新高考数学一轮复习《高考大题突破练--数列》课时练习(2份打包，教师版+原卷版)

新高考数学一轮复习

《高考大题突破练--数列》课时练习

1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝1，S7＝14，数列{bn}满足b1·b2·b3·…·bn＝.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)若数列{cn}满足cn＝bncos anπ，求数列{cn}的前2n项和T2n.

【答案解析】解:(1)设数列{an}的公差为d，

由可得解得

所以an＝.

由b1·b2·b3·…·bn＝，

可得b1·b2·b3·…·bn－1＝(n≥2)，

两式相除得bn＝2n(n≥2)，

当n＝1时也适合该等式，故bn＝2n.

(2)cn＝bncos anπ＝2ncos nπ，

所以T2n＝c1＋c2＋c3＋…＋c2n－1＋c2n

＝21cos π＋22cos π＋23cos π＋…＋22n－1·cos π＋22ncos nπ

＝22cos π＋24cos 2π＋26cos 3π＋…＋22ncos nπ

＝－22＋24－26＋…＋(－1)n22n

＝－.

2.在①a1＋1，a3－1，a6－3成等比数列，②S5是a3和a23的等差中项，③{a2n}的前6项和是78，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．

已知数列{an}为公差大于1的等差数列，a2＝3，且前n项和为Sn，若________，数列{bn}为等比数列，b5＝8b2且b4＝a8＋1.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案解析】解:(1)设{an}的公差为d.

若选条件①，则(a3－1)2＝(a1＋1)(a6－3)，

即(d＋2)2＝(4－d)×4d，

所以d＝2或d＝，

因为d>1，

所以d＝2，an＝a2＋(n－2)d＝3＋2(n－2)＝2n－1.

若选条件②，则2S5＝a3＋a23，

即2＝a2＋d＋a2＋21d，

即10(a2－d)＋20d＝2a2＋22d，解得d＝2，

所以an＝2n－1.

若选条件③，则a2＋a4＋a6＋…＋a12＝6a2＋×2d＝18＋30d＝78，

解得d＝2，所以an＝2n－1.

设{bn}的公比为q，则＝q3＝8，

则q＝2，b4＝a8＋1＝16，

所以bn＝b4·qn－4＝16·2n－4＝2n.

(2)cn＝(2n－1)·2n，

则Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n，

2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1，

两式相减得－Tn＝21＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)×2n＋1＝(－2n＋3)×2n＋1－6，

所以Tn＝(2n－3)2n＋1＋6.

3.在①S5＝50，②S1，S2，S4成等比数列，③S6＝3(a6＋2)这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题．

问题：已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，前n项和为Sn，且满足________．

(1)求an；

(2)若bn－bn－1＝2an(n≥2)，且b1－a1＝1，求数列{}的前n项和Tn.

注：如果选择多种情况分别解答，按第一种解答计分．

【答案解析】解：(1)选择条件①②，

由S5＝50，得5a1＋d＝5(a1＋2d)＝50，

即a1＋2d＝10，

由S1，S2，S4成等比数列，得S＝S1S4，

即4a＋4a1d＋d2＝4a＋6a1d，即d＝2a1，

解得a1＝2，d＝4，因此an＝4n－2.

选择条件①③，

由S5＝50，得5a1＋d＝5(a1＋2d)＝50，

即a1＋2d＝10，

由S6＝3(a6＋2)，得＝3a1＋3a6＝3a6＋6，

即a1＝2，

解得d＝4，因此an＝4n－2.

选择条件②③，

由S1，S2，S4成等比数列，得S＝S1S4,4a＋4a1d＋d2＝4a＋6a1d，

即d＝2a1，

由S6＝3(a6＋2)，得＝3a1＋3a6＝3a6＋6，

即a1＝2，解得d＝4，因此an＝4n－2.

(2)由a1＝2，an＝4n－2可得b1＝3，bn－bn－1＝2an＝8n－4，

当n≥2时，(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)

＝(8n－4)＋(8n－12)＋…＋12＝＝4n2－4，

即bn－b1＝4n2－4，则bn＝4n2－1，

当n＝1时，b1＝3，符合bn＝4n2－1，

所以当n∈N*时，bn＝4n2－1，

则＝＝()，

因此Tn＝＝()＝.

4.设公差不为零的等差数列{an}的前5项和为55，且a2，，a4－9成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn=，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜.

【答案解析】解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

则

⇒或(舍去)．

故数列{an}的通项公式为an=7＋2(n－1)，即an=2n＋5.

(2)证明：由an=2n＋5，得

bn===.

所以Sn=b1＋b2＋…＋bn=＋

=＜.

5.在公差不为零的等差数列{an}中，a1=2，且a1，a2，a4成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn=(－1)n＋1，求数列{bn}的前2n－1项和T2n－1.

【答案解析】解：(1)由题意知(a1＋d)2=a1(a1＋3d)(d为等差数列{an}的公差)，

即(2＋d)2=2(2＋3d)，又d≠0，所以d=2.

故数列{an}的通项公式为an=2n.

(2)由(1)得bn=(－1)n＋1·，

所以T2n－1=－＋－＋…－＋

=1＋=.

所以数列{bn}的前2n－1项和T2n－1=.

6.已知数列{an}满足a1=1，an≠0，且an＋1－an＋3an＋1an=0.

(1)证明数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{an·an＋1}的前n项和Sn.

【答案解析】解：(1)由an≠0，an＋1－an＋3an＋1an=0可得－＋3=0，即=＋3.

所以数列是公差d=3，首项==1的等差数列，

故=1＋3(n－1)=3n－2，

所以an=.

(2)由(1)知，an·an＋1=×==.

故数列{an·an＋1}的前n项和

Sn=＋

=

==.

7.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a3=5，a1，a2，a5成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn=，Sn是数列{bn}的前n项和.若对任意正整数n，不等式2Sn＋(－1)n＋1·a＞0恒成立，求实数a的取值范围.

【答案解析】解：(1)因为a3=5，a1，a2，a5成等比数列，

所以解得a1=1，d=2，

所以数列{an}的通项公式为an=2n－1.

(2)因为bn==

===，

所以Sn=b1＋b2＋…＋bn

=＋＋…＋=，

依题意，对任意正整数n，不等式1－＋(－1)n＋1a＞0，

当n为奇数时，1－＋(－1)n＋1a＞0即a＞－1＋，所以a＞－；

当n为偶数时，1－＋(－1)n＋1a＞0即a＜1－，所以a＜.

所以实数a的取值范围是.

8.已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，且a1=b1=1，a2=b2，a5=b3.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)记Sn=＋＋…＋，是否存在m∈N*，使得Sm≥3成立，若存在，求出m，若不存在，请说明理由.

【答案解析】解：(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，数列{bn}的公比为q，

则由题意知

∴d=0或d=2，

∵d≠0，∴d=2，q=3，∴an=2n－1，bn=3n－1.

(2)由(1)可知，

Sn=＋＋…＋=＋＋＋…＋＋，

Sn=＋＋＋…＋＋，

两式相减得，Sn=1＋＋＋…＋－=1＋×－

=2－＜2，∴Sn＜3.故不存在m∈N*，使得Sm≥3成立.