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人教版中考一轮复习 第14讲 最值问题--基础班
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第14讲 最值问题
知识点1 几何问题最值
【典例】
例1（2020秋•天心区月考）如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP=3，则弦BC的最大值为（ ）
A．23 B．3 C．6 D．32
【解答】解：过点O作OE⊥AB于E，如图：
∵O为圆心，
∴AE＝BE，
∴OE=12BC，
∵OE≤OP，
∴BC≤2OP，
∴当E、P重合时，即OP垂直AB时，BC取最大值，
∴弦BC的最大值为：2OP＝23．
故选：A．
【方法总结】
本题主要考查了垂径定理的应用、三角形中位线定理、垂线段最短等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
例2（2020秋•太原期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4、AD＝8，点E是AB的中点，延长CB到点F，使BF=12BC，连接EF．连接点D与线段EF的中点G．如果将△BEF绕点B顺时针旋转，那么在旋转的过程中，线段DG长的最大值是（ ）
A．55 B．65 C．317 D．85
【解答】解：连接BC、BG，
在矩形ABCD中，AB＝4、AD＝8，
∴BD=AB2+AD2=42+82=45，
∵点E是AB的中点，延长CB到点F，使BF=12BC，
∴BE＝2、BF＝4，
∴EF=BE2+BF2=22+42=25，
∴BG=12EF=5，
∴G在⊙B上，且半径为5，
∴当D，B，G三点共线时，DG最大，
∴DG的最大值为45+5=55；
故选：A．
【方法总结】
本题考查了点和圆的位置关系，矩形的性质，三角形中线的性质，三角形的三边关系，勾股定理的应用，明确当D，B，G三点共线时，DG最大是解题的关键．
例3（2020秋•高新区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以原点O为圆心，半径为3的⊙O上，连接OC，过点O作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C，O，D按逆时针方向排列），连接AB．
（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为 45°或135° ；
（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC面积的最大值．
（3）连接AD，当OC∥AD，点C位于第二象限时，
①求出点C的坐标；
②直线BC是否为⊙O的切线？并说明理由．
【解答】解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OBA＝45°，
∵OC∥AB，
∴当C点在y轴左侧时，∠BOC＝∠OBA＝45°；
当C点在y轴右侧时，∠BOC＝90°+∠OBA＝135°；
综上所述，∠BOC的度数为45°或135°，
故答案为：45°或135°；
（2）∵△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=2OA＝62，
∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，
过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图：
此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，
∴OE=12AB＝32，
∴CE＝OC+OE＝3+32，
∴△ABC的面积=12CE•AB=12×（3+32）×62=92+18；
即当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为92+18；
（3）①过C点作CF⊥x轴于F，如图：
∵OC∥AD，
∴∠COF＝∠DAO，
又∵∠ADO＝∠CFO＝90°，
∴△OCF∽Rt△AOD，
∴CFOD=OCAO，即CF3=36，
解得：CF=32，
在Rt△OCF中，OF=OC2-CF2=32-(32)2=332，
∴C点坐标为（-332，32）；
②直线BC是⊙O的切线．理由如下：
由①得：（-332，32），
在Rt△OCF中，OC＝3，CF=32，
∴CF=12OC，
∴∠COF＝30°，
∴∠OAD＝30°，
∴∠BOC＝60°，∠AOD＝60°，
∵在△BOC和△AOD中，
OC=OD∠BOC=∠AODOB=OA，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO＝∠ADO＝90°，
∴OC⊥BC，
∴直线BC为⊙O的切线．
【方法总结】
本题是圆的综合题目，考查了掌握切线的判定定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的判定和直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
例4（2020春•越秀区校级月考）如图所示，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥AD，AD＝2，BD＝4，点E为线段BD上一动点，以AE为边向上作△AEF，AE＝EF，∠AEF＝90°，EF与CD交于点G．
（1）求线段AB的长；
（2）若点G为CD的中点，求DE•BE的长；
（3）连接DF，试求DF的最小值．
【解答】解：（1）∵BD⊥AD，AD＝2，BD＝4，
∴AB=AD2+BD2=22+42=25；
（2）过G作GH∥BC，与BD交于点H，
∴DH＝BH=12BD=12×4=2，
∴GH=12BC，GH∥BC，
∵四边形ABCD为平行四边形，BD⊥AD，AD＝2，
∴AD＝BC＝2，AD∥BC，
∴GH＝1，GH∥AD，
∵AD⊥BD，
∴GH⊥BD，即∠EHG＝90°＝∠ADB，
∴∠AED+∠GEH＝∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠HEG，
∴△ADE∽△EHG，
∴ADEH=DEHG，即2EH=2+EH1，
∴EH=3-1，
∴DE＝DH+HE＝2+3-1=3+1，
BE＝BH﹣HE＝2-3+1＝3-3，
∴DE•BE＝23；
（3）取BD的中点M，延长AD至点N，使得AD＝DN，连接AM，MN，NF，
则AD＝DM＝DN＝2，
∵AD⊥BD，
∴∠DAM＝∠DMA＝45°，AM=2AD，
∴ANAM=2AD2AD=2，
∵AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠EAF＝45°，AFAE=2，
∴∠NAF＝∠MAE，AFAE=ANAM，
∴△AFN∽△AEM，
∴∠ANF＝∠AME＝45°，
当DF⊥NF时，DF的值最小为DF＝DN•sin45°＝2×22=2．
【方法总结】
题主要考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，垂线段最短性质，第（2）题关键在构造中位线，第（3）题难度较大，关键在构造相似三角形中，从动中找出变量∠ANF＝45°，从而易于确定DF的最小值．
【随堂练习】
1．（2020秋•灌云县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（ ）
A．14 B．7 C．9 D．6
【解答】解：取AB的中点E，连接AD、EM、CE．
在直角△ABC中，AB=AC2+BC2=62+82=10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE=12AB＝5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME=12AD＝2．
∵5﹣2≤CM≤5+2，
即3≤CM≤7．
∴最大值为7，
故选：B．
2．（2020秋•思明区校级期中）点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A．22+1 B．22+2 C．42+1 D．42-2
