2022-2023学年广东省梅州市平远县铁民中学九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省梅州市平远县铁民中学九年级（下）开学数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程是一元二次方程的是( )
A. (x+1)2=x2+7B. ax2+bx+5=0
C. m2−2m=3D. 1x2+x−1=0
2. 已知⊙O的半径为10cm，OP=8cm，则点P和⊙O的位置关系是( )
A. 点P在圆内B. 点P在圆上C. 点P在圆外D. 无法判断
3. 如图，AB，AC是⊙O的两条切线，B，C是切点.若∠A=70∘，则∠BOC的度数为( )
A. 130∘B. 120∘C. 110∘D. 100∘
4. 下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
5. 抛物线y=3(x−3)2+4顶点坐标是( )
A. (−3,4)B. (3,4)C. (3,−4)D. (−4,3)
6. 设A(−2,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y=x2−2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为( )
A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y3>y2>y1D. y3>y1>y2
7. 若x=−2是关于x的一元二次方程x2−52mx+m2=0的一个根，则m的值为( )
A. 1或4B. −1或−4C. −1或4D. 1或−4
8. 盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中随机抽出一张后不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片都是奇数的概率为( )
A. 13B. 23C. 12D. 0
9. 如图，⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为10，如果过点P作弦，那么长度为整数值的弦的条数为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
10. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①abc>0；②a+c−b>0；③3a+c>0；④a+b≤m(am+b)(m为实数).其中结论正确的个数为( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. 在函数y=(x−1)2中，当x 时，y随x的增大而减小．
12. 抛物线y=2(x+2)2+4的顶点坐标为______．
13. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是______ ．
14. 请写出符合以下条件的一个函数的解析式 ．
①过点(3,1)；②当x>0时，y随x的增大而减小．
15. 如图，在4×4的正方形网络中，已将部分小正方形涂上阴影，有一个小虫落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是______．
16. 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=______°.
17. 如图，一段抛物线：y=−x(x−2)(0≤x≤2)记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P(11,m)在第6段抛物线C6上，则m= ．
三、解答题（本大题共8小题，共65.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题6.0分)
已知：抛物线y=−x2−6x+21.求：
(1)直接写出抛物线y=−x2−6x+21的顶点坐标；
(2)当x>2时，求y的取值范围．
19. (本小题6.0分)
如图，直线m、n相交于点P，且所成的锐角为45°，画出△ABC关于直线m的对称图形△A′B′C′，然后画出△A′B′C′关于直线n的对称图形△A″B″C″，你能发现△ABC与△A″B″C″有什么关系吗？若是平移，指出平移的方向和距离；若是旋转，指出旋转的中心和角度．
20. (本小题6.0分)
如图，一个可以自由转动的转盘，分成了四个扇形区域，共有三种不同的颜色，其中红色区域扇形的圆心角为120°.小华对小明说：“我们用这个转盘来做一个游戏，指针指向蓝色区域你赢，指针指向红色区域我赢”.你认为这个游戏规则公平吗？请说明理由．
21. (本小题9.0分)
已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长．
22. (本小题9.0分)
在一次数学文化课题活动中，把一副数学文化创意扑克牌中的4张扑克牌(如图所示)洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取2张牌，请你用列表或画树状图的方法，求抽取的2张牌的数字之和为偶数的概率．
23. (本小题9.0分)
如图，圆中两条弦AB、CD相交于点E，且AB=CD，求证：EB=EC．
24. (本小题10.0分)
已知关于x的方程7x3−7(p+2)x2+(44p−1)x+2=60p(*)
①求证：不论p为何实数时，方程(*)有固定的自然数解，并求这自然数．
