新高考数学一轮复习《椭圆及其性质》课时练习(2份打包，教师版+原卷版)

新高考数学一轮复习

《椭圆及其性质》课时练习

一              、选择题

1.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　)

A.＋＝1        B.x2＋＝1    C.＋y2＝1        D.＋＝1

【答案解析】答案为：B；

解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，

故可设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝.

又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.

2.已知三点P(5,2)，F1(﹣6,0)，F2(6,0)，那么以F1，F2为焦点且经过点P的椭圆的短轴长为(　 　)

A.3         B.6         C.9           D.12

【答案解析】答案为：B；

解析：因为点P(5,2)在椭圆上，

所以|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝，|PF1|＝5，所以2a＝6，即a＝3，c＝6，

则b＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.

3.设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　 　)

A.4         B.3       C.2         D.5

【答案解析】答案为：A.

解析：由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a﹣|PF2|＝10﹣6＝4.

4.设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)

A.5         B.4        C.3         D. 1

【答案解析】答案为：B

解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，

又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，

由22＋42＝(2)2可知，△F1PF2是直角三角形，

故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.

5.若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为，则＝(　　)

A.　　　       B.          C.或         D.或

【答案解析】答案为：D

解析：若焦点在x轴上，则方程化为＋＝1，依题意得＝，所以＝；

若焦点在y轴上，则方程化为＋＝1，同理可得＝.所以所求值为或.

6.已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　 　)

A.          B.        C.或          D.或

【答案解析】答案为：C.

解析：由题意知m2＝36，解得m＝±6.当m＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，

此时a＝，b＝1，c＝，则e＝；

当m＝﹣6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a＝1，b＝，c＝，则e＝.故选C.

7.设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)

A.        B.           C.        D.

【答案解析】答案为：D

解析：在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝.

故e＝＝＝.故选D.

8.椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交C于P，Q两点，若cos∠PAQ＝，则椭圆C的离心率e为(　　)

A.         B.        C.         D.

【答案解析】答案为：A

解析：根据题意可取P(c，)，Q(c，﹣)，所以tan∠PAF＝＝＝＝

＝1﹣e，cos∠PAQ＝cos 2∠PAF＝cos2∠PAF﹣sin2∠PAF＝＝

＝＝，故5﹣5(1﹣e)2＝3＋3(1﹣e)2⇒8(1﹣e)2＝2

⇒(1﹣e)2＝.又椭圆的离心率e的取值范围为(0,1)，所以1﹣e＝，e＝，故选A.

9.已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)

A.1﹣          B.2﹣         C.         D.﹣1

【答案解析】答案为：D；

解析：在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，

设|PF2|＝m，则2c＝|F1F2|＝2m，|PF1|＝m，

又由椭圆定义可知2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)m，

则离心率e＝＝＝＝﹣1.故选D.

10.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)长轴两个端点分别为A，B，椭圆上一动点P (不同于A，B)和A，B的连线的斜率之积为常数λ，则椭圆C的离心率为(　　)

A.      B.       C.        D.

【答案解析】答案为：A

解析：椭圆C：＋＝1长轴两个端点分别为A，B，

∴A，B，设P点坐标为(x≠±a)，则kAP＝，kBP＝，

∴kAP·kBP＝＝λ，∴y2＝λ，整理可得＋＝1，

∴－λa2＝b2，∴＝－λ，∴e＝＝.

二              、多选题

11. (多选)已知椭圆＋＝1上有n个不同的点P1，P2，P3，…，Pn，F为其右焦点，若{PnF}是公差为d>的等差数列，则n的可能取值为(　　)

A.19          B.20           C.21            D.22

【答案解析】答案为：AB

解析：椭圆上的点到右焦点的最大距离为a＋c＝3，到右焦点的最小距离为a－c＝1，即|PnF|≤3，|P1F|≥1.所以|PnF|－|P1F|＝(n－1)d≤2，即n≤＋1.又d>，所以n<21.

12. (多选)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率可以是(　　)

A.           B.           C.            D.

【答案解析】答案为：BCD

解析：因为|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a，

又|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，即a≤2c，所以e＝≥，

所以椭圆的离心率e的取值范围是[,1).

三              、填空题

13.如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上，且焦距为的椭圆，则椭圆的短轴长为______.

【答案解析】答案为：

解析：方程x2＋ky2＝2可化为＋＝1，则()2＋＝2⇒＝，

∴短轴长为2×＝.

14.已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点.若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.

【答案解析】答案为：8

解析：本题主要考查椭圆的定义.由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)

＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a.又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.

15.在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点(，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝__________.

【答案解析】答案为：.

解析：如图，切线PA、PB互相垂直，半径OA垂直于PA，

所以△OAP是等腰直角三角形，故＝a，解得e＝＝.

16.若直线y＝2x＋b与椭圆＋y2＝1无公共点，则b的取值范围为________.

【答案解析】答案为：(﹣∞，﹣)∪(，＋∞).

解析：由得＋(2x＋b)2＝1.

整理得17x2＋16bx＋4b2﹣4＝0.Δ＝(16b)2﹣4×17(4b2﹣4)＜0，

解得b＞或b＜﹣.