辽宁省沈阳市于洪区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案）

辽宁省沈阳市于洪区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．方程x2＝2x的解是（　　）

A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝，x2＝0

2．在中，，，，则的长是（    ）

A． B． C． D．

3．已知，若，，则的度数是（   ）

A．35° B．65° C．80° D．100°

4．掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（    ）

A．每2次必有一次正面朝上 B．必有5次正面朝上

C．可能有7次正面朝上 D．不可能有10次正面朝上

5．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）

A．对角互补 B．对角线互相垂直

C．对角线互相平分 D．四边相等

6．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（   ）

A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm

7．用配方法解一元二次方程：x2﹣4x﹣2＝0，可将方程变形为（x﹣2）2＝n的形式，则n的值是（　　）

A．0 B．2 C．4 D．6

8．如图，，且，那么下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

9．下列函数中，当时，y随x的增大而增大的是（    ）

A． B． C． D．

10．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（    ）

A．11 B．12 C．22 D．33

二、填空题

11．计算：__________．

12．已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值是______．

13．两个相似三角形的周长比是，其中较小三角形的面积为，则较大三角形的面积为______．

14．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则取值范围是_____

15．如图，小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，当AB的长等于______m时，羊圈的面积最大．

16．如图，将长为4，宽为3的矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边上，点A，B的对应点分别为E，F，当点E为三等分点时，的长为______．

三、解答题

17．补全下面几何体的三种视图．

18．某学校计划选派教师志愿者参与工会组织的公益活动，A，B，C，D四名教师积极报名，其中A是共青团员，其余3人均是共产党员．若需从这四名教师志愿者中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名志愿者都是共产党员的概率．

19．如图，在四边形中，，E是的中点，，．

(1)求证：四边形是菱形；

(2)若，则四边形的面积为______．

20．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点．

(1)求反比例函数表达式．

(2)若点在该反比例函数图像上，且它到x轴距离小于，请根据图像直接写出n的取值范围．

21．如图，为测量建筑物的高度，在A处用侧倾器测得建筑物顶部D点的仰角为，沿方向前进到达B处，又测得建筑物顶部D点的仰角为﹒已知侧倾器的高度为，测量点A，B与建筑物的底部C在同一水平线上，求建筑物的高度（结果精确到．参考数据：，，）．

22．一名身高为1.8m的篮球运动员甲在距篮筐（点B）水平距离4m处跳起投篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方0.25m处（点A）出手，篮球在距离篮筐水平距离为1.5m处达到最大高度3.5m，以水平地面为x轴，篮球达到最大高度时的铅直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)求篮球运动路线（抛物线）的函数解析式；

(2)求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？

(3)已知运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3运动员乙在运动员甲与篮筐之间的什么范围内能在空中截住球？

23．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒（）．

(1)点P的坐标为______，点Q的坐标为______（用含t的代数式表示）；

(2)请判断四边形的面积是否会随时间t的变化而变化，并说明理由；

(3)若以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，请直接写出t的值．

24．【问题提出】

（1）如图1，在中，，，、点D，E分别是的中点，可得到______；

【问题探究】

（2）将（1）中的绕点B顺时针方向旋转，旋转角为．

①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由；

②当是直角三角形时，请直接写出的长；

【问题解决】

（3）如图3，在四边形中，，，，连接，当时，请直接写出的最大值．

25．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，与直线的一个交点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是直线上方第一象限抛物线上一点，设点P的横坐标为m．

①连接，当的面积等于2时，求点P的坐标；

②点Q是直线上异于点D的一个点，连接PC，PO，PQ，CQ，当的面积等于时，且，请直接写出的值．

参考答案：

1．C

【分析】首先转化为一元二次方程的一般形式，然后利用因式分解法进行分解．

【详解】解：移项得，x2﹣2x＝0，

提公因式得x（x﹣2）＝0，

x＝0或x﹣2＝0，

x1＝0，x2＝2，

故选：C．

【点睛】本题考查的是因式分解法解一元二次方程，解决本题的关键是对方程因式分解转化成两个一元一次方程．

2．A

【分析】根据题意，画出图形，再根据即可进行解答．

【详解】解：如图：

∵，，，

∴，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握特殊角度的锐角三角函数值．

3．C

【分析】根据相似三角形的性质得到，即可求解．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．

4．C

【分析】利用不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，进而得出答案．

【详解】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，

所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，

所以掷一枚质地均匀的硬币10次，

可能有7次正面向上；

故选：C．

【点睛】本题考查了可能性的大小，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

5．C

【分析】A中菱形对角不互补，则错误，B中矩形对角线不互相垂直，则错误，C中平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，正确，D三个图形中，矩形四边不相等，错误．

