专题08 不等式选讲-【大题小卷】冲刺2022年高考数学大题限时集训

专题08 不等式选讲

不等式选讲作为高考选做题目之一，相对来说难度较小，一般考查解绝对值不等式，柯西不等式以及常见的不等式的解答。

类型一：绝对值不等式

例题1   1．设函数，.

(1)解关于的不等式；

(2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【解析】

(1)因函数，，则，

当时，，解得，无解，

当时，，解得，则有，

当时，，解得，则有，

综上得：，

所以不等式的解集是.

(2)依题意，，，

当时，，而在上单调递增，

当时，，于是得，

当时，，则有，解得，

当时，，而在上单调递增，

当时，，于是得，于是得，

综上得，所以实数的取值范围.

例题2．已知.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若对于任意实数x，不等式成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【解析】

(1)当时，，则不等式，即，

当时，，解得，于是得，

当时，，解得，无解，

当时，，解得，于是得，

综上得：或，

所以不等式的解集为.

(2)，不等式成立，即，不等式成立，

而，

因此，，显然有，，解得：，

所以实数a的取值范围是.

类型二：柯西不等式

例题 3 设函数．

(1)求函数的最小值；

(2)记函数的最小值为m，若a，b，c为正数，且，求的最大值．

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)由

当x＜－1时，f(x)＞3；

当－1≤x<时，<f(x)≤3；

当x≥时，f(x)≥，

∴函数的最小值为；

(2)由(1)得，

∴由柯西不等式可得：

，

当且仅当时取等号，

∴的最大值是．

例题 4．已知.

(1)解不等式

(2)已知 最小值为m，若a，b，c∈R+，且求证：.

【答案】(1)(2)证明见解析

【解析】

(1)：因为

令，即或或

解得或或，

所以不等式解集为：；

(2)：由，函数图象如下所示：

由函数图象可得函数的最小值，

，由柯西不等式可得

，当且仅当时取等号.

类型三：不等式综合应用

例题 5 ．已知函数.

(1)若对任意的，恒成立，求正实数t的最小值M；

(2)若，，求证：.

【答案】(1)2(2)证明见解析

【解析】

(1)根据题意，恒成立恒成立.

因为，

所以当时，的最小值为.

所以，即.所以t的最小值为.

(2)因为，

当且仅当时，取等号，所以.

1．（2022·山西吕梁·高三开学考试（理））已知，．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，，，证明：．

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】(1)

当时，，

，或，或，

解得，所以不等式的解集为．

(2)证明：

（当且仅当时，即时等号成立）

（当且仅当时，即时等号成立）．

2．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（文））已知.

(1)解不等式；

(2)若，关于的不等式成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【解析】(1)依题意，

所以或或

解得，所以不等式的解集为.

(2)因为，

所以（当且仅当时等号成立），

因为对关于的不等式成立，所以，

解得或.

所以满足条件的实数的取值范围是.

3．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知，函数的最小值为3，．

(1)求的值；

(2)求不等式的解集.

【答案】(1)；

(2)

【解析】(1)由题意，，得或，

又，故的值为．

(2)画出，的图象如图，

由图可知，函数与相交于点，所以的解集为．

4．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（理））已知．

(1)解不等式；

(2)若，关于x的不等式成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)依题意，，不等式化为以下3个不等式组：

或或，

解，即，无解，

解，即，无解，

解，即，解得，

所以不等式的解集为．

(2)依题意，(当且仅当时取“=”)，

因为对关于x的不等式成立，则，解得或，

所以满足条件的实数m的取值范围是.

1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（理））已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若时，恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)(2)

【解析】(1)解：当时，

所以当时，，此时的解集为；

当时，，此时的解集为，

所以当时，求不等式的解集为

(2)：因为当时，恒成立，

所以在上恒成立，

所以在上恒成立，

因为由绝对值三角不等式得：，

所以恒成立，即，解得

所以实数a的取值范围是

2．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)记的最小值为m，若，，，证明：.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【解析】(1)即为，

记

∴不等式的解转化为：

；

或；

或，

综上，原不等式的解集为.

(2)由题可知，，当且仅当时取等号.

∴，∴，即为，

则，当且仅当，即，即，时取等号.

3．（2022·安徽·蒙城县第六中学高三开学考试（理））已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)，，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【解析】(1)当时，，

当时，无解，故不成立；

当时，，解得；

当时，，解得.

综上所述，.

(2)因为，

所以，

因为，所以，

所以，所以由题意得解得.

4．（2022·吉林长春·模拟预测（理））设函数，.

(1)解关于的不等式；

(2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【解析】

(1)因函数，，则，

当时，，解得，无解，

当时，，解得，则有，

当时，，解得，则有，

综上得：，所以不等式的解集是.

(2)依题意，，，

当时，，而在上单调递增，

当时，，于是得，

当时，，则有，解得，

当时，，而在上单调递增，

当时，，于是得，于是得，

综上得，

所以实数的取值范围.

5．（2022·山西晋中·二模（理））已知函数．

(1)求的解集；

(2)若恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)(2)

【解析】

(1)当时，，解得；

当时，，解得；

当时，，解得；

故的解集为．

(2)由于，所以，

即，因为，故，即．

故a的取值范围为．

1．（2021·全国卷（理））已知函数．

（1）当时，求不等式的解集;

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）.（2）.

【解析】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法

当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，

则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，

当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，

∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，

所以的解集为.

[方法二]【最优解】：零点分段求解法

   当时，．

当时，，解得；

当时，，无解；

当时，，解得．

综上，的解集为．

（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值

依题意，即恒成立，

，

当且仅当时取等号，

,

故，

所以或，

解得.

所以的取值范围是.

[方法二]：分类讨论+分段函数法

 当时，

则，此时，无解．

当时，

则，此时，由得，．

综上，a的取值范围为．

2．（2021·全国·（理））已知函数．

（1）画出和的图像；

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）图像见解析；（2）

【解析】

（1）可得，画出图像如下：

，画出函数图像如下：

（2），

如图，在同一个坐标系里画出图像，

是平移了个单位得到，

则要使，需将向左平移，即，

当过时，，解得或（舍去），

则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.

3．（2020全国卷（文））已知函数．

（1）画出的图像；

（2）求不等式的解集．

【答案】（1）详解解析；（2）.

【解析】

（1）因为，作出图象，如图所示：

（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：

由，解得．

所以不等式的解集为．

4．（2020·全国·（文））已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求a的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

【分析】

（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；

（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.

【详解】

（1）当时，.

当时，，解得：；

当时，，无解；

当时，，解得：；

综上所述：的解集为或.

（2）（当且仅当时取等号），

，解得：或，

的取值范围为.

5．（2020·全国·）设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．

（1）证明：ab+bc+ca<0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.

【解析】（1）［方法一］【最优解】：通性通法

，

.

均不为，则，．

［方法二］：消元法

由得，则，当且仅当时取等号，

又，所以．

（2）［方法一］【最优解】：通性通法

不妨设，因为，所以，

则．故原不等式成立．

［方法二］：

不妨设，因为，所以，且

则关于x的方程有两根，其判别式，即．

故原不等式成立．

【整体点评】

（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．

（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；

方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．