；
探究：若将矩形ODEC沿着过点C的直线翻折，使得边CE所在直线翻折后的对应直线与半⊙O相切，设切点为Q，求点Q到矩形ODEC的边DE的距离．
【解答】解：
发现：当P、E、O三点共线时，PE取得最小值，
由CO＝4，OD＝3知，OE＝5，故PE的最小值为5﹣2＝3；
当P与点A重合时，PE取得最大值，即为AD2+DE2=(2+3)2+42=41，
故答案为：41，3；

思考：如图1，设半圆O'交DE与M、N两点，过点O'作O'F⊥MN于点F，

连接O'M、O'N，则四边形OFDB是矩形，
∴O'F＝BD＝OD﹣OB＝3﹣2＝1，
∴sin∠O'MF=O'FO'M=12，
∴∠O'MF＝30°，
∴MF=3，
∴MN=23，
∵AB∥DE，
∴∠BO'M＝∠O'MF＝30°，
同理可得∠AO'N＝30°，
∴半圆O'与矩形ODEC重叠部分图形的面积为12O'F⋅MN+2×30π×22360=3+23π；

探究：如图2，当点Q在OC上方时，连接CQ、OQ，
∵CQ是半圆的切线，Q是切点，
∴∠OQC＝90°，
∵OQ＝2，OC＝4，
∴CQ=23，∠OCQ＝30°，
过点Q作QG∥CE交OC于点G，延长GQ交DE于点H，
则四边形HECG是矩形，
∴HG＝OD＝3，
∵∠OCQ＝30°，CQ=23，
∴QG=3，
∴HQ=HG-QG=3-3．

如图3，当点Q在OC的下方时，连接OQ，
过点Q作QG∥CE交OC于点G，延长QG交DE于点H，
同理可得：∠OCQ＝30°，QH=HG+QG=3+3，

综上所述：点Q到矩形ODEC的边DE的距离为3-3或3+3．
4．（2020秋•武昌区期中）平面直角坐标系中，A（0，4），B（﹣4，0），点C为x轴上的点，且△ABC的面积为2．
（1）如图1，求点C的坐标；
（2）如图2，若点C在点B的右侧，连AC并延长至点D，使得DO＝AO，过点B作BE∥y轴交OD的延长线于点E，求OE﹣BE的值；
（3）如图3，若点C在点B的右侧，点P为y轴上一点，CP为腰作等腰△CPQ，其中PC＝PQ，且∠CPQ＝2∠ACO＝2α（α为定值），AC＝5，连接OQ，求线段OQ的最小值
【解答】解：（1）设点C（m，0），
则△ABC的面积=12BC•OA=12×|m+4|×4＝2，
解得m＝﹣3或﹣5，
故点C的坐标为（﹣3，0）或（﹣5，0）；

（2）如图2，过点A作AK⊥y轴，使AK＝BE，连接OK交AE于点G，

∴∠OAK＝∠OBE＝90°，
∵AO＝OB＝4，
∴△AOK≌△BOE（SAS），
∴∠AOG＝∠COD，OK＝OE，
∵AO＝DO，故∠CDO＝∠GAO，
在△GAO和△COD中，
AO=OD∠CDO=∠GAO∠COD=∠AOG，
∴△COD≌△GOA（AAS），
∴OC＝OG，则∠OCG＝∠OGC，
而∠KAG＝∠OCG，∠KGA＝∠OGC，
∴∠KAG＝∠KGA，
∴KA＝KG，
∴OE﹣BE＝OK﹣AK＝OK﹣KG＝OG＝OC＝3；