【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD＝OA＝4，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=12CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°，
∴BD＝42，
∴CD＝42+2，
∴OM=12CD＝22+1，即OM的最大值为22+1；
故选：A．
3．（2020秋•东海县期中）【问题情境】如图1，C，D是∠AOB的边OA上两点，在边OB上找一点P，使得∠CPD最大．
【问题解决】小明在解决这个问题时认为：如图2，同时过C、D两点的圆与OB边相切于点P，当且仅当取此切点时，∠CPD才最大．
（1）小明证明自己结论的思路是：在射线OB上任取另一点P1（不同于切点P），证明∠CDD＞∠CP1D即可请完成小明的证明；
【结论应用】请和小明一起，利用“问题情境”的结论解决下列问题：
（2）如图3，一幢楼BC上有一高为2m的信号塔AB，当观测点E在水平地面CD上，且满足CE＝610时，看信号塔AB的视角（即∠AEB）最大，求楼高BC；
（3）如图4，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠BCD＝60°，BC＝9，对角线AC平分∠BCD．点E是BC上一点，请问当BE的长满足什么条件时，在线段AD上恰好只存在一点P，使得∠BPE＝60°？（直接写出结果，不必写出解答过程）
【解答】解：（1）在射线OB上任取另一点P1（不同于切点P），连接P1D，交圆于点E，连接P1C，CD．
∵∠CPD＝∠CED，∠CED＞∠CP1D，
∴∠CPD＞∠CP1D；
（2）作AB垂直平分线OF，过点E作OE⊥CD，连接OB．
则有∠CFO＝∠CEO＝∠C＝90°，
∴四边形OECF为矩形．
∴OF＝CE＝610，
∵看信号塔AB的视角（即∠AEB）最大，
∴以O为圆心OB为半径的圆O，必与CD切于点E，
即OB＝OE．
∵AB＝2，
∴BF＝1．
设BC＝x米，则OB＝OE＝CF＝（1+x）米．
在直角三角形OBF中，有OB2＝BF2+OF2，即（1+x）2＝（610）2+1，
解得x＝18或﹣20（舍去），
所以楼高BC为18米；
（3）如图3，∵∠BCD＝60°，BC＝9，对角线AC平分∠BCD，
则∠ACB＝30°，则AB＝BCtan30°＝9•33=33，则AC＝2AB＝63，
∵AD∥BC，则∠ACB＝∠DAC＝∠ACD＝30°，
故△ADC为底角为30°、底边为63的等腰三角形，
则AD＝CD=12AC÷cos30°=12×63÷32=6；
①当以BE为弦的圆与AD相切时，符合题设要求，
则点P在AD上，∠BPE＝60°，连接OP并延长PO交BC于点F，则PF⊥BC，连接OB、OE，
则∠BOF＝2∠BPO＝60°，
则Rt△BOF中，∠OBF＝30°，设圆的半径为r（以下圆的半径均用r表示），则OF=12r，
则AB＝PF＝r+12r＝33，解得r＝23，
在Rt△BOF中，BF＝BO•cos30°＝23•32=3=12BE，
故BE＝6；
②如图4，当以BE为弦的圆过点D时，符合题设要求，即点P、D重合，
连接BO并延长交CD于点G，
同理可得△BOE为底角为30°的等腰三角形，
则∠GBC＝30°，
而∠DCB＝60°，故∠BGC＝90°，即BG⊥CD，
在Rt△BCG中，CG=12BC=92，BG＝BCcos30°=932，
则GD＝CD﹣CG＝6-92=32，OG＝BG﹣r=932-r，
连接OD、OE，
在Rt△ODG中，OD2＝DG2+OG2，即r2＝（932-r）2+（32）2，
解得r=73，
由①知，BE＝2rcos30°＝2×73×32=7；
③当以BE为弦的圆过点A时，此时点A为临界点，
连接AE，
∴∠ABC＝90°，
故AE过点O，
同理可得：∠AEB＝30°，
则AE＝2AB＝63=2r，
则BE＝2rcos30°＝63•32=9．
综上，BE＝6或7＜BE≤9时，符合要求．
4．（2020•越秀区校级二模）如图所示，四边形ABCD为菱形，AD＝5，sinB=2425，点E为边AB上一动点（不与端点重合），△DEF与△DEA关于DE对称．
（1）试求菱形ABCD的面积；
（2）若点D、B、F共线，求AE的长；
（3）点G为边CD上一点，且CG＝1，连接GF、BF，试求BF+2GF的最小值．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥CD于H，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∠B＝∠ADH，
∴sin∠B＝sin∠ADH=AHAD=2425，
∴AH=2425AD=2425×5=245，
∴S菱形ABCD＝CD•AH＝5×245=24；
（2）连接AC交BD于O，如图2所示：
在Rt△ADH中，由勾股定理得：DH=AD2-AH2=52-(245)2=75，
∴CH＝CD﹣DH＝5-75=185，
在Rt△ACH中，由勾股定理得：AC=AH2+CH2=(245)2+(185)2=6，
∵S菱形ABCD=12AC•BD＝24，
∴BD=2412AC=2412×6=8，
∵△DEF与△DEA关于DE对称，
∴∠ADE＝∠FDE，
∴DE平分∠ADB，
∴点E到AD、BD的距离相等，
设点E到AD、BD的距离为h，
∵S△ADES△BDE=12AD⋅h12BD⋅h=12AE⋅AH12BE⋅AH，
∴ADBD=AEBE，
∴AEBE=58，
∴AE=513AB=513×5=2513；
（3）连接BD，如图3所示：
∵DA＝DF＝5，
∴点F在以D为圆心，5为半径的圆弧上移动，即在AC上移动，
∵CG＝1，
∴DG＝CD﹣CG＝5﹣1＝4，
作以D为圆心，4为半径的PG，交BD于O，交DF于N，
在BD上截取DM=52，连接CN、MN、MC，
∴DN＝DO＝DG＝4，DA＝DC＝DF＝5，
∵BD＝8，
∴DNBD=DMDF=12，
∵∠MDN＝∠FDB，
∴△MDN∽△FDB，
∴MNBF=MDDF12，
∴MN=12BF，
在△DNC和△DGF中，
DN=DG∠NDC=∠GDFDC=DF，
∴△DNC≌△DGF（SAS），
∴NC＝GF，
∴BF+2GF＝2（12BF+GF）＝2（MN+NC）≥2MC，
∴当且仅当M、N、C三点共线时，MN+NC取得最小值，
过点M作MQ⊥DC于Q，
由（2）得：sin∠CDO=12×24512×8=35，cos∠CDO=(12×8)2-(12×245)212×8=45，
∴MQDM=35，DQDM=45，
∴MQ=35DM=35×52=32，DQ=45DM=45×52=2，
∴CQ＝DC﹣DQ＝5﹣2＝3，
在Rt△CMQ中，由勾股定理得：CM=MQ2+CQ2=(32)2+32=352，
∴BF+2GF的最小值为：2×352=35．
知识点2 代数问题最值
几种常见问题
1、 利用一次函数表达式在定义域内的增减性来求最值。
2、 利用二次函数表达式在定义域内的增减性来求最值。
3、 利用完全平方公式的非负性来求最值。
4、 利用绝对值表示的几何意义来求最值。
【典例】
例1（2020春•兴城市期末）已知一次函数y＝﹣x+2．当﹣3≤x≤﹣1时，y的最小值是 3 ．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+2，
∴该函数中y随x的增大而减小，
∵﹣3≤x≤﹣1，
∴当x＝﹣1时，y取得最小值，此时y＝﹣（﹣1）+2＝1+2＝3，
故答案为：3．
【方法总结】
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
例2（2020秋•番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝ 9 ．
【解答】解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，
可知函数顶点坐标为（3，﹣4），
当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，
即（x﹣1）（x﹣5）＝0，
解得x1＝1，x2＝5．
如图：m＝﹣4，
当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．
则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．
【方法总结】
本题考查了二次函数的最值，找到x的取值范围，画出函数图象，根据图象找到m的值和M的值．