②设方程另外的两个根为u、v，求u、v的关系式．
③若方程(*)的三个根均为自然数，求p的值．
25. (本小题10.0分)
如图，在直角坐标系中，以x轴上一点P(1,0)为圆心的圆与x轴、y轴分别交于A、B、C、D四点，连接CP，⊙P的半径为2．
(1)写出A、B、C、D四点坐标；
(2)求过A、B、D三点的抛物线的函数解析式，求出它的顶点坐标．
(3)若过弧CB的中点Q作⊙P的切线MN交x轴于M，交y轴于N，求直线MN的解析式．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、由已知方程知：2x−6=0，该方程不是一元二次方程，所以A不符合题意；
B、当a=0时，方程ax2+bx−1=0不是一元二次方程，所以B不符合题意；
C、该方程符合一元二次方程的定义，所以C符合题意；
D、该方程不是整式方程，所以D不符合题意．
故选：C．
根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
本题主要考查了一元二次方程的判断，掌握定义是解题的关键．即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程．
2.【答案】A
【解析】解：∵点P到圆心的距离OP=8cm，小于⊙O的半径10cm，
∴点P在在圆内．
故选：A．
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d3.【答案】C
【解析】解：∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，
∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°−∠A=110°．
故选：C．
利用切线的性质可得，∠B=∠C=90°，再用四边形的内角和为360度可解．
本题利用了切线的性质，四边形的内角和为360度求解．
4.【答案】B
【解析】解：A、属于中心对称图形；
B、不属于中心对称图形；
C、属于中心对称图形；
D、属于中心对称图形；，
故选：B．
根据中心对称图形的概念判断．
本题考查的是中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
5.【答案】B
【解析】解：y=3(x−3)2+4的顶点坐标是(3,4)，
故选：B．
根据y=a(x−h)2+k的顶点坐标是(h,k)，可得答案．
本题考查了二次函数的性质，利用y=a(x−h)2+k的顶点坐标是(h,k)是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵y=x2−2x+c，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∵1−(−2)>2−1>1−1，
∴y1>y3>y2．
故选：B．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离的大小关系求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
7.【答案】B
【解析】解：∵x=−2是关于x的一元二次方程x2−52mx+m2=0的一个根，
∴4+5m+m2=0，
∴(m+1)(m+4)=0，
解得m1=−1，m2=−4，
故选：B．
将x=−2代入关于x的一元二次方程x2−52mx+m2=0，再解关于a的一元二次方程即可．
本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把x的值代入，再解关于a的方程即可．
8.【答案】A
【解析】解：列表如下：
由表可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出的卡片都是奇数的有2种结果，
所以两次抽出的卡片都是奇数的概率为26=13，
故选：A．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数n，再找出其中某一事件所出现的可能数m，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率mn．
9.【答案】C
【解析】解：连接OP，过P弦AB⊥OP，连接OA．
在直角△OAP中，AP=OA2−OP2=25−10=15，
则AB=215，
故过P的弦a的范围是：215≤a≤10，
则a的整数值是：8，9，10．
∵a=8，9时弦各有2条．
故选：C．
连接OP，过P弦AB⊥OP，连接OA，根据勾股定理即可求得AB的长，则过P的弦a的范围即可求得，从而确定a的整数值．
本题考查了圆的垂径定理：垂直于弦的直径平方弦，并且平分弦所对的弧．也考查了圆的对称性和勾股定理．
10.【答案】D
【解析】解：①∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴b<0
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①正确；
②当x=−1时，y>0，
∴a−b+c>0，
∴a+c−b>0，故②正确；
③∵−b2a=1，
∴b=−2a，
∵a−b+c>0，
∴3a+c>0，故③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x=1时，函数的最小值为a+b+c，
∴a+b+c≤am2+mb+c，
即a+b≤m(am+b)，所以④正确．
故选：D．