（3）在Rt△AOC中，AC＝5，AO＝4，则OC＝3．
如图3，延长AC至M，使AP＝PM，连接AQ交x轴于点N，

在△AOC中，∠CAO＝90°﹣∠ACO＝90°﹣α＝∠MAP，
∵AP＝MP，则∠M＝∠MAP＝90°﹣α，
在等腰△APM中，∠APM＝∠MPC+∠CPO＝180°﹣2∠M＝2α，
而∠CPQ＝∠CPO+∠APQ＝2α，
∴∠APQ＝∠MPC，
∵AP＝PM，CP＝PQ，
∴△MPC≌△APQ（SAS），
∴∠M＝∠PAQ＝∠CAO，
又∵AO＝AO，∠AOC＝∠AON＝90°，
∴△AOC≌△AON（AAS），
∴ON＝OC＝3，AN＝AC＝5，
在Rt△AON中，设AN边长的高为h，
则S△AON=12×AO•ON=12AN•h，
即3×4＝5h，解得h=125，
即OQ的最小值为125．
知识点2 代数问题最值
几种常见问题
1、 利用一次函数表达式在定义域内的增减性来求最值。
2、 利用二次函数表达式在定义域内的增减性来求最值。
3、 利用完全平方公式的非负性来求最值。
4、 利用绝对值表示的几何意义来求最值。
【典例】
例1（2020春•黄陂区期末）已知关于x，y的方程组2x-y=3a-5x+2y=5-a的解都为非负数，若a+b＝4，W＝3a﹣2b，则W的最小值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣3 D．﹣5
【解答】解：由方程组2x-y=3a-5x+2y=5-a可得，x=a-1y=-a+3，
∵关于x，y的方程组2x-y=3a-5x+2y=5-a的解都为非负数，
∴a-1≥0-a+3≥0，
解得，1≤a≤3，
∵a+b＝4，W＝3a﹣2b，
∴b＝4﹣a，
∴W＝3a﹣2（4﹣a）＝5a﹣8，
∴W随a的增大而增大，
∴当a＝1时，W取得最小值，此时W＝﹣3，
故选：C．
【方法总结】
本题考查一次函数的性质、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
例2（2020秋•巩义市期中）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣x2+kx﹣1的最大值是1，则k的值可能是　3或-22　．
【解答】解：二次函数y＝﹣x2+kx﹣1的对称轴：x=-k-2=k2，
分三种情况讨论：
①当k2＜-2时，即k＜﹣4时，
此时﹣1≤x≤2在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y有最大值，y大＝﹣（﹣2）2+k×（﹣2）﹣1＝1，
∴k＝﹣3（舍去）；
②当﹣2≤k2≤1时，即﹣4≤k≤2，
∴当x=k2时，y有最大值，y小＝﹣（k2）2+k•（k2）﹣1＝1，
∴-14k2+12k2﹣1＝1，
∴k＝±22，
∵﹣4≤k≤2，
∴k＝﹣22，
③当k2＞1时，即k＞2，
此时﹣2≤x≤1在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，y有最大值，y大＝﹣12+k×1﹣1＝1，
∴k＝3，
综上所述，k的值可能是3或﹣22，
故答案为：3或﹣22．
【方法总结】
本题考查了二次函数的最值问题，是常考题型；但本题比较复杂，运用了分类讨论的思想，做好此类题要掌握以下几点：形如二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）：①当a＞0时，抛物线有最小值，当x=-b2a时，y小=4ac-b24a；②当a＞0时，对称轴右侧，y随x的增大而增大，对称轴的左侧，y随x的增大而减小；③如果自变量x在某一范围内求最值，要看对称轴，开口方向及图象．
例3（2020秋•红桥区期末）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数）的顶点坐标为（2，﹣1）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点M（t﹣1，y1），N（t，y2）在该抛物线上，当t＜1时，比较y1与y2的大小；
（3）若点P（m，n）在该抛物线上，求m﹣n的最大值．
【解答】解：（1）抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，
即y＝x2﹣4x+3；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
而t＜1，
∴点M（t﹣1，y1），N（t，y2）对称轴的左侧的抛物线上，
∵t﹣1＜t，
∴y1＞y2；
（3）∵点P（m，n）在该抛物线上，
∴n＝m2﹣4m+3，
∴m﹣n＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3＝﹣（m-52）2+134，
∴当m=52时，m﹣n有最大值，最大值为134
【方法总结】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
例4（2020秋•肃州区期末）喜迎元旦，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．
（1）假设设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售该商品的利润为y元，求y与x之间的函数关系式．
（2）每件商品的售价上涨多少元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润？此时，该商品的定价为多少元？获得的最大利润为多少？
【解答】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），
则每件商品的利润为：（60﹣50+x）元，
总销量为：（200﹣10x）件，
商品利润为：
y＝（60﹣50+x）（200﹣10x），
＝（10+x）（200﹣10x），
＝﹣10x2+100x+2000（0≤x＜20）；
（2）根据题意得y＝﹣10x2+100x+2000＝﹣10（x﹣5）2+2250，
所以，当x＝5时，y取得最大值为2250．
答：每件商品的售价上涨5元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润，此时，该商品的定价为65元，获得的最大利润为2250元．
【方法总结】
此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，根据每天的利润＝一件的利润×销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．
【随堂练习】
1．（2020•下城区一模）函数y＝（3﹣m）x+n（m，n为常数，m≠3），若2m+n＝1，当﹣1≤x≤3时，函数有最大值2，则n＝　-115　．
【解答】解：①当3﹣m＞0即m＜3时，当x＝3时，y＝3（3﹣m）+n＝2，
整理，得3m﹣n＝7．
联立方程组：2m+n=13m-n=7．
解得m=85n=-115．
②当3﹣m＜0即m＞3时，当x＝﹣1时，y＝﹣（3﹣m）+n＝2，
整理，得m+n＝5．
联立方程组：m+n=5．2m+n=1．
解得m=-4n=9（舍去）．
综上所述，n的值是-115．
故答案是：-115．
2．（2020春•港闸区期中）已知实数x，y，z满足x﹣y＝3，x+z＝6，若x≥﹣2y，则x+y+z的最小值为　5　．
【解答】解：∵x﹣y＝3，x+z＝6，
∴y＝x﹣3，z＝6﹣x，
∴x+y+z＝x+x﹣3+6﹣x＝x+3，
∵x≥﹣2y，
∴x≥﹣2（x﹣3），
解得，x≥2，
∴当x＝2时，x+y+z取得最小值，此时x+y+z＝2+3＝5，
故答案为：5．
3．（2020春•花都区期末）今年，“地摊经济”成为了社会关注的热门话题．小明从市场得知如下信息：