例3（2020秋•本溪期末）某商品在商场的售价为每件60元，每星期可卖出300件，甲、乙两位网红主播在直播间为商场售货．甲主播每件商品每涨价1元，每星期少卖出10件；改为乙时，每降价1元，每星期可多卖出18件．已知商品的进价为每件40元，通过计算你认为甲、乙每星期谁能使利润最大？
【解答】解：由题意调整价格包括涨价和降价两种情况：
①涨价的情况：设每件涨价x元，
则每星期售出商品的利润y＝（60+x）（300﹣10x）﹣40（300﹣10x）y＝﹣10x2+100x+6000（0≤x≤30），
当，
∴当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元；
②降价的情况：设降价x元时的利润为，y＝（60﹣x）（300+18x）﹣40（300+18x）＝﹣18x2+60x+6000（0≤x≤20），
，
答：定价为5813元时，利润最大，最大利润为6050元；
∴甲每星期能使利润最大．
【方法总结】
本题考查了二次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•海淀区月考）函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象如图，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象，若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是 0≤m≤1 ．
【解答】解：如图1所示，当m等于0时，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴A（0，﹣3），
当x＝4时，y＝5，
∴C（4，5），
∴当m＝0时，
D（4，﹣5），
∴此时最大值为0，最小值为﹣5；
如图2所示，当m＝1时，
此时最小值为﹣4，最大值为1，
当1＜m＜5时，最大值与最小值之差大于5，不合题意；
综上所述：0≤m≤1，
故答案为0≤m≤1．
2．（2020春•洪山区月考）在平面直角坐标系中，函数y＝|x﹣a|（其中a为常量），当自变量﹣3≤x≤1时，它的最小值为a+4，则满足条件的a的值为（ ）
A．-17 B．-27 C．-72 D．-17或-72
【解答】解：∵函数y＝|x﹣a|（其中a为常量），当自变量﹣3≤x≤1时，它的最小值为a+4，
∴当a＞1时，x＝1取得最小值，此时a﹣1＝a+4，化简得﹣1＝4不成立；
当﹣3≤a≤1时，x＝a时取得最小值0，0＝a+4，解得a＝﹣4，此种情况不成立；
当a＜﹣3时，x＝﹣3时取得 最小值，此﹣3﹣a＝a+4，解得a=-72，
故选：C．
3．（2020秋•金安区校级期中）某电脑经销商，今年二，三月份A型和B型电脑的销售情况，如下表所示：
A型（台）
B型（台）
利润（元）
二月份
15
20
4500
三月份
20
10
3500
（1）直接写出每台A型电脑和B型电脑的销售利润分别为 100元、150元 ；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y与x的关系式；
②该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜80）元，且限定商店最多购进A型电脑60台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【解答】解：（1）设A型电脑每台利润为a元，B型电脑每台b元，
15a+20b=450020a+10b=3500，
解得a=100b=150，
即每台A型电脑和B型电脑的销售利润分别为100元、150元，
故答案为：100元、150元；
（2）①设购进A型电脑x台，则购进B型电脑（100﹣x）台，
y＝100x+150（100﹣x）＝﹣50x+15000，
即y与x的关系式为y＝﹣50x+15000；
②∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，
∴100﹣x≤2x，
解得x≥3313，
∵y＝﹣50x+15000，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝34时，y取得最大值，此时y＝13300，100﹣x＝66，
即该商店购进A型电脑34台、B型电脑66台时，才能使销售利润最大；
（3）设这100台电脑销售总利润为w元，
w＝（100+m）x+150（100﹣x）＝（﹣50+m）x+15000，
∵0＜m＜80，34≤x≤60，
∴当0＜m＜50时，x＝34，w取得最大值，此时100﹣x＝66；
当m＝50时，w＝15000，即x只要满足34≤x≤60且x为整数，即可获得利润15000元；
当50＜m＜80时，x＝60，w取得最大值，此时100﹣x＝40，
由上可得，当0＜m＜50时，该商店购进A型电脑34台、B型电脑66台时，才能使销售利润最大；
当m＝50时，购进的A型电脑只要取34到60之间的整数即可；
当50＜m＜80时，该商店购进A型电脑60台、B型电脑40台时，才能使销售利润最大．
综合运用
1．（2020秋•韩城市期末）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为8，则GE+FH的最大值为 12 ．
【解答】解：如图1，连接OA、OB，
，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵⊙O的半径为8，
∴AB＝OA＝OB＝8，
∵点E，F分别是AC、BC的中点，
∴EF=12AB＝4，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：8×2＝16，
∴GE+FH的最大值为：16﹣4＝12．
故答案为：12．
2．（2020•越秀区一模）如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AD＝13，AB＝25，∠DAB＝α，且cosα=513，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接CF．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）当点C、B、F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；
（3）求线段CF的长度的最小值．
【解答】解（1）如图1，作DK⊥AB于点K，
∵将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，
∴∠AEF＝α，AE＝EF，
在Rt△DAK中，
∵cos∠DAK＝cosα=AKAD=513，且AD＝13，
∴AK＝5，
∴DK=AD2-AK2=132-52=12，
∴S平行四边形ABCD＝AB×DK＝25×12＝300；
（2）如图2，延长CD至H，作∠AHD＝α，
∵∠AHD＝∠ADH＝α，
∴AH＝AD＝13，
过点A作AM⊥DH于点M，
由（1）知AM＝12，
∴DM=AD2-AM2=5，
∴DH＝10，
∵∠FEH＝∠DEA+∠α＝∠F+α，
∴∠DEA＝∠F，
在△AEH和△EFC中，
∠AEH=∠F∠H=∠CAE=EF，
∴△AEH≌△EFC（AAS），
∴EH＝CF，CE＝AH＝13，
∴DE＝CD﹣CE＝12，BF＝CF﹣BC＝22﹣13＝9，
∵BG∥CE，
∴△FBG∽△FCE，
∴BFCF=BGCE，
即922=BG13，
∴BG=11722；
（3）如图3，延长CD至P，使∠P＝∠ADP＝α，过点F作FM∥BC，交CD于点M，过点FN⊥CD，交CD于点N，
由（2）可知∠AEP＝∠EFM，
在△EAP和△FEM中．
∠P=∠FME∠AEP=∠EFMAE=EF，
∴△EAP≌△FEM（AAS），
∴EM＝AP＝13，FM＝EP，
设DE＝x，则FM＝EP＝10+x，CM＝25﹣（13+x）＝12﹣x，
∴FN＝FM•sinα=1213（10+x），MN＝FM•cosα=513（10+x），
∴CN＝CM+MN＝12﹣x+513（10+x）=206-8x13，
在Rt△CFN中，CF2＝CN2+NF2=(113)2（208x2﹣416x+56836），
对称轴x=-b2a=--4162×208=1，
∴当x＝1时，CF的值最小，CF的最小值为661313．
