高中数学高考专题08 不等式选讲（解析版）

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备战2020高考数学最后冲刺存在问题之解决宝典
专题八 不等式选讲
【考生存在问题报告】
（一）绝对值不等式求解技能掌握不到位
【例1】（2019·湖北黄冈中学高三）[选修4-5：不等式选讲]:已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设，，且的最小值为.若，求的最小值.
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）当时，，原不等式可化为，①
当时，不等式①可化为，解得，此时；
当时，不等式①可化为，解得，此时；
当时，不等式①可化为，解得，此时，
综上，原不等式的解集为.
（2）由题意得， ，
因为的最小值为，所以，由，得，
所以 ，
当且仅当，即，时，的最小值为.
【评析】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
（二）不能对条件进行正确的等价转化
【例2】【2017全国卷Ⅲ23（2）】已知函数.若不等式的解集非空，求m的取值范围.
【解析】原式等价于存在，使成立，即
设 ，由已知得
当时，，
当时，，
当时，，
综上述得，故的取值范围为.
【评析】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、二次函数区间上最值等基础知识. 解答中的主要问题还是在题意的理解与问题的等价转化. 错点一，将“不等式的解集非空”等价转化为解集非空，忽略了右边的代数式也是随着的变化而变化，左右两边的表示的是同一个数；错点二，将“不等式的解集非空”等价转化为“”，错在对“解集非空”的理解上. 所谓“解集非空”即存在使得不等式成立，等价于存在使得不等式成立，等价于即可.
【例3】（2020·福建高三）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）{x|或}．（2）（，8）．
【解析】（1）当m=5时，，
或或
或或或或
或，所以不等式的解集为{x|或}；
（2）由条件，有当时，不等式，
即恒成立，
令，
则因为，
且， 所以，
所以ma恒成立⇔f(x)min>a；f(x)a；f(x)