甲商品
乙商品
进价（元/件）
35
5
售价（元/件）
45
8
小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售．设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）小明用不超过2000元资金一次性购进甲，乙两种商品，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若要求甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于632.5元，请说明小明有哪些可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大．
【解答】解：（1）由题意可得：y＝（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）＝7x+300；
（2）由题意可得：35x+5（100﹣x）≤2000，
∴x≤50，
又∵x≥0，
∴0≤x≤50；
（3）由题意可得：（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）≥632.5，
∴x≥47.5，
∴47.5≤x≤50，
又∵x为整数，
∴x＝48，49，50，
∴进货方案有：甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；甲商品进50件，乙商品进50件；
∵y＝7x+300，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，有最大利润．
∴当甲商品进50件，乙商品进50件，利润有最大值．
4．（2020秋•濉溪县期中）已知一服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，解答下列问题：
（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；
（2）当生产M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设生产M型号的时装x套，则生产N型号的时装（80﹣x）套，
1.1x+0.6(80-x)≤700.4x+0.9(80-x)≤52，
解得40≤x≤44，
∵x为整数，
∴x＝40，41，42，43，44，
∴有5种符合题意的生产方案；
（2）设该厂所获利润为y元，
由题意可得，y＝50x+45（80﹣x）＝5x+3600，
∵k＝5，
∴y随x的增大而增大，
∵x＝40，41，42，43，44，
∴当x＝44时，y取得最大值，此时y＝3820，
答：当生产M型号的时装为44套时，能使该厂所获利润最大，最大利润是3820元．
综合运用
1．（2020秋•韩城市期末）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为8，则GE+FH的最大值为　12　．

【解答】解：如图1，连接OA、OB，
，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵⊙O的半径为8，
∴AB＝OA＝OB＝8，
∵点E，F分别是AC、BC的中点，
∴EF=12AB＝4，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：8×2＝16，
∴GE+FH的最大值为：16﹣4＝12．
故答案为：12．
2．（2020•越秀区一模）如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AD＝13，AB＝25，∠DAB＝α，且cosα=513，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接CF．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）当点C、B、F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；
（3）求线段CF的长度的最小值．

【解答】解（1）如图1，作DK⊥AB于点K，

∵将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，
∴∠AEF＝α，AE＝EF，
在Rt△DAK中，
∵cos∠DAK＝cosα=AKAD=513，且AD＝13，
∴AK＝5，
∴DK=AD2-AK2=132-52=12，
∴S平行四边形ABCD＝AB×DK＝25×12＝300；
（2）如图2，延长CD至H，作∠AHD＝α，

∵∠AHD＝∠ADH＝α，
∴AH＝AD＝13，
过点A作AM⊥DH于点M，
由（1）知AM＝12，
∴DM=AD2-AM2=5，
∴DH＝10，
∵∠FEH＝∠DEA+∠α＝∠F+α，
∴∠DEA＝∠F，
在△AEH和△EFC中，
∠AEH=∠F∠H=∠CAE=EF，
∴△AEH≌△EFC（AAS），
∴EH＝CF，CE＝AH＝13，
∴DE＝CD﹣CE＝12，BF＝CF﹣BC＝22﹣13＝9，
∵BG∥CE，
∴△FBG∽△FCE，
∴BFCF=BGCE，
即922=BG13，
∴BG=11722；
（3）如图3，延长CD至P，使∠P＝∠ADP＝α，过点F作FM∥BC，交CD于点M，过点FN⊥CD，交CD于点N，