3．（2020秋•福州期中）如图1，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，以BC所在直线为x轴，边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，将△ABC绕P点（0，﹣1）顺时针旋转．
（1）填空：当点B旋转到y轴正半轴时，则旋转后点A坐标为 （2+1，2-1） ；
（2）如图2，若边AB与y轴交点为E，边AC与直线y＝x﹣1的交点为F，求证：△AEF的周长为定值；
（3）在（2）的条件下，求△AEF内切圆半径的最大值．
【解答】解：（1）连接BP、CP，则△ABP为等腰直角三角形，
而△ABC为等腰直角三角形，易证四边形ABPC为正方形，
当点B落在y轴上时，则图形旋转的角度为45°，点A落在点A′的位置，则PA′过点C，PA′＝PA＝2，
过点A′作A′E⊥x轴于点E，则∠A′CE＝OCP＝45°，
由点A、B、C的坐标知，AB＝AC=2，
则CA′＝PA′﹣CP＝2-2，
在Rt△A′CE中，A′E=22A′C=2-1＝CE，
故旋转后点A的坐标为（2+1，2-1），
故答案为（2+1，2-1）；
（2）连接PB、CP，作∠QPB＝∠FPC，
由（1）知，四边形BPCA为正方形，
由直线y＝x﹣1知，∠EPF＝45°，
则∠FPC+∠BPE＝90°﹣∠EPF＝45°＝∠QPB+∠BPE＝∠QPE＝∠45°，即∠QPE＝∠EPF＝45°，
∵四边形BPCA为正方形，则PB＝PC，∠QBP＝∠FCP＝90°，∠QPB＝∠FPC，
∴△BPQ≌△CPF（AAS），
∴PQ＝PF，
而∠QPE＝∠EPF＝45°，PE＝PE，
∴△QPE≌△FPE（SAS），
∴QE＝EF，
则△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+QE＝AE+BE+BQ+AE＝AE+BE+FC+AF＝AB+AC＝22；
即△AEF的周长为定值；
（3）设△AEF内切圆半径为r，AE＝n，EF＝m，
由（2）知，AF＝22-m﹣n，
则r=12（AE+AE﹣EF）=12（22-m﹣n+n﹣m）=2-m（半径公式见备注），
在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，即n2+（22-m﹣n）2＝m2，
整理得：n2+（m﹣22）n+4﹣22m＝0，
∵关于n的一元二次方程有解，
故△＝（m﹣22）2﹣4×（4﹣22m）≥0，
解得m≥4﹣22或m≤﹣4﹣22（舍去），
故m的最小值为4﹣22，
则r的最大值为2-m=2-（4﹣22）＝32-4，
即△AEF内切圆半径的最大值为32-4．
4．（2020秋•海珠区校级期中）如图，AB为⊙O直径，半径为2，点D为弧AB的中点，点C在⊙O上由点A顺时针向点B运动（点C不与点A，点B重合），连接AC，BC，CD，AD，BD．
（1）求证：CD是∠ACB的角平分线；
（2）求CD的长x的取值范围（直接写出答案）．
（3）四边形ADBC的面积S是线段CD的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式，并求出S的最大值，如果不是，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵点D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴CD是∠ACB的角平分线．
（2）解：∵AD=BD，
∴AD＝DB，
∵AB＝4，AB是直径．
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝BD＝22，
∵点C在AB上运动，
∴当点C与A或B重合时，CD的值最小，最小值为22，
当CD是直径时，CD的值最大，最大值为4，
∵点C不与点A，点B重合，
∴22＜x≤4．
（3）解：是的．
理由：如图，作DE⊥CB于E点，作DF⊥AC的延长线于F点，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
又∵CD是∠ACB的角平分线，
∴DF＝DE，
∵ADBC是圆内接四边形，
∴∠FAD＝∠DBE，
∴△AFB≌△BED（AAS），
∴AF＝BE，
∴AC+BC＝CF+CE＝2CF，
又∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴CF＝CE＝DF＝DE，
∴AC+BC＝2DF，
∴四边形ADBC的面积S=12•AC•DF+12•BC•DE=12×（AC+BC）×DF＝DF2＝（22CD）2=12x2，
∵开口向上，对称轴为y轴，22＜x≤4，
∴当x＝4时，S有最大值＝8．
5．（2020春•林州市期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC为锐角，以边AB为直径作⊙O，⊙O与边BC交点为E，EF是⊙O的切线，且EF⊥对角线AC于点F．
（1）求证：AC＝CD；
（2）填空：若AB＝4cm，则：
①当∠B的度数＝ 60° 时，▱ABCD是菱形；
②△ACD面积的最大值是 8cm2 ．
【解答】（1）证明：∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠B，
∵EF是⊙O的切线．
∴OE⊥EF，
又∵EF⊥AC，
∴OE∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠B，
∴AB＝AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴AC＝CD；
（2）解：①∠B＝60°时，▱ABCD是菱形；理由如下：
由（1）得：AB＝AC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∴▱ABCD是菱形；
故答案为：60°；
②由（1）得：AC＝AB＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△ACD的面积＝△ABC的面积，作CG⊥AB于G，如图所示：
则∠AGC＝90°，sin∠BAC=CGAC，
∴CG＝AC×sin∠BAC，
当sin∠BAC最大时，∠BAC＝90°，CG最大＝CA，
此时△ABC面积最大，G与A重合，
∴△ACD面积的最大值＝△ABC的面积的最大值=12AB×CG=12AB×AC=12×4×4＝8（cm2）；
故答案为：8cm2．
6．（2020•天宁区校级一模）问题探究：
如图，在矩形ABCD中，AB＝10，cos∠ABD=513，P为BD上一点，B'是点B以P为对称中心的对称点，点B'也在BD上（可以是端点），E为PD的中点，以点E为圆，EB'为半径在BD下方作半圆．
（1）BP＝ 5013 时，AP⊥BD时，此时半径是 9413 ；
（2）当半圆与矩形的边相切时，求BP的长；
拓展延伸：
（3）如图，AB＝6，AC=3，以BC为底边在BC上方作等腰△BCD，其中∠CDB＝120°，直接写出AD的最大值．
【解答】解：（1）cos∠ABD=513=ADBD=10BD，则sin∠ABD=1213，
解得：BD＝26；
当AP⊥BD时，BP＝AB•cos∠ABD＝10×513=5013=PB′，
∴DE=12PD=26-50132=14413=PE，
则半径＝B′E＝PE﹣PB′=9413；
故答案为5013，9413；
（2）①当点B′在点E的左侧时，
如图1，当点G是切点时，
而PB＝PB′＝a，ED=12PD=12（26﹣a）＝PE，
故B′E＝BE﹣BB′＝13-3a2，
则cos∠BEG＝cos∠ABD=513=13-3a2a+26-a2，
解得：a=5211；
如图2，当点H时切点时，
同理可得：a=2627；
②当点B′在点E的右侧时，
此时半圆与CD相切，
同理可得：BP=65051；
综上，BP的长为5211或2627或65051；
（3）连接AD，构建△ABE使△ABE∽△CBD，则BEBA=BDBC，
则∠EAB＝∠DCB=12（180°﹣120°）＝30°＝∠DBC＝∠EBA，
在等腰三角形ABE中，AE＝BE=12ABcos∠EAB=3cos30°=23，
∵∠ABC＝∠EBA﹣∠EBC，∠EBD＝∠CBD﹣∠EBC，
而∠EBA＝∠CBD，
∴∠ABC＝∠EBD，
∵BEBA=BDBC，
∴△EBD∽△ABC，故BEBA=BDBC，即ACDE=623，
∴DE=33AC＝1，
∵AD≤AE+DE＝23+1，
故AD的最大值为23+1．