由抛物线开口方向、对称轴位置，抛物线与y轴的交点，即可判断①；由x=−1时，y>0，即可判断②；由对称轴对称b=−2a，代入a−b+c>0，即可判断③；由x=1时，y有最小值，即可判断④．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
11.【答案】≤1
【解析】解：∵二次函数y=(x−1)2的对称轴为x=1，且a=1>0
∴抛物线开口向上，
∴当x≤1时，y随x的增大而减小．
故答案为：≤1．
根据函数解析式可知抛物线对称轴为x=1，抛物线开口向上，由此可知当x≤1时，y随x的增大而减小．
本题主要考查了二次函数的增减性．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
12.【答案】(−2,4)
【解析】解：∵y=2(x+2)2+4，
∴该抛物线的顶点坐标是(−2,4)，
故答案为：(−2,4)．
根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．
13.【答案】△=b2−4ac
【解析】解：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是：△=b2−4ac．
故答案是：△=b2−4ac．
根据根的判别式公式△=b2−4ac解答．
本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式公式为△=b2−4ac．
14.【答案】y=−x+4(答案不唯一)
【解析】解：根据题意，所写函数k<0，
例如：y=−x+4，
此时当x=3时，y=−1+4=3，
经过点(3,1)．
所以函数解析式为y=−x+4(答案不唯一)．
根据“y随x的增大而减小”所写函数的k值小于0，所以只要再满足点(3,1)即可．
本题主要考查一次函数的性质，是开放性题目，答案不唯一，只要满足条件即可．
15.【答案】716
【解析】解：小虫落到阴影部分的概率=74×4=716，
故答案为：716．
分别求出正方形的总面积和阴影部分的面积，用阴影部分的面积除以总面积即可得出概率．
本题考查的是概率的公式，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
16.【答案】215
【解析】解：如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是圆内接五边形，
∴四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠B+∠AEC=180°，
∵∠CED=∠CAD=35°，
∴∠B+∠E=180°+35°=215°．
故答案为：215．
连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．
本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．
17.【答案】−1
【解析】
【分析】
将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P(11,m)为抛物线C6的顶点，从而得到结果．
本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．
【解答】
解：∵y=−x(x−2)(0≤x≤2)，
∴配方可得y=−(x−1)2+1(0≤x≤2)，
∴顶点坐标为C1(1,1)，A1坐标为(2,0)
∵C2由C1旋转得到，
∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为(3,−1)，A2(4,0)；
照此类推可得，C3顶点坐标为(5,1)，A3(6,0)；
C4顶点坐标为(7,−1)，A4(8,0)；
C5顶点坐标为(9,1)，A5(10,0)；
C6顶点坐标为(11,−1)，A6(12,0)；
∴m=−1．
故答案为：−1．
18.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2−6x+21=−(x+3)2+30，
∴该抛物线的顶点坐标是(−3,30)；
(2))∵抛物线y=−x2−6x+21=−(x+3)2+30，
∴当x>−3时，y随x的增大而减小，
∴当x>2时，y的取值范围是y<−(2+3)2+30=5，
即当x>2时，y的取值范围是y<5．
【解析】(1)根据题目中的函数解析式可以得到该抛物线的顶点坐标；
(2)根据抛物线的解析式可以得到当x>2时，y的取值范围．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
19.【答案】解：如图，△A′B′C′和△A″B″C″为所作．
∵△ABC和△A′B′C′关于直线m的对称，
∴PA=PA′，PA与直线m夹角等于PA′与直线m的夹角，
∵△A′B′C′和△A″B″C″关于直线n的对称，
∴PA″=PA′，PA″与直线n夹角等于PA′与直线n的夹角，
∴PA=PA″，∠APA″=2×45°=90°，
同理得到PB=PB″，∠BPB″=90°，PC=PC″，∠CPC″=90°，
∴△ABC绕点P逆时针旋转90°得到△A″B″C″．
【解析】利用轴对称的性质画出△A′B′C′和△A″B″C″，然后根据轴对称的性质得到PA=PA″，PB=PB″，PC=PC″，∠APA″=∠BPB″=∠CPC″=90°，从而可判断△ABC绕点P逆时针旋转90°得到△A″B″C″．
本题考查了作图−轴对称变换：先确定图形的关键点；再利用轴对称性质作出关键点的对称点；然后按原图形中的方式顺次连接对称点．也考查了旋转的性质．
20.【答案】解：公平，