由（2）可知∠AEP＝∠EFM，
在△EAP和△FEM中．
∠P=∠FME∠AEP=∠EFMAE=EF，
∴△EAP≌△FEM（AAS），
∴EM＝AP＝13，FM＝EP，
设DE＝x，则FM＝EP＝10+x，CM＝25﹣（13+x）＝12﹣x，
∴FN＝FM•sinα=1213（10+x），MN＝FM•cosα=513（10+x），
∴CN＝CM+MN＝12﹣x+513（10+x）=206-8x13，
在Rt△CFN中，CF2＝CN2+NF2=(113)2（208x2﹣416x+56836），
对称轴x=-b2a=--4162×208=1，
∴当x＝1时，CF的值最小，CF的最小值为661313．
3．（2020秋•福州期中）如图1，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，以BC所在直线为x轴，边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，将△ABC绕P点（0，﹣1）顺时针旋转．
（1）填空：当点B旋转到y轴正半轴时，则旋转后点A坐标为　（2+1，2-1）　；
（2）如图2，若边AB与y轴交点为E，边AC与直线y＝x﹣1的交点为F，求证：△AEF的周长为定值；
（3）在（2）的条件下，求△AEF内切圆半径的最大值．

【解答】解：（1）连接BP、CP，则△ABP为等腰直角三角形，
而△ABC为等腰直角三角形，易证四边形ABPC为正方形，

当点B落在y轴上时，则图形旋转的角度为45°，点A落在点A′的位置，则PA′过点C，PA′＝PA＝2，
过点A′作A′E⊥x轴于点E，则∠A′CE＝OCP＝45°，
由点A、B、C的坐标知，AB＝AC=2，
则CA′＝PA′﹣CP＝2-2，
在Rt△A′CE中，A′E=22A′C=2-1＝CE，
故旋转后点A的坐标为（2+1，2-1），
故答案为（2+1，2-1）；

（2）连接PB、CP，作∠QPB＝∠FPC，
由（1）知，四边形BPCA为正方形，
由直线y＝x﹣1知，∠EPF＝45°，

则∠FPC+∠BPE＝90°﹣∠EPF＝45°＝∠QPB+∠BPE＝∠QPE＝∠45°，即∠QPE＝∠EPF＝45°，
∵四边形BPCA为正方形，则PB＝PC，∠QBP＝∠FCP＝90°，∠QPB＝∠FPC，
∴△BPQ≌△CPF（AAS），
∴PQ＝PF，
而∠QPE＝∠EPF＝45°，PE＝PE，
∴△QPE≌△FPE（SAS），
∴QE＝EF，
则△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+QE＝AE+BE+BQ+AE＝AE+BE+FC+AF＝AB+AC＝22；
即△AEF的周长为定值；

（3）设△AEF内切圆半径为r，AE＝n，EF＝m，
由（2）知，AF＝22-m﹣n，
则r=12（AE+AE﹣EF）=12（22-m﹣n+n﹣m）=2-m（半径公式见备注），
在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，即n2+（22-m﹣n）2＝m2，
整理得：n2+（m﹣22）n+4﹣22m＝0，
∵关于n的一元二次方程有解，
故△＝（m﹣22）2﹣4×（4﹣22m）≥0，
解得m≥4﹣22或m≤﹣4﹣22（舍去），
故m的最小值为4﹣22，
则r的最大值为2-m=2-（4﹣22）＝32-4，
即△AEF内切圆半径的最大值为32-4．

4．（2020秋•海珠区校级期中）如图，AB为⊙O直径，半径为2，点D为弧AB的中点，点C在⊙O上由点A顺时针向点B运动（点C不与点A，点B重合），连接AC，BC，CD，AD，BD．
（1）求证：CD是∠ACB的角平分线；
（2）求CD的长x的取值范围（直接写出答案）．
（3）四边形ADBC的面积S是线段CD的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式，并求出S的最大值，如果不是，请说明理由．

【解答】（1）证明：∵点D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴CD是∠ACB的角平分线．

（2）解：∵AD=BD，
∴AD＝DB，
∵AB＝4，AB是直径．
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝BD＝22，
∵点C在AB上运动，
∴当点C与A或B重合时，CD的值最小，最小值为22，
当CD是直径时，CD的值最大，最大值为4，
∵点C不与点A，点B重合，
∴22＜x≤4．