日期：2021/1/23 15:58:30；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626
知识点1 几何问题最值
【典例】
例1（2020秋•天心区月考）如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP=3，则弦BC的最大值为（ ）
A．23 B．3 C．6 D．32
【解答】解：过点O作OE⊥AB于E，如图：
∵O为圆心，
∴AE＝BE，
∴OE=12BC，
∵OE≤OP，
∴BC≤2OP，
∴当E、P重合时，即OP垂直AB时，BC取最大值，
∴弦BC的最大值为：2OP＝23．
故选：A．
【方法总结】
本题主要考查了垂径定理的应用、三角形中位线定理、垂线段最短等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
例2（2020秋•太原期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4、AD＝8，点E是AB的中点，延长CB到点F，使BF=12BC，连接EF．连接点D与线段EF的中点G．如果将△BEF绕点B顺时针旋转，那么在旋转的过程中，线段DG长的最大值是（ ）
A．55 B．65 C．317 D．85
【解答】解：连接BC、BG，
在矩形ABCD中，AB＝4、AD＝8，
∴BD=AB2+AD2=42+82=45，
∵点E是AB的中点，延长CB到点F，使BF=12BC，
∴BE＝2、BF＝4，
∴EF=BE2+BF2=22+42=25，
∴BG=12EF=5，
∴G在⊙B上，且半径为5，
∴当D，B，G三点共线时，DG最大，
∴DG的最大值为45+5=55；
故选：A．
【方法总结】
本题考查了点和圆的位置关系，矩形的性质，三角形中线的性质，三角形的三边关系，勾股定理的应用，明确当D，B，G三点共线时，DG最大是解题的关键．
例3（2020秋•高新区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以原点O为圆心，半径为3的⊙O上，连接OC，过点O作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C，O，D按逆时针方向排列），连接AB．
（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为 45°或135° ；
（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC面积的最大值．
（3）连接AD，当OC∥AD，点C位于第二象限时，
①求出点C的坐标；
②直线BC是否为⊙O的切线？并说明理由．
【解答】解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OBA＝45°，
∵OC∥AB，
∴当C点在y轴左侧时，∠BOC＝∠OBA＝45°；
当C点在y轴右侧时，∠BOC＝90°+∠OBA＝135°；
综上所述，∠BOC的度数为45°或135°，
故答案为：45°或135°；
（2）∵△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=2OA＝62，
∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，
过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图：
此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，
∴OE=12AB＝32，
∴CE＝OC+OE＝3+32，
∴△ABC的面积=12CE•AB=12×（3+32）×62=92+18；
即当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为92+18；
（3）①过C点作CF⊥x轴于F，如图：
∵OC∥AD，
∴∠COF＝∠DAO，
又∵∠ADO＝∠CFO＝90°，
∴△OCF∽Rt△AOD，
∴CFOD=OCAO，即CF3=36，
解得：CF=32，
在Rt△OCF中，OF=OC2-CF2=32-(32)2=332，
∴C点坐标为（-332，32）；
②直线BC是⊙O的切线．理由如下：
由①得：（-332，32），
在Rt△OCF中，OC＝3，CF=32，
∴CF=12OC，
∴∠COF＝30°，
∴∠OAD＝30°，
∴∠BOC＝60°，∠AOD＝60°，
∵在△BOC和△AOD中，
OC=OD∠BOC=∠AODOB=OA，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO＝∠ADO＝90°，
∴OC⊥BC，
∴直线BC为⊙O的切线．
【方法总结】
本题是圆的综合题目，考查了掌握切线的判定定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的判定和直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
例4（2020春•越秀区校级月考）如图所示，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥AD，AD＝2，BD＝4，点E为线段BD上一动点，以AE为边向上作△AEF，AE＝EF，∠AEF＝90°，EF与CD交于点G．
（1）求线段AB的长；
（2）若点G为CD的中点，求DE•BE的长；
（3）连接DF，试求DF的最小值．
【解答】解：（1）∵BD⊥AD，AD＝2，BD＝4，
∴AB=AD2+BD2=22+42=25；
（2）过G作GH∥BC，与BD交于点H，
∴DH＝BH=12BD=12×4=2，
∴GH=12BC，GH∥BC，
∵四边形ABCD为平行四边形，BD⊥AD，AD＝2，
∴AD＝BC＝2，AD∥BC，
∴GH＝1，GH∥AD，
∵AD⊥BD，
∴GH⊥BD，即∠EHG＝90°＝∠ADB，
∴∠AED+∠GEH＝∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠HEG，
∴△ADE∽△EHG，
∴ADEH=DEHG，即2EH=2+EH1，
∴EH=3-1，
∴DE＝DH+HE＝2+3-1=3+1，
BE＝BH﹣HE＝2-3+1＝3-3，
∴DE•BE＝23；
（3）取BD的中点M，延长AD至点N，使得AD＝DN，连接AM，MN，NF，
则AD＝DM＝DN＝2，
∵AD⊥BD，
∴∠DAM＝∠DMA＝45°，AM=2AD，
∴ANAM=2AD2AD=2，
∵AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠EAF＝45°，AFAE=2，
∴∠NAF＝∠MAE，AFAE=ANAM，
∴△AFN∽△AEM，
∴∠ANF＝∠AME＝45°，
当DF⊥NF时，DF的值最小为DF＝DN•sin45°＝2×22=2．
【方法总结】
题主要考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，垂线段最短性质，第（2）题关键在构造中位线，第（3）题难度较大，关键在构造相似三角形中，从动中找出变量∠ANF＝45°，从而易于确定DF的最小值．
【随堂练习】
1．（2020秋•灌云县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（ ）
A．14 B．7 C．9 D．6
【解答】解：取AB的中点E，连接AD、EM、CE．
在直角△ABC中，AB=AC2+BC2=62+82=10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE=12AB＝5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME=12AD＝2．
∵5﹣2≤CM≤5+2，
即3≤CM≤7．
∴最大值为7，
故选：B．
2．（2020秋•思明区校级期中）点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A．22+1 B．22+2 C．42+1 D．42-2
【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD＝OA＝4，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=12CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°，
