初中数学北师大版八年级下册4 角平分线课后练习题

这是一份初中数学北师大版八年级下册4 角平分线课后练习题，共18页。

 北师大版八年级数学下册《1.4角平分线》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BG平分∠ABC，交AC于点G，若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）

A．1 B． C．2 D．无法确定
2．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝10，DE＝4，则△BCE的面积等于（　　）

A．16 B．20 C．28 D．40
3．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DEA＝∠AGH；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③∠AGH＝∠BAE+∠ACB；④S△AEB：S△AEC＝AB：AC，其中正确的结论有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．

A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
7．如图，Rt△ABC的两直角边AB、BC的长分别是9、12．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）

A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4
8．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

二．填空题
9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝2，BC＝6，则△BDC的面积是 　 　．

10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝8，BC＝12，△ABD的面积为16，则△CBD的面积为 　 　．

11．如图所示，∠AOB＝45°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC＝6，那么PD＝　 　．

12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BD平分∠ABC，交AC于点D，若CD＝3cm，则S△ABD＝　 　cm2．
13．将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合，且含30°角的顶点恰好也重合于点C，则射线OC即为∠AOB的平分线，理由是 　 　．

14．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝8，则PQ的最小值为　 　．

15．如图，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB，AF⊥BC，垂足分别为点E、F，若DE＝3，则S△BDC＝　 　，AF＝　 　．

16．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝15，DF＝3，AC＝5，则AB的长是 　 　．

三．解答题
17．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．△ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12．求DE的长．

18．如图，△ABC中，∠ACD＝90°，AB＝10，AC＝6，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．
（1）线段AD与CE是否垂直？说明理由．
（2）求△BDE的周长；
（3）求四边形AEDC的面积．

19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝2，求AB的长．

20．如图，OP平分∠AOB，∠AOB＝40°，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PC∥OB，交边OA于点C，E为边OB上的一点，且满足PC＝PE．求∠EPN的度数？

21．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F．
（1）求证：BF平分∠DBC；
（2）若∠ABF＝3∠C，求∠C的度数．

22．在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．
（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．
（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．
（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB．

23．如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．
（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．
（2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC．
（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．


参考答案
一．选择题
1．解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
∵GB平分∠ABC，∠C＝90°，即GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：A．

2．解：过E作EM⊥BC于M，

∵CD⊥AB，EM⊥BC，BE平分∠ABC，DE＝4，
∴EM＝DE＝4，
∵BC＝10，
∴△BCE的面积是
＝
＝20，
故选：B．
3．解：如图，AE交GF于M，

①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴∠ADE＝∠AMF＝90°，
∴∠DEA+∠DAE＝∠AGH+∠GAM＝90°，
∴∠DEA＝∠AGH，故①正确；
②∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠EAC＝∠BAC，
∠DAE＝90°﹣∠AED，
＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），
＝90°﹣（∠ACE+∠BAC），
＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），
＝（∠ABD﹣∠ACE），
故②正确；
③∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，
∴∠AGH＝∠MEF，
∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB，故④正确；
④∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴点E到AB和AC的距离相等，
∴S△AEB：S△AEC＝AB：AC，故③正确；
故选：D．
4．解：∵BD⊥CD，∠A＝90°
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∠CBD+∠C＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD，
由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，
此时，DP＝AD＝3．
故选：C．
5．解：∵BC＝7，BD＝4，
∴CD＝7﹣4＝3，
由角平分线的性质，得点D到AB的距离＝CD＝3，
故选：B．
6．解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．

7．解：过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，

∵△ABC的三条角平分线交于点O，
∴OD＝OE＝OF，
在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝12，
∴AC＝，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝
，
故选：C．
8．解：（1）证明：作PH⊥AB于H，
∵AP是∠CAB的平分线，
∴∠PAE＝∠PAH，
在△PEA和△PHA中，
，
∴△PEA≌△PHA（AAS），
∴PE＝PH，
∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，
∴PF＝PH，
∴PE＝PF，
∴（1）正确；
（2）与（1）可知：PE＝PF，
又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，
∴点P在∠COD的平分线上，
∴（2）正确；
（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，
又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，
∴∠O+∠EPF＝180°，
即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，
由（1）知：△PEA≌△PHA，
∴∠EPA＝∠HPA，
同理：∠FPB＝∠HPB，
∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，
即∠O+2∠APB＝180°，
∴∠APB＝90°﹣，
∴（3）错误；
故选：C．

二．填空题
9．解：过D作DE⊥BC于E，

∵∠ABC的平分线是BD，∠A＝90°（即DA⊥AB），DE⊥BC，
∴AD＝DE，
∵AD＝2，
∴DE＝2，
∵BC＝6，
∴S△BDC＝＝＝6，
故答案为：6．
10．解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，

∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
设DE＝DF＝a，
∵△ABD的面积为16，AB＝8，
∴＝16，
∵AB＝8，
∴DE＝4，
∴DF＝4，
∵BC＝12，
∴＝＝24，
故答案为：24．
11．解：如图，过点P作PE⊥AO于E，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，
∴PD＝PE，
∵PC∥OB，
∴∠ECP＝∠AOB＝45°，
在Rt△ECP中，PE＝PC＝×6＝3，
所以，PD＝3．
故答案为：3．

12．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵BD平分∠ABC，
又∵DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE＝DC＝3，
∴△ABD的面积＝•AB•DE＝×10×3＝15．
故答案为：15
13．解：∵将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，
∴CE＝CF，∠CEO＝∠CFO＝90°，
即CE⊥OA，CF⊥OB，
∴射线OC为∠AOB的平分线（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
14．解：
过P作PE⊥OM于E，当Q和E重合时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝8，
∴PE＝PA＝8，
即PQ的最小值是8，
故答案为：8．
15．解：过D作DH⊥BC于H，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DH＝DE＝3，
∵BC＝10，
∴S△BDC＝BC•DH＝×10×3＝15；
∵S△ABC＝S△ABD+S△CBD，
∴AF•BC＝AB•DE+15，
∴×10AF＝×8×3+15，
∴AF＝，
故答案为：15，．

16．解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DF＝3，
∴DE＝DF＝3，
∵S△ABC＝15，
∴S△ADB+S△ADC＝15，
∴×AB×DE+×AC×DF＝15，
∴×5×3+AB×3＝15，
解得：AB＝5，
故答案为：5．
三．解答题
17．解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
S△ABC＝×16•DE+×12•DF＝70，
所以，14DE＝70，
解得DE＝5．

18．解：（1）在△AED和△ACD中，
，
∴△AED≌△ACD，
∴AE＝AC＝6，DE＝DC，
∴AD是CE的垂直平分线，
∴线段AD与CE垂直；
（2）∵∠ACD＝90°，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝8，
BE＝AB﹣AE＝4，
△BDE的周长＝BD+BE+DE＝BC+BE＝12cm；
（3）△ABC的面积＝×BC×AC＝24cm2，
∵∠B＝∠B，∠BED＝∠BCA＝90°，
∴△BED∽△BCA，又＝，
∴△BDE的面积＝6cm2，
∴四边形AEDC的面积为＝18cm2．
19．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝4，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝8．
20．解：∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，
∴PM＝PN，
在Rt△PMC和Rt△PNE中，
，
∴Rt△PMC≌Rt△PNE（HL），
∴∠EPN＝∠CPM，
∵PC∥OB，
∴∠PCM＝∠AOB＝40°，
∵PM⊥AO，
∴∠CPM＝90°﹣40°＝50°，
∴∠EPN＝50°．
21．（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠C＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠BGE＝∠ABD+∠BAE，∠BEG＝∠C+∠EAC，
∴∠BGE＝∠BEG，
∴BG＝BE，
∵BF⊥EG，
∴BF平分∠DBC．
（2）解：∵∠ABF＝3∠C，∠ABD＝∠C，BF平分∠DBC，
∴∠FBD＝∠FBC＝2∠C，
∴5∠C＝90°，
∴∠C＝18°．

22．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO＝30°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°；
（2）连接OC，
∴AE、BF是角平分线，交于O点，
∴OC是∠ACB的角平分线，
∴∠OCF＝∠OCE，
过O作OM⊥BC，ON⊥AC，
则OM＝ON，
在Rt△OEM与Rt△OFN中，，
∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL），
∴∠EOM＝∠FON，
∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠ACB，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠AOB＝90°+∠ACB，
即90°+∠ACB＝180°﹣∠ACB，
∴∠ACB＝60°；
（3）连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，
∵AE、BF是角平分线，交于O点，
∴OD＝OG＝OH，
∴S△ABC＝×8×6＝×10OD+6×OG+8×OH，
∴OD＝2，
∴S△AOB＝10×2＝10．

23．（1）解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°；
（2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，

∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OD＝OE，OD＝OF，
∴OE＝OF，
∴OA平分∠BAC；
（3）证明：∵OC平分∠ACB，OP平分∠ACD，
∴∠ACO＝∠ACB，∠ACP＝∠ACD，
∴∠OCP＝∠ACO+∠ACP
＝∠ACB+∠ACD
＝∠BCD
＝×180°
＝90°，
∴OC⊥CP．