（3）解：是的．
理由：如图，作DE⊥CB于E点，作DF⊥AC的延长线于F点，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
又∵CD是∠ACB的角平分线，
∴DF＝DE，
∵ADBC是圆内接四边形，
∴∠FAD＝∠DBE，
∴△AFB≌△BED（AAS），
∴AF＝BE，
∴AC+BC＝CF+CE＝2CF，
又∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴CF＝CE＝DF＝DE，
∴AC+BC＝2DF，
∴四边形ADBC的面积S=12•AC•DF+12•BC•DE=12×（AC+BC）×DF＝DF2＝（22CD）2=12x2，
∵开口向上，对称轴为y轴，22＜x≤4，
∴当x＝4时，S有最大值＝8．

5．（2020春•林州市期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC为锐角，以边AB为直径作⊙O，⊙O与边BC交点为E，EF是⊙O的切线，且EF⊥对角线AC于点F．
（1）求证：AC＝CD；
（2）填空：若AB＝4cm，则：
①当∠B的度数＝　60°　时，▱ABCD是菱形；
②△ACD面积的最大值是　8cm2　．

【解答】（1）证明：∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠B，
∵EF是⊙O的切线．
∴OE⊥EF，
又∵EF⊥AC，
∴OE∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠B，
∴AB＝AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴AC＝CD；
（2）解：①∠B＝60°时，▱ABCD是菱形；理由如下：
由（1）得：AB＝AC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∴▱ABCD是菱形；
故答案为：60°；
②由（1）得：AC＝AB＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△ACD的面积＝△ABC的面积，作CG⊥AB于G，如图所示：

则∠AGC＝90°，sin∠BAC=CGAC，
∴CG＝AC×sin∠BAC，
当sin∠BAC最大时，∠BAC＝90°，CG最大＝CA，
此时△ABC面积最大，G与A重合，
∴△ACD面积的最大值＝△ABC的面积的最大值=12AB×CG=12AB×AC=12×4×4＝8（cm2）；
故答案为：8cm2．

6．（2020•天宁区校级一模）问题探究：
如图，在矩形ABCD中，AB＝10，cos∠ABD=513，P为BD上一点，B'是点B以P为对称中心的对称点，点B'也在BD上（可以是端点），E为PD的中点，以点E为圆，EB'为半径在BD下方作半圆．
（1）BP＝　5013　时，AP⊥BD时，此时半径是　9413　；
（2）当半圆与矩形的边相切时，求BP的长；

拓展延伸：
（3）如图，AB＝6，AC=3，以BC为底边在BC上方作等腰△BCD，其中∠CDB＝120°，直接写出AD的最大值．

【解答】解：（1）cos∠ABD=513=ADBD=10BD，则sin∠ABD=1213，
解得：BD＝26；
当AP⊥BD时，BP＝AB•cos∠ABD＝10×513=5013=PB′，
∴DE=12PD=26-50132=14413=PE，
则半径＝B′E＝PE﹣PB′=9413；
故答案为5013，9413；

（2）①当点B′在点E的左侧时，
如图1，当点G是切点时，

而PB＝PB′＝a，ED=12PD=12（26﹣a）＝PE，
故B′E＝BE﹣BB′＝13-3a2，
则cos∠BEG＝cos∠ABD=513=13-3a2a+26-a2，
解得：a=5211；
如图2，当点H时切点时，
同理可得：a=2627；
②当点B′在点E的右侧时，
此时半圆与CD相切，
同理可得：BP=65051；
综上，BP的长为5211或2627或65051；

（3）连接AD，构建△ABE使△ABE∽△CBD，则BEBA=BDBC，

则∠EAB＝∠DCB=12（180°﹣120°）＝30°＝∠DBC＝∠EBA，
在等腰三角形ABE中，AE＝BE=12ABcos∠EAB=3cos30°=23，
∵∠ABC＝∠EBA﹣∠EBC，∠EBD＝∠CBD﹣∠EBC，
而∠EBA＝∠CBD，
∴∠ABC＝∠EBD，
∵BEBA=BDBC，
∴△EBD∽△ABC，故BEBA=BDBC，即ACDE=623，
∴DE=33AC＝1，
∵AD≤AE+DE＝23+1，
故AD的最大值为23+1．
日期：2021/1/23 15:58:30；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626