∴BD＝42，
∴CD＝42+2，
∴OM=12CD＝22+1，即OM的最大值为22+1；
故选：A．
3．（2020秋•东海县期中）【问题情境】如图1，C，D是∠AOB的边OA上两点，在边OB上找一点P，使得∠CPD最大．
【问题解决】小明在解决这个问题时认为：如图2，同时过C、D两点的圆与OB边相切于点P，当且仅当取此切点时，∠CPD才最大．
（1）小明证明自己结论的思路是：在射线OB上任取另一点P1（不同于切点P），证明∠CDD＞∠CP1D即可请完成小明的证明；
【结论应用】请和小明一起，利用“问题情境”的结论解决下列问题：
（2）如图3，一幢楼BC上有一高为2m的信号塔AB，当观测点E在水平地面CD上，且满足CE＝610时，看信号塔AB的视角（即∠AEB）最大，求楼高BC；
（3）如图4，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠BCD＝60°，BC＝9，对角线AC平分∠BCD．点E是BC上一点，请问当BE的长满足什么条件时，在线段AD上恰好只存在一点P，使得∠BPE＝60°？（直接写出结果，不必写出解答过程）
【解答】解：（1）在射线OB上任取另一点P1（不同于切点P），连接P1D，交圆于点E，连接P1C，CD．
∵∠CPD＝∠CED，∠CED＞∠CP1D，
∴∠CPD＞∠CP1D；
（2）作AB垂直平分线OF，过点E作OE⊥CD，连接OB．
则有∠CFO＝∠CEO＝∠C＝90°，
∴四边形OECF为矩形．
∴OF＝CE＝610，
∵看信号塔AB的视角（即∠AEB）最大，
∴以O为圆心OB为半径的圆O，必与CD切于点E，
即OB＝OE．
∵AB＝2，
∴BF＝1．
设BC＝x米，则OB＝OE＝CF＝（1+x）米．
在直角三角形OBF中，有OB2＝BF2+OF2，即（1+x）2＝（610）2+1，
解得x＝18或﹣20（舍去），
所以楼高BC为18米；
（3）如图3，∵∠BCD＝60°，BC＝9，对角线AC平分∠BCD，
则∠ACB＝30°，则AB＝BCtan30°＝9•33=33，则AC＝2AB＝63，
∵AD∥BC，则∠ACB＝∠DAC＝∠ACD＝30°，
故△ADC为底角为30°、底边为63的等腰三角形，
则AD＝CD=12AC÷cos30°=12×63÷32=6；
①当以BE为弦的圆与AD相切时，符合题设要求，
则点P在AD上，∠BPE＝60°，连接OP并延长PO交BC于点F，则PF⊥BC，连接OB、OE，
则∠BOF＝2∠BPO＝60°，
则Rt△BOF中，∠OBF＝30°，设圆的半径为r（以下圆的半径均用r表示），则OF=12r，
则AB＝PF＝r+12r＝33，解得r＝23，
在Rt△BOF中，BF＝BO•cos30°＝23•32=3=12BE，
故BE＝6；
②如图4，当以BE为弦的圆过点D时，符合题设要求，即点P、D重合，
连接BO并延长交CD于点G，
同理可得△BOE为底角为30°的等腰三角形，
则∠GBC＝30°，
而∠DCB＝60°，故∠BGC＝90°，即BG⊥CD，
在Rt△BCG中，CG=12BC=92，BG＝BCcos30°=932，
则GD＝CD﹣CG＝6-92=32，OG＝BG﹣r=932-r，
连接OD、OE，
在Rt△ODG中，OD2＝DG2+OG2，即r2＝（932-r）2+（32）2，
解得r=73，
由①知，BE＝2rcos30°＝2×73×32=7；
③当以BE为弦的圆过点A时，此时点A为临界点，
连接AE，
∴∠ABC＝90°，
故AE过点O，
同理可得：∠AEB＝30°，
则AE＝2AB＝63=2r，
则BE＝2rcos30°＝63•32=9．
综上，BE＝6或7＜BE≤9时，符合要求．
4．（2020•越秀区校级二模）如图所示，四边形ABCD为菱形，AD＝5，sinB=2425，点E为边AB上一动点（不与端点重合），△DEF与△DEA关于DE对称．
（1）试求菱形ABCD的面积；
（2）若点D、B、F共线，求AE的长；
（3）点G为边CD上一点，且CG＝1，连接GF、BF，试求BF+2GF的最小值．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥CD于H，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∠B＝∠ADH，
∴sin∠B＝sin∠ADH=AHAD=2425，
∴AH=2425AD=2425×5=245，
∴S菱形ABCD＝CD•AH＝5×245=24；
（2）连接AC交BD于O，如图2所示：
在Rt△ADH中，由勾股定理得：DH=AD2-AH2=52-(245)2=75，
∴CH＝CD﹣DH＝5-75=185，
在Rt△ACH中，由勾股定理得：AC=AH2+CH2=(245)2+(185)2=6，
∵S菱形ABCD=12AC•BD＝24，
∴BD=2412AC=2412×6=8，
∵△DEF与△DEA关于DE对称，
∴∠ADE＝∠FDE，
∴DE平分∠ADB，
∴点E到AD、BD的距离相等，
设点E到AD、BD的距离为h，
∵S△ADES△BDE=12AD⋅h12BD⋅h=12AE⋅AH12BE⋅AH，
∴ADBD=AEBE，
∴AEBE=58，
∴AE=513AB=513×5=2513；
（3）连接BD，如图3所示：
∵DA＝DF＝5，
∴点F在以D为圆心，5为半径的圆弧上移动，即在AC上移动，
∵CG＝1，
∴DG＝CD﹣CG＝5﹣1＝4，
作以D为圆心，4为半径的PG，交BD于O，交DF于N，
在BD上截取DM=52，连接CN、MN、MC，
∴DN＝DO＝DG＝4，DA＝DC＝DF＝5，
∵BD＝8，
∴DNBD=DMDF=12，
∵∠MDN＝∠FDB，
∴△MDN∽△FDB，
∴MNBF=MDDF12，
∴MN=12BF，
在△DNC和△DGF中，
DN=DG∠NDC=∠GDFDC=DF，
∴△DNC≌△DGF（SAS），
∴NC＝GF，
∴BF+2GF＝2（12BF+GF）＝2（MN+NC）≥2MC，
∴当且仅当M、N、C三点共线时，MN+NC取得最小值，
过点M作MQ⊥DC于Q，
由（2）得：sin∠CDO=12×24512×8=35，cos∠CDO=(12×8)2-(12×245)212×8=45，
∴MQDM=35，DQDM=45，
∴MQ=35DM=35×52=32，DQ=45DM=45×52=2，
∴CQ＝DC﹣DQ＝5﹣2＝3，
在Rt△CMQ中，由勾股定理得：CM=MQ2+CQ2=(32)2+32=352，
∴BF+2GF的最小值为：2×352=35．
知识点2 代数问题最值
几种常见问题
1、 利用一次函数表达式在定义域内的增减性来求最值。
2、 利用二次函数表达式在定义域内的增减性来求最值。
3、 利用完全平方公式的非负性来求最值。
4、 利用绝对值表示的几何意义来求最值。
【典例】
例1（2020春•兴城市期末）已知一次函数y＝﹣x+2．当﹣3≤x≤﹣1时，y的最小值是 3 ．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+2，
∴该函数中y随x的增大而减小，
∵﹣3≤x≤﹣1，
∴当x＝﹣1时，y取得最小值，此时y＝﹣（﹣1）+2＝1+2＝3，
故答案为：3．
【方法总结】
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
例2（2020秋•番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝ 9 ．
【解答】解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，
可知函数顶点坐标为（3，﹣4），
当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，
即（x﹣1）（x﹣5）＝0，
解得x1＝1，x2＝5．
如图：m＝﹣4，
当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．
则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．
【方法总结】
本题考查了二次函数的最值，找到x的取值范围，画出函数图象，根据图象找到m的值和M的值．
例3（2020秋•本溪期末）某商品在商场的售价为每件60元，每星期可卖出300件，甲、乙两位网红主播在直播间为商场售货．甲主播每件商品每涨价1元，每星期少卖出10件；改为乙时，每降价1元，每星期可多卖出18件．已知商品的进价为每件40元，通过计算你认为甲、乙每星期谁能使利润最大？