∵红色区域与黄色区域圆心角相等，
∴黄色区域圆心角度数为120°，
∴蓝色区域圆心角度数为360°−2×120°=120°，
∴P(黄色)=120360=13，P(红色)=120360=13，
∵P(黄色)=P(红色)，
∴此游戏公平．
【解析】首先确定在图中红色区域和黄色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域与黄色区域的概率．从而得出答案．
此题考查几何概率问题，关键是根据概率=相应的面积与总面积之比解答．
21.【答案】解：连接OA．

∵OC⊥AB，弦AB长为10，
∴AC=12AB=5．
根据勾股定理，得OC=OA2−AC2=72−52=26．
【解析】连接OA.根据垂径定理求得AC的长，再进一步根据勾股定理即可求得OC的长．
本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
22.【答案】解：列表如下：
所有等可能的情况数有12种，抽取2张牌的数字之和为偶数的有4种，
则P=412=13．
【解析】列出得出所有等可能的情况数，找出抽取2张牌的数字之和为偶数的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】证明：如图，连接AD，
∵AB=CD，
∴AB=CD，
∴AB−AD=CD−AD，即BD=AC，
∴∠BAD=∠CDA，
∴AE=DE，
又∵AB=CD，
∴BE=CE．
【解析】本题考查的是圆周角定理．
连接AD，依据AB=CD，即可得出BD=AC，进而得到∠BAD=∠CDA，可得AE=DE，再根据AB=CD，即可得到BE=CE．
24.【答案】解：①原方程整理得：(7x3−14x2−x+2)−(7x2−44x+60)p=0
解方程7x2−44x+60=0得x1=2，x2=307，
当x=2时，7x3−14x2−x+2=0，故所求自然数为2；
②∵x=2是方程的固定解，
∴(x−2)是方程的一个因式，原方程分解为，
(x−2)(7x2−7px+30p−1)=0
∴u、v是方程7x2−7px+30p−1=0的两根，
∴u+v=p，uv=30p−17．
③由②可知，当p=18时，方程三个根均为自然数．
【解析】①把方程整理，使含p的项“系数”为0，求x的值，再代入不含p的项检验，可求这个自然数；
②由所求自然数值可知方程的一个因式，代入方程，再将方程分解因式，由两根关系解题；
③在(2)的条件下，根据解为自然数，求p的值．
本题考查了求高次方程固定根的方法，方程的根与系数关系，自然数解的问题．
25.【答案】解：(1)∵P(1,0)，⊙P的半径是2，
∴OA=2−1=1，OB=2+1=3，
∴A(−1,0)，B(3,0)，
在Rt△COP中，PC=2，OP=1，
由勾股定理得：OC=3，
∴C(0,3)，
由垂径定理可得：OD=OC=3，
∴D(0,−3)，
∴A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)，D(0,−3)；
(2)设函数解析式为y=ax2+bx+c，
∵A(−1,0)，B(3,0)，D(0,−3)，
∴a−b+c=09a+3b+c=0c=−3，
解得：a=33b=−233c=−3，
∴函数解析式为y=33x2−233x−3，
∵y=33x2−233x−3=33(x−1)2−433，
∴抛物线的顶点坐标为(1,−433)；
(3)连接PQ，如图：

在Rt△COP中，sin∠CPO=OCCP=32，
∴∠CPO=60°，
∵Q为弧BC的中点，
∴∠CPQ=∠BPQ=12(180°−60°)=60°，
∵MN切⊙P于Q，
∴∠PQM=90°，
∴∠QMP=30°，
∵PQ=2，
∴PM=2PQ=4，
∴OM=OP+PM=5，
在Rt△MON中，MN=2ON，
∵MN2=ON2+OM2，
∴(2ON)2=ON2+52，
∴ON=533(负值已舍去)，
∴M(5,0)，N(0,533)，
设直线MN的解析式是y=kx+b，
∴5k+b=0b=533，
解得：k=−33b=533，
∴直线MN的解析式是y=−33x+533．
【解析】(1)由P(1,0)，⊙P的半径是2，可得OA=2−1=1，OB=2+1=3，由勾股定理得：OC=3，由垂径定理可得：OD=OC=3，即可得A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)，D(0,−3)；
(2)用待定系数法可得函数解析式为y=33x2−233x−3，再配成顶点式得抛物线的顶点坐标为(1,−433)；
(3)连接PQ，由sin∠CPO=OCCP=32，可得∠CPO=60°，而Q为弧BC的中点，故∠CPQ=∠BPQ=60°，根据MN切⊙P于Q，有∠QMP=30°，从而PM=2PQ=4，OM=OP+PM=5，在Rt△MON中得(2ON)2=ON2+52，解得ON=533，即知M(5,0)，N(0,533)，最后用待定系数法可得直线MN的解析式是y=−33x+533．
本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，圆的性质及应用，圆切线的性质及应用，勾股定理及应用等知识，解题的关键是求出∠CPO=60°．
1
2
3
1
(1,2)
(1,3)
2
(2,1)
(2,3)
3
(3,1)
(3,2)

3
4
5
6
3
----
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(3,4)
----
(5,4)
(6,4)
5
(3,5)
(4,5)
----
(6,5)
6
(3,6)
(4,6)
(5,6)
----