9.5 三角形的中位线-八年级数学下册同步培优讲练综合（苏科版）

9.5  三角形的中位线  同步培优讲练综合

三角形的中位线

1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.

（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.

（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.

一、三角形中位线有关的求解问题

【例1】如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是　　

1.  B． 

C． D．

【例2】如图，在中，点、分别是边、的中点，连接，的平分线交于点，若，，则的长为　 　．

【例3】如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是　　．

【例4】在中，，D为形内一点，以为腰作等腰，使，连接，若分别是的中点，，则的长为_______．

【例5】有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积两等分），试设计两种方案，并说明理由．（平分图案画在备用图上，保留作图痕迹）

【例6】如图，在中，点，，分别是边，，上的中点，且，，则四边形的周长等于　　．

【例7】如图，四边形中，，，、分别是、的中点，则线段的取值范围是　　

A． B． C． D．

【例8】如图，中，，，，、分别是其角平分线和中线，过点作于，交于，连接，则线段的长为（    ）

A． B．1 C． D．2

二、三角形中位线相关的面积问题

【例1】如图，在中，、、分别是、、的中点，若的面积是40，则四边形的面积是　　

A．10 B．12.5 C．15 D．20

【例2】、是线段上的两点，且，，，点是线段上的一动点，分别以、为斜边在同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为、，如图所示，连接并取中点，连接，点从点出发运动到点，则线段扫过的图形面积为______．

【例3】如图，在中，D，E，F分别是的中点，，则_____

【例4】如图，三边的中线，，的公共点为G，且，若，则图中阴影部分的面积是_____．

【例5】如图，在中，，分别是的中点，延长到点，使得，连接与交于点．，求四边形的面积．

三、与三角形中位线有关的应用和证明

【例1】在中，点是边的中点，平分，，的延长线交于点，，．

（1）求证：；

（2）求的长．

【例2】如图，中，于点，点，分别是，的中点，连接，，．

（1）求证：；

（2）若四边形的周长是30，的周长是21，求的长．

【例3】如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，，，求的度数．

【例4】在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、、、，与交于点O．

(1)试说明与互相平分；

(2)若，，求的长．

四、梯形中位线

【例1】已知一个梯形的中位线长为，其中一条底边的长为，那么该梯形的另一条底边的长是  ．

【例2】如图，已知直角梯形的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个边长为的等边三角形，则梯形的中位线长为　　

1.  B． 

C． D．

【例3】如图，梯形的两底长为，，中位线为，且，若为上的一点，且将梯形分成面积相同的两区域，则与梯形的面积比为　  　．

五、中点四边形

【例1】顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是(    )

A．平行四边形 B．对角线相等的四边形

C．矩形 D．对角线互相垂直的四边

【例2】若顺次连接四边形各边的中点所得到的四边形是矩形，则原四边形必定是（    ）

A．正方形 B．对角线相等的四边形

C．菱形 D．对角线互相垂直的四边形

【例3】依次连接下列四边形四条边的中点得到四边形不是菱形的是（    ）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形

【例4】如图，四边形中，，．且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，如此进行下去，得到四边形．下列结论正确的是（    ）

①四边形是矩形；

②四边形是菱形；

③四边形的周长是，

④四边形的面积是．

A．①②③ B．②③④ C．①② D．②③

1、如图，在中，，，．若，分别为边，的中点，则的长为　　

A．5 B．5.5 C．6 D．6.5

2、如图是屋架设计图的一部分，其中，点是斜梁的中点，、垂直于横梁，，则的长为　　

1.  B． 

C． D．

3、如图，点、、分别是、、中点，且是的角平分线．求证：．

4．如图，平行四边形中，对角线，相交于，，， ， 分别是， ，的中点，下列结论中：

①；

②四边形是平行四边形；

③；

④平分，

正确的是（　　）

A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③④

5．如图，四边形中，对角线，且，，各边中点分别为，，，，顺次连接得到四边形；再取各边中点，，，，顺次连接得到四边形；依此类推，这样得到四边形，则四边形的面积为____．

6．已知一个对角线长分别为和的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是______．

7．如图，在和中，，、、分别为、、的中点，若，则________．

8、如图，在中，，、分别是、的中点，延长至点，使．连接、、．若，求的长．

9．如图，在四边形中，E，F分别是的中点．

(1)若，求的长．

(2)若，求证：．

10．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形．

(1)四边形的形状是______，请证明你的结论；

(2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形；

(3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．

11．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，点、、分别为、、的中点，且连接、．

(1)观察猜想

线段与______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．

(2)绕点按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接，，试判断与是否为“等垂线段”，并说明理由．

(3)拓展延伸

把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出与的积的最大值．