【解答】解：由题意调整价格包括涨价和降价两种情况：
①涨价的情况：设每件涨价x元，
则每星期售出商品的利润y＝（60+x）（300﹣10x）﹣40（300﹣10x）y＝﹣10x2+100x+6000（0≤x≤30），
当，
∴当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元；
②降价的情况：设降价x元时的利润为，y＝（60﹣x）（300+18x）﹣40（300+18x）＝﹣18x2+60x+6000（0≤x≤20），
，
答：定价为5813元时，利润最大，最大利润为6050元；
∴甲每星期能使利润最大．
【方法总结】
本题考查了二次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•海淀区月考）函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象如图，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象，若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是 0≤m≤1 ．
【解答】解：如图1所示，当m等于0时，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴A（0，﹣3），
当x＝4时，y＝5，
∴C（4，5），
∴当m＝0时，
D（4，﹣5），
∴此时最大值为0，最小值为﹣5；
如图2所示，当m＝1时，
此时最小值为﹣4，最大值为1，
当1＜m＜5时，最大值与最小值之差大于5，不合题意；
综上所述：0≤m≤1，
故答案为0≤m≤1．
2．（2020春•洪山区月考）在平面直角坐标系中，函数y＝|x﹣a|（其中a为常量），当自变量﹣3≤x≤1时，它的最小值为a+4，则满足条件的a的值为（ ）
A．-17 B．-27 C．-72 D．-17或-72
【解答】解：∵函数y＝|x﹣a|（其中a为常量），当自变量﹣3≤x≤1时，它的最小值为a+4，
∴当a＞1时，x＝1取得最小值，此时a﹣1＝a+4，化简得﹣1＝4不成立；
当﹣3≤a≤1时，x＝a时取得最小值0，0＝a+4，解得a＝﹣4，此种情况不成立；
当a＜﹣3时，x＝﹣3时取得 最小值，此﹣3﹣a＝a+4，解得a=-72，
故选：C．
3．（2020秋•金安区校级期中）某电脑经销商，今年二，三月份A型和B型电脑的销售情况，如下表所示：
A型（台）
B型（台）
利润（元）
二月份
15
20
4500
三月份
20
10
3500
（1）直接写出每台A型电脑和B型电脑的销售利润分别为 100元、150元 ；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y与x的关系式；
②该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜80）元，且限定商店最多购进A型电脑60台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【解答】解：（1）设A型电脑每台利润为a元，B型电脑每台b元，
15a+20b=450020a+10b=3500，
解得a=100b=150，
即每台A型电脑和B型电脑的销售利润分别为100元、150元，
故答案为：100元、150元；
（2）①设购进A型电脑x台，则购进B型电脑（100﹣x）台，
y＝100x+150（100﹣x）＝﹣50x+15000，
即y与x的关系式为y＝﹣50x+15000；
②∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，
∴100﹣x≤2x，
解得x≥3313，
∵y＝﹣50x+15000，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝34时，y取得最大值，此时y＝13300，100﹣x＝66，
即该商店购进A型电脑34台、B型电脑66台时，才能使销售利润最大；
（3）设这100台电脑销售总利润为w元，
w＝（100+m）x+150（100﹣x）＝（﹣50+m）x+15000，
∵0＜m＜80，34≤x≤60，
∴当0＜m＜50时，x＝34，w取得最大值，此时100﹣x＝66；
当m＝50时，w＝15000，即x只要满足34≤x≤60且x为整数，即可获得利润15000元；
当50＜m＜80时，x＝60，w取得最大值，此时100﹣x＝40，
由上可得，当0＜m＜50时，该商店购进A型电脑34台、B型电脑66台时，才能使销售利润最大；
当m＝50时，购进的A型电脑只要取34到60之间的整数即可；
当50＜m＜80时，该商店购进A型电脑60台、B型电脑40台时，才能使销售利润最大．
综合运用
1．（2020秋•韩城市期末）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为8，则GE+FH的最大值为 12 ．
【解答】解：如图1，连接OA、OB，
，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵⊙O的半径为8，
∴AB＝OA＝OB＝8，
∵点E，F分别是AC、BC的中点，
∴EF=12AB＝4，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：8×2＝16，
∴GE+FH的最大值为：16﹣4＝12．
故答案为：12．
2．（2020•越秀区一模）如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AD＝13，AB＝25，∠DAB＝α，且cosα=513，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接CF．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）当点C、B、F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；
（3）求线段CF的长度的最小值．
【解答】解（1）如图1，作DK⊥AB于点K，
∵将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，
∴∠AEF＝α，AE＝EF，
在Rt△DAK中，
∵cos∠DAK＝cosα=AKAD=513，且AD＝13，
∴AK＝5，
∴DK=AD2-AK2=132-52=12，
∴S平行四边形ABCD＝AB×DK＝25×12＝300；
（2）如图2，延长CD至H，作∠AHD＝α，
∵∠AHD＝∠ADH＝α，
∴AH＝AD＝13，
过点A作AM⊥DH于点M，
由（1）知AM＝12，
∴DM=AD2-AM2=5，
∴DH＝10，
∵∠FEH＝∠DEA+∠α＝∠F+α，
∴∠DEA＝∠F，
在△AEH和△EFC中，
∠AEH=∠F∠H=∠CAE=EF，
∴△AEH≌△EFC（AAS），
∴EH＝CF，CE＝AH＝13，
∴DE＝CD﹣CE＝12，BF＝CF﹣BC＝22﹣13＝9，
∵BG∥CE，
∴△FBG∽△FCE，
∴BFCF=BGCE，
即922=BG13，
∴BG=11722；
（3）如图3，延长CD至P，使∠P＝∠ADP＝α，过点F作FM∥BC，交CD于点M，过点FN⊥CD，交CD于点N，
由（2）可知∠AEP＝∠EFM，
在△EAP和△FEM中．
∠P=∠FME∠AEP=∠EFMAE=EF，
∴△EAP≌△FEM（AAS），
∴EM＝AP＝13，FM＝EP，
设DE＝x，则FM＝EP＝10+x，CM＝25﹣（13+x）＝12﹣x，
∴FN＝FM•sinα=1213（10+x），MN＝FM•cosα=513（10+x），
∴CN＝CM+MN＝12﹣x+513（10+x）=206-8x13，
在Rt△CFN中，CF2＝CN2+NF2=(113)2（208x2﹣416x+56836），
对称轴x=-b2a=--4162×208=1，
∴当x＝1时，CF的值最小，CF的最小值为661313．
3．（2020秋•福州期中）如图1，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，以BC所在直线为x轴，边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，将△ABC绕P点（0，﹣1）顺时针旋转．
