《切线长定理》示范公开课教案【九年级数学下册北师大版】

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设

情境

【复习回顾】

教师活动：提出问题，学生思考，并积极回答问题.

问题：过圆内一点能做几条圆的切线？过圆上一点呢？

预设：

小结：过圆内一点所作的直线必与圆相交，无法作出圆的切线；

过圆上一点能且只能作出一条圆的切线.

那么过圆外一点能做几条圆的切线呢？这节课就让我们一起探究吧！

学生回忆后，回答问题

通过复习旧知，为新知的学习做知识铺垫.

环节二

探究

新知

教师活动：引导学生通过作图引出切线长的定义，再探索证明切线长定理.

【思考】

如图，点P在圆外，过点P你能画出几条圆的切线呢？

预设：

过圆外一点能且只能画圆的两条切线

【归纳】

切线长的定义

过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.

注意：①切线是直线，不能度量.

②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.

【议一议】

如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B

是切点.

(1)这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

预设：这个图形是轴对称图形，它的对称轴是OP所在的直线.

(2)在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由.

预设：由轴对称的性质可知，PA=PB.

提问：连接OA，OB，OP你还能找到哪些相等的量呢？

预设：△AOP≌△BOP，OA=OB，∠APO=∠BPO，∠AOP=∠BOP.

【思考】

由此你能得到什么猜想？

预设：

猜想：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.

提问：你能证明你的猜想吗？

已知：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点.

求证：PA=PB.

证明:连接OA，OB.

∵PA，PB是⊙O的切线

∴∠PAO =∠PBO = 90°

在Rt△POA和Rt△POB中

∵OA = OB，OP=OP，

∴Rt△POA≌Rt△POB.

∴PA= PB

【归纳】

切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．

符号语言：

∵PA，PB是⊙O的切线

∴ PA=PB.

【想一想】

 如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴交流.

预设：

由切线长定理有：AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH，

∴AE+BE=AH+BF，CG+DG=CF+DH

∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH

即AB + CD = BC + DA.

动手操作，自主画一画并说一说

学生了解，并区分切线和切线长

观察、组内交流并反馈

自由说一说，得到猜想，并尝试说出已知求证，写出证明过程

理解并掌握

独立解答，并组内交流反馈

引导学生动手操作、观察、归纳引出过圆外一点有且只能画圆的两条切线，为引出切线长的定义打下基础.

明确切线长的定义，并引导学生区分切线与切线长.

经历用轴对称性来探究切线长定理的过程，引导学生进行组内合作，交流讨论并反馈，培养学生动手操作、观察与思考、总结归纳的能力.

得到猜想之后，引导学生用三角形的全等的方法对切线长定理进行证明，培养学生的逻辑思维能力和语言概括能力.

明确切线长定理，并学会将文字语言转化为符号语言.

通过对切线长定理的应用，培养学生的应用意识.

环节三

应用

新知

【典型例题】

教师活动：学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例 如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求 ⊙O的半径.

分析：设 ⊙O的半径为r，连接OD，OE，OF，由切线的性质及切线长定理可得四边形OECF为正方形.从而CF=CE=OE=OF=r，

所以AF=10-r，BE=24-r，

再由切线长定理可得，AD=AF=10-r，BD=BE=24-r，所以AB=AD+BD=34-2r，另一方面由勾股定理可得AB=26，从而由34-2r=26，即可求r.

解：设 ⊙O的半径为r，连接OD，OE，OF

在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，

∵⊙O分别与AB，BC，CA相切于点D，E，F，

∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BE= BD，AF =AD，CE= CF.

又∵∠C=90°，∴四边形OECF为正方形.

∴EC=FC=r

∴BE=24- r，AF=10- r，

∴AB=BD+AD=BE+AF=34-2r，

∴34-2r=26，

∴r=4，即⊙O的半径为4.

学生认真思考并作答.

通过例题，让学生学会运用圆的切线长定理及勾股定理解决问题，培养学生的应用意识，提高学生解决问题的能力.

环节四

巩固

新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

【随堂练习】

1.已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，过点P作⊙O的两条切线，求这两条切线的切线长.

解：如图，连接OA，PO

∵PA，PB是圆的切线

∴PA=PB，∠PAO=90°

又∵OA=3cm，PO=6cm

∴在Rt△AMO中，PA²=PO ²-OA ²

∴PB=PA=cm

∴这两条切线的切线长为cm.

2.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点.C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别与PA，PB相交于D，E两点，若PA = PB =5 cm，求△PDE的周长.

解：∵PA，PB，DE是圆的切线

∴PA=PB，DC=DA，CE=BE，

又∵PA = PB =5 cm

∴△PDE的周长=PD+DE+PE

=PD+DC+CE+PE

            =PD+DA+BE+PE       

            =PA+PB

           =10(cm)

3.△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9 cm，BC = 14 cm，CA = 13 cm，求AF，BD，CE的长.

解：∵AB，BC，CA是圆的切线

∴AF=AE，BF=BD，CD=CE，

又∵AB=9 cm，BC = 14 cm，CA = 13 cm，

设AF=x，BD=y，CE=z，

∴x+y=9，y+z=14，x+z=13

∴x=4，y=5，z=9

∴AF，BD，CE的长分别为4cm，5cm，9cm.

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯.

环节五

课堂

小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

回顾本节课所讲的内容

通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

环节六

布置

作业

教科书

习题3.9  第3、4题

课后完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.