高中数学高考专题08 不等式选讲（原卷版）

备战2020高考数学最后冲刺存在问题之解决宝典

专题八 不等式选讲

【考生存在问题报告】

 （一）绝对值不等式求解技能掌握不到位

【例1】（2019·湖北黄冈中学高三）[选修4-5：不等式选讲]:已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）设，，且的最小值为.若，求的最小值.

【评析】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．

（二）不能对条件进行正确的等价转化

【例2】【2017全国卷Ⅲ23（2）】已知函数.若不等式的解集非空，求m的取值范围.

【评析】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、二次函数区间上最值等基础知识. 解答中的主要问题还是在题意的理解与问题的等价转化. 错点一，将“不等式的解集非空”等价转化为解集非空，忽略了右边的代数式也是随着的变化而变化，左右两边的表示的是同一个数；错点二，将“不等式的解集非空”等价转化为“”，错在对“解集非空”的理解上. 所谓“解集非空”即存在使得不等式成立，等价于存在使得不等式成立，等价于即可.

【例3】（2020·福建高三）已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

【评析】（1）分类讨论去掉绝对值后再解不等式；

（2）由题意可得恒成立，令，利用绝对值三角不等式以及基本不等式可得，从而得出结论．

 （三）不等式证明思路不清，无法迅速找到切合题意的证明方法

【例4】（2020·广西高三）设，且.

（1）求证：；

（2）若，求证：.

【评析】本题主要考查证明不等式的基本方法、均值不等式及其应用. 难点在于寻找突破口，如何发现欲证不等式左边的代数式与已知条件之间的联系，从而迅速寻得解题思路.

 （四）知识掌握不熟练，无法优选算法化简求解过程

【例5】【2014全国卷Ⅱ24（1）】设函数=  证明：2；

【评析】法二根据绝对值不等式的性质直接证得结论，相比法一快捷明了.本题的主要问题在于对绝对值不等式的性质掌握不到位，导致无法快速求解.

【命题专家现场支招】

一、解决问题的思考与对策

（一）强化绝对值不等式的求解训练

 高考全国卷从2007年起，除了2014年外每年都涉及绝对值不等式求解问题的考查，可以归纳为写成分段函数求解、利用函数图象求解、利用绝对值不等式性质求解等方法，应加强这一方面的专项训练，让学生熟练掌握绝对值不等式求解的方法、步骤，做到既能正确分类，又能合理整合，准确快捷解答，同时注意引导学生对求解过程等价性的关注.

【例6】（2020·贵州高三）设函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，且关于的不等式有解，求的取值范围.

（二）加强对不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”几种模型的识别及求解能力

不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”是高考的常见模型，解决问题的关键是对其进行恰当的等价转换，并借助函数与方程思想，数形结合思想，利用函数图象、函数最值等来解决问题.复习教学中可通过一题多变强化对上述各种模型的识别，掌握其解决方案.

【例7】（2020·黑龙江哈九中高三期末）已知.

（1）若不等式的解集是区间的子区间，求实数a的取值范围；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【例8】（2020·江西高三）已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的不等式的解集包含，求的取值范围.

【例9】（2020·江西高三）设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求的取值范围．

（三）关注均值不等式、绝对值不等式性质的应用

均值不等式、绝对值不等式性质在求最值、证明不等式等方面都有很重要的作用. 应用均值不等式或绝对值不等式性质求最值时，均应注意等号成立的条件是否具备，仅当等号成立的条件具备时方可应用其求最值，这也是用均值不等式或绝对值不等式性质求最值的一个易错点，应提醒学生关注.

【例10】（2020·河南高三期末）已知函数，记不等式的解集为.

（1）求；

（2）设，证明：.

【例11】（2020·重庆西南大学附中高三）已知实数a、b、.

（1）若，求的最小值；

（2）若，求证：.