（1）填空：当点B旋转到y轴正半轴时，则旋转后点A坐标为 （2+1，2-1） ；
（2）如图2，若边AB与y轴交点为E，边AC与直线y＝x﹣1的交点为F，求证：△AEF的周长为定值；
（3）在（2）的条件下，求△AEF内切圆半径的最大值．
【解答】解：（1）连接BP、CP，则△ABP为等腰直角三角形，
而△ABC为等腰直角三角形，易证四边形ABPC为正方形，
当点B落在y轴上时，则图形旋转的角度为45°，点A落在点A′的位置，则PA′过点C，PA′＝PA＝2，
过点A′作A′E⊥x轴于点E，则∠A′CE＝OCP＝45°，
由点A、B、C的坐标知，AB＝AC=2，
则CA′＝PA′﹣CP＝2-2，
在Rt△A′CE中，A′E=22A′C=2-1＝CE，
故旋转后点A的坐标为（2+1，2-1），
故答案为（2+1，2-1）；
（2）连接PB、CP，作∠QPB＝∠FPC，
由（1）知，四边形BPCA为正方形，
由直线y＝x﹣1知，∠EPF＝45°，
则∠FPC+∠BPE＝90°﹣∠EPF＝45°＝∠QPB+∠BPE＝∠QPE＝∠45°，即∠QPE＝∠EPF＝45°，
∵四边形BPCA为正方形，则PB＝PC，∠QBP＝∠FCP＝90°，∠QPB＝∠FPC，
∴△BPQ≌△CPF（AAS），
∴PQ＝PF，
而∠QPE＝∠EPF＝45°，PE＝PE，
∴△QPE≌△FPE（SAS），
∴QE＝EF，
则△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+QE＝AE+BE+BQ+AE＝AE+BE+FC+AF＝AB+AC＝22；
即△AEF的周长为定值；
（3）设△AEF内切圆半径为r，AE＝n，EF＝m，
由（2）知，AF＝22-m﹣n，
则r=12（AE+AE﹣EF）=12（22-m﹣n+n﹣m）=2-m（半径公式见备注），
在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，即n2+（22-m﹣n）2＝m2，
整理得：n2+（m﹣22）n+4﹣22m＝0，
∵关于n的一元二次方程有解，
故△＝（m﹣22）2﹣4×（4﹣22m）≥0，
解得m≥4﹣22或m≤﹣4﹣22（舍去），
故m的最小值为4﹣22，
则r的最大值为2-m=2-（4﹣22）＝32-4，
即△AEF内切圆半径的最大值为32-4．
4．（2020秋•海珠区校级期中）如图，AB为⊙O直径，半径为2，点D为弧AB的中点，点C在⊙O上由点A顺时针向点B运动（点C不与点A，点B重合），连接AC，BC，CD，AD，BD．
（1）求证：CD是∠ACB的角平分线；
（2）求CD的长x的取值范围（直接写出答案）．
（3）四边形ADBC的面积S是线段CD的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式，并求出S的最大值，如果不是，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵点D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴CD是∠ACB的角平分线．
（2）解：∵AD=BD，
∴AD＝DB，
∵AB＝4，AB是直径．
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝BD＝22，
∵点C在AB上运动，
∴当点C与A或B重合时，CD的值最小，最小值为22，
当CD是直径时，CD的值最大，最大值为4，
∵点C不与点A，点B重合，
∴22＜x≤4．
（3）解：是的．
理由：如图，作DE⊥CB于E点，作DF⊥AC的延长线于F点，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
又∵CD是∠ACB的角平分线，
∴DF＝DE，
∵ADBC是圆内接四边形，
∴∠FAD＝∠DBE，
∴△AFB≌△BED（AAS），
∴AF＝BE，
∴AC+BC＝CF+CE＝2CF，
又∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴CF＝CE＝DF＝DE，
∴AC+BC＝2DF，
∴四边形ADBC的面积S=12•AC•DF+12•BC•DE=12×（AC+BC）×DF＝DF2＝（22CD）2=12x2，
∵开口向上，对称轴为y轴，22＜x≤4，
∴当x＝4时，S有最大值＝8．
5．（2020春•林州市期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC为锐角，以边AB为直径作⊙O，⊙O与边BC交点为E，EF是⊙O的切线，且EF⊥对角线AC于点F．
（1）求证：AC＝CD；
（2）填空：若AB＝4cm，则：
①当∠B的度数＝ 60° 时，▱ABCD是菱形；
②△ACD面积的最大值是 8cm2 ．
【解答】（1）证明：∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠B，
∵EF是⊙O的切线．
∴OE⊥EF，
又∵EF⊥AC，
∴OE∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠B，
∴AB＝AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴AC＝CD；
（2）解：①∠B＝60°时，▱ABCD是菱形；理由如下：
由（1）得：AB＝AC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∴▱ABCD是菱形；
故答案为：60°；
②由（1）得：AC＝AB＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△ACD的面积＝△ABC的面积，作CG⊥AB于G，如图所示：
则∠AGC＝90°，sin∠BAC=CGAC，
∴CG＝AC×sin∠BAC，
当sin∠BAC最大时，∠BAC＝90°，CG最大＝CA，
此时△ABC面积最大，G与A重合，
∴△ACD面积的最大值＝△ABC的面积的最大值=12AB×CG=12AB×AC=12×4×4＝8（cm2）；
故答案为：8cm2．
6．（2020•天宁区校级一模）问题探究：
如图，在矩形ABCD中，AB＝10，cos∠ABD=513，P为BD上一点，B'是点B以P为对称中心的对称点，点B'也在BD上（可以是端点），E为PD的中点，以点E为圆，EB'为半径在BD下方作半圆．
（1）BP＝ 5013 时，AP⊥BD时，此时半径是 9413 ；
（2）当半圆与矩形的边相切时，求BP的长；
拓展延伸：
（3）如图，AB＝6，AC=3，以BC为底边在BC上方作等腰△BCD，其中∠CDB＝120°，直接写出AD的最大值．
【解答】解：（1）cos∠ABD=513=ADBD=10BD，则sin∠ABD=1213，
解得：BD＝26；
当AP⊥BD时，BP＝AB•cos∠ABD＝10×513=5013=PB′，
∴DE=12PD=26-50132=14413=PE，
则半径＝B′E＝PE﹣PB′=9413；
故答案为5013，9413；
（2）①当点B′在点E的左侧时，
如图1，当点G是切点时，
而PB＝PB′＝a，ED=12PD=12（26﹣a）＝PE，
故B′E＝BE﹣BB′＝13-3a2，
则cos∠BEG＝cos∠ABD=513=13-3a2a+26-a2，
解得：a=5211；
如图2，当点H时切点时，
同理可得：a=2627；
②当点B′在点E的右侧时，
此时半圆与CD相切，
同理可得：BP=65051；
综上，BP的长为5211或2627或65051；
（3）连接AD，构建△ABE使△ABE∽△CBD，则BEBA=BDBC，
则∠EAB＝∠DCB=12（180°﹣120°）＝30°＝∠DBC＝∠EBA，
在等腰三角形ABE中，AE＝BE=12ABcos∠EAB=3cos30°=23，
∵∠ABC＝∠EBA﹣∠EBC，∠EBD＝∠CBD﹣∠EBC，
而∠EBA＝∠CBD，
∴∠ABC＝∠EBD，
∵BEBA=BDBC，
∴△EBD∽△ABC，故BEBA=BDBC，即ACDE=623，
∴DE=33AC＝1，
∵AD≤AE+DE＝23+1，
故AD的最大值为23+1．
日期：2021/1/23 15:58:30；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626
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