【详解】解：A．菱形对角不互补，故本选项错误；

B．矩形对角线不互相垂直，故本选项错误；

C．平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项正确；

D．三个图形中，矩形四边不相等，故本选项错误．

故选 C．

【点睛】本题考查了正方形的性质，主要从对角线着手考查的，正方形是平行四边形得最典型的图形．

6．A

【分析】根据四条线段成比例的概念，得比例式a：b=c：d，再根据比例的基本性质，即可求得d的值．

【详解】解：∵线段，，，成比例，

∴，

∴(cm)．

故答案为：A ．

【点睛】本题考查了成比例线段的定义，熟练掌握比例式的计算是解题的关键．

7．D

【分析】方程配方得到结果，即可确定出n的值．

【详解】解：x2﹣4x﹣2＝0，

移项得：x2﹣4x＝2，

配方得：x2﹣4x+4＝6，即（x﹣2）2＝6，

则n＝6．

故选：D．

【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

8．D

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断正确选项．

【详解】解：∵，，

∴，，故C选项错误，D选项正确，

而，的值无法确定，故A、B选项错误，

故选：D．

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．

9．C

【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．

【详解】解：A、，一次函数，，故y随着x增大而减小，故本选项不符合题意；

B、，反比例函数，，在每个象限里，y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；

C、，二次函数，，故当图象在对称轴y轴右侧，y随着x的增大而增大，故本选项符合题意；

D、，二次函数，，当，y随着x增大而增大，当时，y随着x增大而减少，故本选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数及反比例函数的性质，熟知一次函数、二次函数及反比例函数的增减性是解答此题的关键．

10．B

【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他人握手，共握手次数为，根据一共握了66次手列出方程求解．

【详解】解：设参加会议有x人，依题意得，

，

整理，得，

解得，，(舍去)

则参加这次会议的有12人．

故选：B．

【点睛】考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为．

11．

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入计算得出答案．

【详解】解：2cos45°

=

=，

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．

12．2

【分析】根据一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，解之即可．

【详解】∵x=1是一元二次方程的一个解，

∴，

∴m=2．

故答案为：2．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x的值准确代入方程进行计算．

13．32

【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方进行求解即可

【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是，

∴这两个相似三角形的相似比是，

∴这两个相似三角形的面积比是，

∵较小三角形的面积为，

∴较大的三角形面积为，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题的关键．

14．m＞5

【详解】已知反比例函数的图象在第二、四象限，所以，解得m＞5，故答案为：m＞5.

【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解本题的关键

15．20

【分析】设为，则，根据矩形的面积公式可得关于x的二次函数关系式，配方后即可解．

【详解】解：设，则，

∴，

∴

又∵矩形的面积：

∵，

∴当时，S有最大值，

所以，当时，矩形的面积最大

故答案为：20．

【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大面积的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得．

16．或

【分析】如图所示，过点M作于H，则四边形都是矩形，设交于T，则，由折叠的性质可得，，当点E是靠近点D的三等分点时，求出，，设，则，利用勾股定理得到，解得，则，，证明，解直角三角形求出，设，则，证明，解直角三角形得到，解得，则，，则；同理，当E为靠近点C的三等分点时，．

【详解】解：如图所示，过点M作于H，则四边形都是矩形，设交于T，

∴，

由折叠的性质可知，，

当点E是靠近点D的三等分点时，

∴，，

设，则，

在中，，由勾股定理得：，

∴，

解得，

∴，，

∵，

∴，

∴，，

∴，

设，则，

∵，

∴，

∴，

∴，

解得，

∴，

∴，

∴；

同理，当E为靠近点C的三等分点时，；

综上所述，或；

故答案为：或．

【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

17．见解析

【分析】根据画物体的三视图的口诀进行求解即可：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其它部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．

【详解】解：如图所示，即为所求．

【点睛】本题考查三视图的画法；用到的知识点为：三视图分别是从物体正面，左面，上面看得到的平面图形；注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示．

18．

【分析】利用树状图得出所有可能出现的结果共有12种，然后利用概率公式即可解决问题．

【详解】解：如图，

共有12中等可能的结果，所以两名志愿者都是党员的概率为：．

答：被抽到的两名志愿者都是共产党员的概率为

【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

19．(1)见解析；

(2)．

【分析】（1）先说明四边形是平行四边形，然后再根据直角三角形的性质得到即可证明结论；

（2）在中，结合已知由，再运用勾股定理求得，可得，即可解答．

【详解】（1）证明：，，

∴四边形是平行四边形，

，E是的中点，

，

所以四边形是菱形．

（2）在中，，，

∵四边形是菱形，

∴，

，

，

，

是菱形，E是的中点，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了菱形的判定、正弦值、勾股定理、菱形的性质等知识点；灵活运用相关性质成为解答本题的关键．