二、典型问题剖析

（一）含绝对值不等式的求解

1．零点分段求解绝对值不等式的模型

(1)求零点；

(2)划区间，去绝对值号；

(3)分别解去掉绝对值号的不等式；

(4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值．

2．绝对值不等式恒成立问题的求解模型

(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a≥f(x)或a≤f(x)形式；

(2)转化最值：f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a；f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a；f(x)>a有解⇔f(x)max>a；f(x)<a有解⇔f(x)min<a；f(x)>a无解⇔f(x)max≤a；f(x)<a无解⇔f(x)min≥a；

(3)得结论．

【例12】【河南省九师联盟2019届高三2月检测】已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）设函数的最小值为，若不等式有解，求实数的取值范围.

【例13】（2020·福建省福州第一中学高三期末）（1）解不等式；

（2）若成立，求常数的取值范围.

【评析】对于含绝对值的不等式的求解方法一般采用零点分段法，其解题步骤大致为：①求零点；②分区间、去绝对值号；③分别解各区间上所得不等式；④取所得结果的并集. 注意在分段时不要遗漏区间的端点值．也可以采用图象法，通过作出函数图象，利用数形结合的思想求解.

（二）给定条件，求参数的取值范围

【例14】（2020·深圳市南山区华侨城中学高三）已知函数

(1)解不等式: f(x)<5;

(2)当x∈R时，f(x)> ax+1,求实数a的取值范围.

【评析】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．

【例15】（2020·湖南师大附中高三）已知函数，．

（1）解不等式；

（2）若方程在区间有解，求实数的取值范围．

【评析】本题属于“恰成立”问题，对于“恰成立”问题，解决此类问题只需按照正常解不等式进行，再根据集合相等的条件即可求解.

（三）不等式的证明

对于不等式的证明问题常用比较法、综合法和分析法．

(1)一般地，对于含根号的不等式和含绝对值的不等式的证明，“平方法”(即不等号两边平方)是其有效方法．

(2)如果所证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出，则考虑用反证法．

(3)能转化为比较大小的可以用比较法．

(4)利用基本不等式证明的多用综合法与分析法．

【例16】（2020·云南昆明一中高三）已知正数，，满足等式.

证明：（1）；

（2）.

【例17】（2020·四川三台中学实验学校高三）已知，，，证明：

(1)；

(2).

【评析】不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等.如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法.在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.若不等式恒等变形之后若与二次函数有关，可用配方法.

【新题好题针对训练】

一、单选题

1．（2020·浙江高三期末）若函数的最小值3，则实数的值为（ ）

A．5或8 B．或5 C．或 D．或

二、解答题

2．（2020·湖南长郡中学高三）已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值.

3．（2020·山西高三）已知函数（其中）.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.

4．（2020·山西大同一中高三）设函数，．

（1）若不等式的解集为，求a的值；

（2）若存在，使，求a的取值范围．

5．（2020·海南高三）已知都是正数，求证：

（1）；

（2）.

6．（2019·广西大学附属中学高三）已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）正数满足，证明：.

7．（2020·南昌市新建区第二中学高三）已知函数.

（Ⅰ）解关于x的不等式；

（Ⅱ）若a，b，，函数的最小值为m，若，求证：.

8．（2020·河北衡水中学高三）已知函数.

（1）若，解不等式；

（2）若，求的最小值.

9．（2020·江西高三期末）已知函数.

（1）解不等式；

（2）记函数的最小值为，若为正实数，且，求的最小值.

10．（2020·甘肃高三期末）已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）设表示不大于的最大整数，若对恒成立，求的取值范围.

11．（2019·云南昆明一中高三）已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围.

12．（2020·内蒙古高三期末）已知函数，.

（1）解不等式；

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.

13．（2020·全国高三）已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）当时，不等式成立，求实数a的取值范围.

14．（2020·广东金山中学高三期末）已知函数，且的解集为．

（1）求的值；

（2）若是正实数，且，求证：.

15．（2020·武邑县教育局教研室高三期末）已知函数．

（1）解不等式；

（2）设函数的最小值为，若，均为正数，且，求的最小值．

16．（2020·福建高三期末）设函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若函数的最大值为，且正实数、满足，求的最小值.

17．（2020·广东深圳中学高三期末）已知函数.

(Ⅰ)若，求实数的取值范围；

(Ⅱ)若不等式恒成立，求实数的取值范围.

18．（2020·陕西高三）已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）证明：当，时，恒成立.