20．(1)；

(2)或．

【分析】（1）把点的坐标代入正比例函数关系式可求出a的值，再代入反比例函数关系式确定k的值，进而得出答案；

（2）点到x轴距离等于纵坐标的绝对值，且不能为0确得出n的取值范围即可．

【详解】（1）解：与反都经过点，

将代入，

得，

，

，

解得：，

；

（2）由反比例函数，

，

点到x轴距离小于，

，

解得：或．

【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图像交点坐标；把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是解题的关键．

21．

【分析】延长交于点H，则，设．在中得到，在中，得到，解得x的值，即可得到答案．

【详解】如图，延长交于点H，则，

设．

在中，，

∴，

在中，，

∴，

∴．

∴．

答：建筑物的高度约为．

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，准确计算是解题的关键．

22．(1)

(2)0.2米

(3)乙在运动员距离甲1.5米之内以及篮板0.5米之内能在空中截住球．

【分析】（1）设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值即可；

（2）当x=-2.5时，y=-0.2×（-2.5）2+3.5=2.25，即可得到结论．

（3）当y=3.3代入函数解析式，求出x的值，即可得出答案．

【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），

∴设抛物线的解析式为．

由题意可知，抛物线上的点的坐标为（1.5，3.05）．

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为；

（2）设篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度为．

4-1.5=2.5，0.25+1.8=2.05．

由题意可得点A的坐标为，

∴，

∴．

∴篮球出手时，运动员跳离地面的高度是0.2米；

（3）由题意可得出：y=3.3，

则3.3=-0.2x2+3.5

解得：x1=1，x2=-1，

∴1.5-1=0.5，-2.5-（-1）=1.5，

∴乙在运动员距离甲1.5米之内以及篮板0.5米之内能在空中截住球．

【点睛】此题主要考查了二次函数的应用；建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点；求得球出手时距离地面的高度是解决本题的关键．

23．(1)，；

(2)不会，理由见解析；

(3)或．

【分析】（1）设运动时间为t秒，则，，结合题意即可得到点P、点Q的坐标；

（2）依据代入计算即可求解；

（3）当时，得到即，求解即可； 当时，得到即，求解即可；

【详解】（1）解：设运动时间为t秒，

则，，

， ，

故答案为：，；

（2）四边形的面积不会随时间t的变化而变化，

理由：四边形的面积

．

（3）当时，

，

即，

解得：，

当时，

，

即，

解得：或（不合题意，舍去），

综上所述：或．

【点睛】本题考查了与矩形有关的动点问题，求不规则图形的面积，相似三角形的性质；解题的关键是依据题意表示出相关线段．

24．（1），（2）①成立，证明见解析；②或；（3）

【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，从而得到，再由勾股定理求出，即可求解；

（2）①设，可得，从而得到，根据旋转的性质可得，，从而得到，可证明，即可求解；②由①得：，根据锐角三角函数可得，再由勾股定理求出，从而得到，然后分两种情况：当时；当时，结合勾股定理，即可求解；

（3）由（2）得：，过点D作于点D，使，连接，先证明，可得，再证明，可得，从而得到当最长时，最长，再由，即可求解．

【详解】解：点D，E分别是的中点，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴；

故答案为：

（2）①成立，证明如下：

∵，

∴，

设，

∴，

∴，

根据题意得：，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

②解：由①得：，

∵，，

∴，

∴，

∴，

如图，当时，

，

∴；

如图，当时，

，

∴；

综上所述，的长为或；

（3）解：由（2）得：，

如图，过点D作于点D，使，连接，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴当最长时，最长，

∵，

∴，

即的最长为．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质图形的旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，利用类比思想解答是解题的关键．

25．(1)

(2)①，；②9或

【分析】（1）把，代入，求出即可；

（2）①过点作轴于点E，过D作于点F，设，根据列方程求解即可；②根据题意求出，再分点Q在第一象限和第三象限两种情况求解即可．

【详解】（1）∵，两点在函数的图象上，

∴

解得，

∴抛物线的表达式为

（2）①对于，当时，

∴

设点

过点作轴于点E，过D作于点F，如图，

则有：

又

∴

解得，，

当时，；

当时，；

所以，点P的坐标为  ，

②∵

设的边上的高为，的边上的高为，则有：

∴

的解析式为

的解析式为

联立，

解得，或

当点Q在第一象限时，令与的交点为M，如图，

在和中，

当点Q在第三象限时，如图中

∴四边形是平行四边形

∵将点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到点

∴由作同样的平移得到

∴，

综上，的值为9或

【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．